MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlkn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlkn2 27832
Description: A closed walk of length 2 represented as word is a word consisting of 2 symbols representing (not necessarily different) vertices connected by (at least) one edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Sep-2018.) (Revised by AV, 25-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
clwwlkn2 (𝑊 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))

Proof of Theorem clwwlkn2
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 11702 . . 3 2 ∈ ℕ
2 eqid 2801 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3 eqid 2801 . . . 4 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
42, 3isclwwlknx 27824 . . 3 (2 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 2)))
51, 4ax-mp 5 . 2 (𝑊 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 2))
6 3anass 1092 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
7 oveq1 7146 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑊) = 2 → ((♯‘𝑊) − 1) = (2 − 1))
8 2m1e1 11755 . . . . . . . . . . . . 13 (2 − 1) = 1
97, 8eqtrdi 2852 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑊) = 2 → ((♯‘𝑊) − 1) = 1)
109oveq2d 7155 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) = 2 → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) = (0..^1))
11 fzo01 13118 . . . . . . . . . . 11 (0..^1) = {0}
1210, 11eqtrdi 2852 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) = 2 → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) = {0})
1312adantr 484 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) = {0})
1413raleqdv 3367 . . . . . . . 8 (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ {0} {(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
15 c0ex 10628 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
16 fveq2 6649 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 0 → (𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
17 fv0p1e1 11752 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 0 → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘1))
1816, 17preq12d 4640 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 0 → {(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘0), (𝑊‘1)})
1918eleq1d 2877 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → ({(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
2015, 19ralsn 4582 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ {0} {(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))
2114, 20syl6bb 290 . . . . . . 7 (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
22 prcom 4631 . . . . . . . . 9 {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘0), (lastS‘𝑊)}
23 lsw 13911 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
249fveq2d 6653 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) = 2 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘1))
2523, 24sylan9eqr 2858 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘1))
2625preq2d 4639 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → {(𝑊‘0), (lastS‘𝑊)} = {(𝑊‘0), (𝑊‘1)})
2722, 26syl5eq 2848 . . . . . . . 8 (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘0), (𝑊‘1)})
2827eleq1d 2877 . . . . . . 7 (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
2921, 28anbi12d 633 . . . . . 6 (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ({(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
30 anidm 568 . . . . . 6 (({(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))
3129, 30syl6bb 290 . . . . 5 (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
3231pm5.32da 582 . . . 4 ((♯‘𝑊) = 2 → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
336, 32syl5bb 286 . . 3 ((♯‘𝑊) = 2 → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
3433pm5.32ri 579 . 2 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 2) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 2))
35 3anass 1092 . . 3 (((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((♯‘𝑊) = 2 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
36 ancom 464 . . 3 (((♯‘𝑊) = 2 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 2))
3735, 36bitr2i 279 . 2 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 2) ↔ ((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
385, 34, 373bitri 300 1 (𝑊 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((♯‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  {csn 4528  {cpr 4530  cfv 6328  (class class class)co 7139  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533  cmin 10863  cn 11629  2c2 11684  ..^cfzo 13032  chash 13690  Word cword 13861  lastSclsw 13909  Vtxcvtx 26792  Edgcedg 26843   ClWWalksN cclwwlkn 27812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-hash 13691  df-word 13862  df-lsw 13910  df-clwwlk 27770  df-clwwlkn 27813
This theorem is referenced by:  clwwlknon2x  27891  2clwwlk2clwwlk  28138
  Copyright terms: Public domain W3C validator