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Theorem clwwlkel 29032
Description: Obtaining a closed walk (as word) by appending the first symbol to the word representing a walk. (Contributed by AV, 28-Sep-2018.) (Revised by AV, 25-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
clwwlkf1o.d 𝐷 = {𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastSβ€˜π‘€) = (π‘€β€˜0)}
Assertion
Ref Expression
clwwlkel ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑀,𝐺   𝑖,𝑁   𝑀,𝑁   𝑃,𝑖   𝑀,𝑃
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑀,𝑖)

Proof of Theorem clwwlkel
StepHypRef Expression
1 ccatws1n0 14527 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ…)
21adantr 482 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) β†’ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ…)
323ad2ant2 1135 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ…)
4 simprl 770 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ 𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
5 fstwrdne0 14451 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
65s1cld 14498 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
7 ccatcl 14469 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
84, 6, 7syl2anc 585 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
983adant3 1133 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
104adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
116adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
12 elfzonn0 13624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
1312adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
14 nnz 12527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1514adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
16 elfzo0 13620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)) ↔ (𝑖 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„• ∧ 𝑖 < (𝑁 βˆ’ 1)))
17 nn0re 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
1817adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
19 nnre 12167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
20 peano2rem 11475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
2221adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
2319adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
2418, 22, 233jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑖 ∈ ℝ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
2524adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝑖 < (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (𝑖 ∈ ℝ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
2619ltm1d 12094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) < 𝑁)
2726adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) < 𝑁)
2827anim1ci 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝑖 < (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (𝑖 < (𝑁 βˆ’ 1) ∧ (𝑁 βˆ’ 1) < 𝑁))
29 lttr 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ ((𝑖 < (𝑁 βˆ’ 1) ∧ (𝑁 βˆ’ 1) < 𝑁) β†’ 𝑖 < 𝑁))
3025, 28, 29sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝑖 < (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 < 𝑁)
3130ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑖 < (𝑁 βˆ’ 1) β†’ 𝑖 < 𝑁))
3231impancom 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑖 < (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑖 < 𝑁))
33323adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„• ∧ 𝑖 < (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑖 < 𝑁))
3416, 33sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑖 < 𝑁))
3534impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 < 𝑁)
36 elfzo0z 13621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑖 < 𝑁))
3713, 15, 35, 36syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
3837adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
39 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁 β†’ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ)) = (0..^𝑁))
4039eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁 β†’ (𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
4140ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ (𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
4241adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
4338, 42mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ)))
44 ccatval1 14472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ))) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜π‘–))
4510, 11, 43, 44syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜π‘–))
46 elfzom1p1elfzo 13659 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁))
4746adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁))
4839ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ)) = (0..^𝑁))
4948adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ)) = (0..^𝑁))
5047, 49eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ)))
51 ccatval1 14472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ))) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))
5210, 11, 50, 51syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))
5345, 52preq12d 4707 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ {((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} = {(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))})
5453eleq1d 2823 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ({((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
5554ralbidva 3173 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
5655biimprcd 250 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
5756adantr 482 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
5857expdcom 416 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) β†’ ((βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
59583imp 1112 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
60 fzo0end 13671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁))
6139eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁 β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ)) ↔ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁)))
6261adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ)) ↔ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁)))
6360, 62syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ))))
6463imp 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ)))
65 ccatval1 14472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ))) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
664, 6, 64, 65syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
67 lsw 14459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (lastSβ€˜π‘ƒ) = (π‘ƒβ€˜((β™―β€˜π‘ƒ) βˆ’ 1)))
6867adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) β†’ (lastSβ€˜π‘ƒ) = (π‘ƒβ€˜((β™―β€˜π‘ƒ) βˆ’ 1)))
69 fvoveq1 7385 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁 β†’ (π‘ƒβ€˜((β™―β€˜π‘ƒ) βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
7069adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) β†’ (π‘ƒβ€˜((β™―β€˜π‘ƒ) βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
7168, 70eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = (lastSβ€˜π‘ƒ))
7271adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = (lastSβ€˜π‘ƒ))
7366, 72eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ (lastSβ€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
74 nncn 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
75 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
7674, 75npcand 11523 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
7776fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘))
7877adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘))
79 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁 β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘ƒ)) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘))
8079ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘ƒ)) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘))
81 ccatws1ls 14528 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘ƒ)) = (π‘ƒβ€˜0))
824, 5, 81syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘ƒ)) = (π‘ƒβ€˜0))
8378, 80, 823eqtr2rd 2784 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
8473, 83preq12d 4707 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} = {((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))})
8584eleq1d 2823 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ ({(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
8685biimpcd 249 . . . . . . . . . 10 ({(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ {((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
8786adantl 483 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ {((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
8887expdcom 416 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) β†’ ((βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ {((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
89883imp 1112 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ {((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
90 ovex 7395 . . . . . . . 8 (𝑁 βˆ’ 1) ∈ V
91 fveq2 6847 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
92 fvoveq1 7385 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1)) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
9391, 92preq12d 4707 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ {((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} = {((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))})
9493eleq1d 2823 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ ({((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
9590, 94ralsn 4647 . . . . . . 7 (βˆ€π‘– ∈ {(𝑁 βˆ’ 1)} {((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
9689, 95sylibr 233 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ βˆ€π‘– ∈ {(𝑁 βˆ’ 1)} {((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
9774, 75, 75addsubd 11540 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = ((𝑁 βˆ’ 1) + 1))
9897oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) = (0..^((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
99 nnm1nn0 12461 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
100 elnn0uz 12815 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0 ↔ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
10199, 100sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
102 fzosplitsn 13687 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (0..^((𝑁 βˆ’ 1) + 1)) = ((0..^(𝑁 βˆ’ 1)) βˆͺ {(𝑁 βˆ’ 1)}))
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ (0..^((𝑁 βˆ’ 1) + 1)) = ((0..^(𝑁 βˆ’ 1)) βˆͺ {(𝑁 βˆ’ 1)}))
10498, 103eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) = ((0..^(𝑁 βˆ’ 1)) βˆͺ {(𝑁 βˆ’ 1)}))
105104raleqdv 3316 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ ((0..^(𝑁 βˆ’ 1)) βˆͺ {(𝑁 βˆ’ 1)}){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
106 ralunb 4156 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘– ∈ ((0..^(𝑁 βˆ’ 1)) βˆͺ {(𝑁 βˆ’ 1)}){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ {(𝑁 βˆ’ 1)} {((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
107105, 106bitrdi 287 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ {(𝑁 βˆ’ 1)} {((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
1081073ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ {(𝑁 βˆ’ 1)} {((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
10959, 96, 108mpbir2and 712 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
110 ccatlen 14470 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)))
1114, 6, 110syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ (β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)))
112 id 22 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁 β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)
113 s1len 14501 . . . . . . . . . . . . 13 (β™―β€˜βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) = 1
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁 β†’ (β™―β€˜βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) = 1)
115112, 114oveq12d 7380 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁 β†’ ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = (𝑁 + 1))
116115ad2antll 728 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = (𝑁 + 1))
117111, 116eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ (β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = (𝑁 + 1))
1181173adant3 1133 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = (𝑁 + 1))
119118oveq1d 7377 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ ((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1) = ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))
120119oveq2d 7378 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (0..^((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)) = (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)))
121120raleqdv 3316 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
122109, 121mpbird 257 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
1233, 9, 1223jca 1129 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
124 nnnn0 12427 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
125 iswwlksn 28825 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = (𝑁 + 1))))
126124, 125syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = (𝑁 + 1))))
127 eqid 2737 . . . . . . 7 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
128 eqid 2737 . . . . . . 7 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
129127, 128iswwlks 28823 . . . . . 6 ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
130129anbi1i 625 . . . . 5 (((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = (𝑁 + 1)) ↔ (((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = (𝑁 + 1)))
131126, 130bitrdi 287 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = (𝑁 + 1))))
1321313ad2ant1 1134 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = (𝑁 + 1))))
133123, 118, 132mpbir2and 712 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
134 lswccats1 14529 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (lastSβ€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = (π‘ƒβ€˜0))
1354, 5, 134syl2anc 585 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ (lastSβ€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = (π‘ƒβ€˜0))
136 lbfzo0 13619 . . . . . . . 8 (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ β„•)
137136biimpri 227 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 0 ∈ (0..^𝑁))
13839eleq2d 2824 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁 β†’ (0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ)) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
139138adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) β†’ (0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ)) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
140137, 139syl5ibrcom 247 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) β†’ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ))))
141140imp 408 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ)))
142 ccatval1 14472 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ))) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0) = (π‘ƒβ€˜0))
1434, 6, 141, 142syl3anc 1372 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0) = (π‘ƒβ€˜0))
144135, 143eqtr4d 2780 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ (lastSβ€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0))
1451443adant3 1133 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (lastSβ€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0))
146 fveq2 6847 . . . 4 (𝑀 = (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) β†’ (lastSβ€˜π‘€) = (lastSβ€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)))
147 fveq1 6846 . . . 4 (𝑀 = (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) β†’ (π‘€β€˜0) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0))
148146, 147eqeq12d 2753 . . 3 (𝑀 = (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) β†’ ((lastSβ€˜π‘€) = (π‘€β€˜0) ↔ (lastSβ€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0)))
149 clwwlkf1o.d . . 3 𝐷 = {𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastSβ€˜π‘€) = (π‘€β€˜0)}
150148, 149elrab2 3653 . 2 ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (lastSβ€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0)))
151133, 145, 150sylanbrc 584 1 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  {crab 3410   βˆͺ cun 3913  βˆ…c0 4287  {csn 4591  {cpr 4593   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196   βˆ’ cmin 11392  β„•cn 12160  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  ..^cfzo 13574  β™―chash 14237  Word cword 14409  lastSclsw 14457   ++ cconcat 14465  βŸ¨β€œcs1 14490  Vtxcvtx 27989  Edgcedg 28040  WWalkscwwlks 28812   WWalksN cwwlksn 28813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-lsw 14458  df-concat 14466  df-s1 14491  df-wwlks 28817  df-wwlksn 28818
This theorem is referenced by:  clwwlkfo  29036  clwwlknwwlkncl  29039
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