Theorem clwwisshclwwslem 30038

Description: Lemma for clwwisshclwws 30039. (Contributed by AV, 24-Mar-2018.) (Revised by AV, 28-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwwisshclwwslem	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑖,𝑉,𝑗   𝑖,𝑊,𝑗

Proof of Theorem clwwisshclwwslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13573	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		cshwlen 14720	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))
3	1, 2	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))
4	3	oveq1d 7371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
5	4	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)) = (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
6	5	eleq2d 2820	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)) ↔ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))))
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)) ↔ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))))
8		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
9	1	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		lencl 14454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
11		nn0z 12510	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
12		peano2zm 12532	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
14		nn0re 12408	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
15	14	lem1d 12073	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊))
16		eluz2 12755	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑊) − 1)) ↔ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊)))
17	13, 11, 15, 16	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑊) − 1)))
18	10, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑊) − 1)))
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑊) − 1)))
20		fzoss2 13601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑊) − 1)) → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
22	21	sselda 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
23		cshwidxmod 14724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗) = (𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
24	8, 9, 22, 23	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗) = (𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
25		elfzo1 13626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)))
26	25	simp2bi 1146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
28		elfzom1p1elfzo 13659	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
29	27, 28	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
30		cshwidxmod 14724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1)) = (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
31	8, 9, 29, 30	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1)) = (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
32	24, 31	preq12d 4696	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} = {(𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))), (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))})
33	32	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} = {(𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))), (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))})
34		2z 12521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 2 ∈ ℤ)
36		nnz 12507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
37	36	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
38		nnnn0 12406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
39	38	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
40		nnne0 12177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ≠ 0)
41	40	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ≠ 0)
42		1red 11131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 1 ∈ ℝ)
43		nnre 12150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
44	43	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℝ)
45		nnre 12150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
46	45	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
47		nnge1 12171	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
48	47	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 1 ≤ 𝑁)
49		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 𝑁 < (♯‘𝑊))
50	42, 44, 46, 48, 49	lelttrd 11289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 1 < (♯‘𝑊))
51	42, 50	gtned 11266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ≠ 1)
52		nn0n0n1ge2 12467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 1) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
53	39, 41, 51, 52	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
54		eluz2 12755	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)))
55	35, 37, 53, 54	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘2))
56	25, 55	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘2))
57	56	ad3antlr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘2))
58		elfzoelz 13573	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
59	58	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑗 ∈ ℤ)
60	1	ad3antlr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
61		simplrl 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
62		lsw 14485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
64	63	preq1d 4694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)})
65	64	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
66	65	biimpcd 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
67	66	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
68	67	impcom 407	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)
69	68	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)
70		clwwisshclwwslemlem 30037	. . . . . . 7 ⊢ ((((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → {(𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))), (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))} ∈ 𝐸)
71	57, 59, 60, 61, 69, 70	syl311anc 1386	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → {(𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))), (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))} ∈ 𝐸)
72	33, 71	eqeltrd 2834	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸)
73	72	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸))
74	7, 73	sylbid 240	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸))
75	74	ralrimiv 3125	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸)
76	75	ex 412	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049   ⊆ wss 3899  {cpr 4580   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027   < clt 11164   ≤ cle 11165   − cmin 11362  ℕcn 12143  2c2 12198  ℕ₀cn0 12399  ℤcz 12486  ℤ_≥cuz 12749  ..^cfzo 13568   mod cmo 13787  ♯chash 14251  Word cword 14434  lastSclsw 14483   cyclShift ccsh 14709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-inf 9344  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-mod 13788  df-hash 14252  df-word 14435  df-lsw 14484  df-concat 14492  df-substr 14563  df-pfx 14593  df-csh 14710

This theorem is referenced by:  clwwisshclwws  30039