numclwwlk1lem2f1 - Metamath Proof Explorer

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Theorem numclwwlk1lem2f1 30293

Description: 𝑇 is a 1-1 function. (Contributed by AV, 26-Sep-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.) (Proof shortened by AV, 23-Feb-2022.) (Revised by AV, 31-Oct-2022.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
extwwlkfab.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
extwwlkfab.c	⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
extwwlkfab.f	⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
numclwwlk.t	⊢ 𝑇 = (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)

**Assertion**
Ref	Expression
numclwwlk1lem2f1	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–1-1→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))

Distinct variable groups: 𝑛,𝐺,𝑣,𝑤 𝑛,𝑁,𝑣,𝑤 𝑛,𝑉,𝑣,𝑤 𝑛,𝑋,𝑣,𝑤 𝑤,𝐹 𝑢,𝐶 𝑢,𝐹 𝑢,𝐺,𝑤 𝑢,𝑁 𝑢,𝑉 𝑢,𝑋 𝑢,𝑇 Allowed substitution hints: 𝐶(𝑤,𝑣,𝑛) 𝑇(𝑤,𝑣,𝑛) 𝐹(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwwlk1lem2f1 Dummy variables 𝑎 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extwwlkfab.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		extwwlkfab.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
3		extwwlkfab.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
4		numclwwlk.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)
5	1, 2, 3, 4	numclwwlk1lem2f 30291	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
6	1, 2, 3, 4	numclwwlk1lem2fv 30292	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → (𝑇‘𝑝) = ⟨(𝑝 prefix (𝑁 − 2)), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩)
7	6	ad2antrl 728	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → (𝑇‘𝑝) = ⟨(𝑝 prefix (𝑁 − 2)), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩)
8	1, 2, 3, 4	numclwwlk1lem2fv 30292	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → (𝑇‘𝑎) = ⟨(𝑎 prefix (𝑁 − 2)), (𝑎‘(𝑁 − 1))⟩)
9	8	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → (𝑇‘𝑎) = ⟨(𝑎 prefix (𝑁 − 2)), (𝑎‘(𝑁 − 1))⟩)
10	7, 9	eqeq12d 2746	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → ((𝑇‘𝑝) = (𝑇‘𝑎) ↔ ⟨(𝑝 prefix (𝑁 − 2)), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩ = ⟨(𝑎 prefix (𝑁 − 2)), (𝑎‘(𝑁 − 1))⟩))
11		ovex 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 prefix (𝑁 − 2)) ∈ V
12		fvex 6874	. . . . . 6 ⊢ (𝑝‘(𝑁 − 1)) ∈ V
13	11, 12	opth 5439	. . . . 5 ⊢ (⟨(𝑝 prefix (𝑁 − 2)), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩ = ⟨(𝑎 prefix (𝑁 − 2)), (𝑎‘(𝑁 − 1))⟩ ↔ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1))))
14		uzuzle23 12850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
15	2	2clwwlkel 30285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑝 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
16		isclwwlknon 30027	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋))
17	16	anbi1i 624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
18	15, 17	bitrdi 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
19	2	2clwwlkel 30285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
20		isclwwlknon 30027	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋))
21	20	anbi1i 624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
22	19, 21	bitrdi 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
23	18, 22	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁)) ↔ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
24	14, 23	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁)) ↔ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
25	24	3adant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁)) ↔ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
26	1	clwwlknbp 29971	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁))
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) → (𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁))
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁))
29		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) → (𝑝‘0) = 𝑋)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑝‘0) = 𝑋)
31		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
32	29	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑝‘0))
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑝‘0))
34	31, 33	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))
35	28, 30, 34	jca32 515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))))
36	1	clwwlknbp 29971	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁))
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → (𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁))
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁))
39		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → (𝑎‘0) = 𝑋)
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑎‘0) = 𝑋)
41		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
42	39	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑎‘0))
43	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑎‘0))
44	41, 43	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))
45	38, 40, 44	jca32 515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))))
46		eqtr3 2752	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((♯‘𝑝) = 𝑁 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) → (♯‘𝑝) = (♯‘𝑎))
47	46	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑎) = 𝑁 → ((♯‘𝑝) = 𝑁 → (♯‘𝑝) = (♯‘𝑎)))
48	47	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))) → ((♯‘𝑝) = 𝑁 → (♯‘𝑝) = (♯‘𝑎)))
49	48	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑝) = 𝑁 → (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))) → (♯‘𝑝) = (♯‘𝑎)))
50	49	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) → (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))) → (♯‘𝑝) = (♯‘𝑎)))
51	50	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0)))) → (♯‘𝑝) = (♯‘𝑎))
52	35, 45, 51	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (♯‘𝑝) = (♯‘𝑎))
53	52	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → (♯‘𝑝) = (♯‘𝑎))
54	27	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) → (♯‘𝑝) = 𝑁)
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (♯‘𝑝) = 𝑁)
56	55	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → 𝑁 = (♯‘𝑝))
57	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑁 = (♯‘𝑝))
58	57	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑁 − 2) = ((♯‘𝑝) − 2))
59	58	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑝 prefix ((♯‘𝑝) − 2)))
60	58	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix ((♯‘𝑝) − 2)))
61	59, 60	eqeq12d 2746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ↔ (𝑝 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎 prefix ((♯‘𝑝) − 2))))
62	61	biimpcd 249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) → ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑝 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎 prefix ((♯‘𝑝) − 2))))
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1))) → ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑝 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎 prefix ((♯‘𝑝) − 2))))
64	63	impcom 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → (𝑝 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎 prefix ((♯‘𝑝) − 2)))
65	55	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((♯‘𝑝) − 2) = (𝑁 − 2))
66	65	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑝‘(𝑁 − 2)))
67	66, 31	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = 𝑋)
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = 𝑋)
69	41	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑎‘(𝑁 − 2)))
70	69	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑋 = (𝑎‘(𝑁 − 2)))
71	58	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘((♯‘𝑝) − 2)))
72	70, 71	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑋 = (𝑎‘((♯‘𝑝) − 2)))
73	68, 72	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((♯‘𝑝) − 2)))
74	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((♯‘𝑝) − 2)))
75		lsw 14536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑝) = (𝑝‘((♯‘𝑝) − 1)))
76		fvoveq1 7413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((♯‘𝑝) = 𝑁 → (𝑝‘((♯‘𝑝) − 1)) = (𝑝‘(𝑁 − 1)))
77	75, 76	sylan9eq 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) → (lastS‘𝑝) = (𝑝‘(𝑁 − 1)))
78	26, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (lastS‘𝑝) = (𝑝‘(𝑁 − 1)))
79	78	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (lastS‘𝑝))
80	79	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (lastS‘𝑝))
81		lsw 14536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑎 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑎) = (𝑎‘((♯‘𝑎) − 1)))
82	81	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) → (lastS‘𝑎) = (𝑎‘((♯‘𝑎) − 1)))
83		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝑎) → (𝑁 − 1) = ((♯‘𝑎) − 1))
84	83	eqcoms 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝑎) = 𝑁 → (𝑁 − 1) = ((♯‘𝑎) − 1))
85	84	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((♯‘𝑎) = 𝑁 → (𝑎‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘((♯‘𝑎) − 1)))
86	85	eqeq2d 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((♯‘𝑎) = 𝑁 → ((lastS‘𝑎) = (𝑎‘(𝑁 − 1)) ↔ (lastS‘𝑎) = (𝑎‘((♯‘𝑎) − 1))))
87	86	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) → ((lastS‘𝑎) = (𝑎‘(𝑁 − 1)) ↔ (lastS‘𝑎) = (𝑎‘((♯‘𝑎) − 1))))
88	82, 87	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) → (lastS‘𝑎) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))
89	36, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (lastS‘𝑎) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))
90	89	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑎‘(𝑁 − 1)) = (lastS‘𝑎))
91	90	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → (𝑎‘(𝑁 − 1)) = (lastS‘𝑎))
92	91	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑎‘(𝑁 − 1)) = (lastS‘𝑎))
93	80, 92	eqeq12d 2746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → ((𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)) ↔ (lastS‘𝑝) = (lastS‘𝑎)))
94	93	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → ((𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)) → (lastS‘𝑝) = (lastS‘𝑎)))
95	94	adantld 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1))) → (lastS‘𝑝) = (lastS‘𝑎)))
96	95	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → (lastS‘𝑝) = (lastS‘𝑎))
97	64, 74, 96	3jca 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → ((𝑝 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) ∧ (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((♯‘𝑝) − 2)) ∧ (lastS‘𝑝) = (lastS‘𝑎)))
98	97	3adant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → ((𝑝 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) ∧ (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((♯‘𝑝) − 2)) ∧ (lastS‘𝑝) = (lastS‘𝑎)))
99	1	clwwlknwrd 29970	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑝 ∈ Word 𝑉)
100	99	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑝 ∈ Word 𝑉)
101	100	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → 𝑝 ∈ Word 𝑉)
102	1	clwwlknwrd 29970	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑎 ∈ Word 𝑉)
103	102	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → 𝑎 ∈ Word 𝑉)
104	103	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑎 ∈ Word 𝑉)
105	104	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → 𝑎 ∈ Word 𝑉)
106		clwwlknlen 29968	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (♯‘𝑝) = 𝑁)
107		eluz2b1 12885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁))
108		breq2 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝑝) → (1 < 𝑁 ↔ 1 < (♯‘𝑝)))
109	108	eqcoms 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑝) = 𝑁 → (1 < 𝑁 ↔ 1 < (♯‘𝑝)))
110	109	biimpcd 249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 < 𝑁 → ((♯‘𝑝) = 𝑁 → 1 < (♯‘𝑝)))
111	107, 110	simplbiim 504	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((♯‘𝑝) = 𝑁 → 1 < (♯‘𝑝)))
112	14, 106, 111	syl2imc 41	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 1 < (♯‘𝑝)))
113	112	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 1 < (♯‘𝑝)))
114	113	impcom 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))) → 1 < (♯‘𝑝))
115	114	3adant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → 1 < (♯‘𝑝))
116		2swrd2eqwrdeq 14926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑝)) → (𝑝 = 𝑎 ↔ ((♯‘𝑝) = (♯‘𝑎) ∧ ((𝑝 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) ∧ (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((♯‘𝑝) − 2)) ∧ (lastS‘𝑝) = (lastS‘𝑎)))))
117	101, 105, 115, 116	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → (𝑝 = 𝑎 ↔ ((♯‘𝑝) = (♯‘𝑎) ∧ ((𝑝 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎 prefix ((♯‘𝑝) − 2)) ∧ (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((♯‘𝑝) − 2)) ∧ (lastS‘𝑝) = (lastS‘𝑎)))))
118	53, 98, 117	mpbir2and 713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → 𝑝 = 𝑎)
119	118	3exp 1119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1))) → 𝑝 = 𝑎)))
120	119	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1))) → 𝑝 = 𝑎)))
121	25, 120	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁)) → (((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1))) → 𝑝 = 𝑎)))
122	121	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → (((𝑝 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑎 prefix (𝑁 − 2)) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1))) → 𝑝 = 𝑎))
123	13, 122	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → (⟨(𝑝 prefix (𝑁 − 2)), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩ = ⟨(𝑎 prefix (𝑁 − 2)), (𝑎‘(𝑁 − 1))⟩ → 𝑝 = 𝑎))
124	10, 123	sylbid 240	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → ((𝑇‘𝑝) = (𝑇‘𝑎) → 𝑝 = 𝑎))
125	124	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ∀𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁)∀𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁)((𝑇‘𝑝) = (𝑇‘𝑎) → 𝑝 = 𝑎))
126		dff13 7232	. 2 ⊢ (𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–1-1→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ↔ (𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ∧ ∀𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁)∀𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁)((𝑇‘𝑝) = (𝑇‘𝑎) → 𝑝 = 𝑎)))
127	5, 125, 126	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–1-1→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ∀wral 3045 {crab 3408 ⟨cop 4598 class class class wbr 5110 ↦ cmpt 5191 × cxp 5639 ⟶wf 6510 –1-1→wf1 6511 ‘cfv 6514 (class class class)co 7390 ∈ cmpo 7392 0cc0 11075 1c1 11076 < clt 11215 − cmin 11412 2c2 12248 3c3 12249 ℤcz 12536 ℤ_≥cuz 12800 ♯chash 14302 Word cword 14485 lastSclsw 14534 prefix cpfx 14642 Vtxcvtx 28930 USGraphcusgr 29083 NeighbVtx cnbgr 29266 ClWWalksN cclwwlkn 29960 ClWWalksNOncclwwlknon 30023

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2702 ax-rep 5237 ax-sep 5254 ax-nul 5264 ax-pow 5323 ax-pr 5390 ax-un 7714 ax-cnex 11131 ax-resscn 11132 ax-1cn 11133 ax-icn 11134 ax-addcl 11135 ax-addrcl 11136 ax-mulcl 11137 ax-mulrcl 11138 ax-mulcom 11139 ax-addass 11140 ax-mulass 11141 ax-distr 11142 ax-i2m1 11143 ax-1ne0 11144 ax-1rid 11145 ax-rnegex 11146 ax-rrecex 11147 ax-cnre 11148 ax-pre-lttri 11149 ax-pre-lttrn 11150 ax-pre-ltadd 11151 ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2709 df-cleq 2722 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2927 df-nel 3031 df-ral 3046 df-rex 3055 df-reu 3357 df-rab 3409 df-v 3452 df-sbc 3757 df-csb 3866 df-dif 3920 df-un 3922 df-in 3924 df-ss 3934 df-pss 3937 df-nul 4300 df-if 4492 df-pw 4568 df-sn 4593 df-pr 4595 df-op 4599 df-uni 4875 df-int 4914 df-iun 4960 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5192 df-tr 5218 df-id 5536 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5594 df-we 5596 df-xp 5647 df-rel 5648 df-cnv 5649 df-co 5650 df-dm 5651 df-rn 5652 df-res 5653 df-ima 5654 df-pred 6277 df-ord 6338 df-on 6339 df-lim 6340 df-suc 6341 df-iota 6467 df-fun 6516 df-fn 6517 df-f 6518 df-f1 6519 df-fo 6520 df-f1o 6521 df-fv 6522 df-riota 7347 df-ov 7393 df-oprab 7394 df-mpo 7395 df-om 7846 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-frecs 8263 df-wrecs 8294 df-recs 8343 df-rdg 8381 df-1o 8437 df-2o 8438 df-oadd 8441 df-er 8674 df-map 8804 df-en 8922 df-dom 8923 df-sdom 8924 df-fin 8925 df-dju 9861 df-card 9899 df-pnf 11217 df-mnf 11218 df-xr 11219 df-ltxr 11220 df-le 11221 df-sub 11414 df-neg 11415 df-nn 12194 df-2 12256 df-3 12257 df-n0 12450 df-xnn0 12523 df-z 12537 df-uz 12801 df-rp 12959 df-fz 13476 df-fzo 13623 df-hash 14303 df-word 14486 df-lsw 14535 df-concat 14543 df-s1 14568 df-substr 14613 df-pfx 14643 df-s2 14821 df-edg 28982 df-upgr 29016 df-umgr 29017 df-usgr 29085 df-nbgr 29267 df-wwlks 29767 df-wwlksn 29768 df-clwwlk 29918 df-clwwlkn 29961 df-clwwlknon 30024

This theorem is referenced by: numclwwlk1lem2f1o 30295

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