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Theorem clwwlkf 29289
Description: Lemma 1 for clwwlkf1o 29293: F is a function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Sep-2018.) (Revised by AV, 26-Apr-2021.) (Revised by AV, 1-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlkf1o.d 𝐷 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastS‘𝑤) = (𝑤‘0)}
clwwlkf1o.f 𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝑡 prefix 𝑁))
Assertion
Ref Expression
clwwlkf (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝐷⟶(𝑁 ClWWalksN 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑡,𝐷   𝑡,𝐺,𝑤   𝑡,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤)   𝐹(𝑤,𝑡)

Proof of Theorem clwwlkf
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6888 . . . . 5 (𝑤 = 𝑡 → (lastS‘𝑤) = (lastS‘𝑡))
2 fveq1 6887 . . . . 5 (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘0) = (𝑡‘0))
31, 2eqeq12d 2748 . . . 4 (𝑤 = 𝑡 → ((lastS‘𝑤) = (𝑤‘0) ↔ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0)))
4 clwwlkf1o.d . . . 4 𝐷 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastS‘𝑤) = (𝑤‘0)}
53, 4elrab2 3685 . . 3 (𝑡𝐷 ↔ (𝑡 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0)))
6 nnnn0 12475 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
7 iswwlksn 29081 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑡 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑡 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))))
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑡 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑡 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))))
9 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
10 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
119, 10iswwlks 29079 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑡 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
1312anbi1d 630 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ↔ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))))
148, 13bitrd 278 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑡 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))))
15 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
16 peano2nn0 12508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
176, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
18 nnre 12215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
1918lep1d 12141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
20 elfz2nn0 13588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
216, 17, 19, 20syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
2221adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
23 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (0...(♯‘𝑡)) = (0...(𝑁 + 1)))
2423eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
2524adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
2625adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
2722, 26mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑡)))
2815, 27jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑡))))
29 pfxlen 14629 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑡))) → (♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) = 𝑁)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) = 𝑁)
3130ex 413 . . . . . . . . . . 11 ((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) = 𝑁))
32313ad2antl2 1186 . . . . . . . . . 10 (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) = 𝑁))
3332impcom 408 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → (♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) = 𝑁)
3433adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0)) → (♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) = 𝑁)
35 pfxcl 14623 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑡 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
36353ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑡 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
3736ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → (𝑡 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
3837ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10 (((♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (𝑡 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
39 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑡) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
4039oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (0..^((♯‘𝑡) − 1)) = (0..^((𝑁 + 1) − 1)))
41 nncn 12216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
42 1cnd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
4341, 42pncand 11568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
4443oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℕ → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^𝑁))
4540, 44sylan9eqr 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (0..^((♯‘𝑡) − 1)) = (0..^𝑁))
4645raleqdv 3325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
47 nnz 12575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
48 peano2zm 12601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
5018lem1d 12143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
51 eluz2 12824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ≤ 𝑁))
5249, 47, 50, 51syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
53 fzoss2 13656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
5554adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
56 ssralv 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
58 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
5921adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
6024adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
6159, 60mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑡)))
6261ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑡)))
6354sseld 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
6463ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
6564imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
66 pfxfv 14628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑡 prefix 𝑁)‘𝑖) = (𝑡𝑖))
6766eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑡𝑖) = ((𝑡 prefix 𝑁)‘𝑖))
6858, 62, 65, 67syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑡𝑖) = ((𝑡 prefix 𝑁)‘𝑖))
6947ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → 𝑁 ∈ ℤ)
70 elfzom1elp1fzo 13695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁))
7169, 70sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁))
72 pfxfv 14628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑡)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑡 prefix 𝑁)‘(𝑖 + 1)) = (𝑡‘(𝑖 + 1)))
7372eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑡)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁)) → (𝑡‘(𝑖 + 1)) = ((𝑡 prefix 𝑁)‘(𝑖 + 1)))
7458, 62, 71, 73syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑡‘(𝑖 + 1)) = ((𝑡 prefix 𝑁)‘(𝑖 + 1)))
7568, 74preq12d 4744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → {(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} = {((𝑡 prefix 𝑁)‘𝑖), ((𝑡 prefix 𝑁)‘(𝑖 + 1))})
7675eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ({(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑡 prefix 𝑁)‘𝑖), ((𝑡 prefix 𝑁)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
7776ralbidva 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 prefix 𝑁)‘𝑖), ((𝑡 prefix 𝑁)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
7877biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 prefix 𝑁)‘𝑖), ((𝑡 prefix 𝑁)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
7978ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 prefix 𝑁)‘𝑖), ((𝑡 prefix 𝑁)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
8079com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 prefix 𝑁)‘𝑖), ((𝑡 prefix 𝑁)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
8157, 80syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 prefix 𝑁)‘𝑖), ((𝑡 prefix 𝑁)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
8246, 81sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 prefix 𝑁)‘𝑖), ((𝑡 prefix 𝑁)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
8382ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → ((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 prefix 𝑁)‘𝑖), ((𝑡 prefix 𝑁)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
8483com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 prefix 𝑁)‘𝑖), ((𝑡 prefix 𝑁)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
8584com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 prefix 𝑁)‘𝑖), ((𝑡 prefix 𝑁)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
8685imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 prefix 𝑁)‘𝑖), ((𝑡 prefix 𝑁)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
87863adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 prefix 𝑁)‘𝑖), ((𝑡 prefix 𝑁)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
8887imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 prefix 𝑁)‘𝑖), ((𝑡 prefix 𝑁)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
8988impcom 408 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 prefix 𝑁)‘𝑖), ((𝑡 prefix 𝑁)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
9089ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 prefix 𝑁)‘𝑖), ((𝑡 prefix 𝑁)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
91 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) = 𝑁 → ((♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) − 1) = (𝑁 − 1))
9291oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) = 𝑁 → (0..^((♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) − 1)) = (0..^(𝑁 − 1)))
9392adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (0..^((♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) − 1)) = (0..^(𝑁 − 1)))
9493raleqdv 3325 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) − 1)){((𝑡 prefix 𝑁)‘𝑖), ((𝑡 prefix 𝑁)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 prefix 𝑁)‘𝑖), ((𝑡 prefix 𝑁)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
9590, 94mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (((♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) − 1)){((𝑡 prefix 𝑁)‘𝑖), ((𝑡 prefix 𝑁)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
96 simprl2 1219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
9719ancli 549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
9847peano2zd 12665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
99 fznn 13565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))))
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))))
10197, 100mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
102101adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
103 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (1...(♯‘𝑡)) = (1...(𝑁 + 1)))
104103eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
105104adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
106105adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
107102, 106mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑡)))
10896, 107jca 512 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑡))))
109108adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0)) → (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑡))))
110 pfxfvlsw 14641 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑡))) → (lastS‘(𝑡 prefix 𝑁)) = (𝑡‘(𝑁 − 1)))
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0)) → (lastS‘(𝑡 prefix 𝑁)) = (𝑡‘(𝑁 − 1)))
112 pfxfv0 14638 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑡))) → ((𝑡 prefix 𝑁)‘0) = (𝑡‘0))
113108, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → ((𝑡 prefix 𝑁)‘0) = (𝑡‘0))
114113adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0)) → ((𝑡 prefix 𝑁)‘0) = (𝑡‘0))
115111, 114preq12d 4744 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0)) → {(lastS‘(𝑡 prefix 𝑁)), ((𝑡 prefix 𝑁)‘0)} = {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘0)})
116 eqcom 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((lastS‘𝑡) = (𝑡‘0) ↔ (𝑡‘0) = (lastS‘𝑡))
117116biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((lastS‘𝑡) = (𝑡‘0) → (𝑡‘0) = (lastS‘𝑡))
118117adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0)) → (𝑡‘0) = (lastS‘𝑡))
119 lsw 14510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (lastS‘𝑡) = (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)))
1201193ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (lastS‘𝑡) = (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)))
121120ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → (lastS‘𝑡) = (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)))
122121adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0)) → (lastS‘𝑡) = (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)))
12339adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → ((♯‘𝑡) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
124123, 43sylan9eqr 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → ((♯‘𝑡) − 1) = 𝑁)
125124adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0)) → ((♯‘𝑡) − 1) = 𝑁)
126125fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0)) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)) = (𝑡𝑁))
127118, 122, 1263eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0)) → (𝑡‘0) = (𝑡𝑁))
128127preq2d 4743 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0)) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘0)} = {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)})
12939, 43sylan9eq 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑡) − 1) = 𝑁)
130129oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0..^((♯‘𝑡) − 1)) = (0..^𝑁))
131130raleqdv 3325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
132 fzo0end 13720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
133 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 = (𝑁 − 1) → (𝑡𝑖) = (𝑡‘(𝑁 − 1)))
134 fvoveq1 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 = (𝑁 − 1) → (𝑡‘(𝑖 + 1)) = (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1)))
135133, 134preq12d 4744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 = (𝑁 − 1) → {(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} = {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))})
136135eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 = (𝑁 − 1) → ({(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
137136rspcva 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
138132, 137sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
13941, 42npcand 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
140139fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑡𝑁))
141140preq2d 4743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} = {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)})
142141eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → ({(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))
143142biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → ({(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))
144143adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ({(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))
145138, 144mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺))
146145ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))
147146adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))
148131, 147sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))
149148ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺))))
150149com3r 87 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺))))
1511503ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((♯‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺))))
152151imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))
153152impcom 408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺))
154153adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0)) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺))
155128, 154eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0)) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
156115, 155eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0)) → {(lastS‘(𝑡 prefix 𝑁)), ((𝑡 prefix 𝑁)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
157156adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0))) → {(lastS‘(𝑡 prefix 𝑁)), ((𝑡 prefix 𝑁)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
15838, 95, 1573jca 1128 . . . . . . . . 9 (((♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0))) → ((𝑡 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) − 1)){((𝑡 prefix 𝑁)‘𝑖), ((𝑡 prefix 𝑁)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑡 prefix 𝑁)), ((𝑡 prefix 𝑁)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
159 simpl 483 . . . . . . . . 9 (((♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) = 𝑁)
160158, 159jca 512 . . . . . . . 8 (((♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (((𝑡 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) − 1)){((𝑡 prefix 𝑁)‘𝑖), ((𝑡 prefix 𝑁)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑡 prefix 𝑁)), ((𝑡 prefix 𝑁)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) = 𝑁))
16134, 160mpancom 686 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0)) → (((𝑡 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) − 1)){((𝑡 prefix 𝑁)‘𝑖), ((𝑡 prefix 𝑁)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑡 prefix 𝑁)), ((𝑡 prefix 𝑁)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) = 𝑁))
162161exp31 420 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → ((lastS‘𝑡) = (𝑡‘0) → (((𝑡 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) − 1)){((𝑡 prefix 𝑁)‘𝑖), ((𝑡 prefix 𝑁)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑡 prefix 𝑁)), ((𝑡 prefix 𝑁)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) = 𝑁))))
16314, 162sylbid 239 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑡 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((lastS‘𝑡) = (𝑡‘0) → (((𝑡 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) − 1)){((𝑡 prefix 𝑁)‘𝑖), ((𝑡 prefix 𝑁)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑡 prefix 𝑁)), ((𝑡 prefix 𝑁)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) = 𝑁))))
164163imp32 419 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑡 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (((𝑡 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) − 1)){((𝑡 prefix 𝑁)‘𝑖), ((𝑡 prefix 𝑁)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑡 prefix 𝑁)), ((𝑡 prefix 𝑁)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) = 𝑁))
1659, 10isclwwlknx 29278 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑡 prefix 𝑁) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (((𝑡 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) − 1)){((𝑡 prefix 𝑁)‘𝑖), ((𝑡 prefix 𝑁)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑡 prefix 𝑁)), ((𝑡 prefix 𝑁)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) = 𝑁)))
166165adantr 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑡 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0))) → ((𝑡 prefix 𝑁) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (((𝑡 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) − 1)){((𝑡 prefix 𝑁)‘𝑖), ((𝑡 prefix 𝑁)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑡 prefix 𝑁)), ((𝑡 prefix 𝑁)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘(𝑡 prefix 𝑁)) = 𝑁)))
167164, 166mpbird 256 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑡 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (lastS‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (𝑡 prefix 𝑁) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
1685, 167sylan2b 594 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡𝐷) → (𝑡 prefix 𝑁) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
169 clwwlkf1o.f . 2 𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝑡 prefix 𝑁))
170168, 169fmptd 7110 1 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝐷⟶(𝑁 ClWWalksN 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  wral 3061  {crab 3432  wss 3947  c0 4321  {cpr 4629   class class class wbr 5147  cmpt 5230  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  cle 11245  cmin 11440  cn 12208  0cn0 12468  cz 12554  cuz 12818  ...cfz 13480  ..^cfzo 13623  chash 14286  Word cword 14460  lastSclsw 14508   prefix cpfx 14616  Vtxcvtx 28245  Edgcedg 28296  WWalkscwwlks 29068   WWalksN cwwlksn 29069   ClWWalksN cclwwlkn 29266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-lsw 14509  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-wwlks 29073  df-wwlksn 29074  df-clwwlk 29224  df-clwwlkn 29267
This theorem is referenced by:  clwwlkf1  29291  clwwlkfo  29292
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