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Theorem clwwlkel 27828

Description: Obtaining a closed walk (as word) by appending the first symbol to the word representing a walk. (Contributed by AV, 28-Sep-2018.) (Revised by AV, 25-Apr-2021.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
clwwlkf1o.d	⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastS‘𝑤) = (𝑤‘0)}

**Assertion**
Ref	Expression
clwwlkel	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ 𝐷)

Distinct variable groups: 𝑖,𝐺 𝑤,𝐺 𝑖,𝑁 𝑤,𝑁 𝑃,𝑖 𝑤,𝑃 Allowed substitution hints: 𝐷(𝑤,𝑖)

**Proof of Theorem clwwlkel**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatws1n0 13994	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅)
2	1	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅)
3	2	3ad2ant2 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅)
4		simprl 769	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
5		fstwrdne0 13911	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
6	5	s1cld 13960	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7		ccatcl 13929	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
8	4, 6, 7	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
9	8	3adant3 1128	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
10	4	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
11	6	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
12		elfzonn0 13085	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
13	12	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
14		nnz 12007	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
15	14	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
16		elfzo0 13081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)))
17		nn0re 11909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ₀ → 𝑖 ∈ ℝ)
18	17	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℝ)
19		nnre 11648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
20		peano2rem 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
22	21	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
23	19	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
24	18, 22, 23	3jca 1124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
25	24	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
26	19	ltm1d 11575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < 𝑁)
27	26	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
28	27	anim1ci 617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)) → (𝑖 < (𝑁 − 1) ∧ (𝑁 − 1) < 𝑁))
29		lttr 10720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑖 < (𝑁 − 1) ∧ (𝑁 − 1) < 𝑁) → 𝑖 < 𝑁))
30	25, 28, 29	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)) → 𝑖 < 𝑁)
31	30	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑖 < (𝑁 − 1) → 𝑖 < 𝑁))
32	31	impancom 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑖 < 𝑁))
33	32	3adant2 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑖 < 𝑁))
34	16, 33	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑖 < 𝑁))
35	34	impcom 410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 < 𝑁)
36		elfzo0z 13082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑁))
37	13, 15, 35, 36	syl3anbrc 1339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
38	37	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
39		oveq2 7167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝑃) = 𝑁 → (0..^(♯‘𝑃)) = (0..^𝑁))
40	39	eleq2d 2901	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑃) = 𝑁 → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
41	40	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
42	41	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
43	38, 42	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
44		ccatval1 13933	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖) = (𝑃‘𝑖))
45	10, 11, 43, 44	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖) = (𝑃‘𝑖))
46		elfzom1p1elfzo 13120	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁))
47	46	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁))
48	39	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (0..^(♯‘𝑃)) = (0..^𝑁))
49	48	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (0..^(♯‘𝑃)) = (0..^𝑁))
50	47, 49	eleqtrrd 2919	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
51		ccatval1 13933	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
52	10, 11, 50, 51	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
53	45, 52	preq12d 4680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
54	53	eleq1d 2900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ({((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
55	54	ralbidva 3199	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
56	55	biimprcd 252	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
57	56	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
58	57	expdcom 417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
59	58	3imp 1107	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
60		fzo0end 13132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
61	39	eleq2d 2901	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝑃) = 𝑁 → ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
62	61	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
63	60, 62	syl5ibrcom 249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
64	63	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
65		ccatval1 13933	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)) = (𝑃‘(𝑁 − 1)))
66	4, 6, 64, 65	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)) = (𝑃‘(𝑁 − 1)))
67		lsw 13919	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
68	67	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
69		fvoveq1 7182	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑃) = 𝑁 → (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(𝑁 − 1)))
70	69	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(𝑁 − 1)))
71	68, 70	eqtr2d 2860	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → (𝑃‘(𝑁 − 1)) = (lastS‘𝑃))
72	71	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑃‘(𝑁 − 1)) = (lastS‘𝑃))
73	66, 72	eqtr2d 2860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (lastS‘𝑃) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)))
74		nncn 11649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
75		1cnd 10639	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
76	74, 75	npcand 11004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
77	76	fveq2d 6677	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑁))
78	77	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑁))
79		fveq2 6673	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑃) = 𝑁 → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(♯‘𝑃)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑁))
80	79	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(♯‘𝑃)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑁))
81		ccatws1ls 13995	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(♯‘𝑃)) = (𝑃‘0))
82	4, 5, 81	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(♯‘𝑃)) = (𝑃‘0))
83	78, 80, 82	3eqtr2rd 2866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑃‘0) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1)))
84	73, 83	preq12d 4680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} = {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))})
85	84	eleq1d 2900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → ({(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
86	85	biimpcd 251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
87	86	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
88	87	expdcom 417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
89	88	3imp 1107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
90		ovex 7192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 − 1) ∈ V
91		fveq2 6673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 1) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)))
92		fvoveq1 7182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 1) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1)))
93	91, 92	preq12d 4680	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 1) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))})
94	93	eleq1d 2900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 1) → ({((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
95	90, 94	ralsn 4622	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ {(𝑁 − 1)} {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
96	89, 95	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∀𝑖 ∈ {(𝑁 − 1)} {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
97	74, 75, 75	addsubd 11021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
98	97	oveq2d 7175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^((𝑁 − 1) + 1)))
99		nnm1nn0 11941	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
100		elnn0uz 12286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ₀ ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
101	99, 100	sylib 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
102		fzosplitsn 13148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0) → (0..^((𝑁 − 1) + 1)) = ((0..^(𝑁 − 1)) ∪ {(𝑁 − 1)}))
103	101, 102	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0..^((𝑁 − 1) + 1)) = ((0..^(𝑁 − 1)) ∪ {(𝑁 − 1)}))
104	98, 103	eqtrd 2859	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = ((0..^(𝑁 − 1)) ∪ {(𝑁 − 1)}))
105	104	raleqdv 3418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^(𝑁 − 1)) ∪ {(𝑁 − 1)}){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
106		ralunb 4170	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((0..^(𝑁 − 1)) ∪ {(𝑁 − 1)}){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑁 − 1)} {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
107	105, 106	syl6bb 289	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑁 − 1)} {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
108	107	3ad2ant1 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑁 − 1)} {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
109	59, 96, 108	mpbir2and 711	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
110		ccatlen 13930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑃) + (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
111	4, 6, 110	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑃) + (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
112		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑃) = 𝑁 → (♯‘𝑃) = 𝑁)
113		s1len 13963	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩) = 1
114	113	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑃) = 𝑁 → (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩) = 1)
115	112, 114	oveq12d 7177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑃) = 𝑁 → ((♯‘𝑃) + (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))
116	115	ad2antll 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → ((♯‘𝑃) + (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))
117	111, 116	eqtrd 2859	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))
118	117	3adant3 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))
119	118	oveq1d 7174	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
120	119	oveq2d 7175	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (0..^((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) = (0..^((𝑁 + 1) − 1)))
121	120	raleqdv 3418	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
122	109, 121	mpbird 259	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
123	3, 9, 122	3jca 1124	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
124		nnnn0 11907	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
125		iswwlksn 27619	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))))
126	124, 125	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))))
127		eqid 2824	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
128		eqid 2824	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
129	127, 128	iswwlks 27617	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
130	129	anbi1i 625	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1)) ↔ (((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1)))
131	126, 130	syl6bb 289	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))))
132	131	3ad2ant1 1129	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))))
133	123, 118, 132	mpbir2and 711	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
134		lswccats1 13996	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺)) → (lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑃‘0))
135	4, 5, 134	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑃‘0))
136		lbfzo0 13080	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
137	136	biimpri 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ (0..^𝑁))
138	39	eleq2d 2901	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) = 𝑁 → (0 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
139	138	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → (0 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
140	137, 139	syl5ibrcom 249	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
141	140	imp 409	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
142		ccatval1 13933	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑃))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) = (𝑃‘0))
143	4, 6, 141, 142	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) = (𝑃‘0))
144	135, 143	eqtr4d 2862	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0))
145	144	3adant3 1128	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0))
146		fveq2 6673	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) → (lastS‘𝑤) = (lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
147		fveq1 6672	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) → (𝑤‘0) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0))
148	146, 147	eqeq12d 2840	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) → ((lastS‘𝑤) = (𝑤‘0) ↔ (lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0)))
149		clwwlkf1o.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastS‘𝑤) = (𝑤‘0)}
150	148, 149	elrab2 3686	. 2 ⊢ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0)))
151	133, 145, 150	sylanbrc 585	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ 𝐷)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 398 ∧ w3a 1083 = wceq 1536 ∈ wcel 2113 ≠ wne 3019 ∀wral 3141 {crab 3145 ∪ cun 3937 ∅c0 4294 {csn 4570 {cpr 4572 class class class wbr 5069 ‘cfv 6358 (class class class)co 7159 ℝcr 10539 0cc0 10540 1c1 10541 + caddc 10543 < clt 10678 − cmin 10873 ℕcn 11641 ℕ₀cn0 11900 ℤcz 11984 ℤ_≥cuz 12246 ..^cfzo 13036 ♯chash 13693 Word cword 13864 lastSclsw 13917 ++ cconcat 13925 ⟨“cs1 13952 Vtxcvtx 26784 Edgcedg 26835 WWalkscwwlks 27606 WWalksN cwwlksn 27607

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1969 ax-7 2014 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2144 ax-11 2160 ax-12 2176 ax-ext 2796 ax-rep 5193 ax-sep 5206 ax-nul 5213 ax-pow 5269 ax-pr 5333 ax-un 7464 ax-cnex 10596 ax-resscn 10597 ax-1cn 10598 ax-icn 10599 ax-addcl 10600 ax-addrcl 10601 ax-mulcl 10602 ax-mulrcl 10603 ax-mulcom 10604 ax-addass 10605 ax-mulass 10606 ax-distr 10607 ax-i2m1 10608 ax-1ne0 10609 ax-1rid 10610 ax-rnegex 10611 ax-rrecex 10612 ax-cnre 10613 ax-pre-lttri 10614 ax-pre-lttrn 10615 ax-pre-ltadd 10616 ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1539 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2069 df-mo 2621 df-eu 2653 df-clab 2803 df-cleq 2817 df-clel 2896 df-nfc 2966 df-ne 3020 df-nel 3127 df-ral 3146 df-rex 3147 df-reu 3148 df-rab 3150 df-v 3499 df-sbc 3776 df-csb 3887 df-dif 3942 df-un 3944 df-in 3946 df-ss 3955 df-pss 3957 df-nul 4295 df-if 4471 df-pw 4544 df-sn 4571 df-pr 4573 df-tp 4575 df-op 4577 df-uni 4842 df-int 4880 df-iun 4924 df-br 5070 df-opab 5132 df-mpt 5150 df-tr 5176 df-id 5463 df-eprel 5468 df-po 5477 df-so 5478 df-fr 5517 df-we 5519 df-xp 5564 df-rel 5565 df-cnv 5566 df-co 5567 df-dm 5568 df-rn 5569 df-res 5570 df-ima 5571 df-pred 6151 df-ord 6197 df-on 6198 df-lim 6199 df-suc 6200 df-iota 6317 df-fun 6360 df-fn 6361 df-f 6362 df-f1 6363 df-fo 6364 df-f1o 6365 df-fv 6366 df-riota 7117 df-ov 7162 df-oprab 7163 df-mpo 7164 df-om 7584 df-1st 7692 df-2nd 7693 df-wrecs 7950 df-recs 8011 df-rdg 8049 df-1o 8105 df-oadd 8109 df-er 8292 df-map 8411 df-en 8513 df-dom 8514 df-sdom 8515 df-fin 8516 df-card 9371 df-pnf 10680 df-mnf 10681 df-xr 10682 df-ltxr 10683 df-le 10684 df-sub 10875 df-neg 10876 df-nn 11642 df-n0 11901 df-xnn0 11971 df-z 11985 df-uz 12247 df-rp 12393 df-fz 12896 df-fzo 13037 df-hash 13694 df-word 13865 df-lsw 13918 df-concat 13926 df-s1 13953 df-wwlks 27611 df-wwlksn 27612

This theorem is referenced by: clwwlkfo 27832 clwwlknwwlkncl 27835

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