MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlkf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlkf 29040
Description: Lemma 1 for clwwlkf1o 29044: F is a function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Sep-2018.) (Revised by AV, 26-Apr-2021.) (Revised by AV, 1-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlkf1o.d 𝐷 = {𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastSβ€˜π‘€) = (π‘€β€˜0)}
clwwlkf1o.f 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ (𝑑 prefix 𝑁))
Assertion
Ref Expression
clwwlkf (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐹:𝐷⟢(𝑁 ClWWalksN 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑀,𝐺   𝑀,𝑁   𝑑,𝐷   𝑑,𝐺,𝑀   𝑑,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑀)   𝐹(𝑀,𝑑)

Proof of Theorem clwwlkf
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6846 . . . . 5 (𝑀 = 𝑑 β†’ (lastSβ€˜π‘€) = (lastSβ€˜π‘‘))
2 fveq1 6845 . . . . 5 (𝑀 = 𝑑 β†’ (π‘€β€˜0) = (π‘‘β€˜0))
31, 2eqeq12d 2749 . . . 4 (𝑀 = 𝑑 β†’ ((lastSβ€˜π‘€) = (π‘€β€˜0) ↔ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)))
4 clwwlkf1o.d . . . 4 𝐷 = {𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastSβ€˜π‘€) = (π‘€β€˜0)}
53, 4elrab2 3652 . . 3 (𝑑 ∈ 𝐷 ↔ (𝑑 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)))
6 nnnn0 12428 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
7 iswwlksn 28832 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑑 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑑 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))))
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑑 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑑 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))))
9 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
10 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
119, 10iswwlks 28830 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ (𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑑 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ (𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
1312anbi1d 631 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑑 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ↔ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))))
148, 13bitrd 279 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑑 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))))
15 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
16 peano2nn0 12461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
176, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
18 nnre 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
1918lep1d 12094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ≀ (𝑁 + 1))
20 elfz2nn0 13541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (𝑁 + 1)))
216, 17, 19, 20syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
2221adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
23 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (0...(β™―β€˜π‘‘)) = (0...(𝑁 + 1)))
2423eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
2524adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
2625adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
2722, 26mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘)))
2815, 27jca 513 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘))))
29 pfxlen 14580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘))) β†’ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁)
3130ex 414 . . . . . . . . . . 11 ((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁))
32313ad2antl2 1187 . . . . . . . . . 10 (((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁))
3332impcom 409 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁)
3433adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁)
35 pfxcl 14574 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
36353ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
3736ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ (𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
3837ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ (𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
39 oveq1 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ ((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1) = ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))
4039oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)) = (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)))
41 nncn 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
42 1cnd 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
4341, 42pncand 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
4443oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ β„• β†’ (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) = (0..^𝑁))
4540, 44sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)) = (0..^𝑁))
4645raleqdv 3312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
47 nnz 12528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
48 peano2zm 12554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€)
5018lem1d 12096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ≀ 𝑁)
51 eluz2 12777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ↔ ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ≀ 𝑁))
5249, 47, 50, 51syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
53 fzoss2 13609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^𝑁))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ β„• β†’ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^𝑁))
5554adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^𝑁))
56 ssralv 4014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0..^(𝑁 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^𝑁) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
58 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
5921adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
6024adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
6159, 60mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘)))
6261ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘)))
6354sseld 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
6463ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
6564imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
66 pfxfv 14579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–) = (π‘‘β€˜π‘–))
6766eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) = ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–))
6858, 62, 65, 67syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) = ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–))
6947ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
70 elfzom1elp1fzo 13648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁))
7169, 70sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁))
72 pfxfv 14579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘‘β€˜(𝑖 + 1)))
7372eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘‘)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘‘β€˜(𝑖 + 1)) = ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1)))
7458, 62, 71, 73syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (π‘‘β€˜(𝑖 + 1)) = ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1)))
7568, 74preq12d 4706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ {(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} = {((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))})
7675eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ({(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
7776ralbidva 3169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
7877biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
7978ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
8079com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
8157, 80syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
8246, 81sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
8382ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))))
8483com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))))
8584com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))))
8685imp 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
87863adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
8887imp 408 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
8988impcom 409 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
9089ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 (((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
91 oveq1 7368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁 β†’ ((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ 1))
9291oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁 β†’ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)) = (0..^(𝑁 βˆ’ 1)))
9392adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)) = (0..^(𝑁 βˆ’ 1)))
9493raleqdv 3312 . . . . . . . . . . 11 (((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
9590, 94mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
96 simprl2 1220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
9719ancli 550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑁 ≀ (𝑁 + 1)))
9847peano2zd 12618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
99 fznn 13518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 + 1) ∈ β„€ β†’ (𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑁 ≀ (𝑁 + 1))))
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑁 ≀ (𝑁 + 1))))
10197, 100mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
102101adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
103 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (1...(β™―β€˜π‘‘)) = (1...(𝑁 + 1)))
104103eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜π‘‘)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
105104adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜π‘‘)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
106105adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ (𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜π‘‘)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
107102, 106mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜π‘‘)))
10896, 107jca 513 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜π‘‘))))
109108adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜π‘‘))))
110 pfxfvlsw 14592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜π‘‘))) β†’ (lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = (π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ (lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = (π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
112 pfxfv0 14589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ (1...(β™―β€˜π‘‘))) β†’ ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0) = (π‘‘β€˜0))
113108, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0) = (π‘‘β€˜0))
114113adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0) = (π‘‘β€˜0))
115111, 114preq12d 4706 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ {(lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0)} = {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜0)})
116 eqcom 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0) ↔ (π‘‘β€˜0) = (lastSβ€˜π‘‘))
117116biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0) β†’ (π‘‘β€˜0) = (lastSβ€˜π‘‘))
118117adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ (π‘‘β€˜0) = (lastSβ€˜π‘‘))
119 lsw 14461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)))
1201193ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)))
121120ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)))
122121adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)))
12339adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ ((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1) = ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))
124123, 43sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ ((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1) = 𝑁)
125124adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ ((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1) = 𝑁)
126125fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ (π‘‘β€˜((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)) = (π‘‘β€˜π‘))
127118, 122, 1263eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ (π‘‘β€˜0) = (π‘‘β€˜π‘))
128127preq2d 4705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜0)} = {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)})
12939, 43sylan9eq 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1) = 𝑁)
130129oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)) = (0..^𝑁))
131130raleqdv 3312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
132 fzo0end 13673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁))
133 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) = (π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
134 fvoveq1 7384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ (π‘‘β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘‘β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
135133, 134preq12d 4706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ {(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} = {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))})
136135eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ ({(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
137136rspcva 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
138132, 137sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
13941, 42npcand 11524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
140139fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘‘β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)) = (π‘‘β€˜π‘))
141140preq2d 4705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ β„• β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} = {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)})
142141eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ β„• β†’ ({(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
143142biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ β„• β†’ ({(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
144143adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ({(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
145138, 144mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
146145ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
147146adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
148131, 147sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
149148ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
150149com3r 87 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
1511503ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
152151imp 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
153152impcom 409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
154153adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜π‘)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
155128, 154eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ {(π‘‘β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), (π‘‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
156115, 155eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ {(lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
157156adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ {(lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
15838, 95, 1573jca 1129 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ ((𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
159 simpl 484 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁)
160158, 159jca 513 . . . . . . . 8 (((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ (((𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁))
16134, 160mpancom 687 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1))) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0)) β†’ (((𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁))
162161exp31 421 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((𝑑 β‰  βˆ… ∧ 𝑑 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘‘) βˆ’ 1)){(π‘‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘‘) = (𝑁 + 1)) β†’ ((lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0) β†’ (((𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁))))
16314, 162sylbid 239 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑑 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ ((lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0) β†’ (((𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁))))
164163imp32 420 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑑 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ (((𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁))
1659, 10isclwwlknx 29029 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑑 prefix 𝑁) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (((𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁)))
166165adantr 482 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑑 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ ((𝑑 prefix 𝑁) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (((𝑑 prefix 𝑁) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) βˆ’ 1)){((𝑑 prefix 𝑁)β€˜π‘–), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜(𝑑 prefix 𝑁)), ((𝑑 prefix 𝑁)β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜(𝑑 prefix 𝑁)) = 𝑁)))
167164, 166mpbird 257 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑑 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (lastSβ€˜π‘‘) = (π‘‘β€˜0))) β†’ (𝑑 prefix 𝑁) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
1685, 167sylan2b 595 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (𝑑 prefix 𝑁) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
169 clwwlkf1o.f . 2 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ (𝑑 prefix 𝑁))
170168, 169fmptd 7066 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐹:𝐷⟢(𝑁 ClWWalksN 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3406   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  {cpr 4592   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  β„•cn 12161  β„•0cn0 12421  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  ...cfz 13433  ..^cfzo 13576  β™―chash 14239  Word cword 14411  lastSclsw 14459   prefix cpfx 14567  Vtxcvtx 27996  Edgcedg 28047  WWalkscwwlks 28819   WWalksN cwwlksn 28820   ClWWalksN cclwwlkn 29017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-hash 14240  df-word 14412  df-lsw 14460  df-substr 14538  df-pfx 14568  df-wwlks 28824  df-wwlksn 28825  df-clwwlk 28975  df-clwwlkn 29018
This theorem is referenced by:  clwwlkf1  29042  clwwlkfo  29043
  Copyright terms: Public domain W3C validator