Theorem clwwisshclwwslem 30434

Description: Lemma for clwwisshclwws 30435. (Contributed by AV, 24-Mar-2018.) (Revised by AV, 28-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwwisshclwwslem	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑖,𝑉,𝑗   𝑖,𝑊,𝑗

Proof of Theorem clwwisshclwwslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13706	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		cshwlen 14862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))
3	1, 2	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))
4	3	oveq1d 7434	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
5	4	oveq2d 7435	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)) = (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
6	5	eleq2d 2851	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)) ↔ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))))
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)) ↔ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))))
8		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
9	1	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		lencl 14590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
11		nn0z 12632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
12		peano2zm 12654	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
14		nn0re 12530	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
15	14	lem1d 12165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊))
16		eluz2 12886	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑊) − 1)) ↔ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊)))
17	13, 11, 15, 16	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑊) − 1)))
18	10, 17	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑊) − 1)))
19	18	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑊) − 1)))
20		fzoss2 13735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑊) − 1)) → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
21	19, 20	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
22	21	sselda 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
23		cshwidxmod 14866	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗) = (𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
24	8, 9, 22, 23	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗) = (𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
25		elfzo1 13760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)))
26	25	simp2bi 1164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
27	26	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
28		elfzom1p1elfzo 13793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
29	27, 28	sylan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
30		cshwidxmod 14866	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1)) = (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
31	8, 9, 29, 30	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1)) = (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
32	24, 31	preq12d 4709	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} = {(𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))), (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))})
33	32	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} = {(𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))), (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))})
34		2z 12643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 2 ∈ ℤ)
36		nnz 12629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
37	36	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
38		nnnn0 12528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
39	38	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
40		nnne0 12287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ≠ 0)
41	40	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ≠ 0)
42		1red 11226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 1 ∈ ℝ)
43		nnre 12257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
44	43	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℝ)
45		nnre 12257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
46	45	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
47		nnge1 12281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
48	47	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 1 ≤ 𝑁)
49		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 𝑁 < (♯‘𝑊))
50	42, 44, 46, 48, 49	lelttrd 11385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 1 < (♯‘𝑊))
51	42, 50	gtned 11362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ≠ 1)
52		nn0n0n1ge2 12589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 1) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
53	39, 41, 51, 52	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
54		eluz2 12886	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)))
55	35, 37, 53, 54	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘2))
56	25, 55	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘2))
57	56	ad3antlr 744	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘2))
58		elfzoelz 13706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
59	58	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑗 ∈ ℤ)
60	1	ad3antlr 744	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
61		simplrl 789	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
62		lsw 14621	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
63	62	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
64	63	preq1d 4707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)})
65	64	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
66	65	biimpcd 252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
67	66	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
68	67	impcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)
69	68	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)
70		clwwisshclwwslemlem 30433	. . . . . . 7 ⊢ ((((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → {(𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))), (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))} ∈ 𝐸)
71	57, 59, 60, 61, 69, 70	syl311anc 1411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → {(𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))), (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))} ∈ 𝐸)
72	33, 71	eqeltrd 2865	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸)
73	72	ex 418	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸))
74	7, 73	sylbid 243	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸))
75	74	ralrimiv 3158	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸)
76	75	ex 418	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081   ⊆ wss 3906  {cpr 4593   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝcr 11116  0cc0 11117  1c1 11118   + caddc 11120   < clt 11260   ≤ cle 11261   − cmin 11458  ℕcn 12250  2c2 12312  ℕ₀cn0 12521  ℤcz 12608  ℤ_≥cuz 12880  ..^cfzo 13701   mod cmo 13922  ♯chash 14386  Word cword 14570  lastSclsw 14619   cyclShift ccsh 14851

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-hash 14387  df-word 14571  df-lsw 14620  df-concat 14628  df-substr 14701  df-pfx 14733  df-csh 14852

This theorem is used by:  clwwisshclwws  30435