Theorem clwwisshclwwslem 30046

Description: Lemma for clwwisshclwws 30047. (Contributed by AV, 24-Mar-2018.) (Revised by AV, 28-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwwisshclwwslem	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑖,𝑉,𝑗   𝑖,𝑊,𝑗

Proof of Theorem clwwisshclwwslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13716	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		cshwlen 14847	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))
3	1, 2	sylan2 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))
4	3	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
5	4	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)) = (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
6	5	eleq2d 2830	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)) ↔ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))))
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)) ↔ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))))
8		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
9	1	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		lencl 14581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
11		nn0z 12664	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
12		peano2zm 12686	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
14		nn0re 12562	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
15	14	lem1d 12228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊))
16		eluz2 12909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑊) − 1)) ↔ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊)))
17	13, 11, 15, 16	syl3anbrc 1343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑊) − 1)))
18	10, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑊) − 1)))
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑊) − 1)))
20		fzoss2 13744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑊) − 1)) → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
22	21	sselda 4008	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
23		cshwidxmod 14851	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗) = (𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
24	8, 9, 22, 23	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗) = (𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
25		elfzo1 13766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)))
26	25	simp2bi 1146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
28		elfzom1p1elfzo 13796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
29	27, 28	sylan 579	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
30		cshwidxmod 14851	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1)) = (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
31	8, 9, 29, 30	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1)) = (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
32	24, 31	preq12d 4766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} = {(𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))), (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))})
33	32	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} = {(𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))), (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))})
34		2z 12675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 2 ∈ ℤ)
36		nnz 12660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
37	36	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
38		nnnn0 12560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
39	38	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
40		nnne0 12327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ≠ 0)
41	40	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ≠ 0)
42		1red 11291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 1 ∈ ℝ)
43		nnre 12300	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
44	43	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℝ)
45		nnre 12300	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
46	45	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
47		nnge1 12321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
48	47	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 1 ≤ 𝑁)
49		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 𝑁 < (♯‘𝑊))
50	42, 44, 46, 48, 49	lelttrd 11448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 1 < (♯‘𝑊))
51	42, 50	gtned 11425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ≠ 1)
52		nn0n0n1ge2 12620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 1) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
53	39, 41, 51, 52	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
54		eluz2 12909	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)))
55	35, 37, 53, 54	syl3anbrc 1343	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘2))
56	25, 55	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘2))
57	56	ad3antlr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘2))
58		elfzoelz 13716	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
59	58	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑗 ∈ ℤ)
60	1	ad3antlr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
61		simplrl 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
62		lsw 14612	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
64	63	preq1d 4764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)})
65	64	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
66	65	biimpcd 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
67	66	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
68	67	impcom 407	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)
69	68	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)
70		clwwisshclwwslemlem 30045	. . . . . . 7 ⊢ ((((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → {(𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))), (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))} ∈ 𝐸)
71	57, 59, 60, 61, 69, 70	syl311anc 1384	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → {(𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))), (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))} ∈ 𝐸)
72	33, 71	eqeltrd 2844	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸)
73	72	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸))
74	7, 73	sylbid 240	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸))
75	74	ralrimiv 3151	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸)
76	75	ex 412	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067   ⊆ wss 3976  {cpr 4650   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  ℕcn 12293  2c2 12348  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ..^cfzo 13711   mod cmo 13920  ♯chash 14379  Word cword 14562  lastSclsw 14610   cyclShift ccsh 14836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-hash 14380  df-word 14563  df-lsw 14611  df-concat 14619  df-substr 14689  df-pfx 14719  df-csh 14837

This theorem is referenced by:  clwwisshclwws  30047