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Theorem wwlksnextproplem2 27401
Description: Lemma 2 for wwlksnextprop 27405. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.) (Revised by AV, 29-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
wwlksnextprop.x 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
wwlksnextprop.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wwlksnextproplem2 ((𝑊𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸)

Proof of Theorem wwlksnextproplem2
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2772 . . . . 5 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2 wwlksnextprop.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 2wwlknp 27319 . . . 4 (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
4 fzonn0p1 12922 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
54adantl 474 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
6 fveq2 6493 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑁 → (𝑊𝑖) = (𝑊𝑁))
7 fvoveq1 6993 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑁 → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))
86, 7preq12d 4545 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑁 → {(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))})
98eleq1d 2844 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑁 → ({(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑊𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
109rspcv 3525 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {(𝑊𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
115, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {(𝑊𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
1211imp 398 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → {(𝑊𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸)
13 simpll 754 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
14 1zzd 11819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℤ)
15 lencl 13684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
1615nn0zd 11891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
1716ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
18 peano2nn0 11742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
1918nn0zd 11891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
2019adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
2114, 17, 203jca 1108 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ))
22 nn0ge0 11727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
23 1red 10432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
24 nn0re 11710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
2523, 24addge02d 11022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 + 1)))
2622, 25mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (𝑁 + 1))
2726adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (𝑁 + 1))
2818nn0red 11761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
2928lep1d 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
30 breq2 4927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
3129, 30syl5ibrcom 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊)))
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊))))
3332com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊))))
3415, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊))))
3534imp31 410 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊))
3627, 35jca 504 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊)))
37 elfz2 12708 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊)) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊))))
3821, 36, 37sylanbrc 575 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊)))
39 pfxfvlsw 13867 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑊‘((𝑁 + 1) − 1)))
4013, 38, 39syl2anc 576 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑊‘((𝑁 + 1) − 1)))
41 nn0cn 11711 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
42 1cnd 10426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
4341, 42pncand 10791 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
4443fveq2d 6497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊‘((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑊𝑁))
4544adantl 474 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊‘((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑊𝑁))
4640, 45eqtrd 2808 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑊𝑁))
47 lsw 13717 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
4847ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
49 fvoveq1 6993 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(((𝑁 + 1) + 1) − 1)))
5049adantl 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(((𝑁 + 1) + 1) − 1)))
5118nn0cnd 11762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
5251, 42pncand 10791 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
5352fveq2d 6497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊‘(((𝑁 + 1) + 1) − 1)) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))
5450, 53sylan9eq 2828 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))
5548, 54eqtrd 2808 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))
5646, 55preq12d 4545 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} = {(𝑊𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))})
5756eleq1d 2844 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ({(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑊𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
5857adantr 473 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → ({(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑊𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
5912, 58mpbird 249 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸)
6059exp31 412 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸)))
6160com23 86 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → (𝑁 ∈ ℕ0 → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸)))
62613impia 1097 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ ℕ0 → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸))
633, 62syl 17 . . 3 (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸))
64 wwlksnextprop.x . . 3 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
6563, 64eleq2s 2878 . 2 (𝑊𝑋 → (𝑁 ∈ ℕ0 → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸))
6665imp 398 1 ((𝑊𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2048  wral 3082  {cpr 4437   class class class wbr 4923  cfv 6182  (class class class)co 6970  0cc0 10327  1c1 10328   + caddc 10330  cle 10467  cmin 10662  0cn0 11700  cz 11786  ...cfz 12701  ..^cfzo 12842  chash 13498  Word cword 13662  lastSclsw 13715   prefix cpfx 13842  Vtxcvtx 26474  Edgcedg 26525   WWalksN cwwlksn 27302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-card 9154  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-hash 13499  df-word 13663  df-lsw 13716  df-substr 13794  df-pfx 13843  df-wwlks 27306  df-wwlksn 27307
This theorem is referenced by:  wwlksnextprop  27405
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