Theorem clwwlkn1 30022

Description: A closed walk of length 1 represented as word is a word consisting of 1 symbol representing a vertex connected to itself by (at least) one edge, that is, a loop. (Contributed by AV, 24-Apr-2021.) (Revised by AV, 11-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlkn1	⊢ (𝑊 ∈ (1 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))

Proof of Theorem clwwlkn1

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12251	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
4	2, 3	isclwwlknx 30017	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (1 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 1)))
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (1 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 1))
6		3anass 1094	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
7		ral0 4488	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑖 ∈ ∅ {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)
8		oveq1 7412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → ((♯‘𝑊) − 1) = (1 − 1))
9		1m1e0 12312	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 − 1) = 0
10	8, 9	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → ((♯‘𝑊) − 1) = 0)
11	10	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) = (0..^0))
12		fzo0 13700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^0) = ∅
13	11, 12	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) = ∅)
14	13	raleqdv 3305	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
15	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
16	7, 15	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
17	16	biantrurd 532	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
18		lsw1 14585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘0))
19	18	ancoms 458	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘0))
20	19	preq1d 4715	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘0), (𝑊‘0)})
21		dfsn2 4614	. . . . . . . 8 ⊢ {(𝑊‘0)} = {(𝑊‘0), (𝑊‘0)}
22	20, 21	eqtr4di 2788	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘0)})
23	22	eleq1d 2819	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
24	17, 23	bitr3d 281	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
25	24	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
26	6, 25	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
27	26	pm5.32ri 575	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 1) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 1))
28		3anass 1094	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((♯‘𝑊) = 1 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
29		ancom 460	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 1))
30	28, 29	bitr2i 276	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 1) ↔ ((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
31	5, 27, 30	3bitri 297	1 ⊢ (𝑊 ∈ (1 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∅c0 4308  {csn 4601  {cpr 4603  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   − cmin 11466  ℕcn 12240  ..^cfzo 13671  ♯chash 14348  Word cword 14531  lastSclsw 14580  Vtxcvtx 28975  Edgcedg 29026   ClWWalksN cclwwlkn 30005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-hash 14349  df-word 14532  df-lsw 14581  df-clwwlk 29963  df-clwwlkn 30006

This theorem is referenced by:  loopclwwlkn1b  30023  clwwlkn1loopb  30024  clwwlknon1  30078