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Theorem clwwlknonex2lem2 28472
Description: Lemma 2 for clwwlknonex2 28473: Transformation of a walk and two edges into a walk extended by two vertices/edges. (Contributed by AV, 22-Sep-2018.) (Revised by AV, 27-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlknonex2.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlknonex2.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
clwwlknonex2lem2 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝑉   𝑖,𝑊   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem clwwlknonex2lem2
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
21adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
3 elfzonn0 13432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
43adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
5 lencl 14236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
6 elfzo0 13428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1)))
7 nn0re 12242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℝ)
87adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℝ)
9 nn0re 12242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
10 peano2rem 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝑊) ∈ ℝ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
1211adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
139adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
148, 12, 133jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
159ltm1d 11907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))
1615adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))
17 lttr 11051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → ((𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊)) → 𝑖 < (♯‘𝑊)))
1817expcomd 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → (((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊) → (𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1) → 𝑖 < (♯‘𝑊))))
1914, 16, 18sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1) → 𝑖 < (♯‘𝑊)))
2019impancom 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑖 < (♯‘𝑊)))
21203adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑖 < (♯‘𝑊)))
226, 21sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑖 < (♯‘𝑊)))
235, 22syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → 𝑖 < (♯‘𝑊)))
2423adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → 𝑖 < (♯‘𝑊)))
2524imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑖 < (♯‘𝑊))
26 ccat2s1fvw 14349 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑖 ∈ ℕ0𝑖 < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖) = (𝑊𝑖))
272, 4, 25, 26syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖) = (𝑊𝑖))
2827eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊𝑖) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖))
29 peano2nn0 12273 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
304, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
31 1red 10976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
328, 31, 13ltaddsubd 11575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 1) < (♯‘𝑊) ↔ 𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1)))
3332biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1) → (𝑖 + 1) < (♯‘𝑊)))
3433impancom 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) < (♯‘𝑊)))
35343adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) < (♯‘𝑊)))
366, 35sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) < (♯‘𝑊)))
375, 36mpan9 507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑖 + 1) < (♯‘𝑊))
3837adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑖 + 1) < (♯‘𝑊))
39 ccat2s1fvw 14349 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
402, 30, 38, 39syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
4140eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1)))
4228, 41preq12d 4677 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → {(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))})
4342eleq1d 2823 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ({(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
4443ralbidva 3111 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
4544biimpd 228 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
4645impancom 452 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
47463adant3 1131 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
48473ad2ant1 1132 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
4948com12 32 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
5049a1dd 50 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
51503adant3 1131 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
5251imp31 418 . 2 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
53 ax-1 6 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → (𝑋𝑉𝑌𝑉)))
54533adant3 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → (𝑋𝑉𝑌𝑉)))
55 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
56 oveq1 7282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 − 2) − 1))
5756adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 − 2) − 1))
58 eluzelcn 12594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
59 2cnd 12051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ ℂ)
60 1cnd 10970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 1 ∈ ℂ)
6158, 59, 60subsub4d 11363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) = (𝑁 − (2 + 1)))
62 2p1e3 12115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (2 + 1) = 3
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (2 + 1) = 3)
6463oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − (2 + 1)) = (𝑁 − 3))
65 uznn0sub 12617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 3) ∈ ℕ0)
6664, 65eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − (2 + 1)) ∈ ℕ0)
6761, 66eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) ∈ ℕ0)
6867adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑁 − 2) − 1) ∈ ℕ0)
6957, 68eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
7069ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
7170adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
725, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
7372adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
7473ltm1d 11907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))
7555, 71, 743jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊)))
7675ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))))
7776adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))))
78773ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))))
7978imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊)))
80 ccat2s1fvw 14349 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
82 nn0cn 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
83 ax-1cn 10929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℂ
84 npcan 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
8582, 83, 84sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
865, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
8786adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
88873ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
8988fveq2d 6778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)))
90 simp1l 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
91 eqidd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
92 simp2l 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → 𝑋𝑉)
93 ccatw2s1p1 14346 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊) ∧ 𝑋𝑉) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑋)
9490, 91, 92, 93syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑋)
9589, 94eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = 𝑋)
9695adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = 𝑋)
9781, 96preq12d 4677 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} = {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋})
98 lsw 14267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
9998adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊‘0) = 𝑋𝑊 ∈ Word 𝑉) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
100 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊‘0) = 𝑋𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊‘0) = 𝑋)
10199, 100preq12d 4677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊‘0) = 𝑋𝑊 ∈ Word 𝑉) → {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋})
102101eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑊‘0) = 𝑋𝑊 ∈ Word 𝑉) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋} ∈ 𝐸))
103102biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊‘0) = 𝑋𝑊 ∈ Word 𝑉) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋} ∈ 𝐸))
104103expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋} ∈ 𝐸)))
105104com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 → ((𝑊‘0) = 𝑋 → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋} ∈ 𝐸)))
106105imp31 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋} ∈ 𝐸)
1071063adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋} ∈ 𝐸)
108107adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋} ∈ 𝐸)
10997, 108eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)
110109exp520 1356 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
111110com14 96 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
1121113ad2ant3 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
11354, 112syld 47 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
114113com25 99 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
115114com14 96 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
1161153adant2 1130 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
1171163imp 1110 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)))
118117impcom 408 . . . 4 (((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸))
119118imp 407 . . 3 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)
120 eqidd 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
121 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑋𝑉)
1221, 120, 121, 93syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑋)
123 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)
124 ccatw2s1p2 14348 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1)) = 𝑌)
125123, 124mpanl2 698 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1)) = 𝑌)
126122, 125preq12d 4677 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌})
127126expcom 414 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌}))
128127a1i 11 . . . . . . . . . 10 ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌})))
129128com13 88 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌})))
1301293ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌})))
1311303ad2ant1 1132 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌})))
132131com12 32 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌})))
1331323adant3 1131 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌})))
134133imp31 418 . . . 4 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌})
135 simpr 485 . . . 4 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸)
136134, 135eqeltrd 2839 . . 3 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} ∈ 𝐸)
137 ovex 7308 . . . 4 ((♯‘𝑊) − 1) ∈ V
138 fvex 6787 . . . 4 (♯‘𝑊) ∈ V
139 fveq2 6774 . . . . . 6 (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)))
140 fvoveq1 7298 . . . . . 6 (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)))
141139, 140preq12d 4677 . . . . 5 (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))})
142141eleq1d 2823 . . . 4 (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → ({(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸))
143 fveq2 6774 . . . . . 6 (𝑖 = (♯‘𝑊) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)))
144 fvoveq1 7298 . . . . . 6 (𝑖 = (♯‘𝑊) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1)))
145143, 144preq12d 4677 . . . . 5 (𝑖 = (♯‘𝑊) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))})
146145eleq1d 2823 . . . 4 (𝑖 = (♯‘𝑊) → ({(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} ∈ 𝐸))
147137, 138, 142, 146ralpr 4636 . . 3 (∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)} {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ({(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} ∈ 𝐸))
148119, 136, 147sylanbrc 583 . 2 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)} {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
149 ralunb 4125 . 2 (∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)} {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
15052, 148, 149sylanbrc 583 1 ((((𝑋𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  cun 3885  {cpr 4563   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009  cmin 11205  cn 11973  2c2 12028  3c3 12029  0cn0 12233  cuz 12582  ..^cfzo 13382  chash 14044  Word cword 14217  lastSclsw 14265   ++ cconcat 14273  ⟨“cs1 14300  Vtxcvtx 27366  Edgcedg 27417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-lsw 14266  df-concat 14274  df-s1 14301
This theorem is referenced by:  clwwlknonex2  28473
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