Theorem wrdl2exs2 14901

Description: A word of length two is a doubleton word. (Contributed by AV, 25-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wrdl2exs2	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ 𝑆 𝑊 = ⟨“𝑠𝑡”⟩)

Distinct variable groups:   𝑆,𝑠,𝑡   𝑊,𝑠,𝑡

Proof of Theorem wrdl2exs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1le2 12425	. . . 4 ⊢ 1 ≤ 2
2		breq2 5151	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → (1 ≤ (♯‘𝑊) ↔ 1 ≤ 2))
3	1, 2	mpbiri 257	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → 1 ≤ (♯‘𝑊))
4		wrdsymb1 14507	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊‘0) ∈ 𝑆)
5	3, 4	sylan2 591	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → (𝑊‘0) ∈ 𝑆)
6		lsw 14518	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
7		oveq1 7418	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → ((♯‘𝑊) − 1) = (2 − 1))
8		2m1e1 12342	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
9	7, 8	eqtrdi 2786	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → ((♯‘𝑊) − 1) = 1)
10	9	fveq2d 6894	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘1))
11	6, 10	sylan9eq 2790	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘1))
12		2nn 12289	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
13		lswlgt0cl 14523	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 2)) → (lastS‘𝑊) ∈ 𝑆)
14	12, 13	mpan 686	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → (lastS‘𝑊) ∈ 𝑆)
15	11, 14	eqeltrrd 2832	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → (𝑊‘1) ∈ 𝑆)
16		wrdlen2s2 14900	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩)
17		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = (𝑊‘0) → 𝑠 = (𝑊‘0))
18		eqidd 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = (𝑊‘0) → 𝑡 = 𝑡)
19	17, 18	s2eqd 14818	. . . 4 ⊢ (𝑠 = (𝑊‘0) → ⟨“𝑠𝑡”⟩ = ⟨“(𝑊‘0)𝑡”⟩)
20	19	eqeq2d 2741	. . 3 ⊢ (𝑠 = (𝑊‘0) → (𝑊 = ⟨“𝑠𝑡”⟩ ↔ 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)𝑡”⟩))
21		eqidd 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = (𝑊‘1) → (𝑊‘0) = (𝑊‘0))
22		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = (𝑊‘1) → 𝑡 = (𝑊‘1))
23	21, 22	s2eqd 14818	. . . 4 ⊢ (𝑡 = (𝑊‘1) → ⟨“(𝑊‘0)𝑡”⟩ = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩)
24	23	eqeq2d 2741	. . 3 ⊢ (𝑡 = (𝑊‘1) → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)𝑡”⟩ ↔ 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩))
25	20, 24	rspc2ev 3623	. 2 ⊢ (((𝑊‘0) ∈ 𝑆 ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑆 ∧ 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ 𝑆 𝑊 = ⟨“𝑠𝑡”⟩)
26	5, 15, 16, 25	syl3anc 1369	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ 𝑆 𝑊 = ⟨“𝑠𝑡”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∃wrex 3068   class class class wbr 5147  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   ≤ cle 11253   − cmin 11448  ℕcn 12216  2c2 12271  ♯chash 14294  Word cword 14468  lastSclsw 14516  ⟨“cs2 14796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-lsw 14517  df-concat 14525  df-s1 14550  df-s2 14803

This theorem is referenced by: (None)