numclwwlk1lem2f1 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > numclwwlk1lem2f1		Structured version Visualization version GIF version

Theorem numclwwlk1lem2f1 30444

Description: 𝑇 is a 1-1 function. (Contributed by AV, 26-Sep-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.) (Proof shortened by AV, 23-Feb-2022.) (Revised by AV, 31-Oct-2022.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
extwwlkfab.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
extwwlkfab.c	⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
extwwlkfab.f	⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
numclwwlk.t	⊢ 𝑇 = (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)

**Assertion**
Ref	Expression
numclwwlk1lem2f1	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–1-1→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))

Distinct variable groups: 𝑛,𝐺,𝑣,𝑤 𝑛,𝑁,𝑣,𝑤 𝑛,𝑉,𝑣,𝑤 𝑛,𝑋,𝑣,𝑤 𝑤,𝐹 𝑢,𝐶 𝑢,𝐹 𝑢,𝐺,𝑤 𝑢,𝑁 𝑢,𝑉 𝑢,𝑋 𝑢,𝑇 Allowed substitution hints: 𝐶(𝑤,𝑣,𝑛) 𝑇(𝑤,𝑣,𝑛) 𝐹(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwwlk1lem2f1 Dummy variables 𝑎 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extwwlkfab.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		extwwlkfab.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
3		extwwlkfab.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
4		numclwwlk.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)
5	1, 2, 3, 4	numclwwlk1lem2f 30442	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
6	1, 2, 3, 4	numclwwlk1lem2fv 30443	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → (𝑇‘𝑝) = ⟨(𝑝 prefix (𝑁 − 2)), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩)
7	6	ad2antrl 729	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → (𝑇‘𝑝) = ⟨(𝑝 prefix (𝑁 − 2)), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩)
8	1, 2, 3, 4	numclwwlk1lem2fv 30443	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → (𝑇‘𝑎) = ⟨(𝑎 prefix (𝑁 − 2)), (𝑎‘(𝑁 − 1))⟩)
9	8	ad2antll 730	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → (𝑇‘𝑎) = ⟨(𝑎 prefix (𝑁 − 2)), (𝑎‘(𝑁 − 1))⟩)
10	7, 9	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → ((𝑇‘𝑝) = (𝑇‘𝑎) ↔ ⟨(𝑝 prefix (𝑁 − 2)), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩ = ⟨(𝑎 prefix (𝑁 − 2)), (𝑎‘(𝑁 − 1))⟩))
11		ovex 7401	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 prefix (𝑁 − 2)) ∈ V
12		fvex 6855	. . . . . 6 ⊢ (𝑝‘(𝑁 − 1)) ∈ V
13	11, 12	opth 5432	. . . . 5 ⊢ (⟨(𝑝 prefix (𝑁 − 2)), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩ = ⟨(𝑎 prefix (𝑁 − 2)), (𝑎‘(𝑁 − 1))⟩ ↔ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1))))
14		uzuzle23 12809	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
15	2	2clwwlkel 30436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑝 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
16		isclwwlknon 30178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋))
17	16	anbi1i 625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
18	15, 17	bitrdi 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
19	2	2clwwlkel 30436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
20		isclwwlknon 30178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋))
21	20	anbi1i 625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
22	19, 21	bitrdi 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
23	18, 22	anbi12d 633	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁)) ↔ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
24	14, 23	sylan2 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁)) ↔ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
25	24	3adant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁)) ↔ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
26	1	clwwlknbp 30122	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁))
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) → (𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁))
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁))
29		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) → (𝑝‘0) = 𝑋)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑝‘0) = 𝑋)
31		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
32	29	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑝‘0))
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑝‘0))
34	31, 33	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))
35	28, 30, 34	jca32 515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))))
36	1	clwwlknbp 30122	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁))
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → (𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁))
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁))
39		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → (𝑎‘0) = 𝑋)
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑎‘0) = 𝑋)
41		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
42	39	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑎‘0))
43	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑎‘0))
44	41, 43	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))
45	38, 40, 44	jca32 515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))))
46		eqtr3 2759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((♯‘𝑝) = 𝑁 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) → (♯‘𝑝) = (♯‘𝑎))
47	46	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑎) = 𝑁 → ((♯‘𝑝) = 𝑁 → (♯‘𝑝) = (♯‘𝑎)))
48	47	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))) → ((♯‘𝑝) = 𝑁 → (♯‘𝑝) = (♯‘𝑎)))
49	48	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑝) = 𝑁 → (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))) → (♯‘𝑝) = (♯‘𝑎)))
50	49	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) → (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))) → (♯‘𝑝) = (♯‘𝑎)))
51	50	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0)))) → (♯‘𝑝) = (♯‘𝑎))
52	35, 45, 51	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (♯‘𝑝) = (♯‘𝑎))
53	52	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → (♯‘𝑝) = (♯‘𝑎))
54	27	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) → (♯‘𝑝) = 𝑁)
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (♯‘𝑝) = 𝑁)
56	55	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → 𝑁 = (♯‘𝑝))
57	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑁 = (♯‘𝑝))
58	57	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑁 − 2) = ((♯‘𝑝) − 2))
59	58	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑝 prefix ((♯‘𝑝) − 2)))
60	58	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix ((♯‘𝑝) − 2)))
61	59, 60	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ↔ (𝑝 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎 prefix ((♯‘𝑝) − 2))))
62	61	biimpcd 249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) → ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑝 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎 prefix ((♯‘𝑝) − 2))))
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1))) → ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑝 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎 prefix ((♯‘𝑝) − 2))))
64	63	impcom 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → (𝑝 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎 prefix ((♯‘𝑝) − 2)))
65	55	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((♯‘𝑝) − 2) = (𝑁 − 2))
66	65	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑝‘(𝑁 − 2)))
67	66, 31	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = 𝑋)
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = 𝑋)
69	41	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑎‘(𝑁 − 2)))
70	69	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑋 = (𝑎‘(𝑁 − 2)))
71	58	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘((♯‘𝑝) − 2)))
72	70, 71	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑋 = (𝑎‘((♯‘𝑝) − 2)))
73	68, 72	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((♯‘𝑝) − 2)))
74	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((♯‘𝑝) − 2)))
75		lsw 14499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑝) = (𝑝‘((♯‘𝑝) − 1)))
76		fvoveq1 7391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((♯‘𝑝) = 𝑁 → (𝑝‘((♯‘𝑝) − 1)) = (𝑝‘(𝑁 − 1)))
77	75, 76	sylan9eq 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) → (lastS‘𝑝) = (𝑝‘(𝑁 − 1)))
78	26, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (lastS‘𝑝) = (𝑝‘(𝑁 − 1)))
79	78	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (lastS‘𝑝))
80	79	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (lastS‘𝑝))
81		lsw 14499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑎 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑎) = (𝑎‘((♯‘𝑎) − 1)))
82	81	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) → (lastS‘𝑎) = (𝑎‘((♯‘𝑎) − 1)))
83		oveq1 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝑎) → (𝑁 − 1) = ((♯‘𝑎) − 1))
84	83	eqcoms 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝑎) = 𝑁 → (𝑁 − 1) = ((♯‘𝑎) − 1))
85	84	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((♯‘𝑎) = 𝑁 → (𝑎‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘((♯‘𝑎) − 1)))
86	85	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((♯‘𝑎) = 𝑁 → ((lastS‘𝑎) = (𝑎‘(𝑁 − 1)) ↔ (lastS‘𝑎) = (𝑎‘((♯‘𝑎) − 1))))
87	86	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) → ((lastS‘𝑎) = (𝑎‘(𝑁 − 1)) ↔ (lastS‘𝑎) = (𝑎‘((♯‘𝑎) − 1))))
88	82, 87	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) → (lastS‘𝑎) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))
89	36, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (lastS‘𝑎) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))
90	89	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑎‘(𝑁 − 1)) = (lastS‘𝑎))
91	90	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → (𝑎‘(𝑁 − 1)) = (lastS‘𝑎))
92	91	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑎‘(𝑁 − 1)) = (lastS‘𝑎))
93	80, 92	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → ((𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)) ↔ (lastS‘𝑝) = (lastS‘𝑎)))
94	93	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → ((𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)) → (lastS‘𝑝) = (lastS‘𝑎)))
95	94	adantld 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1))) → (lastS‘𝑝) = (lastS‘𝑎)))
96	95	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → (lastS‘𝑝) = (lastS‘𝑎))
97	64, 74, 96	3jca 1129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → ((𝑝 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) ∧ (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((♯‘𝑝) − 2)) ∧ (lastS‘𝑝) = (lastS‘𝑎)))
98	97	3adant1 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → ((𝑝 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) ∧ (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((♯‘𝑝) − 2)) ∧ (lastS‘𝑝) = (lastS‘𝑎)))
99	1	clwwlknwrd 30121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑝 ∈ Word 𝑉)
100	99	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑝 ∈ Word 𝑉)
101	100	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → 𝑝 ∈ Word 𝑉)
102	1	clwwlknwrd 30121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑎 ∈ Word 𝑉)
103	102	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → 𝑎 ∈ Word 𝑉)
104	103	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑎 ∈ Word 𝑉)
105	104	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → 𝑎 ∈ Word 𝑉)
106		clwwlknlen 30119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (♯‘𝑝) = 𝑁)
107		eluz2b1 12844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁))
108		breq2 5104	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝑝) → (1 < 𝑁 ↔ 1 < (♯‘𝑝)))
109	108	eqcoms 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑝) = 𝑁 → (1 < 𝑁 ↔ 1 < (♯‘𝑝)))
110	109	biimpcd 249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 < 𝑁 → ((♯‘𝑝) = 𝑁 → 1 < (♯‘𝑝)))
111	107, 110	simplbiim 504	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((♯‘𝑝) = 𝑁 → 1 < (♯‘𝑝)))
112	14, 106, 111	syl2imc 41	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 1 < (♯‘𝑝)))
113	112	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 1 < (♯‘𝑝)))
114	113	impcom 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))) → 1 < (♯‘𝑝))
115	114	3adant3 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → 1 < (♯‘𝑝))
116		2swrd2eqwrdeq 14888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑝)) → (𝑝 = 𝑎 ↔ ((♯‘𝑝) = (♯‘𝑎) ∧ ((𝑝 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) ∧ (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((♯‘𝑝) − 2)) ∧ (lastS‘𝑝) = (lastS‘𝑎)))))
117	101, 105, 115, 116	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → (𝑝 = 𝑎 ↔ ((♯‘𝑝) = (♯‘𝑎) ∧ ((𝑝 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) ∧ (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((♯‘𝑝) − 2)) ∧ (lastS‘𝑝) = (lastS‘𝑎)))))
118	53, 98, 117	mpbir2and 714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → 𝑝 = 𝑎)
119	118	3exp 1120	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1))) → 𝑝 = 𝑎)))
120	119	3ad2ant3 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1))) → 𝑝 = 𝑎)))
121	25, 120	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁)) → (((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1))) → 𝑝 = 𝑎)))
122	121	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → (((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1))) → 𝑝 = 𝑎))
123	13, 122	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → (⟨(𝑝 prefix (𝑁 − 2)), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩ = ⟨(𝑎 prefix (𝑁 − 2)), (𝑎‘(𝑁 − 1))⟩ → 𝑝 = 𝑎))
124	10, 123	sylbid 240	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → ((𝑇‘𝑝) = (𝑇‘𝑎) → 𝑝 = 𝑎))
125	124	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ∀𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁)∀𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁)((𝑇‘𝑝) = (𝑇‘𝑎) → 𝑝 = 𝑎))
126		dff13 7210	. 2 ⊢ (𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–1-1→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ↔ (𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ∧ ∀𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁)∀𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁)((𝑇‘𝑝) = (𝑇‘𝑎) → 𝑝 = 𝑎)))
127	5, 125, 126	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–1-1→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ∀wral 3052 {crab 3401 ⟨cop 4588 class class class wbr 5100 ↦ cmpt 5181 × cxp 5630 ⟶wf 6496 –1-1→wf1 6497 ‘cfv 6500 (class class class)co 7368 ∈ cmpo 7370 0cc0 11038 1c1 11039 < clt 11178 − cmin 11376 2c2 12212 3c3 12213 ℤcz 12500 ℤ_≥cuz 12763 ♯chash 14265 Word cword 14448 lastSclsw 14497 prefix cpfx 14606 Vtxcvtx 29081 USGraphcusgr 29234 NeighbVtx cnbgr 29417 ClWWalksN cclwwlkn 30111 ClWWalksNOncclwwlknon 30174

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-rep 5226 ax-sep 5243 ax-nul 5253 ax-pow 5312 ax-pr 5379 ax-un 7690 ax-cnex 11094 ax-resscn 11095 ax-1cn 11096 ax-icn 11097 ax-addcl 11098 ax-addrcl 11099 ax-mulcl 11100 ax-mulrcl 11101 ax-mulcom 11102 ax-addass 11103 ax-mulass 11104 ax-distr 11105 ax-i2m1 11106 ax-1ne0 11107 ax-1rid 11108 ax-rnegex 11109 ax-rrecex 11110 ax-cnre 11111 ax-pre-lttri 11112 ax-pre-lttrn 11113 ax-pre-ltadd 11114 ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-reu 3353 df-rab 3402 df-v 3444 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-dif 3906 df-un 3908 df-in 3910 df-ss 3920 df-pss 3923 df-nul 4288 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4583 df-pr 4585 df-op 4589 df-uni 4866 df-int 4905 df-iun 4950 df-br 5101 df-opab 5163 df-mpt 5182 df-tr 5208 df-id 5527 df-eprel 5532 df-po 5540 df-so 5541 df-fr 5585 df-we 5587 df-xp 5638 df-rel 5639 df-cnv 5640 df-co 5641 df-dm 5642 df-rn 5643 df-res 5644 df-ima 5645 df-pred 6267 df-ord 6328 df-on 6329 df-lim 6330 df-suc 6331 df-iota 6456 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-riota 7325 df-ov 7371 df-oprab 7372 df-mpo 7373 df-om 7819 df-1st 7943 df-2nd 7944 df-frecs 8233 df-wrecs 8264 df-recs 8313 df-rdg 8351 df-1o 8407 df-2o 8408 df-oadd 8411 df-er 8645 df-map 8777 df-en 8896 df-dom 8897 df-sdom 8898 df-fin 8899 df-dju 9825 df-card 9863 df-pnf 11180 df-mnf 11181 df-xr 11182 df-ltxr 11183 df-le 11184 df-sub 11378 df-neg 11379 df-nn 12158 df-2 12220 df-3 12221 df-n0 12414 df-xnn0 12487 df-z 12501 df-uz 12764 df-rp 12918 df-fz 13436 df-fzo 13583 df-hash 14266 df-word 14449 df-lsw 14498 df-concat 14506 df-s1 14532 df-substr 14577 df-pfx 14607 df-s2 14783 df-edg 29133 df-upgr 29167 df-umgr 29168 df-usgr 29236 df-nbgr 29418 df-wwlks 29915 df-wwlksn 29916 df-clwwlk 30069 df-clwwlkn 30112 df-clwwlknon 30175

This theorem is referenced by: numclwwlk1lem2f1o 30446

W3C validator