Theorem 2clwwlk2clwwlklem 30290

Description: Lemma for 2clwwlk2clwwlk 30294. (Contributed by AV, 27-Apr-2022.)

Assertion

Ref	Expression
2clwwlk2clwwlklem	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))

Proof of Theorem 2clwwlk2clwwlklem

Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑤 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isclwwlknon 30035	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))
2		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3	2	clwwlknbp 29979	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
4		simpll 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
5		uzuzle23 12785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
6		eluzfz2 13435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ (2...𝑁))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ (2...𝑁))
8	7	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑁 ∈ (2...𝑁))
9		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (2...(♯‘𝑊)) = (2...𝑁))
10	9	eleq2d 2814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (2...𝑁)))
11	10	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (2...𝑁)))
12	8, 11	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)))
13	4, 12	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))))
14	13	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)))))
15	3, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)))))
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)))))
17	1, 16	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)))))
18	17	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))))
19		swrds2m 14848	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
21	20	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
22		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))
23		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
24	22, 23	s2eqd 14770	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩ = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
25		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊‘0) = 𝑋)
26		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
27	25, 26	s2eqd 14770	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩ = ⟨“𝑋(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
28	1, 27	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩ = ⟨“𝑋(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
29	28	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩ = ⟨“𝑋(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
30	21, 24, 29	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = ⟨“𝑋(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
31		clwwlknonmpo 30033	. . . . 5 ⊢ (ClWWalksNOn‘𝐺) = (𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺), 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
32	31	elmpocl1 7591	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
33	32	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
34		eluz3nn 12790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
35		fzo0end 13661	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
38		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑁))
39	38	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑁))
40	39	eleq2d 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
41	37, 40	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
42		wrdsymbcl 14434	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺))
43	4, 41, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺))
44	43	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺)))
45	3, 44	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺)))
46	45	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺)))
47	1, 46	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺)))
48	47	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺))
49	48	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺))
50		preq1 4685	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊‘0) = 𝑋 → {(𝑊‘0), (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))})
51	50	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → {(𝑊‘0), (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))})
52	51	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {(𝑊‘0), (𝑊‘(𝑁 − 1))})
53	52	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {(𝑊‘0), (𝑊‘(𝑁 − 1))})
54		prcom 4684	. . . . . 6 ⊢ {(𝑊‘0), (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)}
55	53, 54	eqtrdi 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)})
56		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
57	2, 56	clwwlknp 29981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
58	57	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
59	58	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
60		lsw 14471	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
61		fvoveq1 7372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
62	60, 61	sylan9eq 2784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
64	63	preq1d 4691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))) → {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)})
65	64	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
66	65	biimpd 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
67	66	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
68	67	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
69	68	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
70	69	3imp 1110	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
71	59, 70	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
72	55, 71	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
73	1, 72	syl3an2b 1406	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
74		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (ClWWalksNOn‘𝐺) = (ClWWalksNOn‘𝐺)
75	74, 2, 56	s2elclwwlknon2 30048	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑋, (𝑊‘(𝑁 − 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ⟨“𝑋(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩ ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))
76	33, 49, 73, 75	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → ⟨“𝑋(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩ ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))
77	30, 76	eqeltrd 2828	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3394  {cpr 4579  ⟨cop 4583  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   − cmin 11347  ℕcn 12128  2c2 12183  3c3 12184  ℕ₀cn0 12384  ℤ_≥cuz 12735  ...cfz 13410  ..^cfzo 13557  ♯chash 14237  Word cword 14420  lastSclsw 14469   substr csubstr 14547  ⟨“cs2 14748  Vtxcvtx 28941  Edgcedg 28992   ClWWalksN cclwwlkn 29968  ClWWalksNOncclwwlknon 30031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-oadd 8392  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-hash 14238  df-word 14421  df-lsw 14470  df-concat 14478  df-s1 14503  df-substr 14548  df-s2 14755  df-clwwlk 29926  df-clwwlkn 29969  df-clwwlknon 30032

This theorem is referenced by:  2clwwlk2clwwlk  30294