Theorem 2clwwlk2clwwlklem 30947

Description: Lemma for 2clwwlk2clwwlk 30951. (Contributed by AV, 27-Apr-2022.)

Assertion

Ref	Expression
2clwwlk2clwwlklem	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))

Proof of Theorem 2clwwlk2clwwlklem

Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑤 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isclwwlknon 30682	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))
2		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3	2	clwwlknbp 30626	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
4		simpll 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
5		uzuzle23 13011	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
6		eluzfz2 13665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ (2...𝑁))
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ (2...𝑁))
8	7	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑁 ∈ (2...𝑁))
9		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (2...(♯‘𝑊)) = (2...𝑁))
10	9	eleq2d 2846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (2...𝑁)))
11	10	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (2...𝑁)))
12	8, 11	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)))
13	4, 12	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))))
14	13	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)))))
15	3, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)))))
16	15	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)))))
17	1, 16	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)))))
18	17	impcom 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))))
19		swrds2m 15092	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
20	18, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
21	20	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
22		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))
23		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
24	22, 23	s2eqd 15014	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩ = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
25		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊‘0) = 𝑋)
26		eqidd 2761	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
27	25, 26	s2eqd 15014	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩ = ⟨“𝑋(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
28	1, 27	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩ = ⟨“𝑋(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
29	28	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩ = ⟨“𝑋(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
30	21, 24, 29	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = ⟨“𝑋(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
31		clwwlknonmpo 30680	. . . . 5 ⊢ (ClWWalksNOn‘𝐺) = (𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺), 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
32	31	elmpocl1 7663	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
33	32	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
34		eluz3nn 13016	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
35		fzo0end 13893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
36	34, 35	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
37	36	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
38		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑁))
39	38	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑁))
40	39	eleq2d 2846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
41	37, 40	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
42		wrdsymbcl 14672	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺))
43	4, 41, 42	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺))
44	43	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺)))
45	3, 44	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺)))
46	45	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺)))
47	1, 46	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺)))
48	47	impcom 413	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺))
49	48	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺))
50		preq1 4693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊‘0) = 𝑋 → {(𝑊‘0), (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))})
51	50	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → {(𝑊‘0), (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))})
52	51	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {(𝑊‘0), (𝑊‘(𝑁 − 1))})
53	52	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {(𝑊‘0), (𝑊‘(𝑁 − 1))})
54		prcom 4692	. . . . . 6 ⊢ {(𝑊‘0), (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)}
55	53, 54	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)})
56		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
57	2, 56	clwwlknp 30628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
58	57	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
59	58	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
60		lsw 14709	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
61		fvoveq1 7443	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
62	60, 61	sylan9eq 2815	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
63	62	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
64	63	preq1d 4699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))) → {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)})
65	64	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
66	65	biimpd 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
67	66	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
68	67	com23 87	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
69	68	a1d 26	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
70	69	3imp 1128	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
71	59, 70	mpcom 39	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
72	55, 71	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
73	1, 72	syl3an2b 1431	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
74		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (ClWWalksNOn‘𝐺) = (ClWWalksNOn‘𝐺)
75	74, 2, 56	s2elclwwlknon2 30695	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ⟨“𝑋(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩ ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))
76	33, 49, 73, 75	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → ⟨“𝑋(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩ ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))
77	30, 76	eqeltrd 2860	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {crab 3412  {cpr 4585  ⟨cop 4589  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   − cmin 11541  ℕcn 12335  2c2 12397  3c3 12398  ℕ₀cn0 12606  ℤ_≥cuz 12965  ...cfz 13639  ..^cfzo 13788  ♯chash 14474  Word cword 14658  lastSclsw 14707   substr csubstr 14788  ⟨“cs2 14992  Vtxcvtx 29574  Edgcedg 29625   ClWWalksN cclwwlkn 30615  ClWWalksNOncclwwlknon 30678

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-lsw 14708  df-concat 14716  df-s1 14743  df-substr 14789  df-s2 14999  df-clwwlk 30573  df-clwwlkn 30616  df-clwwlknon 30679

This theorem is used by:  2clwwlk2clwwlk  30951