Theorem swrd2lsw 14593

Description: Extract the last two symbols from a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
swrd2lsw	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩)

Proof of Theorem swrd2lsw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		lencl 14164	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
3		1z 12280	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		nn0z 12273	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
5		zltp1le 12300	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) → (1 < (♯‘𝑊) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑊)))
6	3, 4, 5	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑊) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑊)))
7		1p1e2 12028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + 1) = 2
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 + 1) = 2)
9	8	breq1d 5080	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((1 + 1) ≤ (♯‘𝑊) ↔ 2 ≤ (♯‘𝑊)))
10	9	biimpd 228	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((1 + 1) ≤ (♯‘𝑊) → 2 ≤ (♯‘𝑊)))
11	6, 10	sylbid 239	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑊) → 2 ≤ (♯‘𝑊)))
12	11	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
13		2nn0 12180	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14	13	jctl 523	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
16		nn0sub 12213	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (2 ≤ (♯‘𝑊) ↔ ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0))
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (2 ≤ (♯‘𝑊) ↔ ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0))
18	12, 17	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0)
19	2, 18	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0)
20		0red 10909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
21		1red 10907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
22		zre 12253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
23	20, 21, 22	3jca 1126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
24		0lt1 11427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
25		lttr 10982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → 0 < (♯‘𝑊)))
26	25	expd 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → (0 < 1 → (1 < (♯‘𝑊) → 0 < (♯‘𝑊))))
27	23, 24, 26	mpisyl 21	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (1 < (♯‘𝑊) → 0 < (♯‘𝑊)))
28		elnnz 12259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
29	28	simplbi2 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0 < (♯‘𝑊) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
30	27, 29	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (1 < (♯‘𝑊) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
31	4, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑊) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
32	31	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
33		fzo0end 13407	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
34	32, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
35		nn0cn 12173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
36		2cn 11978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
38		1cnd 10901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
39	35, 37, 38	3jca 1126	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
40		1e2m1 12030	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 = (2 − 1)
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → 1 = (2 − 1))
42	41	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((♯‘𝑊) − (2 − 1)))
43		subsub 11181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((♯‘𝑊) − (2 − 1)) = (((♯‘𝑊) − 2) + 1))
44	42, 43	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((♯‘𝑊) − 1) = (((♯‘𝑊) − 2) + 1))
45	39, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) = (((♯‘𝑊) − 2) + 1))
46	45	eqcomd 2744	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑊) − 2) + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
47	46	eleq1d 2823	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((((♯‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
48	47	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
49	34, 48	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
50	2, 49	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
51	1, 19, 50	3jca 1126	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0 ∧ (((♯‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
52		swrds2 14581	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0 ∧ (((♯‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (((♯‘𝑊) − 2) + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(𝑊‘(((♯‘𝑊) − 2) + 1))”⟩)
53	51, 52	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (((♯‘𝑊) − 2) + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(𝑊‘(((♯‘𝑊) − 2) + 1))”⟩)
54	35, 36	jctir 520	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ))
55		npcan 11160	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − 2) + 2) = (♯‘𝑊))
56	55	eqcomd 2744	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (♯‘𝑊) = (((♯‘𝑊) − 2) + 2))
57	2, 54, 56	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) = (((♯‘𝑊) − 2) + 2))
58	57	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) = (((♯‘𝑊) − 2) + 2))
59	58	opeq2d 4808	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩ = ⟨((♯‘𝑊) − 2), (((♯‘𝑊) − 2) + 2)⟩)
60	59	oveq2d 7271	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (((♯‘𝑊) − 2) + 2)⟩))
61		eqidd 2739	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)))
62		lsw 14195	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
63	39, 43	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − (2 − 1)) = (((♯‘𝑊) − 2) + 1))
64	63	eqcomd 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑊) − 2) + 1) = ((♯‘𝑊) − (2 − 1)))
65		2m1e1 12029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 − 1) = 1
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (2 − 1) = 1)
67	66	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − (2 − 1)) = ((♯‘𝑊) − 1))
68	64, 67	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑊) − 2) + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
69	2, 68	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((♯‘𝑊) − 2) + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
70	69	eqcomd 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) − 1) = (((♯‘𝑊) − 2) + 1))
71	70	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 2) + 1)))
72	62, 71	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 2) + 1)))
73	72	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 2) + 1)))
74	61, 73	s2eqd 14504	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(𝑊‘(((♯‘𝑊) − 2) + 1))”⟩)
75	53, 60, 74	3eqtr4d 2788	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕcn 11903  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ..^cfzo 13311  ♯chash 13972  Word cword 14145  lastSclsw 14193   substr csubstr 14281  ⟨“cs2 14482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-lsw 14194  df-concat 14202  df-s1 14229  df-substr 14282  df-s2 14489

This theorem is referenced by:  2swrd2eqwrdeq  14594