MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlkel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlkel 29299
Description: Obtaining a closed walk (as word) by appending the first symbol to the word representing a walk. (Contributed by AV, 28-Sep-2018.) (Revised by AV, 25-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
clwwlkf1o.d 𝐷 = {𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastSβ€˜π‘€) = (π‘€β€˜0)}
Assertion
Ref Expression
clwwlkel ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑀,𝐺   𝑖,𝑁   𝑀,𝑁   𝑃,𝑖   𝑀,𝑃
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑀,𝑖)

Proof of Theorem clwwlkel
StepHypRef Expression
1 ccatws1n0 14582 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ…)
21adantr 482 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) β†’ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ…)
323ad2ant2 1135 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ…)
4 simprl 770 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ 𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
5 fstwrdne0 14506 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
65s1cld 14553 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
7 ccatcl 14524 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
84, 6, 7syl2anc 585 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
983adant3 1133 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
104adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
116adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
12 elfzonn0 13677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
1312adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
14 nnz 12579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1514adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
16 elfzo0 13673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)) ↔ (𝑖 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„• ∧ 𝑖 < (𝑁 βˆ’ 1)))
17 nn0re 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
1817adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
19 nnre 12219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
20 peano2rem 11527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
2221adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
2319adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
2418, 22, 233jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑖 ∈ ℝ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
2524adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝑖 < (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (𝑖 ∈ ℝ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
2619ltm1d 12146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) < 𝑁)
2726adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) < 𝑁)
2827anim1ci 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝑖 < (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (𝑖 < (𝑁 βˆ’ 1) ∧ (𝑁 βˆ’ 1) < 𝑁))
29 lttr 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ ((𝑖 < (𝑁 βˆ’ 1) ∧ (𝑁 βˆ’ 1) < 𝑁) β†’ 𝑖 < 𝑁))
3025, 28, 29sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝑖 < (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 < 𝑁)
3130ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑖 < (𝑁 βˆ’ 1) β†’ 𝑖 < 𝑁))
3231impancom 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑖 < (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑖 < 𝑁))
33323adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„• ∧ 𝑖 < (𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑖 < 𝑁))
3416, 33sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑖 < 𝑁))
3534impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 < 𝑁)
36 elfzo0z 13674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑖 < 𝑁))
3713, 15, 35, 36syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
3837adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
39 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁 β†’ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ)) = (0..^𝑁))
4039eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁 β†’ (𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
4140ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ (𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
4241adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
4338, 42mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ)))
44 ccatval1 14527 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ))) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜π‘–))
4510, 11, 43, 44syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜π‘–))
46 elfzom1p1elfzo 13712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁))
4746adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁))
4839ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ)) = (0..^𝑁))
4948adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ)) = (0..^𝑁))
5047, 49eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ)))
51 ccatval1 14527 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ))) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))
5210, 11, 50, 51syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))
5345, 52preq12d 4746 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ {((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} = {(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))})
5453eleq1d 2819 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ({((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
5554ralbidva 3176 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
5655biimprcd 249 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
5756adantr 482 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
5857expdcom 416 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) β†’ ((βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
59583imp 1112 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
60 fzo0end 13724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁))
6139eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁 β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ)) ↔ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁)))
6261adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ)) ↔ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁)))
6360, 62syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ))))
6463imp 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ)))
65 ccatval1 14527 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ))) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
664, 6, 64, 65syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
67 lsw 14514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (lastSβ€˜π‘ƒ) = (π‘ƒβ€˜((β™―β€˜π‘ƒ) βˆ’ 1)))
6867adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) β†’ (lastSβ€˜π‘ƒ) = (π‘ƒβ€˜((β™―β€˜π‘ƒ) βˆ’ 1)))
69 fvoveq1 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁 β†’ (π‘ƒβ€˜((β™―β€˜π‘ƒ) βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
7069adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) β†’ (π‘ƒβ€˜((β™―β€˜π‘ƒ) βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
7168, 70eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = (lastSβ€˜π‘ƒ))
7271adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = (lastSβ€˜π‘ƒ))
7366, 72eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ (lastSβ€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
74 nncn 12220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
75 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
7674, 75npcand 11575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
7776fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘))
7877adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘))
79 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁 β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘ƒ)) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘))
8079ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘ƒ)) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘))
81 ccatws1ls 14583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘ƒ)) = (π‘ƒβ€˜0))
824, 5, 81syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘ƒ)) = (π‘ƒβ€˜0))
8378, 80, 823eqtr2rd 2780 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
8473, 83preq12d 4746 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} = {((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))})
8584eleq1d 2819 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ ({(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
8685biimpcd 248 . . . . . . . . . 10 ({(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ {((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
8786adantl 483 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ {((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
8887expdcom 416 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) β†’ ((βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ {((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
89883imp 1112 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ {((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
90 ovex 7442 . . . . . . . 8 (𝑁 βˆ’ 1) ∈ V
91 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
92 fvoveq1 7432 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1)) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
9391, 92preq12d 4746 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ {((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} = {((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))})
9493eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝑁 βˆ’ 1) β†’ ({((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
9590, 94ralsn 4686 . . . . . . 7 (βˆ€π‘– ∈ {(𝑁 βˆ’ 1)} {((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
9689, 95sylibr 233 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ βˆ€π‘– ∈ {(𝑁 βˆ’ 1)} {((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
9774, 75, 75addsubd 11592 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = ((𝑁 βˆ’ 1) + 1))
9897oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) = (0..^((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
99 nnm1nn0 12513 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
100 elnn0uz 12867 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0 ↔ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
10199, 100sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
102 fzosplitsn 13740 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (0..^((𝑁 βˆ’ 1) + 1)) = ((0..^(𝑁 βˆ’ 1)) βˆͺ {(𝑁 βˆ’ 1)}))
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ (0..^((𝑁 βˆ’ 1) + 1)) = ((0..^(𝑁 βˆ’ 1)) βˆͺ {(𝑁 βˆ’ 1)}))
10498, 103eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) = ((0..^(𝑁 βˆ’ 1)) βˆͺ {(𝑁 βˆ’ 1)}))
105104raleqdv 3326 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ ((0..^(𝑁 βˆ’ 1)) βˆͺ {(𝑁 βˆ’ 1)}){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
106 ralunb 4192 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘– ∈ ((0..^(𝑁 βˆ’ 1)) βˆͺ {(𝑁 βˆ’ 1)}){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ {(𝑁 βˆ’ 1)} {((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
107105, 106bitrdi 287 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ {(𝑁 βˆ’ 1)} {((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
1081073ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ {(𝑁 βˆ’ 1)} {((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
10959, 96, 108mpbir2and 712 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
110 ccatlen 14525 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)))
1114, 6, 110syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ (β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)))
112 id 22 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁 β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)
113 s1len 14556 . . . . . . . . . . . . 13 (β™―β€˜βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) = 1
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁 β†’ (β™―β€˜βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) = 1)
115112, 114oveq12d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁 β†’ ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = (𝑁 + 1))
116115ad2antll 728 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = (𝑁 + 1))
117111, 116eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ (β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = (𝑁 + 1))
1181173adant3 1133 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = (𝑁 + 1))
119118oveq1d 7424 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ ((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1) = ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))
120119oveq2d 7425 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (0..^((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)) = (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)))
121120raleqdv 3326 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^((𝑁 + 1) βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
122109, 121mpbird 257 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
1233, 9, 1223jca 1129 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
124 nnnn0 12479 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
125 iswwlksn 29092 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = (𝑁 + 1))))
126124, 125syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = (𝑁 + 1))))
127 eqid 2733 . . . . . . 7 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
128 eqid 2733 . . . . . . 7 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
129127, 128iswwlks 29090 . . . . . 6 ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
130129anbi1i 625 . . . . 5 (((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = (𝑁 + 1)) ↔ (((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = (𝑁 + 1)))
131126, 130bitrdi 287 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = (𝑁 + 1))))
1321313ad2ant1 1134 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = (𝑁 + 1))))
133123, 118, 132mpbir2and 712 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
134 lswccats1 14584 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (lastSβ€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = (π‘ƒβ€˜0))
1354, 5, 134syl2anc 585 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ (lastSβ€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = (π‘ƒβ€˜0))
136 lbfzo0 13672 . . . . . . . 8 (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ β„•)
137136biimpri 227 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 0 ∈ (0..^𝑁))
13839eleq2d 2820 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁 β†’ (0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ)) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
139138adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) β†’ (0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ)) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
140137, 139syl5ibrcom 246 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) β†’ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ))))
141140imp 408 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ)))
142 ccatval1 14527 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘ƒ))) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0) = (π‘ƒβ€˜0))
1434, 6, 141, 142syl3anc 1372 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0) = (π‘ƒβ€˜0))
144135, 143eqtr4d 2776 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁)) β†’ (lastSβ€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0))
1451443adant3 1133 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (lastSβ€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0))
146 fveq2 6892 . . . 4 (𝑀 = (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) β†’ (lastSβ€˜π‘€) = (lastSβ€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)))
147 fveq1 6891 . . . 4 (𝑀 = (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) β†’ (π‘€β€˜0) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0))
148146, 147eqeq12d 2749 . . 3 (𝑀 = (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) β†’ ((lastSβ€˜π‘€) = (π‘€β€˜0) ↔ (lastSβ€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0)))
149 clwwlkf1o.d . . 3 𝐷 = {𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastSβ€˜π‘€) = (π‘€β€˜0)}
150148, 149elrab2 3687 . 2 ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (lastSβ€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0)))
151133, 145, 150sylanbrc 584 1 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘ƒ), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  {crab 3433   βˆͺ cun 3947  βˆ…c0 4323  {csn 4629  {cpr 4631   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  ..^cfzo 13627  β™―chash 14290  Word cword 14464  lastSclsw 14512   ++ cconcat 14520  βŸ¨β€œcs1 14545  Vtxcvtx 28256  Edgcedg 28307  WWalkscwwlks 29079   WWalksN cwwlksn 29080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-lsw 14513  df-concat 14521  df-s1 14546  df-wwlks 29084  df-wwlksn 29085
This theorem is referenced by:  clwwlkfo  29303  clwwlknwwlkncl  29306
  Copyright terms: Public domain W3C validator