Theorem swrd2lsw 14861

Description: Extract the last two symbols from a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
swrd2lsw	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩)

Proof of Theorem swrd2lsw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		lencl 14442	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
3		1z 12508	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		nn0z 12499	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
5		zltp1le 12528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) → (1 < (♯‘𝑊) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑊)))
6	3, 4, 5	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑊) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑊)))
7		1p1e2 12252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + 1) = 2
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 + 1) = 2)
9	8	breq1d 5103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((1 + 1) ≤ (♯‘𝑊) ↔ 2 ≤ (♯‘𝑊)))
10	9	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((1 + 1) ≤ (♯‘𝑊) → 2 ≤ (♯‘𝑊)))
11	6, 10	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑊) → 2 ≤ (♯‘𝑊)))
12	11	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
13		2nn0 12405	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14	13	jctl 523	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
16		nn0sub 12438	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (2 ≤ (♯‘𝑊) ↔ ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0))
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (2 ≤ (♯‘𝑊) ↔ ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0))
18	12, 17	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0)
19	2, 18	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0)
20		0red 11122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
21		1red 11120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
22		zre 12479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
23	20, 21, 22	3jca 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
24		0lt1 11646	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
25		lttr 11196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → 0 < (♯‘𝑊)))
26	25	expd 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → (0 < 1 → (1 < (♯‘𝑊) → 0 < (♯‘𝑊))))
27	23, 24, 26	mpisyl 21	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (1 < (♯‘𝑊) → 0 < (♯‘𝑊)))
28		elnnz 12485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
29	28	simplbi2 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0 < (♯‘𝑊) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
30	27, 29	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (1 < (♯‘𝑊) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
31	4, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑊) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
32	31	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
33		fzo0end 13660	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
34	32, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
35		nn0cn 12398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
36		2cn 12207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
38		1cnd 11114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
39	35, 37, 38	3jca 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
40		1e2m1 12254	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 = (2 − 1)
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → 1 = (2 − 1))
42	41	oveq2d 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((♯‘𝑊) − (2 − 1)))
43		subsub 11398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((♯‘𝑊) − (2 − 1)) = (((♯‘𝑊) − 2) + 1))
44	42, 43	eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((♯‘𝑊) − 1) = (((♯‘𝑊) − 2) + 1))
45	39, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) = (((♯‘𝑊) − 2) + 1))
46	45	eqcomd 2739	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑊) − 2) + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
47	46	eleq1d 2818	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((((♯‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
48	47	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
49	34, 48	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
50	2, 49	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
51	1, 19, 50	3jca 1128	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0 ∧ (((♯‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
52		swrds2 14849	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0 ∧ (((♯‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (((♯‘𝑊) − 2) + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(𝑊‘(((♯‘𝑊) − 2) + 1))”⟩)
53	51, 52	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (((♯‘𝑊) − 2) + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(𝑊‘(((♯‘𝑊) − 2) + 1))”⟩)
54	35, 36	jctir 520	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ))
55		npcan 11376	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − 2) + 2) = (♯‘𝑊))
56	55	eqcomd 2739	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (♯‘𝑊) = (((♯‘𝑊) − 2) + 2))
57	2, 54, 56	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) = (((♯‘𝑊) − 2) + 2))
58	57	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) = (((♯‘𝑊) − 2) + 2))
59	58	opeq2d 4831	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩ = ⟨((♯‘𝑊) − 2), (((♯‘𝑊) − 2) + 2)⟩)
60	59	oveq2d 7368	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (((♯‘𝑊) − 2) + 2)⟩))
61		eqidd 2734	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)))
62		lsw 14473	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
63	39, 43	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − (2 − 1)) = (((♯‘𝑊) − 2) + 1))
64	63	eqcomd 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑊) − 2) + 1) = ((♯‘𝑊) − (2 − 1)))
65		2m1e1 12253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 − 1) = 1
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (2 − 1) = 1)
67	66	oveq2d 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − (2 − 1)) = ((♯‘𝑊) − 1))
68	64, 67	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑊) − 2) + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
69	2, 68	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((♯‘𝑊) − 2) + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
70	69	eqcomd 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) − 1) = (((♯‘𝑊) − 2) + 1))
71	70	fveq2d 6832	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 2) + 1)))
72	62, 71	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 2) + 1)))
73	72	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 2) + 1)))
74	61, 73	s2eqd 14772	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(𝑊‘(((♯‘𝑊) − 2) + 1))”⟩)
75	53, 60, 74	3eqtr4d 2778	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⟨cop 4581   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  ℝcr 11012  0cc0 11013  1c1 11014   + caddc 11016   < clt 11153   ≤ cle 11154   − cmin 11351  ℕcn 12132  2c2 12187  ℕ₀cn0 12388  ℤcz 12475  ..^cfzo 13556  ♯chash 14239  Word cword 14422  lastSclsw 14471   substr csubstr 14550  ⟨“cs2 14750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-hash 14240  df-word 14423  df-lsw 14472  df-concat 14480  df-s1 14506  df-substr 14551  df-s2 14757

This theorem is referenced by:  2swrd2eqwrdeq  14862