Theorem clwwlkn2 29980

Description: A closed walk of length 2 represented as word is a word consisting of 2 symbols representing (not necessarily different) vertices connected by (at least) one edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Sep-2018.) (Revised by AV, 25-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlkn2	⊢ (𝑊 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))

Proof of Theorem clwwlkn2

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12266	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
4	2, 3	isclwwlknx 29972	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 2)))
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 2))
6		3anass 1094	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
7		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → ((♯‘𝑊) − 1) = (2 − 1))
8		2m1e1 12314	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 − 1) = 1
9	7, 8	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → ((♯‘𝑊) − 1) = 1)
10	9	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) = (0..^1))
11		fzo01 13715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^1) = {0}
12	10, 11	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) = {0})
13	12	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) = {0})
14	13	raleqdv 3301	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ {0} {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
15		c0ex 11175	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
16		fveq2 6861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
17		fv0p1e1 12311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘1))
18	16, 17	preq12d 4708	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 0 → {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘0), (𝑊‘1)})
19	18	eleq1d 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 0 → ({(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
20	15, 19	ralsn 4648	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ {0} {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))
21	14, 20	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
22		prcom 4699	. . . . . . . . 9 ⊢ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘0), (lastS‘𝑊)}
23		lsw 14536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
24	9	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘1))
25	23, 24	sylan9eqr 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘1))
26	25	preq2d 4707	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → {(𝑊‘0), (lastS‘𝑊)} = {(𝑊‘0), (𝑊‘1)})
27	22, 26	eqtrid 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘0), (𝑊‘1)})
28	27	eleq1d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
29	21, 28	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ({(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
30		anidm 564	. . . . . 6 ⊢ (({(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))
31	29, 30	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
32	31	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
33	6, 32	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
34	33	pm5.32ri 575	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 2) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 2))
35		3anass 1094	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((♯‘𝑊) = 2 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
36		ancom 460	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑊) = 2 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 2))
37	35, 36	bitr2i 276	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 2) ↔ ((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
38	5, 34, 37	3bitri 297	1 ⊢ (𝑊 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  {csn 4592  {cpr 4594  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   − cmin 11412  ℕcn 12193  2c2 12248  ..^cfzo 13622  ♯chash 14302  Word cword 14485  lastSclsw 14534  Vtxcvtx 28930  Edgcedg 28981   ClWWalksN cclwwlkn 29960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-lsw 14535  df-clwwlk 29918  df-clwwlkn 29961

This theorem is referenced by:  clwwlknon2x  30039  2clwwlk2clwwlk  30286