Theorem swrd2lsw 14905

Description: Extract the last two symbols from a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
swrd2lsw	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩)

Proof of Theorem swrd2lsw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		lencl 14486	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
3		1z 12548	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		nn0z 12539	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
5		zltp1le 12568	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) → (1 < (♯‘𝑊) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑊)))
6	3, 4, 5	sylancr 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑊) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑊)))
7		1p1e2 12292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + 1) = 2
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 + 1) = 2)
9	8	breq1d 5082	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((1 + 1) ≤ (♯‘𝑊) ↔ 2 ≤ (♯‘𝑊)))
10	9	biimpd 230	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((1 + 1) ≤ (♯‘𝑊) → 2 ≤ (♯‘𝑊)))
11	6, 10	sylbid 241	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑊) → 2 ≤ (♯‘𝑊)))
12	11	imp 407	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
13		2nn0 12445	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14	13	jctl 528	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
15	14	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
16		nn0sub 12478	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (2 ≤ (♯‘𝑊) ↔ ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0))
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (2 ≤ (♯‘𝑊) ↔ ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0))
18	12, 17	mpbid 233	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0)
19	2, 18	sylan 586	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0)
20		0red 11138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
21		1red 11136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
22		zre 12519	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
23	20, 21, 22	3jca 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
24		0lt1 11663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
25		lttr 11213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → 0 < (♯‘𝑊)))
26	25	expd 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → (0 < 1 → (1 < (♯‘𝑊) → 0 < (♯‘𝑊))))
27	23, 24, 26	mpisyl 21	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (1 < (♯‘𝑊) → 0 < (♯‘𝑊)))
28		elnnz 12525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
29	28	simplbi2 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0 < (♯‘𝑊) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
30	27, 29	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (1 < (♯‘𝑊) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
31	4, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑊) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
32	31	imp 407	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
33		fzo0end 13704	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
34	32, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
35		nn0cn 12438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
36		2cn 12247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
38		1cnd 11130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
39	35, 37, 38	3jca 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
40		1e2m1 12294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 = (2 − 1)
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → 1 = (2 − 1))
42	41	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((♯‘𝑊) − (2 − 1)))
43		subsub 11415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((♯‘𝑊) − (2 − 1)) = (((♯‘𝑊) − 2) + 1))
44	42, 43	eqtrd 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((♯‘𝑊) − 1) = (((♯‘𝑊) − 2) + 1))
45	39, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) = (((♯‘𝑊) − 2) + 1))
46	45	eqcomd 2745	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑊) − 2) + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
47	46	eleq1d 2824	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((((♯‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
48	47	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
49	34, 48	mpbird 258	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
50	2, 49	sylan 586	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
51	1, 19, 50	3jca 1134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0 ∧ (((♯‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
52		swrds2 14893	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0 ∧ (((♯‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (((♯‘𝑊) − 2) + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(𝑊‘(((♯‘𝑊) − 2) + 1))”⟩)
53	51, 52	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (((♯‘𝑊) − 2) + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(𝑊‘(((♯‘𝑊) − 2) + 1))”⟩)
54	35, 36	jctir 525	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ))
55		npcan 11393	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − 2) + 2) = (♯‘𝑊))
56	55	eqcomd 2745	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (♯‘𝑊) = (((♯‘𝑊) − 2) + 2))
57	2, 54, 56	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) = (((♯‘𝑊) − 2) + 2))
58	57	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) = (((♯‘𝑊) − 2) + 2))
59	58	opeq2d 4811	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩ = ⟨((♯‘𝑊) − 2), (((♯‘𝑊) − 2) + 2)⟩)
60	59	oveq2d 7372	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (((♯‘𝑊) − 2) + 2)⟩))
61		eqidd 2740	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)))
62		lsw 14517	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
63	39, 43	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − (2 − 1)) = (((♯‘𝑊) − 2) + 1))
64	63	eqcomd 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑊) − 2) + 1) = ((♯‘𝑊) − (2 − 1)))
65		2m1e1 12293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 − 1) = 1
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (2 − 1) = 1)
67	66	oveq2d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − (2 − 1)) = ((♯‘𝑊) − 1))
68	64, 67	eqtrd 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑊) − 2) + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
69	2, 68	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((♯‘𝑊) − 2) + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
70	69	eqcomd 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) − 1) = (((♯‘𝑊) − 2) + 1))
71	70	fveq2d 6831	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 2) + 1)))
72	62, 71	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 2) + 1)))
73	72	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 2) + 1)))
74	61, 73	s2eqd 14816	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(𝑊‘(((♯‘𝑊) − 2) + 1))”⟩)
75	53, 60, 74	3eqtr4d 2784	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ⟨cop 4561   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕcn 12165  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ..^cfzo 13599  ♯chash 14283  Word cword 14466  lastSclsw 14515   substr csubstr 14594  ⟨“cs2 14794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-lsw 14516  df-concat 14524  df-s1 14550  df-substr 14595  df-s2 14801

This theorem is referenced by:  2swrd2eqwrdeq  14906