Theorem lsw0 14571

Description: The last symbol of an empty word does not exist. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lsw0	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (lastS‘𝑊) = ∅)

Proof of Theorem lsw0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsw 14570	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
2	1	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
3		fvoveq1 7413	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑊) = 0 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(0 − 1)))
4		wrddm 14527	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
5		1nn 12214	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		nnnle0 12239	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℕ → ¬ 1 ≤ 0)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 ≤ 0
8		0re 11176	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		1re 11174	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
10	8, 9	subge0i 11733	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ (0 − 1) ↔ 1 ≤ 0)
11	7, 10	mtbir 325	. . . . . 6 ⊢ ¬ 0 ≤ (0 − 1)
12		elfzole1 13666	. . . . . 6 ⊢ ((0 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 0 ≤ (0 − 1))
13	11, 12	mto 199	. . . . 5 ⊢ ¬ (0 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))
14		eleq2 2850	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ((0 − 1) ∈ dom 𝑊 ↔ (0 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
15	13, 14	mtbiri 329	. . . 4 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ¬ (0 − 1) ∈ dom 𝑊)
16		ndmfv 6893	. . . 4 ⊢ (¬ (0 − 1) ∈ dom 𝑊 → (𝑊‘(0 − 1)) = ∅)
17	4, 15, 16	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊‘(0 − 1)) = ∅)
18	3, 17	sylan9eqr 2818	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = ∅)
19	2, 18	eqtrd 2796	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 0) → (lastS‘𝑊) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∅c0 4283   class class class wbr 5097  dom cdm 5643  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  0cc0 11066  1c1 11067   ≤ cle 11210   − cmin 11407  ℕcn 12203  ..^cfzo 13652  ♯chash 14336  Word cword 14519  lastSclsw 14568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-hash 14337  df-word 14520  df-lsw 14569

This theorem is referenced by:  lsw0g  14572