Theorem clwwlk1loop 28397

Description: A closed walk of length 1 is a loop. See also clwlkl1loop 28196. (Contributed by AV, 24-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlk1loop	⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → {(𝑊‘0), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))

Proof of Theorem clwwlk1loop

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	isclwwlk 28393	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
4		lsw1 14315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘0))
5	4	preq1d 4679	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘0), (𝑊‘0)})
6	5	eleq1d 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
7	6	biimpd 228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑊‘0), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
8	7	ex 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = 1 → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑊‘0), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
9	8	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = 1 → {(𝑊‘0), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
10	9	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = 1 → {(𝑊‘0), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
11	10	imp 408	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((♯‘𝑊) = 1 → {(𝑊‘0), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
12	11	3adant2 1131	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((♯‘𝑊) = 1 → {(𝑊‘0), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
13	3, 12	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = 1 → {(𝑊‘0), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
14	13	imp 408	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → {(𝑊‘0), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∅c0 4262  {cpr 4567  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  0cc0 10917  1c1 10918   + caddc 10920   − cmin 11251  ..^cfzo 13428  ♯chash 14090  Word cword 14262  lastSclsw 14310  Vtxcvtx 27411  Edgcedg 27462  ClWWalkscclwwlk 28390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-map 8648  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-card 9741  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-fz 13286  df-fzo 13429  df-hash 14091  df-word 14263  df-lsw 14311  df-clwwlk 28391

This theorem is referenced by:  umgrclwwlkge2  28400