Theorem clwwisshclwwslem 27799

Description: Lemma for clwwisshclwws 27800. (Contributed by AV, 24-Mar-2018.) (Revised by AV, 28-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwwisshclwwslem	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑖,𝑉,𝑗   𝑖,𝑊,𝑗

Proof of Theorem clwwisshclwwslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13033	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		cshwlen 14152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))
3	1, 2	sylan2 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))
4	3	oveq1d 7150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
5	4	oveq2d 7151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)) = (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
6	5	eleq2d 2875	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)) ↔ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))))
7	6	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)) ↔ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))))
8		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
9	1	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		lencl 13876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
11		nn0z 11993	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
12		peano2zm 12013	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
14		nn0re 11894	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
15	14	lem1d 11562	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊))
16		eluz2 12237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑊) − 1)) ↔ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊)))
17	13, 11, 15, 16	syl3anbrc 1340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑊) − 1)))
18	10, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑊) − 1)))
19	18	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑊) − 1)))
20		fzoss2 13060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑊) − 1)) → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
22	21	sselda 3915	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
23		cshwidxmod 14156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗) = (𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
24	8, 9, 22, 23	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗) = (𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
25		elfzo1 13082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)))
26	25	simp2bi 1143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
27	26	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
28		elfzom1p1elfzo 13112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
29	27, 28	sylan 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
30		cshwidxmod 14156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1)) = (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
31	8, 9, 29, 30	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1)) = (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
32	24, 31	preq12d 4637	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} = {(𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))), (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))})
33	32	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} = {(𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))), (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))})
34		2z 12002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 2 ∈ ℤ)
36		nnz 11992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
37	36	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
38		nnnn0 11892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
39	38	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
40		nnne0 11659	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ≠ 0)
41	40	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ≠ 0)
42		1red 10631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 1 ∈ ℝ)
43		nnre 11632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
44	43	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℝ)
45		nnre 11632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
46	45	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
47		nnge1 11653	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
48	47	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 1 ≤ 𝑁)
49		simp3 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 𝑁 < (♯‘𝑊))
50	42, 44, 46, 48, 49	lelttrd 10787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 1 < (♯‘𝑊))
51	42, 50	gtned 10764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ≠ 1)
52		nn0n0n1ge2 11950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 1) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
53	39, 41, 51, 52	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
54		eluz2 12237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)))
55	35, 37, 53, 54	syl3anbrc 1340	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘2))
56	25, 55	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘2))
57	56	ad3antlr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘2))
58		elfzoelz 13033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
59	58	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑗 ∈ ℤ)
60	1	ad3antlr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
61		simplrl 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
62		lsw 13907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
63	62	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
64	63	preq1d 4635	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)})
65	64	eleq1d 2874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
66	65	biimpcd 252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
67	66	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
68	67	impcom 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)
69	68	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)
70		clwwisshclwwslemlem 27798	. . . . . . 7 ⊢ ((((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → {(𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))), (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))} ∈ 𝐸)
71	57, 59, 60, 61, 69, 70	syl311anc 1381	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → {(𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))), (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))} ∈ 𝐸)
72	33, 71	eqeltrd 2890	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸)
73	72	ex 416	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸))
74	7, 73	sylbid 243	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸))
75	74	ralrimiv 3148	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸)
76	75	ex 416	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106   ⊆ wss 3881  {cpr 4527   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859  ℕcn 11625  2c2 11680  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ..^cfzo 13028   mod cmo 13232  ♯chash 13686  Word cword 13857  lastSclsw 13905   cyclShift ccsh 14141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-hash 13687  df-word 13858  df-lsw 13906  df-concat 13914  df-substr 13994  df-pfx 14024  df-csh 14142

This theorem is referenced by:  clwwisshclwws  27800