Theorem wwlksnextproplem2 30514

Description: Lemma 2 for wwlksnextprop 30516. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.) (Revised by AV, 29-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
wwlksnextprop.x	⊢ 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
wwlksnextprop.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wwlksnextproplem2	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸)

Proof of Theorem wwlksnextproplem2

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		wwlksnextprop.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	wwlknp 30447	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
4		fzonn0p1 13890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
5	4	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
6		fveq2 6896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘𝑁))
7		fvoveq1 7453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))
8	6, 7	preq12d 4702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))})
9	8	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ({(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑊‘𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
10	9	rspcv 3576	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {(𝑊‘𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
11	5, 10	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {(𝑊‘𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
12	11	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → {(𝑊‘𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸)
13		simpll 779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
14		1zzd 12740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℤ)
15		lencl 14691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
16	15	nn0zd 12731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
17	16	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
18		peano2nn0 12659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
19	18	nn0zd 12731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
20	19	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
21		nn0ge0 12644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
22		1red 11322	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
23		nn0re 12628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
24	22, 23	addge02d 11918	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 + 1)))
25	21, 24	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (𝑁 + 1))
26	25	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (𝑁 + 1))
27	18	nn0red 12681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
28	27	lep1d 12261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
29		breq2 5110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
30	28, 29	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊)))
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊))))
32	31	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊))))
33	15, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊))))
34	33	imp31 423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊))
35	14, 17, 20, 26, 34	elfzd 13660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊)))
36		pfxfvlsw 14858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑊‘((𝑁 + 1) − 1)))
37	13, 35, 36	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑊‘((𝑁 + 1) − 1)))
38		nn0cn 12629	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
39		1cnd 11315	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
40	38, 39	pncand 11683	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
41	40	fveq2d 6900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊‘((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑊‘𝑁))
42	41	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊‘((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑊‘𝑁))
43	37, 42	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑊‘𝑁))
44		lsw 14722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
45	44	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
46		fvoveq1 7453	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(((𝑁 + 1) + 1) − 1)))
47	46	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(((𝑁 + 1) + 1) − 1)))
48	18	nn0cnd 12682	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
49	48, 39	pncand 11683	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
50	49	fveq2d 6900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊‘(((𝑁 + 1) + 1) − 1)) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))
51	47, 50	sylan9eq 2818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))
52	45, 51	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))
53	43, 52	preq12d 4702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} = {(𝑊‘𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))})
54	53	eleq1d 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ({(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑊‘𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
55	54	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → ({(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑊‘𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
56	12, 55	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸)
57	56	exp31 425	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸)))
58	57	com23 87	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → (𝑁 ∈ ℕ0 → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸)))
59	58	3impia 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ ℕ0 → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸))
60	3, 59	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸))
61		wwlksnextprop.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
62	60, 61	eleq2s 2882	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑁 ∈ ℕ0 → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸))
63	62	imp 412	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3080  {cpr 4590   class class class wbr 5106  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  0cc0 11213  1c1 11214   + caddc 11216   ≤ cle 11357   − cmin 11554  ℕ₀cn0 12619  ℤcz 12706  ...cfz 13652  ..^cfzo 13801  ♯chash 14487  Word cword 14671  lastSclsw 14720   prefix cpfx 14834  Vtxcvtx 29589  Edgcedg 29640   WWalksN cwwlksn 30430

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-hash 14488  df-word 14672  df-lsw 14721  df-substr 14803  df-pfx 14835  df-wwlks 30434  df-wwlksn 30435

This theorem is used by:  wwlksnextprop  30516