MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsws2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsws2 13993
Description: The last symbol of a doubleton word is its second symbol. (Contributed by AV, 8-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
lsws2 (𝐵𝑉 → (lastS‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 𝐵)

Proof of Theorem lsws2
StepHypRef Expression
1 s2cli 13969 . . 3 ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word V
2 lsw 13588 . . 3 (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word V → (lastS‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = (⟨“𝐴𝐵”⟩‘((♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) − 1)))
31, 2mp1i 13 . 2 (𝐵𝑉 → (lastS‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = (⟨“𝐴𝐵”⟩‘((♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) − 1)))
4 s2len 13978 . . . . . 6 (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
54oveq1i 6892 . . . . 5 ((♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) − 1) = (2 − 1)
6 2m1e1 11450 . . . . 5 (2 − 1) = 1
75, 6eqtri 2825 . . . 4 ((♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) − 1) = 1
87fveq2i 6418 . . 3 (⟨“𝐴𝐵”⟩‘((♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) − 1)) = (⟨“𝐴𝐵”⟩‘1)
98a1i 11 . 2 (𝐵𝑉 → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘((♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) − 1)) = (⟨“𝐴𝐵”⟩‘1))
10 s2fv1 13977 . 2 (𝐵𝑉 → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘1) = 𝐵)
113, 9, 103eqtrd 2841 1 (𝐵𝑉 → (lastS‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1653  wcel 2157  Vcvv 3389  cfv 6105  (class class class)co 6882  1c1 10229  cmin 10560  2c2 11372  chash 13374  Word cword 13538  lastSclsw 13586  ⟨“cs2 13930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2379  ax-ext 2781  ax-rep 4968  ax-sep 4979  ax-nul 4987  ax-pow 5039  ax-pr 5101  ax-un 7187  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2593  df-eu 2611  df-clab 2790  df-cleq 2796  df-clel 2799  df-nfc 2934  df-ne 2976  df-nel 3079  df-ral 3098  df-rex 3099  df-reu 3100  df-rab 3102  df-v 3391  df-sbc 3638  df-csb 3733  df-dif 3776  df-un 3778  df-in 3780  df-ss 3787  df-pss 3789  df-nul 4120  df-if 4282  df-pw 4355  df-sn 4373  df-pr 4375  df-tp 4377  df-op 4379  df-uni 4633  df-int 4672  df-iun 4716  df-br 4848  df-opab 4910  df-mpt 4927  df-tr 4950  df-id 5224  df-eprel 5229  df-po 5237  df-so 5238  df-fr 5275  df-we 5277  df-xp 5322  df-rel 5323  df-cnv 5324  df-co 5325  df-dm 5326  df-rn 5327  df-res 5328  df-ima 5329  df-pred 5902  df-ord 5948  df-on 5949  df-lim 5950  df-suc 5951  df-iota 6068  df-fun 6107  df-fn 6108  df-f 6109  df-f1 6110  df-fo 6111  df-f1o 6112  df-fv 6113  df-riota 6843  df-ov 6885  df-oprab 6886  df-mpt2 6887  df-om 7304  df-1st 7405  df-2nd 7406  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-1o 7803  df-oadd 7807  df-er 7986  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-fin 8203  df-card 9055  df-pnf 10369  df-mnf 10370  df-xr 10371  df-ltxr 10372  df-le 10373  df-sub 10562  df-neg 10563  df-nn 11317  df-2 11380  df-n0 11585  df-z 11671  df-uz 11935  df-fz 12585  df-fzo 12725  df-hash 13375  df-word 13539  df-lsw 13587  df-concat 13595  df-s1 13620  df-s2 13937
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator