Theorem clwwlkn1 30329

Description: A closed walk of length 1 represented as word is a word consisting of 1 symbol representing a vertex connected to itself by (at least) one edge, that is, a loop. (Contributed by AV, 24-Apr-2021.) (Revised by AV, 11-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlkn1	⊢ (𝑊 ∈ (1 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))

Proof of Theorem clwwlkn1

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12240	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
4	2, 3	isclwwlknx 30324	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (1 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 1)))
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (1 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 1))
6		3anass 1109	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
7		ral0 4461	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑖 ∈ ∅ {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)
8		oveq1 7415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → ((♯‘𝑊) − 1) = (1 − 1))
9		1m1e0 12309	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 − 1) = 0
10	8, 9	eqtrdi 2820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → ((♯‘𝑊) − 1) = 0)
11	10	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) = (0..^0))
12		fzo0 13708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^0) = ∅
13	11, 12	eqtrdi 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) = ∅)
14	13	raleqdv 3329	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
15	14	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
16	7, 15	mpbiri 261	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
17	16	biantrurd 541	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
18		lsw1 14600	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘0))
19	18	ancoms 463	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘0))
20	19	preq1d 4707	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘0), (𝑊‘0)})
21		dfsn2 4604	. . . . . . . 8 ⊢ {(𝑊‘0)} = {(𝑊‘0), (𝑊‘0)}
22	20, 21	eqtr4di 2822	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘0)})
23	22	eleq1d 2854	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
24	17, 23	bitr3d 284	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
25	24	pm5.32da 589	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
26	6, 25	bitrid 286	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
27	26	pm5.32ri 585	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 1) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 1))
28		3anass 1109	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((♯‘𝑊) = 1 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
29		ancom 465	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 1))
30	28, 29	bitr2i 279	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 1) ↔ ((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
31	5, 27, 30	3bitri 300	1 ⊢ (𝑊 ∈ (1 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∅c0 4294  {csn 4591  {cpr 4593  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   − cmin 11437  ℕcn 12229  ..^cfzo 13678  ♯chash 14362  Word cword 14546  lastSclsw 14595  Vtxcvtx 29283  Edgcedg 29334   ClWWalksN cclwwlkn 30312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-n0 12501  df-xnn0 12574  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-hash 14363  df-word 14547  df-lsw 14596  df-clwwlk 30270  df-clwwlkn 30313

This theorem is referenced by:  loopclwwlkn1b  30330  clwwlkn1loopb  30331  clwwlknon1  30385