MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlkn1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlkn1 29034
Description: A closed walk of length 1 represented as word is a word consisting of 1 symbol representing a vertex connected to itself by (at least) one edge, that is, a loop. (Contributed by AV, 24-Apr-2021.) (Revised by AV, 11-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
clwwlkn1 (π‘Š ∈ (1 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((β™―β€˜π‘Š) = 1 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ {(π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))

Proof of Theorem clwwlkn1
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 12172 . . 3 1 ∈ β„•
2 eqid 2733 . . . 4 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
3 eqid 2733 . . . 4 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
42, 3isclwwlknx 29029 . . 3 (1 ∈ β„• β†’ (π‘Š ∈ (1 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1)))
51, 4ax-mp 5 . 2 (π‘Š ∈ (1 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1))
6 3anass 1096 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ↔ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
7 ral0 4474 . . . . . . . 8 βˆ€π‘– ∈ βˆ… {(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)
8 oveq1 7368 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜π‘Š) = 1 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = (1 βˆ’ 1))
9 1m1e0 12233 . . . . . . . . . . . . 13 (1 βˆ’ 1) = 0
108, 9eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜π‘Š) = 1 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = 0)
1110oveq2d 7377 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜π‘Š) = 1 β†’ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = (0..^0))
12 fzo0 13605 . . . . . . . . . . 11 (0..^0) = βˆ…
1311, 12eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜π‘Š) = 1 β†’ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = βˆ…)
1413raleqdv 3312 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜π‘Š) = 1 β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ βˆ… {(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
1514adantr 482 . . . . . . . 8 (((β™―β€˜π‘Š) = 1 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ βˆ… {(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
167, 15mpbiri 258 . . . . . . 7 (((β™―β€˜π‘Š) = 1 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
1716biantrurd 534 . . . . . 6 (((β™―β€˜π‘Š) = 1 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ ({(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
18 lsw1 14464 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ (lastSβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜0))
1918ancoms 460 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜π‘Š) = 1 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (lastSβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜0))
2019preq1d 4704 . . . . . . . 8 (((β™―β€˜π‘Š) = 1 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} = {(π‘Šβ€˜0), (π‘Šβ€˜0)})
21 dfsn2 4603 . . . . . . . 8 {(π‘Šβ€˜0)} = {(π‘Šβ€˜0), (π‘Šβ€˜0)}
2220, 21eqtr4di 2791 . . . . . . 7 (((β™―β€˜π‘Š) = 1 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} = {(π‘Šβ€˜0)})
2322eleq1d 2819 . . . . . 6 (((β™―β€˜π‘Š) = 1 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ ({(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {(π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
2417, 23bitr3d 281 . . . . 5 (((β™―β€˜π‘Š) = 1 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ ((βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ↔ {(π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
2524pm5.32da 580 . . . 4 ((β™―β€˜π‘Š) = 1 β†’ ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ↔ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ {(π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
266, 25bitrid 283 . . 3 ((β™―β€˜π‘Š) = 1 β†’ ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ↔ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ {(π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
2726pm5.32ri 577 . 2 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) ↔ ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ {(π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1))
28 3anass 1096 . . 3 (((β™―β€˜π‘Š) = 1 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ {(π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ↔ ((β™―β€˜π‘Š) = 1 ∧ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ {(π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
29 ancom 462 . . 3 (((β™―β€˜π‘Š) = 1 ∧ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ {(π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ↔ ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ {(π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1))
3028, 29bitr2i 276 . 2 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ {(π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) ↔ ((β™―β€˜π‘Š) = 1 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ {(π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
315, 27, 303bitri 297 1 (π‘Š ∈ (1 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((β™―β€˜π‘Š) = 1 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ {(π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆ…c0 4286  {csn 4590  {cpr 4592  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   βˆ’ cmin 11393  β„•cn 12161  ..^cfzo 13576  β™―chash 14239  Word cword 14411  lastSclsw 14459  Vtxcvtx 27996  Edgcedg 28047   ClWWalksN cclwwlkn 29017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-hash 14240  df-word 14412  df-lsw 14460  df-clwwlk 28975  df-clwwlkn 29018
This theorem is referenced by:  loopclwwlkn1b  29035  clwwlkn1loopb  29036  clwwlknon1  29090
  Copyright terms: Public domain W3C validator