Theorem clwwlkn2 30131

Description: A closed walk of length 2 represented as word is a word consisting of 2 symbols representing (not necessarily different) vertices connected by (at least) one edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Sep-2018.) (Revised by AV, 25-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlkn2	⊢ (𝑊 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))

Proof of Theorem clwwlkn2

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12230	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
4	2, 3	isclwwlknx 30123	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 2)))
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 2))
6		3anass 1095	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
7		oveq1 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → ((♯‘𝑊) − 1) = (2 − 1))
8		2m1e1 12278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 − 1) = 1
9	7, 8	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → ((♯‘𝑊) − 1) = 1)
10	9	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) = (0..^1))
11		fzo01 13675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^1) = {0}
12	10, 11	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) = {0})
13	12	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) = {0})
14	13	raleqdv 3298	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ {0} {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
15		c0ex 11138	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
16		fveq2 6842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
17		fv0p1e1 12275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘1))
18	16, 17	preq12d 4700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 0 → {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘0), (𝑊‘1)})
19	18	eleq1d 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 0 → ({(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
20	15, 19	ralsn 4640	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ {0} {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))
21	14, 20	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
22		prcom 4691	. . . . . . . . 9 ⊢ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘0), (lastS‘𝑊)}
23		lsw 14499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
24	9	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘1))
25	23, 24	sylan9eqr 2794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘1))
26	25	preq2d 4699	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → {(𝑊‘0), (lastS‘𝑊)} = {(𝑊‘0), (𝑊‘1)})
27	22, 26	eqtrid 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘0), (𝑊‘1)})
28	27	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
29	21, 28	anbi12d 633	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ({(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
30		anidm 564	. . . . . 6 ⊢ (({(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))
31	29, 30	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
32	31	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
33	6, 32	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
34	33	pm5.32ri 575	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 2) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 2))
35		3anass 1095	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((♯‘𝑊) = 2 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
36		ancom 460	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑊) = 2 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 2))
37	35, 36	bitr2i 276	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 2) ↔ ((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
38	5, 34, 37	3bitri 297	1 ⊢ (𝑊 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {csn 4582  {cpr 4584  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   − cmin 11376  ℕcn 12157  2c2 12212  ..^cfzo 13582  ♯chash 14265  Word cword 14448  lastSclsw 14497  Vtxcvtx 29081  Edgcedg 29132   ClWWalksN cclwwlkn 30111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-hash 14266  df-word 14449  df-lsw 14498  df-clwwlk 30069  df-clwwlkn 30112

This theorem is referenced by:  clwwlknon2x  30190  2clwwlk2clwwlk  30437