MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwlkclwwlklem2a3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwlkclwwlklem2a3 29791
Description: Lemma 3 for clwlkclwwlklem2a 29795. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jun-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
clwlkclwwlklem2.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ (0..^((β™―β€˜π‘ƒ) βˆ’ 1)) ↦ if(π‘₯ < ((β™―β€˜π‘ƒ) βˆ’ 2), (β—‘πΈβ€˜{(π‘ƒβ€˜π‘₯), (π‘ƒβ€˜(π‘₯ + 1))}), (β—‘πΈβ€˜{(π‘ƒβ€˜π‘₯), (π‘ƒβ€˜0)})))
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlklem2a3 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = (lastSβ€˜π‘ƒ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝐸   π‘₯,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem clwlkclwwlklem2a3
StepHypRef Expression
1 lsw 14538 . . 3 (𝑃 ∈ Word 𝑉 β†’ (lastSβ€˜π‘ƒ) = (π‘ƒβ€˜((β™―β€˜π‘ƒ) βˆ’ 1)))
21adantr 480 . 2 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ (lastSβ€˜π‘ƒ) = (π‘ƒβ€˜((β™―β€˜π‘ƒ) βˆ’ 1)))
3 clwlkclwwlklem2.f . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ (0..^((β™―β€˜π‘ƒ) βˆ’ 1)) ↦ if(π‘₯ < ((β™―β€˜π‘ƒ) βˆ’ 2), (β—‘πΈβ€˜{(π‘ƒβ€˜π‘₯), (π‘ƒβ€˜(π‘₯ + 1))}), (β—‘πΈβ€˜{(π‘ƒβ€˜π‘₯), (π‘ƒβ€˜0)})))
43clwlkclwwlklem2a2 29790 . . . 4 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ (β™―β€˜πΉ) = ((β™―β€˜π‘ƒ) βˆ’ 1))
54eqcomd 2733 . . 3 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ ((β™―β€˜π‘ƒ) βˆ’ 1) = (β™―β€˜πΉ))
65fveq2d 6895 . 2 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘ƒβ€˜((β™―β€˜π‘ƒ) βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))
72, 6eqtr2d 2768 1 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = (lastSβ€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ifcif 4524  {cpr 4626   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  β—‘ccnv 5671  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   < clt 11270   ≀ cle 11271   βˆ’ cmin 11466  2c2 12289  ..^cfzo 13651  β™―chash 14313  Word cword 14488  lastSclsw 14536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489  df-lsw 14537
This theorem is referenced by:  clwlkclwwlklem2a  29795
  Copyright terms: Public domain W3C validator