MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlkn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlkn2 27749
Description: A closed walk of length 2 represented as word is a word consisting of 2 symbols representing (not necessarily different) vertices connected by (at least) one edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Sep-2018.) (Revised by AV, 25-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
clwwlkn2 (𝑊 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))

Proof of Theorem clwwlkn2
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 11698 . . 3 2 ∈ ℕ
2 eqid 2818 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3 eqid 2818 . . . 4 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
42, 3isclwwlknx 27741 . . 3 (2 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 2)))
51, 4ax-mp 5 . 2 (𝑊 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 2))
6 3anass 1087 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
7 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑊) = 2 → ((♯‘𝑊) − 1) = (2 − 1))
8 2m1e1 11751 . . . . . . . . . . . . 13 (2 − 1) = 1
97, 8syl6eq 2869 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑊) = 2 → ((♯‘𝑊) − 1) = 1)
109oveq2d 7161 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) = 2 → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) = (0..^1))
11 fzo01 13107 . . . . . . . . . . 11 (0..^1) = {0}
1210, 11syl6eq 2869 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) = 2 → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) = {0})
1312adantr 481 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) = {0})
1413raleqdv 3413 . . . . . . . 8 (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ {0} {(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
15 c0ex 10623 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
16 fveq2 6663 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 0 → (𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
17 fv0p1e1 11748 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 0 → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘1))
1816, 17preq12d 4669 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 0 → {(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘0), (𝑊‘1)})
1918eleq1d 2894 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → ({(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
2015, 19ralsn 4611 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ {0} {(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))
2114, 20syl6bb 288 . . . . . . 7 (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
22 prcom 4660 . . . . . . . . 9 {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘0), (lastS‘𝑊)}
23 lsw 13904 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
249fveq2d 6667 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) = 2 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘1))
2523, 24sylan9eqr 2875 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘1))
2625preq2d 4668 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → {(𝑊‘0), (lastS‘𝑊)} = {(𝑊‘0), (𝑊‘1)})
2722, 26syl5eq 2865 . . . . . . . 8 (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘0), (𝑊‘1)})
2827eleq1d 2894 . . . . . . 7 (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
2921, 28anbi12d 630 . . . . . 6 (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ({(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
30 anidm 565 . . . . . 6 (({(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))
3129, 30syl6bb 288 . . . . 5 (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
3231pm5.32da 579 . . . 4 ((♯‘𝑊) = 2 → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
336, 32syl5bb 284 . . 3 ((♯‘𝑊) = 2 → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
3433pm5.32ri 576 . 2 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 2) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 2))
35 3anass 1087 . . 3 (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((♯‘𝑊) = 2 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
36 ancom 461 . . 3 (((♯‘𝑊) = 2 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 2))
3735, 36bitr2i 277 . 2 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 2) ↔ ((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
385, 34, 373bitri 298 1 (𝑊 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  {csn 4557  {cpr 4559  cfv 6348  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528  cmin 10858  cn 11626  2c2 11680  ..^cfzo 13021  chash 13678  Word cword 13849  lastSclsw 13902  Vtxcvtx 26708  Edgcedg 26759   ClWWalksN cclwwlkn 27729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-hash 13679  df-word 13850  df-lsw 13903  df-clwwlk 27687  df-clwwlkn 27730
This theorem is referenced by:  clwwlknon2x  27809  2clwwlk2clwwlk  28056
  Copyright terms: Public domain W3C validator