Theorem wwlksnextproplem2 29978

Description: Lemma 2 for wwlksnextprop 29980. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.) (Revised by AV, 29-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
wwlksnextprop.x	⊢ 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
wwlksnextprop.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wwlksnextproplem2	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸)

Proof of Theorem wwlksnextproplem2

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		wwlksnextprop.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	wwlknp 29911	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
4		fzonn0p1 13697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
5	4	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
6		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘𝑁))
7		fvoveq1 7390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))
8	6, 7	preq12d 4685	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))})
9	8	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ({(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑊‘𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
10	9	rspcv 3560	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {(𝑊‘𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
11	5, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {(𝑊‘𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
12	11	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → {(𝑊‘𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸)
13		simpll 767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
14		1zzd 12558	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℤ)
15		lencl 14495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
16	15	nn0zd 12549	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
17	16	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
18		peano2nn0 12477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
19	18	nn0zd 12549	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
21		nn0ge0 12462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
22		1red 11145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
23		nn0re 12446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
24	22, 23	addge02d 11739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 + 1)))
25	21, 24	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (𝑁 + 1))
26	25	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (𝑁 + 1))
27	18	nn0red 12499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
28	27	lep1d 12087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
29		breq2 5089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
30	28, 29	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊)))
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊))))
32	31	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊))))
33	15, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊))))
34	33	imp31 417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊))
35	14, 17, 20, 26, 34	elfzd 13469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊)))
36		pfxfvlsw 14657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑊‘((𝑁 + 1) − 1)))
37	13, 35, 36	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑊‘((𝑁 + 1) − 1)))
38		nn0cn 12447	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
39		1cnd 11139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
40	38, 39	pncand 11506	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
41	40	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊‘((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑊‘𝑁))
42	41	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊‘((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑊‘𝑁))
43	37, 42	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑊‘𝑁))
44		lsw 14526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
45	44	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
46		fvoveq1 7390	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(((𝑁 + 1) + 1) − 1)))
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(((𝑁 + 1) + 1) − 1)))
48	18	nn0cnd 12500	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
49	48, 39	pncand 11506	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
50	49	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊‘(((𝑁 + 1) + 1) − 1)) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))
51	47, 50	sylan9eq 2791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))
52	45, 51	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))
53	43, 52	preq12d 4685	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} = {(𝑊‘𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))})
54	53	eleq1d 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ({(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑊‘𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
55	54	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → ({(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑊‘𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
56	12, 55	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸)
57	56	exp31 419	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸)))
58	57	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → (𝑁 ∈ ℕ0 → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸)))
59	58	3impia 1118	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ ℕ0 → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸))
60	3, 59	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸))
61		wwlksnextprop.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
62	60, 61	eleq2s 2854	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑁 ∈ ℕ0 → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸))
63	62	imp 406	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  {cpr 4569   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   ≤ cle 11180   − cmin 11377  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ...cfz 13461  ..^cfzo 13608  ♯chash 14292  Word cword 14475  lastSclsw 14524   prefix cpfx 14633  Vtxcvtx 29065  Edgcedg 29116   WWalksN cwwlksn 29894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-lsw 14525  df-substr 14604  df-pfx 14634  df-wwlks 29898  df-wwlksn 29899

This theorem is referenced by:  wwlksnextprop  29980