MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlkn1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlkn1 29291
Description: A closed walk of length 1 represented as word is a word consisting of 1 symbol representing a vertex connected to itself by (at least) one edge, that is, a loop. (Contributed by AV, 24-Apr-2021.) (Revised by AV, 11-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
clwwlkn1 (π‘Š ∈ (1 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((β™―β€˜π‘Š) = 1 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ {(π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))

Proof of Theorem clwwlkn1
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 12222 . . 3 1 ∈ β„•
2 eqid 2732 . . . 4 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
3 eqid 2732 . . . 4 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
42, 3isclwwlknx 29286 . . 3 (1 ∈ β„• β†’ (π‘Š ∈ (1 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1)))
51, 4ax-mp 5 . 2 (π‘Š ∈ (1 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1))
6 3anass 1095 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ↔ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
7 ral0 4512 . . . . . . . 8 βˆ€π‘– ∈ βˆ… {(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)
8 oveq1 7415 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜π‘Š) = 1 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = (1 βˆ’ 1))
9 1m1e0 12283 . . . . . . . . . . . . 13 (1 βˆ’ 1) = 0
108, 9eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜π‘Š) = 1 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = 0)
1110oveq2d 7424 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜π‘Š) = 1 β†’ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = (0..^0))
12 fzo0 13655 . . . . . . . . . . 11 (0..^0) = βˆ…
1311, 12eqtrdi 2788 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜π‘Š) = 1 β†’ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = βˆ…)
1413raleqdv 3325 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜π‘Š) = 1 β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ βˆ… {(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
1514adantr 481 . . . . . . . 8 (((β™―β€˜π‘Š) = 1 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ βˆ… {(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
167, 15mpbiri 257 . . . . . . 7 (((β™―β€˜π‘Š) = 1 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
1716biantrurd 533 . . . . . 6 (((β™―β€˜π‘Š) = 1 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ ({(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
18 lsw1 14516 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) β†’ (lastSβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜0))
1918ancoms 459 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜π‘Š) = 1 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (lastSβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜0))
2019preq1d 4743 . . . . . . . 8 (((β™―β€˜π‘Š) = 1 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} = {(π‘Šβ€˜0), (π‘Šβ€˜0)})
21 dfsn2 4641 . . . . . . . 8 {(π‘Šβ€˜0)} = {(π‘Šβ€˜0), (π‘Šβ€˜0)}
2220, 21eqtr4di 2790 . . . . . . 7 (((β™―β€˜π‘Š) = 1 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} = {(π‘Šβ€˜0)})
2322eleq1d 2818 . . . . . 6 (((β™―β€˜π‘Š) = 1 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ ({(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {(π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
2417, 23bitr3d 280 . . . . 5 (((β™―β€˜π‘Š) = 1 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ ((βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ↔ {(π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
2524pm5.32da 579 . . . 4 ((β™―β€˜π‘Š) = 1 β†’ ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ↔ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ {(π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
266, 25bitrid 282 . . 3 ((β™―β€˜π‘Š) = 1 β†’ ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ↔ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ {(π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
2726pm5.32ri 576 . 2 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) ↔ ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ {(π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1))
28 3anass 1095 . . 3 (((β™―β€˜π‘Š) = 1 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ {(π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ↔ ((β™―β€˜π‘Š) = 1 ∧ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ {(π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
29 ancom 461 . . 3 (((β™―β€˜π‘Š) = 1 ∧ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ {(π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ↔ ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ {(π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1))
3028, 29bitr2i 275 . 2 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ {(π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 1) ↔ ((β™―β€˜π‘Š) = 1 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ {(π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
315, 27, 303bitri 296 1 (π‘Š ∈ (1 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((β™―β€˜π‘Š) = 1 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ {(π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆ…c0 4322  {csn 4628  {cpr 4630  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   βˆ’ cmin 11443  β„•cn 12211  ..^cfzo 13626  β™―chash 14289  Word cword 14463  lastSclsw 14511  Vtxcvtx 28253  Edgcedg 28304   ClWWalksN cclwwlkn 29274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-hash 14290  df-word 14464  df-lsw 14512  df-clwwlk 29232  df-clwwlkn 29275
This theorem is referenced by:  loopclwwlkn1b  29292  clwwlkn1loopb  29293  clwwlknon1  29347
  Copyright terms: Public domain W3C validator