Theorem 2clwwlk2clwwlklem 28119

Description: Lemma for 2clwwlk2clwwlk 28123. (Contributed by AV, 27-Apr-2022.)

Assertion

Ref	Expression
2clwwlk2clwwlklem	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))

Proof of Theorem 2clwwlk2clwwlklem

Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑤 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isclwwlknon 27864	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))
2		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3	2	clwwlknbp 27807	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
4		simpll 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
5		uzuzle23 12283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
6		eluzfz2 12909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ (2...𝑁))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ (2...𝑁))
8	7	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑁 ∈ (2...𝑁))
9		oveq2 7158	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (2...(♯‘𝑊)) = (2...𝑁))
10	9	eleq2d 2898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (2...𝑁)))
11	10	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (2...𝑁)))
12	8, 11	mpbird 259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)))
13	4, 12	jca 514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))))
14	13	ex 415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)))))
15	3, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)))))
16	15	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)))))
17	1, 16	sylbi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)))))
18	17	impcom 410	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))))
19		swrds2m 14297	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
21	20	3adant3 1128	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
22		simp3 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))
23		eqidd 2822	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
24	22, 23	s2eqd 14219	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩ = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
25		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊‘0) = 𝑋)
26		eqidd 2822	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
27	25, 26	s2eqd 14219	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩ = ⟨“𝑋(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
28	1, 27	sylbi 219	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩ = ⟨“𝑋(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
29	28	3ad2ant2 1130	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩ = ⟨“𝑋(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
30	21, 24, 29	3eqtrd 2860	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = ⟨“𝑋(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
31		clwwlknonmpo 27862	. . . . 5 ⊢ (ClWWalksNOn‘𝐺) = (𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺), 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
32	31	elmpocl1 7382	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
33	32	3ad2ant2 1130	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
34		eluzge3nn 12284	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
35		fzo0end 13123	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
37	36	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
38		oveq2 7158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑁))
39	38	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑁))
40	39	eleq2d 2898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
41	37, 40	mpbird 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
42		wrdsymbcl 13869	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺))
43	4, 41, 42	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺))
44	43	ex 415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺)))
45	3, 44	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺)))
46	45	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺)))
47	1, 46	sylbi 219	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺)))
48	47	impcom 410	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺))
49	48	3adant3 1128	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺))
50		preq1 4662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊‘0) = 𝑋 → {(𝑊‘0), (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))})
51	50	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → {(𝑊‘0), (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))})
52	51	eqcomd 2827	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {(𝑊‘0), (𝑊‘(𝑁 − 1))})
53	52	3ad2ant2 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {(𝑊‘0), (𝑊‘(𝑁 − 1))})
54		prcom 4661	. . . . . 6 ⊢ {(𝑊‘0), (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)}
55	53, 54	syl6eq 2872	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)})
56		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
57	2, 56	clwwlknp 27809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
58	57	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
59	58	3ad2ant2 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
60		lsw 13910	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
61		fvoveq1 7173	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
62	60, 61	sylan9eq 2876	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
63	62	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
64	63	preq1d 4668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))) → {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)})
65	64	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
66	65	biimpd 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
67	66	ex 415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
68	67	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
69	68	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
70	69	3imp 1107	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
71	59, 70	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
72	55, 71	eqeltrd 2913	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
73	1, 72	syl3an2b 1400	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
74		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (ClWWalksNOn‘𝐺) = (ClWWalksNOn‘𝐺)
75	74, 2, 56	s2elclwwlknon2 27877	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ⟨“𝑋(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩ ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))
76	33, 49, 73, 75	syl3anc 1367	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → ⟨“𝑋(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩ ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))
77	30, 76	eqeltrd 2913	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  {crab 3142  {cpr 4562  ⟨cop 4566  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   − cmin 10864  ℕcn 11632  2c2 11686  3c3 11687  ℕ₀cn0 11891  ℤ_≥cuz 12237  ...cfz 12886  ..^cfzo 13027  ♯chash 13684  Word cword 13855  lastSclsw 13908   substr csubstr 13996  ⟨“cs2 14197  Vtxcvtx 26775  Edgcedg 26826   ClWWalksN cclwwlkn 27796  ClWWalksNOncclwwlknon 27860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-hash 13685  df-word 13856  df-lsw 13909  df-concat 13917  df-s1 13944  df-substr 13997  df-s2 14204  df-clwwlk 27754  df-clwwlkn 27797  df-clwwlknon 27861

This theorem is referenced by:  2clwwlk2clwwlk  28123