MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlksnredwwlkn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlksnredwwlkn 27600
Description: For each walk (as word) of length at least 1 there is a shorter walk (as word). (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Aug-2018.) (Revised by AV, 18-Apr-2021.) (Revised by AV, 26-Oct-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
wwlksnredwwlkn.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wwlksnredwwlkn (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → ∃𝑦 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) = 𝑦 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐸   𝑦,𝐺   𝑦,𝑁   𝑦,𝑊

Proof of Theorem wwlksnredwwlkn
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2819 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) = (𝑊 prefix (𝑁 + 1)))
2 eqid 2818 . . . . 5 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3 wwlksnredwwlkn.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
42, 3wwlknp 27548 . . . 4 (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
5 simprl 767 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
6 peano2nn0 11925 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
7 peano2nn0 11925 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
9 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
10 nn0p1nn 11924 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ)
116, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ)
12 nn0re 11894 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
13 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
14 peano2re 10801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
15 peano2re 10801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 + 1) ∈ ℝ → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℝ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℝ)
1713, 14, 163jca 1120 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℝ))
1812, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℝ))
1912ltp1d 11558 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < (𝑁 + 1))
20 nn0re 11894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
216, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
2221ltp1d 11558 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) < ((𝑁 + 1) + 1))
23 lttr 10705 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℝ) → ((𝑁 < (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) < ((𝑁 + 1) + 1)) → 𝑁 < ((𝑁 + 1) + 1)))
2423imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℝ) ∧ (𝑁 < (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) < ((𝑁 + 1) + 1))) → 𝑁 < ((𝑁 + 1) + 1))
2518, 19, 22, 24syl12anc 832 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < ((𝑁 + 1) + 1))
26 elfzo0 13066 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (0..^((𝑁 + 1) + 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < ((𝑁 + 1) + 1)))
279, 11, 25, 26syl3anbrc 1335 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0..^((𝑁 + 1) + 1)))
28 fz0add1fz1 13095 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0..^((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑁 + 1) ∈ (1...((𝑁 + 1) + 1)))
298, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (1...((𝑁 + 1) + 1)))
3029adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑁 + 1) ∈ (1...((𝑁 + 1) + 1)))
31 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (1...(♯‘𝑊)) = (1...((𝑁 + 1) + 1)))
3231eleq2d 2895 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...((𝑁 + 1) + 1))))
3332adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → ((𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...((𝑁 + 1) + 1))))
3433adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → ((𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...((𝑁 + 1) + 1))))
3530, 34mpbird 258 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊)))
365, 35jca 512 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊))))
37363adantr3 1163 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊))))
38 pfxfvlsw 14045 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑊‘((𝑁 + 1) − 1)))
3937, 38syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)) → (lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑊‘((𝑁 + 1) − 1)))
40 lsw 13904 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
41403ad2ant1 1125 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
4241adantl 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
4339, 42preq12d 4669 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)) → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} = {(𝑊‘((𝑁 + 1) − 1)), (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))})
44 oveq1 7152 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = (((𝑁 + 1) + 1) − 1))
45443ad2ant2 1126 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → ((♯‘𝑊) − 1) = (((𝑁 + 1) + 1) − 1))
4645adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)) → ((♯‘𝑊) − 1) = (((𝑁 + 1) + 1) − 1))
4746fveq2d 6667 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(((𝑁 + 1) + 1) − 1)))
4847preq2d 4668 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)) → {(𝑊‘((𝑁 + 1) − 1)), (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))} = {(𝑊‘((𝑁 + 1) − 1)), (𝑊‘(((𝑁 + 1) + 1) − 1))})
49 nn0cn 11895 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
50 1cnd 10624 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
5149, 50pncand 10986 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
5251fveq2d 6667 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊‘((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑊𝑁))
536nn0cnd 11945 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
5453, 50pncand 10986 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
5554fveq2d 6667 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊‘(((𝑁 + 1) + 1) − 1)) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))
5652, 55preq12d 4669 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → {(𝑊‘((𝑁 + 1) − 1)), (𝑊‘(((𝑁 + 1) + 1) − 1))} = {(𝑊𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))})
5756adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)) → {(𝑊‘((𝑁 + 1) − 1)), (𝑊‘(((𝑁 + 1) + 1) − 1))} = {(𝑊𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))})
5848, 57eqtrd 2853 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)) → {(𝑊‘((𝑁 + 1) − 1)), (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))} = {(𝑊𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))})
59 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑁 → (𝑊𝑖) = (𝑊𝑁))
60 fvoveq1 7168 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑁 → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))
6159, 60preq12d 4669 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑁 → {(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))})
6261eleq1d 2894 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑁 → ({(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑊𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
6362rspcv 3615 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {(𝑊𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
64 fzonn0p1 13102 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
6563, 64syl11 33 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → (𝑁 ∈ ℕ0 → {(𝑊𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
66653ad2ant3 1127 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ ℕ0 → {(𝑊𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
6766impcom 408 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)) → {(𝑊𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸)
6858, 67eqeltrd 2910 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)) → {(𝑊‘((𝑁 + 1) − 1)), (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))} ∈ 𝐸)
6943, 68eqeltrd 2910 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)) → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸)
704, 69sylan2 592 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)) → {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸)
71 wwlksnred 27597 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
7271imp 407 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
73 eqeq2 2830 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) = 𝑦 ↔ (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) = (𝑊 prefix (𝑁 + 1))))
74 fveq2 6663 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) → (lastS‘𝑦) = (lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))))
7574preq1d 4667 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) → {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑊)} = {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)})
7675eleq1d 2894 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) → ({(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸 ↔ {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸))
7773, 76anbi12d 630 . . . . 5 (𝑦 = (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) → (((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) = 𝑦 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸) ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) = (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∧ {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸)))
7877adantl 482 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)) ∧ 𝑦 = (𝑊 prefix (𝑁 + 1))) → (((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) = 𝑦 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸) ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) = (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∧ {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸)))
7972, 78rspcedv 3613 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)) → (((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) = (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∧ {(lastS‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸) → ∃𝑦 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) = 𝑦 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸)))
801, 70, 79mp2and 695 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)) → ∃𝑦 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) = 𝑦 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸))
8180ex 413 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → ∃𝑦 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) = 𝑦 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑊)} ∈ 𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  {cpr 4559   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   < clt 10663  cmin 10858  cn 11626  0cn0 11885  ...cfz 12880  ..^cfzo 13021  chash 13678  Word cword 13849  lastSclsw 13902   prefix cpfx 14020  Vtxcvtx 26708  Edgcedg 26759   WWalksN cwwlksn 27531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-hash 13679  df-word 13850  df-lsw 13903  df-substr 13991  df-pfx 14021  df-wwlks 27535  df-wwlksn 27536
This theorem is referenced by:  wwlksnredwwlkn0  27601
  Copyright terms: Public domain W3C validator