Theorem 2clwwlk2clwwlklem 30663

Description: Lemma for 2clwwlk2clwwlk 30667. (Contributed by AV, 27-Apr-2022.)

Assertion

Ref	Expression
2clwwlk2clwwlklem	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))

Proof of Theorem 2clwwlk2clwwlklem

Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑤 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isclwwlknon 30408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))
2		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3	2	clwwlknbp 30352	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
4		simpll 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
5		uzuzle23 12907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
6		eluzfz2 13559	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ (2...𝑁))
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ (2...𝑁))
8	7	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑁 ∈ (2...𝑁))
9		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (2...(♯‘𝑊)) = (2...𝑁))
10	9	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (2...𝑁)))
11	10	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (2...𝑁)))
12	8, 11	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)))
13	4, 12	jca 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))))
14	13	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)))))
15	3, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)))))
16	15	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)))))
17	1, 16	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)))))
18	17	impcom 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))))
19		swrds2m 14977	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
20	18, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
21	20	3adant3 1148	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
22		simp3 1154	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))
23		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
24	22, 23	s2eqd 14899	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩ = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
25		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊‘0) = 𝑋)
26		eqidd 2762	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
27	25, 26	s2eqd 14899	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩ = ⟨“𝑋(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
28	1, 27	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩ = ⟨“𝑋(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
29	28	3ad2ant2 1150	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩ = ⟨“𝑋(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
30	21, 24, 29	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = ⟨“𝑋(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
31		clwwlknonmpo 30406	. . . . 5 ⊢ (ClWWalksNOn‘𝐺) = (𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺), 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
32	31	elmpocl1 7652	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
33	32	3ad2ant2 1150	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
34		eluz3nn 12912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
35		fzo0end 13786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
36	34, 35	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
37	36	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
38		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑁))
39	38	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑁))
40	39	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
41	37, 40	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
42		wrdsymbcl 14563	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺))
43	4, 41, 42	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺))
44	43	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺)))
45	3, 44	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺)))
46	45	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺)))
47	1, 46	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺)))
48	47	impcom 412	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺))
49	48	3adant3 1148	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺))
50		preq1 4698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊‘0) = 𝑋 → {(𝑊‘0), (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))})
51	50	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → {(𝑊‘0), (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))})
52	51	eqcomd 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {(𝑊‘0), (𝑊‘(𝑁 − 1))})
53	52	3ad2ant2 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {(𝑊‘0), (𝑊‘(𝑁 − 1))})
54		prcom 4697	. . . . . 6 ⊢ {(𝑊‘0), (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)}
55	53, 54	eqtrdi 2812	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)})
56		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
57	2, 56	clwwlknp 30354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
58	57	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
59	58	3ad2ant2 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
60		lsw 14600	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
61		fvoveq1 7433	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
62	60, 61	sylan9eq 2816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
63	62	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
64	63	preq1d 4704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))) → {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)})
65	64	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
66	65	biimpd 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
67	66	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
68	67	com23 87	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
69	68	a1d 26	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
70	69	3imp 1126	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
71	59, 70	mpcom 39	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
72	55, 71	eqeltrd 2861	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
73	1, 72	syl3an2b 1429	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
74		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (ClWWalksNOn‘𝐺) = (ClWWalksNOn‘𝐺)
75	74, 2, 56	s2elclwwlknon2 30421	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ⟨“𝑋(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩ ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))
76	33, 49, 73, 75	syl3anc 1396	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → ⟨“𝑋(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩ ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))
77	30, 76	eqeltrd 2861	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077  {crab 3414  {cpr 4590  ⟨cop 4594  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   − cmin 11440  ℕcn 12232  2c2 12294  3c3 12295  ℕ₀cn0 12503  ℤ_≥cuz 12861  ...cfz 13534  ..^cfzo 13681  ♯chash 14365  Word cword 14549  lastSclsw 14598   substr csubstr 14677  ⟨“cs2 14877  Vtxcvtx 29312  Edgcedg 29363   ClWWalksN cclwwlkn 30341  ClWWalksNOncclwwlknon 30404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-oadd 8456  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-hash 14366  df-word 14550  df-lsw 14599  df-concat 14607  df-s1 14633  df-substr 14678  df-s2 14884  df-clwwlk 30299  df-clwwlkn 30342  df-clwwlknon 30405

This theorem is referenced by:  2clwwlk2clwwlk  30667