Theorem wrdl2exs2 14855

Description: A word of length two is a doubleton word. (Contributed by AV, 25-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wrdl2exs2	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ 𝑆 𝑊 = ⟨“𝑠𝑡”⟩)

Distinct variable groups:   𝑆,𝑠,𝑡   𝑊,𝑠,𝑡

Proof of Theorem wrdl2exs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1le2 12336	. . . 4 ⊢ 1 ≤ 2
2		breq2 5097	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → (1 ≤ (♯‘𝑊) ↔ 1 ≤ 2))
3	1, 2	mpbiri 258	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → 1 ≤ (♯‘𝑊))
4		wrdsymb1 14462	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊‘0) ∈ 𝑆)
5	3, 4	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → (𝑊‘0) ∈ 𝑆)
6		lsw 14473	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
7		oveq1 7359	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → ((♯‘𝑊) − 1) = (2 − 1))
8		2m1e1 12253	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
9	7, 8	eqtrdi 2784	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → ((♯‘𝑊) − 1) = 1)
10	9	fveq2d 6832	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘1))
11	6, 10	sylan9eq 2788	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘1))
12		2nn 12205	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
13		lswlgt0cl 14478	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 2)) → (lastS‘𝑊) ∈ 𝑆)
14	12, 13	mpan 690	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → (lastS‘𝑊) ∈ 𝑆)
15	11, 14	eqeltrrd 2834	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → (𝑊‘1) ∈ 𝑆)
16		wrdlen2s2 14854	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩)
17		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = (𝑊‘0) → 𝑠 = (𝑊‘0))
18		eqidd 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = (𝑊‘0) → 𝑡 = 𝑡)
19	17, 18	s2eqd 14772	. . . 4 ⊢ (𝑠 = (𝑊‘0) → ⟨“𝑠𝑡”⟩ = ⟨“(𝑊‘0)𝑡”⟩)
20	19	eqeq2d 2744	. . 3 ⊢ (𝑠 = (𝑊‘0) → (𝑊 = ⟨“𝑠𝑡”⟩ ↔ 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)𝑡”⟩))
21		eqidd 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = (𝑊‘1) → (𝑊‘0) = (𝑊‘0))
22		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = (𝑊‘1) → 𝑡 = (𝑊‘1))
23	21, 22	s2eqd 14772	. . . 4 ⊢ (𝑡 = (𝑊‘1) → ⟨“(𝑊‘0)𝑡”⟩ = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩)
24	23	eqeq2d 2744	. . 3 ⊢ (𝑡 = (𝑊‘1) → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)𝑡”⟩ ↔ 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩))
25	20, 24	rspc2ev 3586	. 2 ⊢ (((𝑊‘0) ∈ 𝑆 ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑆 ∧ 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ 𝑆 𝑊 = ⟨“𝑠𝑡”⟩)
26	5, 15, 16, 25	syl3anc 1373	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ 𝑆 𝑊 = ⟨“𝑠𝑡”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3057   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  0cc0 11013  1c1 11014   ≤ cle 11154   − cmin 11351  ℕcn 12132  2c2 12187  ♯chash 14239  Word cword 14422  lastSclsw 14471  ⟨“cs2 14750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-hash 14240  df-word 14423  df-lsw 14472  df-concat 14480  df-s1 14506  df-s2 14757

This theorem is referenced by: (None)