Theorem lsw1 14722

Description: The last symbol of a word of length 1 is the first symbol of this word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
lsw1	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘0))

Proof of Theorem lsw1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsw 14719	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
2		oveq1 7434	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → ((♯‘𝑊) − 1) = (1 − 1))
3		1m1e0 12425	. . . 4 ⊢ (1 − 1) = 0
4	2, 3	eqtrdi 2814	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → ((♯‘𝑊) − 1) = 0)
5	4	fveq2d 6897	. 2 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘0))
6	1, 5	sylan9eq 2818	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  0cc0 11210  1c1 11211   − cmin 11551  ♯chash 14484  Word cword 14668  lastSclsw 14717

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-po 5562  df-so 5563  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-ltxr 11358  df-sub 11553  df-lsw 14718

This theorem is used by:  lsws1  14770  clwwlk1loop  30591  clwwlkn1  30644