MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwisshclwwslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwisshclwwslem 27784
Description: Lemma for clwwisshclwws 27785. (Contributed by AV, 24-Mar-2018.) (Revised by AV, 28-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
clwwisshclwwslem ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑖,𝑉,𝑗   𝑖,𝑊,𝑗

Proof of Theorem clwwisshclwwslem
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 13030 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
2 cshwlen 14153 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))
31, 2sylan2 594 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))
43oveq1d 7163 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
54oveq2d 7164 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)) = (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
65eleq2d 2896 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)) ↔ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))))
76adantr 483 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)) ↔ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))))
8 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
91ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
10 lencl 13875 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
11 nn0z 11997 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
12 peano2zm 12017 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
14 nn0re 11898 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
1514lem1d 11565 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊))
16 eluz2 12241 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ‘((♯‘𝑊) − 1)) ↔ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊)))
1713, 11, 15, 16syl3anbrc 1337 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ‘((♯‘𝑊) − 1)))
1810, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ‘((♯‘𝑊) − 1)))
1918adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ‘((♯‘𝑊) − 1)))
20 fzoss2 13057 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ‘((♯‘𝑊) − 1)) → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
2221sselda 3965 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
23 cshwidxmod 14157 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗) = (𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
248, 9, 22, 23syl3anc 1365 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗) = (𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
25 elfzo1 13079 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)))
2625simp2bi 1140 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
2726adantl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
28 elfzom1p1elfzo 13109 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
2927, 28sylan 582 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
30 cshwidxmod 14157 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1)) = (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
318, 9, 29, 30syl3anc 1365 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1)) = (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
3224, 31preq12d 4669 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} = {(𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))), (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))})
3332adantlr 713 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} = {(𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))), (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))})
34 2z 12006 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 2 ∈ ℤ)
36 nnz 11996 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
37363ad2ant2 1128 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
38 nnnn0 11896 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
39383ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
40 nnne0 11663 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ≠ 0)
41403ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ≠ 0)
42 1red 10634 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 1 ∈ ℝ)
43 nnre 11637 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
44433ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℝ)
45 nnre 11637 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
46453ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
47 nnge1 11657 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
48473ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 1 ≤ 𝑁)
49 simp3 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 𝑁 < (♯‘𝑊))
5042, 44, 46, 48, 49lelttrd 10790 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 1 < (♯‘𝑊))
5142, 50gtned 10767 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ≠ 1)
52 nn0n0n1ge2 11954 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 1) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
5339, 41, 51, 52syl3anc 1365 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
54 eluz2 12241 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)))
5535, 37, 53, 54syl3anbrc 1337 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ‘2))
5625, 55sylbi 219 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ‘2))
5756ad3antlr 729 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ‘2))
58 elfzoelz 13030 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
5958adantl 484 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑗 ∈ ℤ)
601ad3antlr 729 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
61 simplrl 775 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
62 lsw 13908 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
6362adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
6463preq1d 4667 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)})
6564eleq1d 2895 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
6665biimpcd 251 . . . . . . . . . 10 ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
6766adantl 484 . . . . . . . . 9 ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
6867impcom 410 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)
6968adantr 483 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)
70 clwwisshclwwslemlem 27783 . . . . . . 7 ((((♯‘𝑊) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → {(𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))), (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))} ∈ 𝐸)
7157, 59, 60, 61, 69, 70syl311anc 1378 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → {(𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))), (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))} ∈ 𝐸)
7233, 71eqeltrd 2911 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸)
7372ex 415 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸))
747, 73sylbid 242 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸))
7574ralrimiv 3179 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸)
7675ex 415 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3014  wral 3136  wss 3934  {cpr 4561   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7148  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   < clt 10667  cle 10668  cmin 10862  cn 11630  2c2 11684  0cn0 11889  cz 11973  cuz 12235  ..^cfzo 13025   mod cmo 13229  chash 13682  Word cword 13853  lastSclsw 13906   cyclShift ccsh 14142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-mod 13230  df-hash 13683  df-word 13854  df-lsw 13907  df-concat 13915  df-substr 13995  df-pfx 14025  df-csh 14143
This theorem is referenced by:  clwwisshclwws  27785
  Copyright terms: Public domain W3C validator