Theorem swrd2lsw 14665

Description: Extract the last two symbols from a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
swrd2lsw	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩)

Proof of Theorem swrd2lsw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		lencl 14236	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
3		1z 12350	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		nn0z 12343	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
5		zltp1le 12370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) → (1 < (♯‘𝑊) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑊)))
6	3, 4, 5	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑊) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑊)))
7		1p1e2 12098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + 1) = 2
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 + 1) = 2)
9	8	breq1d 5084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((1 + 1) ≤ (♯‘𝑊) ↔ 2 ≤ (♯‘𝑊)))
10	9	biimpd 228	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((1 + 1) ≤ (♯‘𝑊) → 2 ≤ (♯‘𝑊)))
11	6, 10	sylbid 239	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑊) → 2 ≤ (♯‘𝑊)))
12	11	imp 407	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
13		2nn0 12250	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14	13	jctl 524	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
15	14	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
16		nn0sub 12283	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (2 ≤ (♯‘𝑊) ↔ ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0))
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (2 ≤ (♯‘𝑊) ↔ ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0))
18	12, 17	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0)
19	2, 18	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0)
20		0red 10978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
21		1red 10976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
22		zre 12323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
23	20, 21, 22	3jca 1127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
24		0lt1 11497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
25		lttr 11051	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → 0 < (♯‘𝑊)))
26	25	expd 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → (0 < 1 → (1 < (♯‘𝑊) → 0 < (♯‘𝑊))))
27	23, 24, 26	mpisyl 21	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (1 < (♯‘𝑊) → 0 < (♯‘𝑊)))
28		elnnz 12329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
29	28	simplbi2 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0 < (♯‘𝑊) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
30	27, 29	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (1 < (♯‘𝑊) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
31	4, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑊) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
32	31	imp 407	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
33		fzo0end 13479	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
34	32, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
35		nn0cn 12243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
36		2cn 12048	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
38		1cnd 10970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
39	35, 37, 38	3jca 1127	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
40		1e2m1 12100	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 = (2 − 1)
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → 1 = (2 − 1))
42	41	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((♯‘𝑊) − (2 − 1)))
43		subsub 11251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((♯‘𝑊) − (2 − 1)) = (((♯‘𝑊) − 2) + 1))
44	42, 43	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((♯‘𝑊) − 1) = (((♯‘𝑊) − 2) + 1))
45	39, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) = (((♯‘𝑊) − 2) + 1))
46	45	eqcomd 2744	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑊) − 2) + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
47	46	eleq1d 2823	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((((♯‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
48	47	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
49	34, 48	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
50	2, 49	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
51	1, 19, 50	3jca 1127	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0 ∧ (((♯‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
52		swrds2 14653	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0 ∧ (((♯‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (((♯‘𝑊) − 2) + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(𝑊‘(((♯‘𝑊) − 2) + 1))”⟩)
53	51, 52	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (((♯‘𝑊) − 2) + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(𝑊‘(((♯‘𝑊) − 2) + 1))”⟩)
54	35, 36	jctir 521	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ))
55		npcan 11230	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − 2) + 2) = (♯‘𝑊))
56	55	eqcomd 2744	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (♯‘𝑊) = (((♯‘𝑊) − 2) + 2))
57	2, 54, 56	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) = (((♯‘𝑊) − 2) + 2))
58	57	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) = (((♯‘𝑊) − 2) + 2))
59	58	opeq2d 4811	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩ = ⟨((♯‘𝑊) − 2), (((♯‘𝑊) − 2) + 2)⟩)
60	59	oveq2d 7291	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (((♯‘𝑊) − 2) + 2)⟩))
61		eqidd 2739	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)))
62		lsw 14267	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
63	39, 43	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − (2 − 1)) = (((♯‘𝑊) − 2) + 1))
64	63	eqcomd 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑊) − 2) + 1) = ((♯‘𝑊) − (2 − 1)))
65		2m1e1 12099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 − 1) = 1
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (2 − 1) = 1)
67	66	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − (2 − 1)) = ((♯‘𝑊) − 1))
68	64, 67	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑊) − 2) + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
69	2, 68	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((♯‘𝑊) − 2) + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
70	69	eqcomd 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) − 1) = (((♯‘𝑊) − 2) + 1))
71	70	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 2) + 1)))
72	62, 71	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 2) + 1)))
73	72	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 2) + 1)))
74	61, 73	s2eqd 14576	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(𝑊‘(((♯‘𝑊) − 2) + 1))”⟩)
75	53, 60, 74	3eqtr4d 2788	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℕcn 11973  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ..^cfzo 13382  ♯chash 14044  Word cword 14217  lastSclsw 14265   substr csubstr 14353  ⟨“cs2 14554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-lsw 14266  df-concat 14274  df-s1 14301  df-substr 14354  df-s2 14561

This theorem is referenced by:  2swrd2eqwrdeq  14666