Theorem lsw0 14268

Description: The last symbol of an empty word does not exist. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lsw0	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (lastS‘𝑊) = ∅)

Proof of Theorem lsw0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsw 14267	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
2	1	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
3		fvoveq1 7298	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑊) = 0 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(0 − 1)))
4		wrddm 14224	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
5		1nn 11984	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		nnnle0 12006	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℕ → ¬ 1 ≤ 0)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 ≤ 0
8		0re 10977	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		1re 10975	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
10	8, 9	subge0i 11528	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ (0 − 1) ↔ 1 ≤ 0)
11	7, 10	mtbir 323	. . . . . 6 ⊢ ¬ 0 ≤ (0 − 1)
12		elfzole1 13395	. . . . . 6 ⊢ ((0 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 0 ≤ (0 − 1))
13	11, 12	mto 196	. . . . 5 ⊢ ¬ (0 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))
14		eleq2 2827	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ((0 − 1) ∈ dom 𝑊 ↔ (0 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
15	13, 14	mtbiri 327	. . . 4 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ¬ (0 − 1) ∈ dom 𝑊)
16		ndmfv 6804	. . . 4 ⊢ (¬ (0 − 1) ∈ dom 𝑊 → (𝑊‘(0 − 1)) = ∅)
17	4, 15, 16	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊‘(0 − 1)) = ∅)
18	3, 17	sylan9eqr 2800	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = ∅)
19	2, 18	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (lastS‘𝑊) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∅c0 4256   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℕcn 11973  ..^cfzo 13382  ♯chash 14044  Word cword 14217  lastSclsw 14265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-lsw 14266

This theorem is referenced by:  lsw0g  14269