clwlkclwwlklem2a1 - Metamath Proof Explorer

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Theorem clwlkclwwlklem2a1 30082

Description: Lemma 1 for clwlkclwwlklem2a 30088. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
clwlkclwwlklem2a1	⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))

Distinct variable groups: 𝑖,𝐸 𝑃,𝑖 Allowed substitution hint: 𝑉(𝑖)

**Proof of Theorem clwlkclwwlklem2a1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		lencl 14484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀)
2		nn0cn 12436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
3		peano2cnm 11449	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℂ)
4	3	subid1d 11483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → (((♯‘𝑃) − 1) − 0) = ((♯‘𝑃) − 1))
5	4	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = (((♯‘𝑃) − 1) − 1))
6		sub1m1 12418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → (((♯‘𝑃) − 1) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
7	5, 6	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
8	1, 2, 7	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
10	9	oveq2d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)) = (0..^((♯‘𝑃) − 2)))
11	10	raleqdv 3296	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
12	11	biimpcd 249	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
15	14	impcom 407	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
16		lsw 14515	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
17		2m1e1 12291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 − 1) = 1
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 − 1) = 1)
19	18	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 = (2 − 1))
20	19	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − 1) = ((♯‘𝑃) − (2 − 1)))
21	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
22		2cnd 12248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 2 ∈ ℂ)
23		1cnd 11128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 ∈ ℂ)
24	21, 22, 23	subsubd 11522	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − (2 − 1)) = (((♯‘𝑃) − 2) + 1))
25	20, 24	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − 1) = (((♯‘𝑃) − 2) + 1))
26	25	fveq2d 6836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)))
27	16, 26	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)))
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)))
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)))
30		eqeq1 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))))
32	29, 31	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)))
33	32	preq2d 4685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))})
34	33	eleq1d 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) → ({(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
35	34	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) → ({(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
36	35	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) → ({(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
37	36	com13 88	. . . . . . 7 ⊢ ({(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
38	37	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
39	38	impcom 407	. . . . 5 ⊢ (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
40	39	impcom 407	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)
41		ovexd 7393	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ V)
42		fveq2 6832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)))
43		fvoveq1 7381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)))
44	42, 43	preq12d 4686	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))})
45	44	eleq1d 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝑃) − 2) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
46	45	ralunsn 4838	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ V → (∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝑃) − 2)) ∪ {((♯‘𝑃) − 2)}){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
47	41, 46	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝑃) − 2)) ∪ {((♯‘𝑃) − 2)}){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
48	15, 40, 47	mpbir2and 714	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝑃) − 2)) ∪ {((♯‘𝑃) − 2)}){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
49		1e2m1 12292	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (2 − 1)
50	49	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 = (2 − 1))
51	50	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − 1) = ((♯‘𝑃) − (2 − 1)))
52	51, 24	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − 1) = (((♯‘𝑃) − 2) + 1))
53	52	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (0..^((♯‘𝑃) − 1)) = (0..^(((♯‘𝑃) − 2) + 1)))
54	53	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (0..^((♯‘𝑃) − 1)) = (0..^(((♯‘𝑃) − 2) + 1)))
55		nn0re 12435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
56		2re 12244	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℝ)
58	55, 57	subge0d 11729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (0 ≤ ((♯‘𝑃) − 2) ↔ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
59	58	biimprd 248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 ≤ (♯‘𝑃) → 0 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)))
60		nn0z 12537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
61		2z 12548	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℤ)
63	60, 62	zsubcld 12627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
64	59, 63	jctild 525	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((♯‘𝑃) − 2))))
65	1, 64	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((♯‘𝑃) − 2))))
66	65	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)))
67		elnn0z 12526	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ₀ ↔ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)))
68	66, 67	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ₀)
69		elnn0uz 12818	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ₀ ↔ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ (ℤ_≥‘0))
70	68, 69	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ (ℤ_≥‘0))
71		fzosplitsn 13720	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ (ℤ_≥‘0) → (0..^(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = ((0..^((♯‘𝑃) − 2)) ∪ {((♯‘𝑃) − 2)}))
72	70, 71	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (0..^(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = ((0..^((♯‘𝑃) − 2)) ∪ {((♯‘𝑃) − 2)}))
73	54, 72	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (0..^((♯‘𝑃) − 1)) = ((0..^((♯‘𝑃) − 2)) ∪ {((♯‘𝑃) − 2)}))
74	73	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (0..^((♯‘𝑃) − 1)) = ((0..^((♯‘𝑃) − 2)) ∪ {((♯‘𝑃) − 2)}))
75	48, 74	raleqtrrdv 3300	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
76	75	ex 412	1 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ∀wral 3052 Vcvv 3430 ∪ cun 3888 {csn 4568 {cpr 4570 class class class wbr 5086 ran crn 5623 ‘cfv 6490 (class class class)co 7358 ℂcc 11025 ℝcr 11026 0cc0 11027 1c1 11028 + caddc 11030 ≤ cle 11169 − cmin 11366 2c2 12225 ℕ₀cn0 12426 ℤcz 12513 ℤ_≥cuz 12777 ..^cfzo 13597 ♯chash 14281 Word cword 14464 lastSclsw 14513

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-rep 5212 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5300 ax-pr 5368 ax-un 7680 ax-cnex 11083 ax-resscn 11084 ax-1cn 11085 ax-icn 11086 ax-addcl 11087 ax-addrcl 11088 ax-mulcl 11089 ax-mulrcl 11090 ax-mulcom 11091 ax-addass 11092 ax-mulass 11093 ax-distr 11094 ax-i2m1 11095 ax-1ne0 11096 ax-1rid 11097 ax-rnegex 11098 ax-rrecex 11099 ax-cnre 11100 ax-pre-lttri 11101 ax-pre-lttrn 11102 ax-pre-ltadd 11103 ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-reu 3344 df-rab 3391 df-v 3432 df-sbc 3730 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4275 df-if 4468 df-pw 4544 df-sn 4569 df-pr 4571 df-op 4575 df-uni 4852 df-int 4891 df-iun 4936 df-br 5087 df-opab 5149 df-mpt 5168 df-tr 5194 df-id 5517 df-eprel 5522 df-po 5530 df-so 5531 df-fr 5575 df-we 5577 df-xp 5628 df-rel 5629 df-cnv 5630 df-co 5631 df-dm 5632 df-rn 5633 df-res 5634 df-ima 5635 df-pred 6257 df-ord 6318 df-on 6319 df-lim 6320 df-suc 6321 df-iota 6446 df-fun 6492 df-fn 6493 df-f 6494 df-f1 6495 df-fo 6496 df-f1o 6497 df-fv 6498 df-riota 7315 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7809 df-1st 7933 df-2nd 7934 df-frecs 8222 df-wrecs 8253 df-recs 8302 df-rdg 8340 df-1o 8396 df-er 8634 df-en 8885 df-dom 8886 df-sdom 8887 df-fin 8888 df-card 9852 df-pnf 11170 df-mnf 11171 df-xr 11172 df-ltxr 11173 df-le 11174 df-sub 11368 df-neg 11369 df-nn 12164 df-2 12233 df-n0 12427 df-z 12514 df-uz 12778 df-fz 13451 df-fzo 13598 df-hash 14282 df-word 14465 df-lsw 14514

This theorem is referenced by: clwlkclwwlklem2a 30088

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