Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  absnpncan3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absnpncan3d 44680
Description: Triangular inequality, combined with cancellation law for subtraction (applied three times). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
absnpncan3d.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
absnpncan3d.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
absnpncan3d.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
absnpncan3d.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
absnpncan3d.e (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
absnpncan3d (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐸)) ≤ ((((abs‘(𝐴𝐵)) + (abs‘(𝐵𝐶))) + (abs‘(𝐶𝐷))) + (abs‘(𝐷𝐸))))

Proof of Theorem absnpncan3d
StepHypRef Expression
1 absnpncan3d.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 absnpncan3d.e . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
31, 2subcld 11596 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐸) ∈ ℂ)
43abscld 15410 . 2 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐸)) ∈ ℝ)
5 absnpncan3d.d . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
61, 5subcld 11596 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐷) ∈ ℂ)
76abscld 15410 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐷)) ∈ ℝ)
85, 2subcld 11596 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐸) ∈ ℂ)
98abscld 15410 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝐷𝐸)) ∈ ℝ)
107, 9readdcld 11268 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐷)) + (abs‘(𝐷𝐸))) ∈ ℝ)
11 absnpncan3d.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
121, 11subcld 11596 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
1312abscld 15410 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
14 absnpncan3d.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1511, 14subcld 11596 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
1615abscld 15410 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
1713, 16readdcld 11268 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) + (abs‘(𝐵𝐶))) ∈ ℝ)
1814, 5subcld 11596 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝐷) ∈ ℂ)
1918abscld 15410 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐶𝐷)) ∈ ℝ)
2017, 19readdcld 11268 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) + (abs‘(𝐵𝐶))) + (abs‘(𝐶𝐷))) ∈ ℝ)
2120, 9readdcld 11268 . 2 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴𝐵)) + (abs‘(𝐵𝐶))) + (abs‘(𝐶𝐷))) + (abs‘(𝐷𝐸))) ∈ ℝ)
221, 2, 5abs3difd 15434 . 2 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐸)) ≤ ((abs‘(𝐴𝐷)) + (abs‘(𝐷𝐸))))
231, 11, 14, 5absnpncan2d 44675 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐷)) ≤ (((abs‘(𝐴𝐵)) + (abs‘(𝐵𝐶))) + (abs‘(𝐶𝐷))))
247, 20, 9, 23leadd1dd 11853 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐷)) + (abs‘(𝐷𝐸))) ≤ ((((abs‘(𝐴𝐵)) + (abs‘(𝐵𝐶))) + (abs‘(𝐶𝐷))) + (abs‘(𝐷𝐸))))
254, 10, 21, 22, 24letrd 11396 1 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐸)) ≤ ((((abs‘(𝐴𝐵)) + (abs‘(𝐵𝐶))) + (abs‘(𝐶𝐷))) + (abs‘(𝐷𝐸))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2099   class class class wbr 5143  cfv 6543  (class class class)co 7415  cc 11131   + caddc 11136  cle 11274  cmin 11469  abscabs 15208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-sup 9460  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210
This theorem is referenced by:  limclner  45030
  Copyright terms: Public domain W3C validator