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Theorem clwwlknonex2lem2 29905
Description: Lemma 2 for clwwlknonex2 29906: Transformation of a walk and two edges into a walk extended by two vertices/edges. (Contributed by AV, 22-Sep-2018.) (Revised by AV, 27-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlknonex2.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
clwwlknonex2.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
clwwlknonex2lem2 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ βˆ€π‘– ∈ ((0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) βˆͺ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1), (β™―β€˜π‘Š)}){(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝑉   𝑖,π‘Š   𝑖,𝑋   𝑖,π‘Œ
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem clwwlknonex2lem2
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ Word 𝑉)
21adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ π‘Š ∈ Word 𝑉)
3 elfzonn0 13701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
43adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
5 lencl 14507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
6 elfzo0 13697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ↔ (𝑖 ∈ β„•0 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„• ∧ 𝑖 < ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
7 nn0re 12503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
87adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
9 nn0re 12503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ)
10 peano2rem 11549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
1211adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
139adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ)
148, 12, 133jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0) β†’ (𝑖 ∈ ℝ ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ ℝ ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ))
159ltm1d 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) < (β™―β€˜π‘Š))
1615adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) < (β™―β€˜π‘Š))
17 lttr 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ ℝ ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ) β†’ ((𝑖 < ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) < (β™―β€˜π‘Š)) β†’ 𝑖 < (β™―β€˜π‘Š)))
1817expcomd 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ ℝ ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) < (β™―β€˜π‘Š) β†’ (𝑖 < ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) β†’ 𝑖 < (β™―β€˜π‘Š))))
1914, 16, 18sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0) β†’ (𝑖 < ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) β†’ 𝑖 < (β™―β€˜π‘Š)))
2019impancom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑖 < ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ 𝑖 < (β™―β€˜π‘Š)))
21203adant2 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„• ∧ 𝑖 < ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ 𝑖 < (β™―β€˜π‘Š)))
226, 21sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ 𝑖 < (β™―β€˜π‘Š)))
235, 22syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 < (β™―β€˜π‘Š)))
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 < (β™―β€˜π‘Š)))
2524imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 < (β™―β€˜π‘Š))
26 ccat2s1fvw 14612 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑖 < (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜π‘–))
272, 4, 25, 26syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜π‘–))
2827eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) = (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–))
29 peano2nn0 12534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ (𝑖 + 1) ∈ β„•0)
304, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ β„•0)
31 1red 11237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ ℝ)
328, 31, 13ltaddsubd 11836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0) β†’ ((𝑖 + 1) < (β™―β€˜π‘Š) ↔ 𝑖 < ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
3332biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0) β†’ (𝑖 < ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) β†’ (𝑖 + 1) < (β™―β€˜π‘Š)))
3433impancom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑖 < ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (𝑖 + 1) < (β™―β€˜π‘Š)))
35343adant2 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„• ∧ 𝑖 < ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (𝑖 + 1) < (β™―β€˜π‘Š)))
366, 35sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (𝑖 + 1) < (β™―β€˜π‘Š)))
375, 36mpan9 506 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) < (β™―β€˜π‘Š))
3837adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) < (β™―β€˜π‘Š))
39 ccat2s1fvw 14612 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑖 + 1) ∈ β„•0 ∧ (𝑖 + 1) < (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))
402, 30, 38, 39syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))
4140eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)) = (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1)))
4228, 41preq12d 4741 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ {(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} = {(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))})
4342eleq1d 2813 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ ({(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
4443ralbidva 3170 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
4544biimpd 228 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
4645impancom 451 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
47463adant3 1130 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
48473ad2ant1 1131 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
4948com12 32 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
5049a1dd 50 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ ({𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸 β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
51503adant3 1130 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ ({𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸 β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
5251imp31 417 . 2 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
53 ax-1 6 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ({𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸 β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)))
54533adant3 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ({𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸 β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)))
55 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2))) β†’ π‘Š ∈ Word 𝑉)
56 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = ((𝑁 βˆ’ 2) βˆ’ 1))
5756adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = ((𝑁 βˆ’ 2) βˆ’ 1))
58 eluzelcn 12856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
59 2cnd 12312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ 2 ∈ β„‚)
60 1cnd 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ 1 ∈ β„‚)
6158, 59, 60subsub4d 11624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ ((𝑁 βˆ’ 2) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ (2 + 1)))
62 2p1e3 12376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (2 + 1) = 3
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ (2 + 1) = 3)
6463oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ (𝑁 βˆ’ (2 + 1)) = (𝑁 βˆ’ 3))
65 uznn0sub 12883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ (𝑁 βˆ’ 3) ∈ β„•0)
6664, 65eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ (𝑁 βˆ’ (2 + 1)) ∈ β„•0)
6761, 66eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ ((𝑁 βˆ’ 2) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
6867adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ((𝑁 βˆ’ 2) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
6957, 68eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
7069ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
7170adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2))) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
725, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ)
7372adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2))) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ)
7473ltm1d 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2))) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) < (β™―β€˜π‘Š))
7555, 71, 743jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2))) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„•0 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) < (β™―β€˜π‘Š)))
7675ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2)) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„•0 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) < (β™―β€˜π‘Š))))
7776adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2)) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„•0 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) < (β™―β€˜π‘Š))))
78773ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2)) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„•0 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) < (β™―β€˜π‘Š))))
7978imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2))) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„•0 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) < (β™―β€˜π‘Š)))
80 ccat2s1fvw 14612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„•0 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) < (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2))) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
82 nn0cn 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚)
83 ax-1cn 11188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ β„‚
84 npcan 11491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1) = (β™―β€˜π‘Š))
8582, 83, 84sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1) = (β™―β€˜π‘Š))
865, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1) = (β™―β€˜π‘Š))
8786adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1) = (β™―β€˜π‘Š))
88873ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1) = (β™―β€˜π‘Š))
8988fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)) = (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘Š)))
90 simp1l 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ π‘Š ∈ Word 𝑉)
91 eqidd 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = (β™―β€˜π‘Š))
92 simp2l 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
93 ccatw2s1p1 14610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (β™―β€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘Š)) = 𝑋)
9490, 91, 92, 93syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘Š)) = 𝑋)
9589, 94eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)) = 𝑋)
9695adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2))) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)) = 𝑋)
9781, 96preq12d 4741 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2))) β†’ {(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))} = {(π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), 𝑋})
98 lsw 14538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (lastSβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
9998adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 ∧ π‘Š ∈ Word 𝑉) β†’ (lastSβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
100 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 ∧ π‘Š ∈ Word 𝑉) β†’ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)
10199, 100preq12d 4741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 ∧ π‘Š ∈ Word 𝑉) β†’ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} = {(π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), 𝑋})
102101eleq1d 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 ∧ π‘Š ∈ Word 𝑉) β†’ ({(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), 𝑋} ∈ 𝐸))
103102biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 ∧ π‘Š ∈ Word 𝑉) β†’ ({(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸 β†’ {(π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), 𝑋} ∈ 𝐸))
104103expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ ({(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸 β†’ {(π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), 𝑋} ∈ 𝐸)))
105104com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ ({(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸 β†’ ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ {(π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), 𝑋} ∈ 𝐸)))
106105imp31 417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ {(π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), 𝑋} ∈ 𝐸)
1071063adant2 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ {(π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), 𝑋} ∈ 𝐸)
108107adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2))) β†’ {(π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), 𝑋} ∈ 𝐸)
10997, 108eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2))) β†’ {(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))} ∈ 𝐸)
110109exp520 1355 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) β†’ {(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
111110com14 96 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) β†’ {(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
1121113ad2ant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) β†’ {(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
11354, 112syld 47 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ({𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸 β†’ ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) β†’ {(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
114113com25 99 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) β†’ ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) β†’ ({𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸 β†’ {(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
115114com14 96 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) β†’ ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ({𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸 β†’ {(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
1161153adant2 1129 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) β†’ ((π‘Šβ€˜0) = 𝑋 β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ({𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸 β†’ {(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
1171163imp 1109 . . . . 5 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ({𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸 β†’ {(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))} ∈ 𝐸)))
118117impcom 407 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) β†’ ({𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸 β†’ {(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))} ∈ 𝐸))
119118imp 406 . . 3 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ {(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))} ∈ 𝐸)
120 eqidd 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = (β™―β€˜π‘Š))
121 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
1221, 120, 121, 93syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘Š)) = 𝑋)
123 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . 14 (β™―β€˜π‘Š) = (β™―β€˜π‘Š)
124 ccatw2s1p2 14611 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (β™―β€˜π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) + 1)) = π‘Œ)
125123, 124mpanl2 700 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) + 1)) = π‘Œ)
126122, 125preq12d 4741 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ {(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘Š)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) + 1))} = {𝑋, π‘Œ})
127126expcom 413 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ {(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘Š)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) + 1))} = {𝑋, π‘Œ}))
128127a1i 11 . . . . . . . . . 10 ({𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸 β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ {(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘Š)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) + 1))} = {𝑋, π‘Œ})))
129128com13 88 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ({𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸 β†’ {(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘Š)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) + 1))} = {𝑋, π‘Œ})))
1301293ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ({𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸 β†’ {(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘Š)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) + 1))} = {𝑋, π‘Œ})))
1311303ad2ant1 1131 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ({𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸 β†’ {(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘Š)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) + 1))} = {𝑋, π‘Œ})))
132131com12 32 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ ({𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸 β†’ {(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘Š)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) + 1))} = {𝑋, π‘Œ})))
1331323adant3 1130 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋) β†’ ({𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸 β†’ {(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘Š)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) + 1))} = {𝑋, π‘Œ})))
134133imp31 417 . . . 4 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ {(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘Š)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) + 1))} = {𝑋, π‘Œ})
135 simpr 484 . . . 4 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸)
136134, 135eqeltrd 2828 . . 3 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ {(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘Š)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) + 1))} ∈ 𝐸)
137 ovex 7447 . . . 4 ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ V
138 fvex 6904 . . . 4 (β™―β€˜π‘Š) ∈ V
139 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑖 = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–) = (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
140 fvoveq1 7437 . . . . . 6 (𝑖 = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1)) = (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)))
141139, 140preq12d 4741 . . . . 5 (𝑖 = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) β†’ {(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} = {(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))})
142141eleq1d 2813 . . . 4 (𝑖 = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) β†’ ({(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))} ∈ 𝐸))
143 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑖 = (β™―β€˜π‘Š) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–) = (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘Š)))
144 fvoveq1 7437 . . . . . 6 (𝑖 = (β™―β€˜π‘Š) β†’ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1)) = (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) + 1)))
145143, 144preq12d 4741 . . . . 5 (𝑖 = (β™―β€˜π‘Š) β†’ {(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} = {(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘Š)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) + 1))})
146145eleq1d 2813 . . . 4 (𝑖 = (β™―β€˜π‘Š) β†’ ({(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘Š)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) + 1))} ∈ 𝐸))
147137, 138, 142, 146ralpr 4700 . . 3 (βˆ€π‘– ∈ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1), (β™―β€˜π‘Š)} {(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ({(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘Š)), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) + 1))} ∈ 𝐸))
148119, 136, 147sylanbrc 582 . 2 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ βˆ€π‘– ∈ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1), (β™―β€˜π‘Š)} {(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
149 ralunb 4187 . 2 (βˆ€π‘– ∈ ((0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) βˆͺ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1), (β™―β€˜π‘Š)}){(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ βˆ€π‘– ∈ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1), (β™―β€˜π‘Š)} {(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
15052, 148, 149sylanbrc 582 1 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ βˆ€π‘– ∈ ((0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) βˆͺ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1), (β™―β€˜π‘Š)}){(((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜π‘–), (((π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056   βˆͺ cun 3942  {cpr 4626   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   < clt 11270   βˆ’ cmin 11466  β„•cn 12234  2c2 12289  3c3 12290  β„•0cn0 12494  β„€β‰₯cuz 12844  ..^cfzo 13651  β™―chash 14313  Word cword 14488  lastSclsw 14536   ++ cconcat 14544  βŸ¨β€œcs1 14569  Vtxcvtx 28796  Edgcedg 28847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489  df-lsw 14537  df-concat 14545  df-s1 14570
This theorem is referenced by:  clwwlknonex2  29906
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