Theorem wwlksnextproplem2 29841

Description: Lemma 2 for wwlksnextprop 29843. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.) (Revised by AV, 29-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
wwlksnextprop.x	⊢ 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
wwlksnextprop.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wwlksnextproplem2	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸)

Proof of Theorem wwlksnextproplem2

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		wwlksnextprop.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	wwlknp 29774	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
4		fzonn0p1 13757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
5	4	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
6		fveq2 6893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘𝑁))
7		fvoveq1 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))
8	6, 7	preq12d 4740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))})
9	8	eleq1d 2811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ({(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑊‘𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
10	9	rspcv 3603	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {(𝑊‘𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
11	5, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {(𝑊‘𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
12	11	imp 405	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → {(𝑊‘𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸)
13		simpll 765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
14		1zzd 12639	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℤ)
15		lencl 14536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
16	15	nn0zd 12630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
17	16	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
18		peano2nn0 12558	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
19	18	nn0zd 12630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
20	19	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
21		nn0ge0 12543	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
22		1red 11256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
23		nn0re 12527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
24	22, 23	addge02d 11844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 + 1)))
25	21, 24	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (𝑁 + 1))
26	25	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (𝑁 + 1))
27	18	nn0red 12579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
28	27	lep1d 12191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
29		breq2 5149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
30	28, 29	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊)))
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊))))
32	31	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊))))
33	15, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊))))
34	33	imp31 416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊))
35	14, 17, 20, 26, 34	elfzd 13540	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊)))
36		pfxfvlsw 14698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑊‘((𝑁 + 1) − 1)))
37	13, 35, 36	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑊‘((𝑁 + 1) − 1)))
38		nn0cn 12528	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
39		1cnd 11250	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
40	38, 39	pncand 11613	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
41	40	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊‘((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑊‘𝑁))
42	41	adantl 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊‘((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑊‘𝑁))
43	37, 42	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑊‘𝑁))
44		lsw 14567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
45	44	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
46		fvoveq1 7439	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(((𝑁 + 1) + 1) − 1)))
47	46	adantl 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(((𝑁 + 1) + 1) − 1)))
48	18	nn0cnd 12580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
49	48, 39	pncand 11613	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
50	49	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊‘(((𝑁 + 1) + 1) − 1)) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))
51	47, 50	sylan9eq 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))
52	45, 51	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))
53	43, 52	preq12d 4740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} = {(𝑊‘𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))})
54	53	eleq1d 2811	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ({(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑊‘𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
55	54	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → ({(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑊‘𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
56	12, 55	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸)
57	56	exp31 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸)))
58	57	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → (𝑁 ∈ ℕ0 → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸)))
59	58	3impia 1114	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ ℕ0 → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸))
60	3, 59	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸))
61		wwlksnextprop.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
62	60, 61	eleq2s 2844	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑁 ∈ ℕ0 → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸))
63	62	imp 405	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  {cpr 4625   class class class wbr 5145  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  0cc0 11149  1c1 11150   + caddc 11152   ≤ cle 11290   − cmin 11485  ℕ₀cn0 12518  ℤcz 12604  ...cfz 13532  ..^cfzo 13675  ♯chash 14342  Word cword 14517  lastSclsw 14565   prefix cpfx 14673  Vtxcvtx 28929  Edgcedg 28980   WWalksN cwwlksn 29757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8726  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-hash 14343  df-word 14518  df-lsw 14566  df-substr 14644  df-pfx 14674  df-wwlks 29761  df-wwlksn 29762

This theorem is referenced by:  wwlksnextprop  29843