Theorem wrdl2exs2 14965

Description: A word of length two is a doubleton word. (Contributed by AV, 25-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wrdl2exs2	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ 𝑆 𝑊 = ⟨“𝑠𝑡”⟩)

Distinct variable groups:   𝑆,𝑠,𝑡   𝑊,𝑠,𝑡

Proof of Theorem wrdl2exs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1le2 12449	. . . 4 ⊢ 1 ≤ 2
2		breq2 5123	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → (1 ≤ (♯‘𝑊) ↔ 1 ≤ 2))
3	1, 2	mpbiri 258	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → 1 ≤ (♯‘𝑊))
4		wrdsymb1 14571	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊‘0) ∈ 𝑆)
5	3, 4	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → (𝑊‘0) ∈ 𝑆)
6		lsw 14582	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
7		oveq1 7412	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → ((♯‘𝑊) − 1) = (2 − 1))
8		2m1e1 12366	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
9	7, 8	eqtrdi 2786	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → ((♯‘𝑊) − 1) = 1)
10	9	fveq2d 6880	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘1))
11	6, 10	sylan9eq 2790	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘1))
12		2nn 12313	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
13		lswlgt0cl 14587	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 2)) → (lastS‘𝑊) ∈ 𝑆)
14	12, 13	mpan 690	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → (lastS‘𝑊) ∈ 𝑆)
15	11, 14	eqeltrrd 2835	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → (𝑊‘1) ∈ 𝑆)
16		wrdlen2s2 14964	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩)
17		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = (𝑊‘0) → 𝑠 = (𝑊‘0))
18		eqidd 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = (𝑊‘0) → 𝑡 = 𝑡)
19	17, 18	s2eqd 14882	. . . 4 ⊢ (𝑠 = (𝑊‘0) → ⟨“𝑠𝑡”⟩ = ⟨“(𝑊‘0)𝑡”⟩)
20	19	eqeq2d 2746	. . 3 ⊢ (𝑠 = (𝑊‘0) → (𝑊 = ⟨“𝑠𝑡”⟩ ↔ 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)𝑡”⟩))
21		eqidd 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = (𝑊‘1) → (𝑊‘0) = (𝑊‘0))
22		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = (𝑊‘1) → 𝑡 = (𝑊‘1))
23	21, 22	s2eqd 14882	. . . 4 ⊢ (𝑡 = (𝑊‘1) → ⟨“(𝑊‘0)𝑡”⟩ = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩)
24	23	eqeq2d 2746	. . 3 ⊢ (𝑡 = (𝑊‘1) → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)𝑡”⟩ ↔ 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩))
25	20, 24	rspc2ev 3614	. 2 ⊢ (((𝑊‘0) ∈ 𝑆 ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑆 ∧ 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ 𝑆 𝑊 = ⟨“𝑠𝑡”⟩)
26	5, 15, 16, 25	syl3anc 1373	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ 𝑆 𝑊 = ⟨“𝑠𝑡”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129  1c1 11130   ≤ cle 11270   − cmin 11466  ℕcn 12240  2c2 12295  ♯chash 14348  Word cword 14531  lastSclsw 14580  ⟨“cs2 14860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-hash 14349  df-word 14532  df-lsw 14581  df-concat 14589  df-s1 14614  df-s2 14867

This theorem is referenced by: (None)