clwlkclwwlklem2a1 - Metamath Proof Explorer

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Theorem clwlkclwwlklem2a1 29928

Description: Lemma 1 for clwlkclwwlklem2a 29934. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
clwlkclwwlklem2a1	⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))

Distinct variable groups: 𝑖,𝐸 𝑃,𝑖 Allowed substitution hint: 𝑉(𝑖)

**Proof of Theorem clwlkclwwlklem2a1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		lencl 14505	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀)
2		nn0cn 12459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
3		peano2cnm 11495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℂ)
4	3	subid1d 11529	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → (((♯‘𝑃) − 1) − 0) = ((♯‘𝑃) − 1))
5	4	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = (((♯‘𝑃) − 1) − 1))
6		sub1m1 12441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → (((♯‘𝑃) − 1) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
7	5, 6	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
8	1, 2, 7	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
10	9	oveq2d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)) = (0..^((♯‘𝑃) − 2)))
11	10	raleqdv 3301	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
12	11	biimpcd 249	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
15	14	impcom 407	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
16		lsw 14536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
17		2m1e1 12314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 − 1) = 1
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 − 1) = 1)
19	18	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 = (2 − 1))
20	19	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − 1) = ((♯‘𝑃) − (2 − 1)))
21	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
22		2cnd 12271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 2 ∈ ℂ)
23		1cnd 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 ∈ ℂ)
24	21, 22, 23	subsubd 11568	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − (2 − 1)) = (((♯‘𝑃) − 2) + 1))
25	20, 24	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − 1) = (((♯‘𝑃) − 2) + 1))
26	25	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)))
27	16, 26	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)))
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)))
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)))
30		eqeq1 2734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))))
32	29, 31	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)))
33	32	preq2d 4707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))})
34	33	eleq1d 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) → ({(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
35	34	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) → ({(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
36	35	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) → ({(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
37	36	com13 88	. . . . . . 7 ⊢ ({(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
38	37	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
39	38	impcom 407	. . . . 5 ⊢ (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
40	39	impcom 407	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)
41		ovexd 7425	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ V)
42		fveq2 6861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)))
43		fvoveq1 7413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)))
44	42, 43	preq12d 4708	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))})
45	44	eleq1d 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝑃) − 2) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
46	45	ralunsn 4861	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ V → (∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝑃) − 2)) ∪ {((♯‘𝑃) − 2)}){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
47	41, 46	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝑃) − 2)) ∪ {((♯‘𝑃) − 2)}){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
48	15, 40, 47	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝑃) − 2)) ∪ {((♯‘𝑃) − 2)}){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
49		1e2m1 12315	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (2 − 1)
50	49	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 = (2 − 1))
51	50	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − 1) = ((♯‘𝑃) − (2 − 1)))
52	51, 24	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − 1) = (((♯‘𝑃) − 2) + 1))
53	52	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (0..^((♯‘𝑃) − 1)) = (0..^(((♯‘𝑃) − 2) + 1)))
54	53	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (0..^((♯‘𝑃) − 1)) = (0..^(((♯‘𝑃) − 2) + 1)))
55		nn0re 12458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
56		2re 12267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℝ)
58	55, 57	subge0d 11775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (0 ≤ ((♯‘𝑃) − 2) ↔ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
59	58	biimprd 248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 ≤ (♯‘𝑃) → 0 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)))
60		nn0z 12561	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
61		2z 12572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℤ)
63	60, 62	zsubcld 12650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
64	59, 63	jctild 525	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((♯‘𝑃) − 2))))
65	1, 64	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((♯‘𝑃) − 2))))
66	65	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)))
67		elnn0z 12549	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ₀ ↔ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)))
68	66, 67	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ₀)
69		elnn0uz 12845	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ₀ ↔ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ (ℤ_≥‘0))
70	68, 69	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ (ℤ_≥‘0))
71		fzosplitsn 13743	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ (ℤ_≥‘0) → (0..^(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = ((0..^((♯‘𝑃) − 2)) ∪ {((♯‘𝑃) − 2)}))
72	70, 71	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (0..^(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = ((0..^((♯‘𝑃) − 2)) ∪ {((♯‘𝑃) − 2)}))
73	54, 72	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (0..^((♯‘𝑃) − 1)) = ((0..^((♯‘𝑃) − 2)) ∪ {((♯‘𝑃) − 2)}))
74	73	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (0..^((♯‘𝑃) − 1)) = ((0..^((♯‘𝑃) − 2)) ∪ {((♯‘𝑃) − 2)}))
75	48, 74	raleqtrrdv 3305	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
76	75	ex 412	1 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ∀wral 3045 Vcvv 3450 ∪ cun 3915 {csn 4592 {cpr 4594 class class class wbr 5110 ran crn 5642 ‘cfv 6514 (class class class)co 7390 ℂcc 11073 ℝcr 11074 0cc0 11075 1c1 11076 + caddc 11078 ≤ cle 11216 − cmin 11412 2c2 12248 ℕ₀cn0 12449 ℤcz 12536 ℤ_≥cuz 12800 ..^cfzo 13622 ♯chash 14302 Word cword 14485 lastSclsw 14534

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2702 ax-rep 5237 ax-sep 5254 ax-nul 5264 ax-pow 5323 ax-pr 5390 ax-un 7714 ax-cnex 11131 ax-resscn 11132 ax-1cn 11133 ax-icn 11134 ax-addcl 11135 ax-addrcl 11136 ax-mulcl 11137 ax-mulrcl 11138 ax-mulcom 11139 ax-addass 11140 ax-mulass 11141 ax-distr 11142 ax-i2m1 11143 ax-1ne0 11144 ax-1rid 11145 ax-rnegex 11146 ax-rrecex 11147 ax-cnre 11148 ax-pre-lttri 11149 ax-pre-lttrn 11150 ax-pre-ltadd 11151 ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2709 df-cleq 2722 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2927 df-nel 3031 df-ral 3046 df-rex 3055 df-reu 3357 df-rab 3409 df-v 3452 df-sbc 3757 df-csb 3866 df-dif 3920 df-un 3922 df-in 3924 df-ss 3934 df-pss 3937 df-nul 4300 df-if 4492 df-pw 4568 df-sn 4593 df-pr 4595 df-op 4599 df-uni 4875 df-int 4914 df-iun 4960 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5192 df-tr 5218 df-id 5536 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5594 df-we 5596 df-xp 5647 df-rel 5648 df-cnv 5649 df-co 5650 df-dm 5651 df-rn 5652 df-res 5653 df-ima 5654 df-pred 6277 df-ord 6338 df-on 6339 df-lim 6340 df-suc 6341 df-iota 6467 df-fun 6516 df-fn 6517 df-f 6518 df-f1 6519 df-fo 6520 df-f1o 6521 df-fv 6522 df-riota 7347 df-ov 7393 df-oprab 7394 df-mpo 7395 df-om 7846 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-frecs 8263 df-wrecs 8294 df-recs 8343 df-rdg 8381 df-1o 8437 df-er 8674 df-en 8922 df-dom 8923 df-sdom 8924 df-fin 8925 df-card 9899 df-pnf 11217 df-mnf 11218 df-xr 11219 df-ltxr 11220 df-le 11221 df-sub 11414 df-neg 11415 df-nn 12194 df-2 12256 df-n0 12450 df-z 12537 df-uz 12801 df-fz 13476 df-fzo 13623 df-hash 14303 df-word 14486 df-lsw 14535

This theorem is referenced by: clwlkclwwlklem2a 29934

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