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Theorem clwwlkel 29337

Description: Obtaining a closed walk (as word) by appending the first symbol to the word representing a walk. (Contributed by AV, 28-Sep-2018.) (Revised by AV, 25-Apr-2021.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
clwwlkf1o.d	⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastS‘𝑤) = (𝑤‘0)}

**Assertion**
Ref	Expression
clwwlkel	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ 𝐷)

Distinct variable groups: 𝑖,𝐺 𝑤,𝐺 𝑖,𝑁 𝑤,𝑁 𝑃,𝑖 𝑤,𝑃 Allowed substitution hints: 𝐷(𝑤,𝑖)

**Proof of Theorem clwwlkel**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatws1n0 14584	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅)
2	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅)
3	2	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅)
4		simprl 769	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
5		fstwrdne0 14508	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
6	5	s1cld 14555	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7		ccatcl 14526	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
8	4, 6, 7	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
9	8	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
10	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
11	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
12		elfzonn0 13679	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
14		nnz 12581	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
16		elfzo0 13675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)))
17		nn0re 12483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ₀ → 𝑖 ∈ ℝ)
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℝ)
19		nnre 12221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
20		peano2rem 11529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
22	21	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
23	19	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
24	18, 22, 23	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
26	19	ltm1d 12148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < 𝑁)
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
28	27	anim1ci 616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)) → (𝑖 < (𝑁 − 1) ∧ (𝑁 − 1) < 𝑁))
29		lttr 11292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑖 < (𝑁 − 1) ∧ (𝑁 − 1) < 𝑁) → 𝑖 < 𝑁))
30	25, 28, 29	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)) → 𝑖 < 𝑁)
31	30	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑖 < (𝑁 − 1) → 𝑖 < 𝑁))
32	31	impancom 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑖 < 𝑁))
33	32	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑖 < 𝑁))
34	16, 33	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑖 < 𝑁))
35	34	impcom 408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 < 𝑁)
36		elfzo0z 13676	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑁))
37	13, 15, 35, 36	syl3anbrc 1343	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
38	37	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
39		oveq2 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝑃) = 𝑁 → (0..^(♯‘𝑃)) = (0..^𝑁))
40	39	eleq2d 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑃) = 𝑁 → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
41	40	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
43	38, 42	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
44		ccatval1 14529	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖) = (𝑃‘𝑖))
45	10, 11, 43, 44	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖) = (𝑃‘𝑖))
46		elfzom1p1elfzo 13714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁))
47	46	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁))
48	39	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (0..^(♯‘𝑃)) = (0..^𝑁))
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (0..^(♯‘𝑃)) = (0..^𝑁))
50	47, 49	eleqtrrd 2836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
51		ccatval1 14529	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
52	10, 11, 50, 51	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
53	45, 52	preq12d 4745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
54	53	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ({((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
55	54	ralbidva 3175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
56	55	biimprcd 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
57	56	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
58	57	expdcom 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
59	58	3imp 1111	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
60		fzo0end 13726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
61	39	eleq2d 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝑃) = 𝑁 → ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
62	61	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
63	60, 62	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
64	63	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
65		ccatval1 14529	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)) = (𝑃‘(𝑁 − 1)))
66	4, 6, 64, 65	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)) = (𝑃‘(𝑁 − 1)))
67		lsw 14516	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
68	67	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
69		fvoveq1 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑃) = 𝑁 → (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(𝑁 − 1)))
70	69	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(𝑁 − 1)))
71	68, 70	eqtr2d 2773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → (𝑃‘(𝑁 − 1)) = (lastS‘𝑃))
72	71	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑃‘(𝑁 − 1)) = (lastS‘𝑃))
73	66, 72	eqtr2d 2773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (lastS‘𝑃) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)))
74		nncn 12222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
75		1cnd 11211	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
76	74, 75	npcand 11577	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
77	76	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑁))
78	77	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑁))
79		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑃) = 𝑁 → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(♯‘𝑃)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑁))
80	79	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(♯‘𝑃)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑁))
81		ccatws1ls 14585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(♯‘𝑃)) = (𝑃‘0))
82	4, 5, 81	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(♯‘𝑃)) = (𝑃‘0))
83	78, 80, 82	3eqtr2rd 2779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑃‘0) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1)))
84	73, 83	preq12d 4745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} = {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))})
85	84	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → ({(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
86	85	biimpcd 248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
87	86	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
88	87	expdcom 415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
89	88	3imp 1111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
90		ovex 7444	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 − 1) ∈ V
91		fveq2 6891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 1) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)))
92		fvoveq1 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 1) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1)))
93	91, 92	preq12d 4745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 1) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))})
94	93	eleq1d 2818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 1) → ({((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
95	90, 94	ralsn 4685	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ {(𝑁 − 1)} {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
96	89, 95	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∀𝑖 ∈ {(𝑁 − 1)} {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
97	74, 75, 75	addsubd 11594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
98	97	oveq2d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^((𝑁 − 1) + 1)))
99		nnm1nn0 12515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
100		elnn0uz 12869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ₀ ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
101	99, 100	sylib 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
102		fzosplitsn 13742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0) → (0..^((𝑁 − 1) + 1)) = ((0..^(𝑁 − 1)) ∪ {(𝑁 − 1)}))
103	101, 102	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0..^((𝑁 − 1) + 1)) = ((0..^(𝑁 − 1)) ∪ {(𝑁 − 1)}))
104	98, 103	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = ((0..^(𝑁 − 1)) ∪ {(𝑁 − 1)}))
105	104	raleqdv 3325	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^(𝑁 − 1)) ∪ {(𝑁 − 1)}){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
106		ralunb 4191	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((0..^(𝑁 − 1)) ∪ {(𝑁 − 1)}){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑁 − 1)} {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
107	105, 106	bitrdi 286	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑁 − 1)} {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
108	107	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑁 − 1)} {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
109	59, 96, 108	mpbir2and 711	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
110		ccatlen 14527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑃) + (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
111	4, 6, 110	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑃) + (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
112		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑃) = 𝑁 → (♯‘𝑃) = 𝑁)
113		s1len 14558	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩) = 1
114	113	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑃) = 𝑁 → (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩) = 1)
115	112, 114	oveq12d 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑃) = 𝑁 → ((♯‘𝑃) + (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))
116	115	ad2antll 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → ((♯‘𝑃) + (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))
117	111, 116	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))
118	117	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))
119	118	oveq1d 7426	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
120	119	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (0..^((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) = (0..^((𝑁 + 1) − 1)))
121	120	raleqdv 3325	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
122	109, 121	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
123	3, 9, 122	3jca 1128	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
124		nnnn0 12481	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
125		iswwlksn 29130	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))))
126	124, 125	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))))
127		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
128		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
129	127, 128	iswwlks 29128	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
130	129	anbi1i 624	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1)) ↔ (((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1)))
131	126, 130	bitrdi 286	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))))
132	131	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))))
133	123, 118, 132	mpbir2and 711	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
134		lswccats1 14586	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺)) → (lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑃‘0))
135	4, 5, 134	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑃‘0))
136		lbfzo0 13674	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
137	136	biimpri 227	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ (0..^𝑁))
138	39	eleq2d 2819	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) = 𝑁 → (0 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
139	138	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → (0 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
140	137, 139	syl5ibrcom 246	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
141	140	imp 407	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
142		ccatval1 14529	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑃))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) = (𝑃‘0))
143	4, 6, 141, 142	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) = (𝑃‘0))
144	135, 143	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0))
145	144	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0))
146		fveq2 6891	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) → (lastS‘𝑤) = (lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
147		fveq1 6890	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) → (𝑤‘0) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0))
148	146, 147	eqeq12d 2748	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) → ((lastS‘𝑤) = (𝑤‘0) ↔ (lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0)))
149		clwwlkf1o.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastS‘𝑤) = (𝑤‘0)}
150	148, 149	elrab2 3686	. 2 ⊢ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0)))
151	133, 145, 150	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ 𝐷)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2940 ∀wral 3061 {crab 3432 ∪ cun 3946 ∅c0 4322 {csn 4628 {cpr 4630 class class class wbr 5148 ‘cfv 6543 (class class class)co 7411 ℝcr 11111 0cc0 11112 1c1 11113 + caddc 11115 < clt 11250 − cmin 11446 ℕcn 12214 ℕ₀cn0 12474 ℤcz 12560 ℤ_≥cuz 12824 ..^cfzo 13629 ♯chash 14292 Word cword 14466 lastSclsw 14514 ++ cconcat 14522 ⟨“cs1 14547 Vtxcvtx 28294 Edgcedg 28345 WWalkscwwlks 29117 WWalksN cwwlksn 29118

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7727 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-int 4951 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7367 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-om 7858 df-1st 7977 df-2nd 7978 df-frecs 8268 df-wrecs 8299 df-recs 8373 df-rdg 8412 df-1o 8468 df-er 8705 df-map 8824 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-card 9936 df-pnf 11252 df-mnf 11253 df-xr 11254 df-ltxr 11255 df-le 11256 df-sub 11448 df-neg 11449 df-nn 12215 df-n0 12475 df-xnn0 12547 df-z 12561 df-uz 12825 df-rp 12977 df-fz 13487 df-fzo 13630 df-hash 14293 df-word 14467 df-lsw 14515 df-concat 14523 df-s1 14548 df-wwlks 29122 df-wwlksn 29123

This theorem is referenced by: clwwlkfo 29341 clwwlknwwlkncl 29344

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