numclwwlk1lem2f1 - Metamath Proof Explorer

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Theorem numclwwlk1lem2f1 30313

Description: 𝑇 is a 1-1 function. (Contributed by AV, 26-Sep-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.) (Proof shortened by AV, 23-Feb-2022.) (Revised by AV, 31-Oct-2022.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
extwwlkfab.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
extwwlkfab.c	⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
extwwlkfab.f	⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
numclwwlk.t	⊢ 𝑇 = (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)

**Assertion**
Ref	Expression
numclwwlk1lem2f1	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–1-1→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))

Distinct variable groups: 𝑛,𝐺,𝑣,𝑤 𝑛,𝑁,𝑣,𝑤 𝑛,𝑉,𝑣,𝑤 𝑛,𝑋,𝑣,𝑤 𝑤,𝐹 𝑢,𝐶 𝑢,𝐹 𝑢,𝐺,𝑤 𝑢,𝑁 𝑢,𝑉 𝑢,𝑋 𝑢,𝑇 Allowed substitution hints: 𝐶(𝑤,𝑣,𝑛) 𝑇(𝑤,𝑣,𝑛) 𝐹(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwwlk1lem2f1 Dummy variables 𝑎 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extwwlkfab.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		extwwlkfab.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
3		extwwlkfab.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
4		numclwwlk.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)
5	1, 2, 3, 4	numclwwlk1lem2f 30311	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
6	1, 2, 3, 4	numclwwlk1lem2fv 30312	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → (𝑇‘𝑝) = ⟨(𝑝 prefix (𝑁 − 2)), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩)
7	6	ad2antrl 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → (𝑇‘𝑝) = ⟨(𝑝 prefix (𝑁 − 2)), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩)
8	1, 2, 3, 4	numclwwlk1lem2fv 30312	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → (𝑇‘𝑎) = ⟨(𝑎 prefix (𝑁 − 2)), (𝑎‘(𝑁 − 1))⟩)
9	8	ad2antll 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → (𝑇‘𝑎) = ⟨(𝑎 prefix (𝑁 − 2)), (𝑎‘(𝑁 − 1))⟩)
10	7, 9	eqeq12d 2745	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → ((𝑇‘𝑝) = (𝑇‘𝑎) ↔ ⟨(𝑝 prefix (𝑁 − 2)), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩ = ⟨(𝑎 prefix (𝑁 − 2)), (𝑎‘(𝑁 − 1))⟩))
11		ovex 7463	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 prefix (𝑁 − 2)) ∈ V
12		fvex 6918	. . . . . 6 ⊢ (𝑝‘(𝑁 − 1)) ∈ V
13	11, 12	opth 5486	. . . . 5 ⊢ (⟨(𝑝 prefix (𝑁 − 2)), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩ = ⟨(𝑎 prefix (𝑁 − 2)), (𝑎‘(𝑁 − 1))⟩ ↔ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1))))
14		uzuzle23 12935	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
15	2	2clwwlkel 30305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑝 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
16		isclwwlknon 30047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋))
17	16	anbi1i 622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
18	15, 17	bitrdi 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
19	2	2clwwlkel 30305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
20		isclwwlknon 30047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋))
21	20	anbi1i 622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
22	19, 21	bitrdi 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
23	18, 22	anbi12d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁)) ↔ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
24	14, 23	sylan2 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁)) ↔ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
25	24	3adant1 1127	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁)) ↔ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
26	1	clwwlknbp 29991	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁))
27	26	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) → (𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁))
28	27	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁))
29		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) → (𝑝‘0) = 𝑋)
30	29	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑝‘0) = 𝑋)
31		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
32	29	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑝‘0))
33	32	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑝‘0))
34	31, 33	eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))
35	28, 30, 34	jca32 514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))))
36	1	clwwlknbp 29991	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁))
37	36	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → (𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁))
38	37	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁))
39		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → (𝑎‘0) = 𝑋)
40	39	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑎‘0) = 𝑋)
41		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
42	39	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑎‘0))
43	42	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑎‘0))
44	41, 43	eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))
45	38, 40, 44	jca32 514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))))
46		eqtr3 2755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((♯‘𝑝) = 𝑁 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) → (♯‘𝑝) = (♯‘𝑎))
47	46	expcom 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑎) = 𝑁 → ((♯‘𝑝) = 𝑁 → (♯‘𝑝) = (♯‘𝑎)))
48	47	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))) → ((♯‘𝑝) = 𝑁 → (♯‘𝑝) = (♯‘𝑎)))
49	48	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑝) = 𝑁 → (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))) → (♯‘𝑝) = (♯‘𝑎)))
50	49	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) → (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))) → (♯‘𝑝) = (♯‘𝑎)))
51	50	imp 405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0)))) → (♯‘𝑝) = (♯‘𝑎))
52	35, 45, 51	syl2an 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (♯‘𝑝) = (♯‘𝑎))
53	52	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → (♯‘𝑝) = (♯‘𝑎))
54	27	simprd 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) → (♯‘𝑝) = 𝑁)
55	54	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (♯‘𝑝) = 𝑁)
56	55	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → 𝑁 = (♯‘𝑝))
57	56	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑁 = (♯‘𝑝))
58	57	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑁 − 2) = ((♯‘𝑝) − 2))
59	58	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑝 prefix ((♯‘𝑝) − 2)))
60	58	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix ((♯‘𝑝) − 2)))
61	59, 60	eqeq12d 2745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ↔ (𝑝 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎 prefix ((♯‘𝑝) − 2))))
62	61	biimpcd 248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) → ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑝 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎 prefix ((♯‘𝑝) − 2))))
63	62	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1))) → ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑝 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎 prefix ((♯‘𝑝) − 2))))
64	63	impcom 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → (𝑝 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎 prefix ((♯‘𝑝) − 2)))
65	55	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((♯‘𝑝) − 2) = (𝑁 − 2))
66	65	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑝‘(𝑁 − 2)))
67	66, 31	eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = 𝑋)
68	67	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = 𝑋)
69	41	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑎‘(𝑁 − 2)))
70	69	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑋 = (𝑎‘(𝑁 − 2)))
71	58	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘((♯‘𝑝) − 2)))
72	70, 71	eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑋 = (𝑎‘((♯‘𝑝) − 2)))
73	68, 72	eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((♯‘𝑝) − 2)))
74	73	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((♯‘𝑝) − 2)))
75		lsw 14593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑝) = (𝑝‘((♯‘𝑝) − 1)))
76		fvoveq1 7453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((♯‘𝑝) = 𝑁 → (𝑝‘((♯‘𝑝) − 1)) = (𝑝‘(𝑁 − 1)))
77	75, 76	sylan9eq 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) → (lastS‘𝑝) = (𝑝‘(𝑁 − 1)))
78	26, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (lastS‘𝑝) = (𝑝‘(𝑁 − 1)))
79	78	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (lastS‘𝑝))
80	79	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (lastS‘𝑝))
81		lsw 14593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑎 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑎) = (𝑎‘((♯‘𝑎) − 1)))
82	81	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) → (lastS‘𝑎) = (𝑎‘((♯‘𝑎) − 1)))
83		oveq1 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝑎) → (𝑁 − 1) = ((♯‘𝑎) − 1))
84	83	eqcoms 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝑎) = 𝑁 → (𝑁 − 1) = ((♯‘𝑎) − 1))
85	84	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((♯‘𝑎) = 𝑁 → (𝑎‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘((♯‘𝑎) − 1)))
86	85	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((♯‘𝑎) = 𝑁 → ((lastS‘𝑎) = (𝑎‘(𝑁 − 1)) ↔ (lastS‘𝑎) = (𝑎‘((♯‘𝑎) − 1))))
87	86	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) → ((lastS‘𝑎) = (𝑎‘(𝑁 − 1)) ↔ (lastS‘𝑎) = (𝑎‘((♯‘𝑎) − 1))))
88	82, 87	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) → (lastS‘𝑎) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))
89	36, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (lastS‘𝑎) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))
90	89	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑎‘(𝑁 − 1)) = (lastS‘𝑎))
91	90	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → (𝑎‘(𝑁 − 1)) = (lastS‘𝑎))
92	91	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑎‘(𝑁 − 1)) = (lastS‘𝑎))
93	80, 92	eqeq12d 2745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → ((𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)) ↔ (lastS‘𝑝) = (lastS‘𝑎)))
94	93	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → ((𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)) → (lastS‘𝑝) = (lastS‘𝑎)))
95	94	adantld 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1))) → (lastS‘𝑝) = (lastS‘𝑎)))
96	95	imp 405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → (lastS‘𝑝) = (lastS‘𝑎))
97	64, 74, 96	3jca 1125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → ((𝑝 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) ∧ (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((♯‘𝑝) − 2)) ∧ (lastS‘𝑝) = (lastS‘𝑎)))
98	97	3adant1 1127	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → ((𝑝 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) ∧ (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((♯‘𝑝) − 2)) ∧ (lastS‘𝑝) = (lastS‘𝑎)))
99	1	clwwlknwrd 29990	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑝 ∈ Word 𝑉)
100	99	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑝 ∈ Word 𝑉)
101	100	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → 𝑝 ∈ Word 𝑉)
102	1	clwwlknwrd 29990	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑎 ∈ Word 𝑉)
103	102	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → 𝑎 ∈ Word 𝑉)
104	103	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑎 ∈ Word 𝑉)
105	104	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → 𝑎 ∈ Word 𝑉)
106		clwwlknlen 29988	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (♯‘𝑝) = 𝑁)
107		eluz2b1 12965	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁))
108		breq2 5160	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝑝) → (1 < 𝑁 ↔ 1 < (♯‘𝑝)))
109	108	eqcoms 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑝) = 𝑁 → (1 < 𝑁 ↔ 1 < (♯‘𝑝)))
110	109	biimpcd 248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 < 𝑁 → ((♯‘𝑝) = 𝑁 → 1 < (♯‘𝑝)))
111	107, 110	simplbiim 503	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((♯‘𝑝) = 𝑁 → 1 < (♯‘𝑝)))
112	14, 106, 111	syl2imc 41	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 1 < (♯‘𝑝)))
113	112	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 1 < (♯‘𝑝)))
114	113	impcom 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))) → 1 < (♯‘𝑝))
115	114	3adant3 1129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → 1 < (♯‘𝑝))
116		2swrd2eqwrdeq 14983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑝)) → (𝑝 = 𝑎 ↔ ((♯‘𝑝) = (♯‘𝑎) ∧ ((𝑝 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) ∧ (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((♯‘𝑝) − 2)) ∧ (lastS‘𝑝) = (lastS‘𝑎)))))
117	101, 105, 115, 116	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → (𝑝 = 𝑎 ↔ ((♯‘𝑝) = (♯‘𝑎) ∧ ((𝑝 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) ∧ (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((♯‘𝑝) − 2)) ∧ (lastS‘𝑝) = (lastS‘𝑎)))))
118	53, 98, 117	mpbir2and 711	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → 𝑝 = 𝑎)
119	118	3exp 1116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1))) → 𝑝 = 𝑎)))
120	119	3ad2ant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1))) → 𝑝 = 𝑎)))
121	25, 120	sylbid 239	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁)) → (((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1))) → 𝑝 = 𝑎)))
122	121	imp 405	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → (((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1))) → 𝑝 = 𝑎))
123	13, 122	biimtrid 241	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → (⟨(𝑝 prefix (𝑁 − 2)), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩ = ⟨(𝑎 prefix (𝑁 − 2)), (𝑎‘(𝑁 − 1))⟩ → 𝑝 = 𝑎))
124	10, 123	sylbid 239	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → ((𝑇‘𝑝) = (𝑇‘𝑎) → 𝑝 = 𝑎))
125	124	ralrimivva 3195	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ∀𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁)∀𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁)((𝑇‘𝑝) = (𝑇‘𝑎) → 𝑝 = 𝑎))
126		dff13 7275	. 2 ⊢ (𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–1-1→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ↔ (𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ∧ ∀𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁)∀𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁)((𝑇‘𝑝) = (𝑇‘𝑎) → 𝑝 = 𝑎)))
127	5, 125, 126	sylanbrc 581	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–1-1→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 394 ∧ w3a 1084 = wceq 1534 ∈ wcel 2100 ∀wral 3054 {crab 3428 ⟨cop 4642 class class class wbr 5156 ↦ cmpt 5239 × cxp 5684 ⟶wf 6554 –1-1→wf1 6555 ‘cfv 6558 (class class class)co 7430 ∈ cmpo 7432 0cc0 11165 1c1 11166 < clt 11305 − cmin 11501 2c2 12329 3c3 12330 ℤcz 12620 ℤ_≥cuz 12884 ♯chash 14359 Word cword 14543 lastSclsw 14591 prefix cpfx 14699 Vtxcvtx 28955 USGraphcusgr 29108 NeighbVtx cnbgr 29291 ClWWalksN cclwwlkn 29980 ClWWalksNOncclwwlknon 30043

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2102 ax-9 2110 ax-10 2133 ax-11 2150 ax-12 2170 ax-ext 2700 ax-rep 5293 ax-sep 5307 ax-nul 5314 ax-pow 5373 ax-pr 5437 ax-un 7751 ax-cnex 11221 ax-resscn 11222 ax-1cn 11223 ax-icn 11224 ax-addcl 11225 ax-addrcl 11226 ax-mulcl 11227 ax-mulrcl 11228 ax-mulcom 11229 ax-addass 11230 ax-mulass 11231 ax-distr 11232 ax-i2m1 11233 ax-1ne0 11234 ax-1rid 11235 ax-rnegex 11236 ax-rrecex 11237 ax-cnre 11238 ax-pre-lttri 11239 ax-pre-lttrn 11240 ax-pre-ltadd 11241 ax-pre-mulgt0 11242

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2062 df-mo 2532 df-eu 2561 df-clab 2707 df-cleq 2721 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2934 df-nel 3040 df-ral 3055 df-rex 3064 df-reu 3374 df-rab 3429 df-v 3474 df-sbc 3789 df-csb 3905 df-dif 3962 df-un 3964 df-in 3966 df-ss 3976 df-pss 3979 df-nul 4336 df-if 4537 df-pw 4612 df-sn 4637 df-pr 4639 df-op 4643 df-uni 4919 df-int 4960 df-iun 5008 df-br 5157 df-opab 5219 df-mpt 5240 df-tr 5274 df-id 5584 df-eprel 5590 df-po 5598 df-so 5599 df-fr 5641 df-we 5643 df-xp 5692 df-rel 5693 df-cnv 5694 df-co 5695 df-dm 5696 df-rn 5697 df-res 5698 df-ima 5699 df-pred 6317 df-ord 6383 df-on 6384 df-lim 6385 df-suc 6386 df-iota 6510 df-fun 6560 df-fn 6561 df-f 6562 df-f1 6563 df-fo 6564 df-f1o 6565 df-fv 6566 df-riota 7386 df-ov 7433 df-oprab 7434 df-mpo 7435 df-om 7885 df-1st 8011 df-2nd 8012 df-frecs 8304 df-wrecs 8335 df-recs 8409 df-rdg 8448 df-1o 8504 df-2o 8505 df-oadd 8508 df-er 8742 df-map 8865 df-en 8983 df-dom 8984 df-sdom 8985 df-fin 8986 df-dju 9951 df-card 9989 df-pnf 11307 df-mnf 11308 df-xr 11309 df-ltxr 11310 df-le 11311 df-sub 11503 df-neg 11504 df-nn 12275 df-2 12337 df-3 12338 df-n0 12535 df-xnn0 12607 df-z 12621 df-uz 12885 df-rp 13039 df-fz 13549 df-fzo 13692 df-hash 14360 df-word 14544 df-lsw 14592 df-concat 14600 df-s1 14625 df-substr 14670 df-pfx 14700 df-s2 14878 df-edg 29007 df-upgr 29041 df-umgr 29042 df-usgr 29110 df-nbgr 29292 df-wwlks 29787 df-wwlksn 29788 df-clwwlk 29938 df-clwwlkn 29981 df-clwwlknon 30044

This theorem is referenced by: numclwwlk1lem2f1o 30315

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