2clwwlk2clwwlklem - Metamath Proof Explorer

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Theorem 2clwwlk2clwwlklem 29588

Description: Lemma for 2clwwlk2clwwlk 29592. (Contributed by AV, 27-Apr-2022.)

**Assertion**
Ref	Expression
2clwwlk2clwwlklem	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))

Proof of Theorem 2clwwlk2clwwlklem Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑤 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isclwwlknon 29333	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))
2		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3	2	clwwlknbp 29277	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
4		simpll 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
5		uzuzle23 12869	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
6		eluzfz2 13505	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑁 ∈ (2...𝑁))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ (2...𝑁))
8	7	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑁 ∈ (2...𝑁))
9		oveq2 7413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (2...(♯‘𝑊)) = (2...𝑁))
10	9	eleq2d 2819	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (2...𝑁)))
11	10	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (2...𝑁)))
12	8, 11	mpbird 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)))
13	4, 12	jca 512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))))
14	13	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)))))
15	3, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)))))
16	15	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)))))
17	1, 16	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)))))
18	17	impcom 408	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))))
19		swrds2m 14888	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
21	20	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
22		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))
23		eqidd 2733	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
24	22, 23	s2eqd 14810	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩ = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
25		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊‘0) = 𝑋)
26		eqidd 2733	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
27	25, 26	s2eqd 14810	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩ = ⟨“𝑋(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
28	1, 27	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩ = ⟨“𝑋(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
29	28	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩ = ⟨“𝑋(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
30	21, 24, 29	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = ⟨“𝑋(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
31		clwwlknonmpo 29331	. . . . 5 ⊢ (ClWWalksNOn‘𝐺) = (𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺), 𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
32	31	elmpocl1 7645	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
33	32	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
34		eluzge3nn 12870	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
35		fzo0end 13720	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
38		oveq2 7413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑁))
39	38	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑁))
40	39	eleq2d 2819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
41	37, 40	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
42		wrdsymbcl 14473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺))
43	4, 41, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺))
44	43	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺)))
45	3, 44	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺)))
46	45	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺)))
47	1, 46	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺)))
48	47	impcom 408	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺))
49	48	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺))
50		preq1 4736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊‘0) = 𝑋 → {(𝑊‘0), (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))})
51	50	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → {(𝑊‘0), (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))})
52	51	eqcomd 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {(𝑊‘0), (𝑊‘(𝑁 − 1))})
53	52	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {(𝑊‘0), (𝑊‘(𝑁 − 1))})
54		prcom 4735	. . . . . 6 ⊢ {(𝑊‘0), (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)}
55	53, 54	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)})
56		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
57	2, 56	clwwlknp 29279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
58	57	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
59	58	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
60		lsw 14510	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
61		fvoveq1 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
62	60, 61	sylan9eq 2792	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
64	63	preq1d 4742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))) → {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)})
65	64	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
66	65	biimpd 228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
67	66	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
68	67	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
69	68	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
70	69	3imp 1111	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
71	59, 70	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
72	55, 71	eqeltrd 2833	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
73	1, 72	syl3an2b 1404	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
74		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (ClWWalksNOn‘𝐺) = (ClWWalksNOn‘𝐺)
75	74, 2, 56	s2elclwwlknon2 29346	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ⟨“𝑋(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩ ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))
76	33, 49, 73, 75	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → ⟨“𝑋(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩ ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))
77	30, 76	eqeltrd 2833	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ∀wral 3061 {crab 3432 {cpr 4629 ⟨cop 4633 ‘cfv 6540 (class class class)co 7405 0cc0 11106 1c1 11107 + caddc 11109 − cmin 11440 ℕcn 12208 2c2 12263 3c3 12264 ℕ₀cn0 12468 ℤ_≥cuz 12818 ...cfz 13480 ..^cfzo 13623 ♯chash 14286 Word cword 14460 lastSclsw 14508 substr csubstr 14586 ⟨“cs2 14788 Vtxcvtx 28245 Edgcedg 28296 ClWWalksN cclwwlkn 29266 ClWWalksNOncclwwlknon 29329

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5284 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7721 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-int 4950 df-iun 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6297 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7852 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-oadd 8466 df-er 8699 df-map 8818 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-fin 8939 df-card 9930 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11442 df-neg 11443 df-nn 12209 df-2 12271 df-3 12272 df-n0 12469 df-xnn0 12541 df-z 12555 df-uz 12819 df-fz 13481 df-fzo 13624 df-hash 14287 df-word 14461 df-lsw 14509 df-concat 14517 df-s1 14542 df-substr 14587 df-s2 14795 df-clwwlk 29224 df-clwwlkn 29267 df-clwwlknon 29330

This theorem is referenced by: 2clwwlk2clwwlk 29592

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