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Theorem clwwlkf 29805
Description: Lemma 1 for clwwlkf1o 29809: F is a function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Sep-2018.) (Revised by AV, 26-Apr-2021.) (Revised by AV, 1-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlkf1o.d 𝐷 = {𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastSβ€˜π‘€) = (π‘€β€˜0)}
clwwlkf1o.f 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ (𝑑 prefix 𝑁))
Assertion
Ref Expression
clwwlkf (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐹:𝐷⟢(𝑁 ClWWalksN 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑀,𝐺   𝑀,𝑁   𝑑,𝐷   𝑑,𝐺,𝑀   𝑑,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑀)   𝐹(𝑀,𝑑)
Proof of Theorem clwwlkf
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6884 . . . . 5 (𝑀 = 𝑑 β†’ (lastSβ€˜π‘€) = (lastSβ€˜π‘‘))
2 fveq1 6883 . . . . 5 (𝑀 = 𝑑 β†’ (π‘€β€˜0) = (π‘‘β€˜0))
31, 2eqeq12d 2742 . . . 4 (𝑀 = 𝑑 β†’ ((lastSβ€˜π‘€) = (π‘€β€˜0) ↔ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)))
4 clwwlkf1o.d . . . 4 𝐷 = {𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastSβ€˜π‘€) = (π‘€β€˜0)}
53, 4elrab2 3681 . . 3 (𝑑 ∈ 𝐷 ↔ (𝑑 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)))
6 nnnn0 12480 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
7 iswwlksn 29597 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑑 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑑 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))))
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑑 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑑 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))))
9 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
10 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
119, 10iswwlks 29595 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ (𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑑 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ (𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
1312anbi1d 629 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑑 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ↔ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))))
148, 13bitrd 279 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑑 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))))
15 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
16 peano2nn0 12513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
176, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
18 nnre 12220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
1918lep1d 12146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ≀ (𝑁 + 1))
20 elfz2nn0 13595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (𝑁 + 1)))
216, 17, 19, 20syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
2221adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
23 oveq2 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (0...(β™―β€˜π‘‘)) = (0...(𝑁 + 1)))
2423eleq2d 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
2524adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
2625adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
2722, 26mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘)))
2815, 27jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘))))
29 pfxlen 14637 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘))) β†’ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁)
3130ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁))
32313ad2antl2 1183 . . . . . . . . . 10 (((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁))
3332impcom 407 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁)
3433adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁)
35 pfxcl 14631 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
36353ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
3736ad2antrl 725 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ (𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
3837ad2antrl 725 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ (𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
39 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ ((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1) = ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))
4039oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)) = (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)))
41 nncn 12221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
42 1cnd 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
4341, 42pncand 11573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
4443oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ β„• β†’ (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) = (0..^𝑁))
4540, 44sylan9eqr 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)) = (0..^𝑁))
4645raleqdv 3319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
47 nnz 12580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
48 peano2zm 12606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€)
5018lem1d 12148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ≀ 𝑁)
51 eluz2 12829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ↔ ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ≀ 𝑁))
5249, 47, 50, 51syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
53 fzoss2 13663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^𝑁))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ β„• β†’ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^𝑁))
5554adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^𝑁))
56 ssralv 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0..^(𝑁 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^𝑁) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
58 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
5921adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
6024adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
6159, 60mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘)))
6261ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘)))
6354sseld 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
6463ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
6564imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
66 pfxfv 14636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–) = (π‘‘β€˜π‘–))
6766eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) = ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–))
6858, 62, 65, 67syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) = ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–))
6947ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
70 elfzom1elp1fzo 13702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁))
7169, 70sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁))
72 pfxfv 14636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘‘β€˜(𝑖 + 1)))
7372eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘‘β€˜(𝑖 + 1)) = ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1)))
7458, 62, 71, 73syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (π‘‘β€˜(𝑖 + 1)) = ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1)))
7568, 74preq12d 4740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ {(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} = {((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))})
7675eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ({(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
7776ralbidva 3169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
7877biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
7978ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
8079com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
8157, 80syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
8246, 81sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
8382ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))))
8483com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))))
8584com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))))
8685imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
87863adant1 1127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
8887imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
8988impcom 407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
9089ad2antrl 725 . . . . . . . . . . 11 (((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
91 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁 β†’ ((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ 1))
9291oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁 β†’ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)) = (0..^(𝑁 βˆ’ 1)))
9392adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)) = (0..^(𝑁 βˆ’ 1)))
9493raleqdv 3319 . . . . . . . . . . 11 (((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
9590, 94mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
96 simprl2 1216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
9719ancli 548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑁 ≀ (𝑁 + 1)))
9847peano2zd 12670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
99 fznn 13572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 + 1) ∈ β„€ β†’ (𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑁 ≀ (𝑁 + 1))))
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑁 ≀ (𝑁 + 1))))
10197, 100mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
102101adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
103 oveq2 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (1...(β™―β€˜π‘‘)) = (1...(𝑁 + 1)))
104103eleq2d 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜π‘‘)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
105104adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜π‘‘)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
106105adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ (𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜π‘‘)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
107102, 106mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜π‘‘)))
10896, 107jca 511 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜π‘‘))))
109108adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜π‘‘))))
110 pfxfvlsw 14649 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜π‘‘))) β†’ (lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = (π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ (lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = (π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
112 pfxfv0 14646 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜π‘‘))) β†’ ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0) = (π‘‘β€˜0))
113108, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0) = (π‘‘β€˜0))
114113adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0) = (π‘‘β€˜0))
115111, 114preq12d 4740 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ {(lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0)} = {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜0)})
116 eqcom 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0) ↔ (π‘‘β€˜0) = (lastSβ€˜π‘‘))
117116biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0) β†’ (π‘‘β€˜0) = (lastSβ€˜π‘‘))
118117adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ (π‘‘β€˜0) = (lastSβ€˜π‘‘))
119 lsw 14518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)))
1201193ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)))
121120ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)))
122121adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)))
12339adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ ((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1) = ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))
124123, 43sylan9eqr 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ ((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1) = 𝑁)
125124adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ ((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1) = 𝑁)
126125fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ (π‘‘β€˜((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)) = (π‘‘β€˜π‘))
127118, 122, 1263eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ (π‘‘β€˜0) = (π‘‘β€˜π‘))
128127preq2d 4739 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜0)} = {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)})
12939, 43sylan9eq 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1) = 𝑁)
130129oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)) = (0..^𝑁))
131130raleqdv 3319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
132 fzo0end 13727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁))
133 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) = (π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
134 fvoveq1 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ (π‘‘β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘‘β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
135133, 134preq12d 4740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ {(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} = {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))})
136135eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ ({(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
137136rspcva 3604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
138132, 137sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
13941, 42npcand 11576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
140139fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘‘β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)) = (π‘‘β€˜π‘))
141140preq2d 4739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ β„• β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} = {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)})
142141eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ β„• β†’ ({(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
143142biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ β„• β†’ ({(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
144143adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ({(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
145138, 144mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
146145ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
147146adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
148131, 147sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
149148ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
150149com3r 87 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
1511503ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
152151imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
153152impcom 407 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
154153adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
155128, 154eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
156115, 155eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ {(lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
157156adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ {(lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
15838, 95, 1573jca 1125 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ ((𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
159 simpl 482 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁)
160158, 159jca 511 . . . . . . . 8 (((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ (((𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁))
16134, 160mpancom 685 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ (((𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁))
162161exp31 419 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ ((lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0) β†’ (((𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁))))
16314, 162sylbid 239 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑑 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ ((lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0) β†’ (((𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁))))
164163imp32 418 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑑 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ (((𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁))
1659, 10isclwwlknx 29794 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑑 prefix 𝑁) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (((𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁)))
166165adantr 480 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑑 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ ((𝑑 prefix 𝑁) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (((𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁)))
167164, 166mpbird 257 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑑 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ (𝑑 prefix 𝑁) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
1685, 167sylan2b 593 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (𝑑 prefix 𝑁) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
169 clwwlkf1o.f . 2 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ (𝑑 prefix 𝑁))
170168, 169fmptd 7108 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐹:𝐷⟢(𝑁 ClWWalksN 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  {crab 3426   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  {cpr 4625   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ≀ cle 11250   βˆ’ cmin 11445  β„•cn 12213  β„•0cn0 12473  β„€cz 12559  β„€β‰₯cuz 12823  ...cfz 13487  ..^cfzo 13630  β™―chash 14293  Word cword 14468  lastSclsw 14516   prefix cpfx 14624  Vtxcvtx 28760  Edgcedg 28811  WWalkscwwlks 29584   WWalksN cwwlksn 29585   ClWWalksN cclwwlkn 29782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-hash 14294  df-word 14469  df-lsw 14517  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-wwlks 29589  df-wwlksn 29590  df-clwwlk 29740  df-clwwlkn 29783
This theorem is referenced by:  clwwlkf1  29807  clwwlkfo  29808
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