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Theorem clwwlkf 29297
Description: Lemma 1 for clwwlkf1o 29301: F is a function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Sep-2018.) (Revised by AV, 26-Apr-2021.) (Revised by AV, 1-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlkf1o.d 𝐷 = {𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastSβ€˜π‘€) = (π‘€β€˜0)}
clwwlkf1o.f 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ (𝑑 prefix 𝑁))
Assertion
Ref Expression
clwwlkf (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐹:𝐷⟢(𝑁 ClWWalksN 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑀,𝐺   𝑀,𝑁   𝑑,𝐷   𝑑,𝐺,𝑀   𝑑,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑀)   𝐹(𝑀,𝑑)
Proof of Theorem clwwlkf
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6891 . . . . 5 (𝑀 = 𝑑 β†’ (lastSβ€˜π‘€) = (lastSβ€˜π‘‘))
2 fveq1 6890 . . . . 5 (𝑀 = 𝑑 β†’ (π‘€β€˜0) = (π‘‘β€˜0))
31, 2eqeq12d 2748 . . . 4 (𝑀 = 𝑑 β†’ ((lastSβ€˜π‘€) = (π‘€β€˜0) ↔ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)))
4 clwwlkf1o.d . . . 4 𝐷 = {𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastSβ€˜π‘€) = (π‘€β€˜0)}
53, 4elrab2 3686 . . 3 (𝑑 ∈ 𝐷 ↔ (𝑑 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)))
6 nnnn0 12478 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
7 iswwlksn 29089 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑑 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑑 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))))
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑑 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑑 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))))
9 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
10 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
119, 10iswwlks 29087 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ (𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑑 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ (𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
1312anbi1d 630 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑑 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ↔ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))))
148, 13bitrd 278 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑑 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))))
15 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
16 peano2nn0 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
176, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
18 nnre 12218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
1918lep1d 12144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ≀ (𝑁 + 1))
20 elfz2nn0 13591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (𝑁 + 1)))
216, 17, 19, 20syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
2221adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
23 oveq2 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (0...(β™―β€˜π‘‘)) = (0...(𝑁 + 1)))
2423eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
2524adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
2625adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
2722, 26mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘)))
2815, 27jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘))))
29 pfxlen 14632 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘))) β†’ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁)
3130ex 413 . . . . . . . . . . 11 ((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁))
32313ad2antl2 1186 . . . . . . . . . 10 (((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁))
3332impcom 408 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁)
3433adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁)
35 pfxcl 14626 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
36353ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
3736ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ (𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
3837ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ (𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
39 oveq1 7415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ ((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1) = ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))
4039oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)) = (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)))
41 nncn 12219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
42 1cnd 11208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
4341, 42pncand 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
4443oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ β„• β†’ (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) = (0..^𝑁))
4540, 44sylan9eqr 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)) = (0..^𝑁))
4645raleqdv 3325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
47 nnz 12578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
48 peano2zm 12604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€)
5018lem1d 12146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ≀ 𝑁)
51 eluz2 12827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ↔ ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ≀ 𝑁))
5249, 47, 50, 51syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
53 fzoss2 13659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^𝑁))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ β„• β†’ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^𝑁))
5554adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^𝑁))
56 ssralv 4050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0..^(𝑁 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^𝑁) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
58 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
5921adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
6024adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
6159, 60mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘)))
6261ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘)))
6354sseld 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
6463ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
6564imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
66 pfxfv 14631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–) = (π‘‘β€˜π‘–))
6766eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) = ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–))
6858, 62, 65, 67syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) = ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–))
6947ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
70 elfzom1elp1fzo 13698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁))
7169, 70sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁))
72 pfxfv 14631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘‘β€˜(𝑖 + 1)))
7372eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘‘β€˜(𝑖 + 1)) = ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1)))
7458, 62, 71, 73syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (π‘‘β€˜(𝑖 + 1)) = ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1)))
7568, 74preq12d 4745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ {(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} = {((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))})
7675eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ({(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
7776ralbidva 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
7877biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
7978ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
8079com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
8157, 80syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
8246, 81sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
8382ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))))
8483com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))))
8584com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))))
8685imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
87863adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
8887imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
8988impcom 408 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
9089ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 (((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
91 oveq1 7415 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁 β†’ ((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ 1))
9291oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁 β†’ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)) = (0..^(𝑁 βˆ’ 1)))
9392adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)) = (0..^(𝑁 βˆ’ 1)))
9493raleqdv 3325 . . . . . . . . . . 11 (((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
9590, 94mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
96 simprl2 1219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
9719ancli 549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑁 ≀ (𝑁 + 1)))
9847peano2zd 12668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
99 fznn 13568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 + 1) ∈ β„€ β†’ (𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑁 ≀ (𝑁 + 1))))
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑁 ≀ (𝑁 + 1))))
10197, 100mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
102101adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
103 oveq2 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (1...(β™―β€˜π‘‘)) = (1...(𝑁 + 1)))
104103eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜π‘‘)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
105104adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜π‘‘)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
106105adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ (𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜π‘‘)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
107102, 106mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜π‘‘)))
10896, 107jca 512 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜π‘‘))))
109108adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜π‘‘))))
110 pfxfvlsw 14644 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜π‘‘))) β†’ (lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = (π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ (lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = (π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
112 pfxfv0 14641 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜π‘‘))) β†’ ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0) = (π‘‘β€˜0))
113108, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0) = (π‘‘β€˜0))
114113adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0) = (π‘‘β€˜0))
115111, 114preq12d 4745 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ {(lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0)} = {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜0)})
116 eqcom 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0) ↔ (π‘‘β€˜0) = (lastSβ€˜π‘‘))
117116biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0) β†’ (π‘‘β€˜0) = (lastSβ€˜π‘‘))
118117adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ (π‘‘β€˜0) = (lastSβ€˜π‘‘))
119 lsw 14513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)))
1201193ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)))
121120ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)))
122121adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)))
12339adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ ((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1) = ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))
124123, 43sylan9eqr 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ ((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1) = 𝑁)
125124adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ ((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1) = 𝑁)
126125fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ (π‘‘β€˜((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)) = (π‘‘β€˜π‘))
127118, 122, 1263eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ (π‘‘β€˜0) = (π‘‘β€˜π‘))
128127preq2d 4744 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜0)} = {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)})
12939, 43sylan9eq 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1) = 𝑁)
130129oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)) = (0..^𝑁))
131130raleqdv 3325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
132 fzo0end 13723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁))
133 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) = (π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
134 fvoveq1 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ (π‘‘β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘‘β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
135133, 134preq12d 4745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ {(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} = {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))})
136135eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ ({(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
137136rspcva 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
138132, 137sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
13941, 42npcand 11574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
140139fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘‘β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)) = (π‘‘β€˜π‘))
141140preq2d 4744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ β„• β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} = {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)})
142141eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ β„• β†’ ({(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
143142biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ β„• β†’ ({(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
144143adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ({(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
145138, 144mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
146145ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
147146adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
148131, 147sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
149148ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
150149com3r 87 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
1511503ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
152151imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
153152impcom 408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
154153adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
155128, 154eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
156115, 155eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ {(lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
157156adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ {(lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
15838, 95, 1573jca 1128 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ ((𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
159 simpl 483 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁)
160158, 159jca 512 . . . . . . . 8 (((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ (((𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁))
16134, 160mpancom 686 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ (((𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁))
162161exp31 420 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ ((lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0) β†’ (((𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁))))
16314, 162sylbid 239 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑑 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ ((lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0) β†’ (((𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁))))
164163imp32 419 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑑 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ (((𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁))
1659, 10isclwwlknx 29286 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑑 prefix 𝑁) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (((𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁)))
166165adantr 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑑 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ ((𝑑 prefix 𝑁) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (((𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁)))
167164, 166mpbird 256 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑑 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ (𝑑 prefix 𝑁) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
1685, 167sylan2b 594 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (𝑑 prefix 𝑁) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
169 clwwlkf1o.f . 2 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ (𝑑 prefix 𝑁))
170168, 169fmptd 7113 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐹:𝐷⟢(𝑁 ClWWalksN 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3432   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {cpr 4630   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443  β„•cn 12211  β„•0cn0 12471  β„€cz 12557  β„€β‰₯cuz 12821  ...cfz 13483  ..^cfzo 13626  β™―chash 14289  Word cword 14463  lastSclsw 14511   prefix cpfx 14619  Vtxcvtx 28253  Edgcedg 28304  WWalkscwwlks 29076   WWalksN cwwlksn 29077   ClWWalksN cclwwlkn 29274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-hash 14290  df-word 14464  df-lsw 14512  df-substr 14590  df-pfx 14620  df-wwlks 29081  df-wwlksn 29082  df-clwwlk 29232  df-clwwlkn 29275
This theorem is referenced by:  clwwlkf1  29299  clwwlkfo  29300
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