Theorem lsws2 13993

Description: The last symbol of a doubleton word is its second symbol. (Contributed by AV, 8-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lsws2	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (lastS‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 𝐵)

Proof of Theorem lsws2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s2cli 13969	. . 3 ⊢ ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word V
2		lsw 13588	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word V → (lastS‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = (⟨“𝐴𝐵”⟩‘((♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) − 1)))
3	1, 2	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (lastS‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = (⟨“𝐴𝐵”⟩‘((♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) − 1)))
4		s2len 13978	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
5	4	oveq1i 6892	. . . . 5 ⊢ ((♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) − 1) = (2 − 1)
6		2m1e1 11450	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) = 1
7	5, 6	eqtri 2825	. . . 4 ⊢ ((♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) − 1) = 1
8	7	fveq2i 6418	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩‘((♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) − 1)) = (⟨“𝐴𝐵”⟩‘1)
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘((♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) − 1)) = (⟨“𝐴𝐵”⟩‘1))
10		s2fv1 13977	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘1) = 𝐵)
11	3, 9, 10	3eqtrd 2841	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (lastS‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  Vcvv 3389  ‘cfv 6105  (class class class)co 6882  1c1 10229   − cmin 10560  2c2 11372  ♯chash 13374  Word cword 13538  lastSclsw 13586  ⟨“cs2 13930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2379  ax-ext 2781  ax-rep 4968  ax-sep 4979  ax-nul 4987  ax-pow 5039  ax-pr 5101  ax-un 7187  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2593  df-eu 2611  df-clab 2790  df-cleq 2796  df-clel 2799  df-nfc 2934  df-ne 2976  df-nel 3079  df-ral 3098  df-rex 3099  df-reu 3100  df-rab 3102  df-v 3391  df-sbc 3638  df-csb 3733  df-dif 3776  df-un 3778  df-in 3780  df-ss 3787  df-pss 3789  df-nul 4120  df-if 4282  df-pw 4355  df-sn 4373  df-pr 4375  df-tp 4377  df-op 4379  df-uni 4633  df-int 4672  df-iun 4716  df-br 4848  df-opab 4910  df-mpt 4927  df-tr 4950  df-id 5224  df-eprel 5229  df-po 5237  df-so 5238  df-fr 5275  df-we 5277  df-xp 5322  df-rel 5323  df-cnv 5324  df-co 5325  df-dm 5326  df-rn 5327  df-res 5328  df-ima 5329  df-pred 5902  df-ord 5948  df-on 5949  df-lim 5950  df-suc 5951  df-iota 6068  df-fun 6107  df-fn 6108  df-f 6109  df-f1 6110  df-fo 6111  df-f1o 6112  df-fv 6113  df-riota 6843  df-ov 6885  df-oprab 6886  df-mpt2 6887  df-om 7304  df-1st 7405  df-2nd 7406  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-1o 7803  df-oadd 7807  df-er 7986  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-fin 8203  df-card 9055  df-pnf 10369  df-mnf 10370  df-xr 10371  df-ltxr 10372  df-le 10373  df-sub 10562  df-neg 10563  df-nn 11317  df-2 11380  df-n0 11585  df-z 11671  df-uz 11935  df-fz 12585  df-fzo 12725  df-hash 13375  df-word 13539  df-lsw 13587  df-concat 13595  df-s1 13620  df-s2 13937

This theorem is referenced by: (None)