Theorem clwwlkn1 28405

Description: A closed walk of length 1 represented as word is a word consisting of 1 symbol representing a vertex connected to itself by (at least) one edge, that is, a loop. (Contributed by AV, 24-Apr-2021.) (Revised by AV, 11-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlkn1	⊢ (𝑊 ∈ (1 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))

Proof of Theorem clwwlkn1

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 11984	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
4	2, 3	isclwwlknx 28400	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (1 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 1)))
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (1 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 1))
6		3anass 1094	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
7		ral0 4443	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑖 ∈ ∅ {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)
8		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → ((♯‘𝑊) − 1) = (1 − 1))
9		1m1e0 12045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 − 1) = 0
10	8, 9	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → ((♯‘𝑊) − 1) = 0)
11	10	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) = (0..^0))
12		fzo0 13411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^0) = ∅
13	11, 12	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) = ∅)
14	13	raleqdv 3348	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
15	14	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
16	7, 15	mpbiri 257	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
17	16	biantrurd 533	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
18		lsw1 14270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘0))
19	18	ancoms 459	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘0))
20	19	preq1d 4675	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘0), (𝑊‘0)})
21		dfsn2 4574	. . . . . . . 8 ⊢ {(𝑊‘0)} = {(𝑊‘0), (𝑊‘0)}
22	20, 21	eqtr4di 2796	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘0)})
23	22	eleq1d 2823	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
24	17, 23	bitr3d 280	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
25	24	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
26	6, 25	syl5bb 283	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
27	26	pm5.32ri 576	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 1) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 1))
28		3anass 1094	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((♯‘𝑊) = 1 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
29		ancom 461	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 1))
30	28, 29	bitr2i 275	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 1) ↔ ((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
31	5, 27, 30	3bitri 297	1 ⊢ (𝑊 ∈ (1 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∅c0 4256  {csn 4561  {cpr 4563  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   − cmin 11205  ℕcn 11973  ..^cfzo 13382  ♯chash 14044  Word cword 14217  lastSclsw 14265  Vtxcvtx 27366  Edgcedg 27417   ClWWalksN cclwwlkn 28388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-lsw 14266  df-clwwlk 28346  df-clwwlkn 28389

This theorem is referenced by:  loopclwwlkn1b  28406  clwwlkn1loopb  28407  clwwlknon1  28461