clwwlknonex2lem2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem clwwlknonex2lem2 30128

Description: Lemma 2 for clwwlknonex2 30129: Transformation of a walk and two edges into a walk extended by two vertices/edges. (Contributed by AV, 22-Sep-2018.) (Revised by AV, 27-Jan-2022.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
clwwlknonex2.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlknonex2.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
clwwlknonex2lem2	⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)

Distinct variable groups: 𝑖,𝐸 𝑖,𝑉 𝑖,𝑊 𝑖,𝑋 𝑖,𝑌 Allowed substitution hints: 𝐺(𝑖) 𝑁(𝑖)

**Proof of Theorem clwwlknonex2lem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
3		elfzonn0 13748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
4	3	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
5		lencl 14572	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀)
6		elfzo0 13741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1)))
7		nn0re 12537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ₀ → 𝑖 ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀) → 𝑖 ∈ ℝ)
9		nn0re 12537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
10		peano2rem 11577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
12	11	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
13	9	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
14	8, 12, 13	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
15	9	ltm1d 12201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))
16	15	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀) → ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))
17		lttr 11338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → ((𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊)) → 𝑖 < (♯‘𝑊)))
18	17	expcomd 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → (((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊) → (𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1) → 𝑖 < (♯‘𝑊))))
19	14, 16, 18	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀) → (𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1) → 𝑖 < (♯‘𝑊)))
20	19	impancom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → 𝑖 < (♯‘𝑊)))
21	20	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → 𝑖 < (♯‘𝑊)))
22	6, 21	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → 𝑖 < (♯‘𝑊)))
23	5, 22	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → 𝑖 < (♯‘𝑊)))
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → 𝑖 < (♯‘𝑊)))
25	24	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑖 < (♯‘𝑊))
26		ccat2s1fvw 14677	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
27	2, 4, 25, 26	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
28	27	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊‘𝑖) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖))
29		peano2nn0 12568	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ₀ → (𝑖 + 1) ∈ ℕ₀)
30	4, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ₀)
31		1red 11263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀) → 1 ∈ ℝ)
32	8, 31, 13	ltaddsubd 11864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀) → ((𝑖 + 1) < (♯‘𝑊) ↔ 𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1)))
33	32	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀) → (𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1) → (𝑖 + 1) < (♯‘𝑊)))
34	33	impancom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → (𝑖 + 1) < (♯‘𝑊)))
35	34	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < ((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → (𝑖 + 1) < (♯‘𝑊)))
36	6, 35	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → (𝑖 + 1) < (♯‘𝑊)))
37	5, 36	mpan9 506	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑖 + 1) < (♯‘𝑊))
38	37	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑖 + 1) < (♯‘𝑊))
39		ccat2s1fvw 14677	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑖 + 1) < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
40	2, 30, 38, 39	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
41	40	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1)))
42	28, 41	preq12d 4740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))})
43	42	eleq1d 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ({(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
44	43	ralbidva 3175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
45	44	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
46	45	impancom 451	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
47	46	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
48	47	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
49	48	com12 32	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
50	49	a1dd 50	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
51	50	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
52	51	imp31 417	. 2 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
53		ax-1 6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)))
54	53	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)))
55		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
56		oveq1 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 − 2) − 1))
57	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 − 2) − 1))
58		eluzelcn 12891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
59		2cnd 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 2 ∈ ℂ)
60		1cnd 11257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 1 ∈ ℂ)
61	58, 59, 60	subsub4d 11652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) = (𝑁 − (2 + 1)))
62		2p1e3 12409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (2 + 1) = 3
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (2 + 1) = 3)
64	63	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − (2 + 1)) = (𝑁 − 3))
65		uznn0sub 12918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 3) ∈ ℕ₀)
66	64, 65	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − (2 + 1)) ∈ ℕ₀)
67	61, 66	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) ∈ ℕ₀)
68	67	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑁 − 2) − 1) ∈ ℕ₀)
69	57, 68	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ₀)
70	69	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ₀)
71	70	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ₀)
72	5, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
73	72	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
74	73	ltm1d 12201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))
75	55, 71, 74	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊)))
76	75	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))))
77	76	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))))
78	77	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))))
79	78	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊)))
80		ccat2s1fvw 14677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
82		nn0cn 12538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
83		ax-1cn 11214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℂ
84		npcan 11518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
85	82, 83, 84	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
86	5, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
87	86	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
88	87	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
89	88	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)))
90		simp1l 1197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
91		eqidd 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
92		simp2l 1199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑉)
93		ccatw2s1p1 14675	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑋)
94	90, 91, 92, 93	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑋)
95	89, 94	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = 𝑋)
96	95	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = 𝑋)
97	81, 96	preq12d 4740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} = {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋})
98		lsw 14603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
99	98	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
100		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊‘0) = 𝑋)
101	99, 100	preq12d 4740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋})
102	101	eleq1d 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋} ∈ 𝐸))
103	102	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋} ∈ 𝐸))
104	103	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋} ∈ 𝐸)))
105	104	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 → ((𝑊‘0) = 𝑋 → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋} ∈ 𝐸)))
106	105	imp31 417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋} ∈ 𝐸)
107	106	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋} ∈ 𝐸)
108	107	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), 𝑋} ∈ 𝐸)
109	97, 108	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)
110	109	exp520 1357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
111	110	com14 96	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
112	111	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
113	54, 112	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
114	113	com25 99	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
115	114	com14 96	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
116	115	3adant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)))))
117	116	3imp 1110	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)))
118	117	impcom 407	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸))
119	118	imp 406	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸)
120		eqidd 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
121		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
122	1, 120, 121, 93	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑋)
123		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)
124		ccatw2s1p2 14676	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1)) = 𝑌)
125	123, 124	mpanl2 701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1)) = 𝑌)
126	122, 125	preq12d 4740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌})
127	126	expcom 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌}))
128	127	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌})))
129	128	com13 88	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌})))
130	129	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌})))
131	130	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌})))
132	131	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌})))
133	132	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌})))
134	133	imp31 417	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} = {𝑋, 𝑌})
135		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸)
136	134, 135	eqeltrd 2840	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} ∈ 𝐸)
137		ovex 7465	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ V
138		fvex 6918	. . . 4 ⊢ (♯‘𝑊) ∈ V
139		fveq2 6905	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)))
140		fvoveq1 7455	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)))
141	139, 140	preq12d 4740	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))})
142	141	eleq1d 2825	. . . 4 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → ({(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸))
143		fveq2 6905	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑊) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)))
144		fvoveq1 7455	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑊) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1)))
145	143, 144	preq12d 4740	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑊) → {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))})
146	145	eleq1d 2825	. . . 4 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑊) → ({(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} ∈ 𝐸))
147	137, 138, 142, 146	ralpr 4699	. . 3 ⊢ (∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)} {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ({(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(♯‘𝑊)), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((♯‘𝑊) + 1))} ∈ 𝐸))
148	119, 136, 147	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)} {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
149		ralunb 4196	. 2 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)} {(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
150	52, 148, 149	sylanbrc 583	1 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)}){(((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑖), (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1539 ∈ wcel 2107 ∀wral 3060 ∪ cun 3948 {cpr 4627 class class class wbr 5142 ‘cfv 6560 (class class class)co 7432 ℂcc 11154 ℝcr 11155 0cc0 11156 1c1 11157 + caddc 11159 < clt 11296 − cmin 11493 ℕcn 12267 2c2 12322 3c3 12323 ℕ₀cn0 12528 ℤ_≥cuz 12879 ..^cfzo 13695 ♯chash 14370 Word cword 14553 lastSclsw 14601 ++ cconcat 14609 ⟨“cs1 14634 Vtxcvtx 29014 Edgcedg 29065

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1794 ax-4 1808 ax-5 1909 ax-6 1966 ax-7 2006 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2140 ax-11 2156 ax-12 2176 ax-ext 2707 ax-rep 5278 ax-sep 5295 ax-nul 5305 ax-pow 5364 ax-pr 5431 ax-un 7756 ax-cnex 11212 ax-resscn 11213 ax-1cn 11214 ax-icn 11215 ax-addcl 11216 ax-addrcl 11217 ax-mulcl 11218 ax-mulrcl 11219 ax-mulcom 11220 ax-addass 11221 ax-mulass 11222 ax-distr 11223 ax-i2m1 11224 ax-1ne0 11225 ax-1rid 11226 ax-rnegex 11227 ax-rrecex 11228 ax-cnre 11229 ax-pre-lttri 11230 ax-pre-lttrn 11231 ax-pre-ltadd 11232 ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1779 df-nf 1783 df-sb 2064 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2815 df-nfc 2891 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-reu 3380 df-rab 3436 df-v 3481 df-sbc 3788 df-csb 3899 df-dif 3953 df-un 3955 df-in 3957 df-ss 3967 df-pss 3970 df-nul 4333 df-if 4525 df-pw 4601 df-sn 4626 df-pr 4628 df-op 4632 df-uni 4907 df-int 4946 df-iun 4992 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5577 df-eprel 5583 df-po 5591 df-so 5592 df-fr 5636 df-we 5638 df-xp 5690 df-rel 5691 df-cnv 5692 df-co 5693 df-dm 5694 df-rn 5695 df-res 5696 df-ima 5697 df-pred 6320 df-ord 6386 df-on 6387 df-lim 6388 df-suc 6389 df-iota 6513 df-fun 6562 df-fn 6563 df-f 6564 df-f1 6565 df-fo 6566 df-f1o 6567 df-fv 6568 df-riota 7389 df-ov 7435 df-oprab 7436 df-mpo 7437 df-om 7889 df-1st 8015 df-2nd 8016 df-frecs 8307 df-wrecs 8338 df-recs 8412 df-rdg 8451 df-1o 8507 df-er 8746 df-en 8987 df-dom 8988 df-sdom 8989 df-fin 8990 df-card 9980 df-pnf 11298 df-mnf 11299 df-xr 11300 df-ltxr 11301 df-le 11302 df-sub 11495 df-neg 11496 df-nn 12268 df-2 12330 df-3 12331 df-n0 12529 df-z 12616 df-uz 12880 df-fz 13549 df-fzo 13696 df-hash 14371 df-word 14554 df-lsw 14602 df-concat 14610 df-s1 14635

This theorem is referenced by: clwwlknonex2 30129

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