MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlknlsw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlknlsw 27611
Description: If a word represents a walk of a fixed length, then the last symbol of the word is the endvertex of the walk. (Contributed by AV, 8-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
wwlknlsw (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑊𝑁) = (lastS‘𝑊))

Proof of Theorem wwlknlsw
StepHypRef Expression
1 wwlknbp1 27608 . 2 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
2 lsw 13895 . . . 4 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
323ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
4 oveq1 7137 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
543ad2ant3 1132 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
6 nn0cn 11885 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
7 pncan1 11041 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
983ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
105, 9eqtrd 2856 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁)
1110fveq2d 6647 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊𝑁))
123, 11eqtr2d 2857 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑊𝑁) = (lastS‘𝑊))
131, 12syl 17 1 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑊𝑁) = (lastS‘𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6328  (class class class)co 7130  cc 10512  1c1 10515   + caddc 10517  cmin 10847  0cn0 11875  chash 13674  Word cword 13845  lastSclsw 13893  Vtxcvtx 26767   WWalksN cwwlksn 27590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-hash 13675  df-word 13846  df-lsw 13894  df-wwlks 27594  df-wwlksn 27595
This theorem is referenced by:  clwwlknclwwlkdif  27742  numclwwlkqhash  28138
  Copyright terms: Public domain W3C validator