Theorem wrdl2exs2 14985

Description: A word of length two is a doubleton word. (Contributed by AV, 25-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wrdl2exs2	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ 𝑆 𝑊 = ⟨“𝑠𝑡”⟩)

Distinct variable groups:   𝑆,𝑠,𝑡   𝑊,𝑠,𝑡

Proof of Theorem wrdl2exs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1le2 12453	. . . 4 ⊢ 1 ≤ 2
2		breq2 5114	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → (1 ≤ (♯‘𝑊) ↔ 1 ≤ 2))
3	1, 2	mpbiri 261	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → 1 ≤ (♯‘𝑊))
4		wrdsymb1 14592	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊‘0) ∈ 𝑆)
5	3, 4	sylan2 604	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → (𝑊‘0) ∈ 𝑆)
6		lsw 14603	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
7		oveq1 7419	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → ((♯‘𝑊) − 1) = (2 − 1))
8		2m1e1 12366	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
9	7, 8	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → ((♯‘𝑊) − 1) = 1)
10	9	fveq2d 6887	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘1))
11	6, 10	sylan9eq 2818	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘1))
12		2nn 12315	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
13		lswlgt0cl 14608	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 2)) → (lastS‘𝑊) ∈ 𝑆)
14	12, 13	mpan 702	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → (lastS‘𝑊) ∈ 𝑆)
15	11, 14	eqeltrrd 2864	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → (𝑊‘1) ∈ 𝑆)
16		wrdlen2s2 14984	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩)
17		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = (𝑊‘0) → 𝑠 = (𝑊‘0))
18		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = (𝑊‘0) → 𝑡 = 𝑡)
19	17, 18	s2eqd 14902	. . . 4 ⊢ (𝑠 = (𝑊‘0) → ⟨“𝑠𝑡”⟩ = ⟨“(𝑊‘0)𝑡”⟩)
20	19	eqeq2d 2774	. . 3 ⊢ (𝑠 = (𝑊‘0) → (𝑊 = ⟨“𝑠𝑡”⟩ ↔ 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)𝑡”⟩))
21		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = (𝑊‘1) → (𝑊‘0) = (𝑊‘0))
22		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = (𝑊‘1) → 𝑡 = (𝑊‘1))
23	21, 22	s2eqd 14902	. . . 4 ⊢ (𝑡 = (𝑊‘1) → ⟨“(𝑊‘0)𝑡”⟩ = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩)
24	23	eqeq2d 2774	. . 3 ⊢ (𝑡 = (𝑊‘1) → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)𝑡”⟩ ↔ 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩))
25	20, 24	rspc2ev 3595	. 2 ⊢ (((𝑊‘0) ∈ 𝑆 ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑆 ∧ 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ 𝑆 𝑊 = ⟨“𝑠𝑡”⟩)
26	5, 15, 16, 25	syl3anc 1398	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ 𝑆 𝑊 = ⟨“𝑠𝑡”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  0cc0 11101  1c1 11102   ≤ cle 11245   − cmin 11442  ℕcn 12234  2c2 12296  ♯chash 14368  Word cword 14552  lastSclsw 14601  ⟨“cs2 14880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-hash 14369  df-word 14553  df-lsw 14602  df-concat 14610  df-s1 14636  df-s2 14887

This theorem is referenced by: (None)