clwwlknonex2lem2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem clwwlknonex2lem2 30699

Description: Lemma 2 for clwwlknonex2 30700: Transformation of a walk and two edges into a walk extended by two vertices/edges. (Contributed by AV, 22-Sep-2018.) (Revised by AV, 27-Jan-2022.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
clwwlknonex2.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlknonex2.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
clwwlknonex2lem2	⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)

Distinct variable groups: 𝑖,𝐸 𝑖,𝑉 𝑖,𝑊 𝑖,𝑋 𝑖,𝑌 Allowed substitution hints: 𝐺(𝑖) 𝑁(𝑖)

**Proof of Theorem clwwlknonex2lem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2	1	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
3		elfzonn0 13842	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
4	3	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
5		lencl 14678	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀)
6		elfzo0 13835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1)))
7		nn0re 12615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ₀ → 𝑖 ∈ ℝ)
8	7	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀) → 𝑖 ∈ ℝ)
9		nn0re 12615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
10		peano2rem 11625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
12	11	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
13	9	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
14	8, 12, 13	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
15	9	ltm1d 12249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))
16	15	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀) → ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))
17		lttr 11386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → ((𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊)) → 𝑖 < (♯‘𝑊)))
18	17	expcomd 422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → (((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊) → (𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1) → 𝑖 < (♯‘𝑊))))
19	14, 16, 18	sylc 66	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀) → (𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1) → 𝑖 < (♯‘𝑊)))
20	19	impancom 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → 𝑖 < (♯‘𝑊)))
21	20	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → 𝑖 < (♯‘𝑊)))
22	6, 21	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → 𝑖 < (♯‘𝑊)))
23	5, 22	syl5com 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → 𝑖 < (♯‘𝑊)))
24	23	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → 𝑖 < (♯‘𝑊)))
25	24	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑖 < (♯‘𝑊))
26		ccat2s1fvw 14786	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
27	2, 4, 25, 26	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
28	27	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊‘𝑖) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖))
29		peano2nn0 12646	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ₀ → (𝑖 + 1) ∈ ℕ₀)
30	4, 29	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ₀)
31		1red 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀) → 1 ∈ ℝ)
32	8, 31, 13	ltaddsubd 11916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀) → ((𝑖 + 1) < (♯‘𝑊) ↔ 𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1)))
33	32	biimprd 251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀) → (𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1) → (𝑖 + 1) < (♯‘𝑊)))
34	33	impancom 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → (𝑖 + 1) < (♯‘𝑊)))
35	34	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → (𝑖 + 1) < (♯‘𝑊)))
36	6, 35	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → (𝑖 + 1) < (♯‘𝑊)))
37	5, 36	mpan9 516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑖 + 1) < (♯‘𝑊))
38	37	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑖 + 1) < (♯‘𝑊))
39		ccat2s1fvw 14786	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑖 + 1) < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
40	2, 30, 38, 39	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
41	40	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1)))
42	28, 41	preq12d 4702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))})
43	42	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ({(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
44	43	ralbidva 3184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
45	44	biimpd 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
46	45	impancom 457	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
47	46	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
48	47	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
49	48	com12 33	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
50	49	a1dd 51	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
51	50	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
52	51	imp31 423	. 2 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
53		ax-1 6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)))
54	53	3adant3 1150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)))
55		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
56		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 − 2) − 1))
57	56	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 − 2) − 1))
58		eluzelcn 12977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
59		2cnd 12421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 2 ∈ ℂ)
60		1cnd 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 1 ∈ ℂ)
61	58, 59, 60	subsub4d 11700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) = (𝑁 − (2 + 1)))
62		2p1e3 12484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (2 + 1) = 3
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (2 + 1) = 3)
64	63	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − (2 + 1)) = (𝑁 − 3))
65		uznn0sub 13000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 3) ∈ ℕ₀)
66	64, 65	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − (2 + 1)) ∈ ℕ₀)
67	61, 66	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) ∈ ℕ₀)
68	67	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑁 − 2) − 1) ∈ ℕ₀)
69	57, 68	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ₀)
70	69	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ₀)
71	70	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ₀)
72	5, 9	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
73	72	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
74	73	ltm1d 12249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))
75	55, 71, 74	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊)))
76	75	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))))
77	76	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))))
78	77	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))))
79	78	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊)))
80		ccat2s1fvw 14786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
81	79, 80	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
82		nn0cn 12616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
83		ax-1cn 11258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℂ
84		npcan 11566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
85	82, 83, 84	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
86	5, 85	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
87	86	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
88	87	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
89	88	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)))
90		simp1l 1216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
91		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
92		simp2l 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑉)
93		ccatw2s1p1 14784	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑋)
94	90, 91, 92, 93	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑋)
95	89, 94	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = 𝑋)
96	95	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = 𝑋)
97	81, 96	preq12d 4702	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} = {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋})
98		lsw 14709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
99	98	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
100		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊‘0) = 𝑋)
101	99, 100	preq12d 4702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋})
102	101	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋} ∈ 𝐸))
103	102	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋} ∈ 𝐸))
104	103	expcom 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋} ∈ 𝐸)))
105	104	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 → ((𝑊‘0) = 𝑋 → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋} ∈ 𝐸)))
106	105	imp31 423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋} ∈ 𝐸)
107	106	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋} ∈ 𝐸)
108	107	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋} ∈ 𝐸)
109	97, 108	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)
110	109	exp520 1376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
111	110	com14 97	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
112	111	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
113	54, 112	syld 48	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
114	113	com25 100	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
115	114	com14 97	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
116	115	3adant2 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
117	116	3imp 1128	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)))
118	117	impcom 413	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸))
119	118	imp 412	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)
120		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
121		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
122	1, 120, 121, 93	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑋)
123		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)
124		ccatw2s1p2 14785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1)) = 𝑌)
125	123, 124	mpanl2 714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1)) = 𝑌)
126	122, 125	preq12d 4702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌})
127	126	expcom 419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌}))
128	127	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌})))
129	128	com13 89	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌})))
130	129	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌})))
131	130	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌})))
132	131	com12 33	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌})))
133	132	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌})))
134	133	imp31 423	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌})
135		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸)
136	134, 135	eqeltrd 2861	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} ∈ 𝐸)
137		ovex 7453	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ V
138		fvex 6898	. . . 4 ⊢ (♯‘𝑊) ∈ V
139		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)))
140		fvoveq1 7443	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)))
141	139, 140	preq12d 4702	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))})
142	141	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → ({(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸))
143		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑊) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)))
144		fvoveq1 7443	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑊) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1)))
145	143, 144	preq12d 4702	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑊) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))})
146	145	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑊) → ({(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} ∈ 𝐸))
147	137, 138, 142, 146	ralpr 4661	. . 3 ⊢ (∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)} {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ({(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} ∈ 𝐸))
148	119, 136, 147	sylanbrc 595	. 2 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)} {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
149		ralunb 4143	. 2 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)} {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
150	52, 148, 149	sylanbrc 595	1 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ∀wral 3077 ∪ cun 3897 {cpr 4586 class class class wbr 5103 ‘cfv 6538 (class class class)co 7420 ℂcc 11198 ℝcr 11199 0cc0 11200 1c1 11201 + caddc 11203 < clt 11343 − cmin 11541 ℕcn 12335 2c2 12397 3c3 12398 ℕ₀cn0 12606 ℤ_≥cuz 12965 ..^cfzo 13788 ♯chash 14474 Word cword 14658 lastSclsw 14707 ++ cconcat 14715 ⟨“cs1 14742 Vtxcvtx 29574 Edgcedg 29625

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-rep 5232 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7751 ax-cnex 11256 ax-resscn 11257 ax-1cn 11258 ax-icn 11259 ax-addcl 11260 ax-addrcl 11261 ax-mulcl 11262 ax-mulrcl 11263 ax-mulcom 11264 ax-addass 11265 ax-mulass 11266 ax-distr 11267 ax-i2m1 11268 ax-1ne0 11269 ax-1rid 11270 ax-rnegex 11271 ax-rrecex 11272 ax-cnre 11273 ax-pre-lttri 11274 ax-pre-lttrn 11275 ax-pre-ltadd 11276 ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6304 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6494 df-fun 6540 df-fn 6541 df-f 6542 df-f1 6543 df-fo 6544 df-f1o 6545 df-fv 6546 df-riota 7377 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7878 df-1st 8001 df-2nd 8002 df-frecs 8299 df-wrecs 8330 df-recs 8379 df-rdg 8418 df-1o 8476 df-er 8717 df-en 8974 df-dom 8975 df-sdom 8976 df-fin 8977 df-card 10020 df-pnf 11345 df-mnf 11346 df-xr 11347 df-ltxr 11348 df-le 11349 df-sub 11543 df-neg 11544 df-nn 12336 df-2 12405 df-3 12406 df-n0 12607 df-z 12694 df-uz 12966 df-fz 13640 df-fzo 13789 df-hash 14475 df-word 14659 df-lsw 14708 df-concat 14716 df-s1 14743

This theorem is used by: clwwlknonex2 30700

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