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Theorem wwlksnextproplem2 29429
Description: Lemma 2 for wwlksnextprop 29431. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.) (Revised by AV, 29-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
wwlksnextprop.x 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
wwlksnextprop.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
wwlksnextproplem2 ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ {(lastSβ€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))), (lastSβ€˜π‘Š)} ∈ 𝐸)
Proof of Theorem wwlksnextproplem2
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2730 . . . . 5 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
2 wwlksnextprop.e . . . . 5 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
31, 2wwlknp 29362 . . . 4 (π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
4 fzonn0p1 13715 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
54adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
6 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑁 β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜π‘))
7 fvoveq1 7436 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑁 β†’ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)) = (π‘Šβ€˜(𝑁 + 1)))
86, 7preq12d 4746 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑁 β†’ {(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} = {(π‘Šβ€˜π‘), (π‘Šβ€˜(𝑁 + 1))})
98eleq1d 2816 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑁 β†’ ({(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘Šβ€˜π‘), (π‘Šβ€˜(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
109rspcv 3609 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 β†’ {(π‘Šβ€˜π‘), (π‘Šβ€˜(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
115, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 β†’ {(π‘Šβ€˜π‘), (π‘Šβ€˜(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
1211imp 405 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) β†’ {(π‘Šβ€˜π‘), (π‘Šβ€˜(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸)
13 simpll 763 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
14 1zzd 12599 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„€)
15 lencl 14489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
1615nn0zd 12590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€)
1716ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€)
18 peano2nn0 12518 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
1918nn0zd 12590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
2019adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
21 nn0ge0 12503 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ 𝑁)
22 1red 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ ℝ)
23 nn0re 12487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
2422, 23addge02d 11809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (0 ≀ 𝑁 ↔ 1 ≀ (𝑁 + 1)))
2521, 24mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 1 ≀ (𝑁 + 1))
2625adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 1 ≀ (𝑁 + 1))
2718nn0red 12539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
2827lep1d 12151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ≀ ((𝑁 + 1) + 1))
29 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ ((𝑁 + 1) ≀ (β™―β€˜π‘Š) ↔ (𝑁 + 1) ≀ ((𝑁 + 1) + 1)))
3028, 29syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (𝑁 + 1) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (𝑁 + 1) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))
3231com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))
3315, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))
3433imp31 416 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) ≀ (β™―β€˜π‘Š))
3514, 17, 20, 26, 34elfzd 13498 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š)))
36 pfxfvlsw 14651 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (lastSβ€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) = (π‘Šβ€˜((𝑁 + 1) βˆ’ 1)))
3713, 35, 36syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (lastSβ€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) = (π‘Šβ€˜((𝑁 + 1) βˆ’ 1)))
38 nn0cn 12488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
39 1cnd 11215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ β„‚)
4038, 39pncand 11578 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
4140fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Šβ€˜((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) = (π‘Šβ€˜π‘))
4241adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Šβ€˜((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) = (π‘Šβ€˜π‘))
4337, 42eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (lastSβ€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) = (π‘Šβ€˜π‘))
44 lsw 14520 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (lastSβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
4544ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (lastSβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
46 fvoveq1 7436 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = (π‘Šβ€˜(((𝑁 + 1) + 1) βˆ’ 1)))
4746adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) β†’ (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = (π‘Šβ€˜(((𝑁 + 1) + 1) βˆ’ 1)))
4818nn0cnd 12540 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„‚)
4948, 39pncand 11578 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (((𝑁 + 1) + 1) βˆ’ 1) = (𝑁 + 1))
5049fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Šβ€˜(((𝑁 + 1) + 1) βˆ’ 1)) = (π‘Šβ€˜(𝑁 + 1)))
5147, 50sylan9eq 2790 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = (π‘Šβ€˜(𝑁 + 1)))
5245, 51eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (lastSβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜(𝑁 + 1)))
5343, 52preq12d 4746 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ {(lastSβ€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))), (lastSβ€˜π‘Š)} = {(π‘Šβ€˜π‘), (π‘Šβ€˜(𝑁 + 1))})
5453eleq1d 2816 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ({(lastSβ€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))), (lastSβ€˜π‘Š)} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘Šβ€˜π‘), (π‘Šβ€˜(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
5554adantr 479 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) β†’ ({(lastSβ€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))), (lastSβ€˜π‘Š)} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘Šβ€˜π‘), (π‘Šβ€˜(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
5612, 55mpbird 256 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) β†’ {(lastSβ€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))), (lastSβ€˜π‘Š)} ∈ 𝐸)
5756exp31 418 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 β†’ {(lastSβ€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))), (lastSβ€˜π‘Š)} ∈ 𝐸)))
5857com23 86 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ {(lastSβ€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))), (lastSβ€˜π‘Š)} ∈ 𝐸)))
59583impia 1115 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ {(lastSβ€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))), (lastSβ€˜π‘Š)} ∈ 𝐸))
603, 59syl 17 . . 3 (π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ {(lastSβ€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))), (lastSβ€˜π‘Š)} ∈ 𝐸))
61 wwlksnextprop.x . . 3 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
6260, 61eleq2s 2849 . 2 (π‘Š ∈ 𝑋 β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ {(lastSβ€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))), (lastSβ€˜π‘Š)} ∈ 𝐸))
6362imp 405 1 ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ {(lastSβ€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))), (lastSβ€˜π‘Š)} ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  {cpr 4631   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   ≀ cle 11255   βˆ’ cmin 11450  β„•0cn0 12478  β„€cz 12564  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633  β™―chash 14296  Word cword 14470  lastSclsw 14518   prefix cpfx 14626  Vtxcvtx 28521  Edgcedg 28572   WWalksN cwwlksn 29345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14297  df-word 14471  df-lsw 14519  df-substr 14597  df-pfx 14627  df-wwlks 29349  df-wwlksn 29350
This theorem is referenced by:  wwlksnextprop  29431
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