Theorem clwwlkn1 28306

Description: A closed walk of length 1 represented as word is a word consisting of 1 symbol representing a vertex connected to itself by (at least) one edge, that is, a loop. (Contributed by AV, 24-Apr-2021.) (Revised by AV, 11-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlkn1	⊢ (𝑊 ∈ (1 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))

Proof of Theorem clwwlkn1

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 11914	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
4	2, 3	isclwwlknx 28301	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (1 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 1)))
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (1 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 1))
6		3anass 1093	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
7		ral0 4440	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑖 ∈ ∅ {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)
8		oveq1 7262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → ((♯‘𝑊) − 1) = (1 − 1))
9		1m1e0 11975	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 − 1) = 0
10	8, 9	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → ((♯‘𝑊) − 1) = 0)
11	10	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) = (0..^0))
12		fzo0 13339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^0) = ∅
13	11, 12	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) = ∅)
14	13	raleqdv 3339	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
15	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
16	7, 15	mpbiri 257	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
17	16	biantrurd 532	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
18		lsw1 14198	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘0))
19	18	ancoms 458	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘0))
20	19	preq1d 4672	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘0), (𝑊‘0)})
21		dfsn2 4571	. . . . . . . 8 ⊢ {(𝑊‘0)} = {(𝑊‘0), (𝑊‘0)}
22	20, 21	eqtr4di 2797	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘0)})
23	22	eleq1d 2823	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
24	17, 23	bitr3d 280	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
25	24	pm5.32da 578	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
26	6, 25	syl5bb 282	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
27	26	pm5.32ri 575	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 1) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 1))
28		3anass 1093	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((♯‘𝑊) = 1 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
29		ancom 460	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 1))
30	28, 29	bitr2i 275	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 1) ↔ ((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
31	5, 27, 30	3bitri 296	1 ⊢ (𝑊 ∈ (1 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∅c0 4253  {csn 4558  {cpr 4560  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   − cmin 11135  ℕcn 11903  ..^cfzo 13311  ♯chash 13972  Word cword 14145  lastSclsw 14193  Vtxcvtx 27269  Edgcedg 27320   ClWWalksN cclwwlkn 28289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-lsw 14194  df-clwwlk 28247  df-clwwlkn 28290

This theorem is referenced by:  loopclwwlkn1b  28307  clwwlkn1loopb  28308  clwwlknon1  28362