Theorem absnpncan3d 45769

Description: Triangular inequality, combined with cancellation law for subtraction (applied three times). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
absnpncan3d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
absnpncan3d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
absnpncan3d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
absnpncan3d.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
absnpncan3d.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absnpncan3d	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐸)) ≤ ((((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))))

Proof of Theorem absnpncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absnpncan3d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absnpncan3d.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11500	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐸) ∈ ℂ)
4	3	abscld 15396	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐸)) ∈ ℝ)
5		absnpncan3d.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
6	1, 5	subcld 11500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ)
7	6	abscld 15396	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐷)) ∈ ℝ)
8	5, 2	subcld 11500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐸) ∈ ℂ)
9	8	abscld 15396	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐷 − 𝐸)) ∈ ℝ)
10	7, 9	readdcld 11169	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐷)) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))) ∈ ℝ)
11		absnpncan3d.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
12	1, 11	subcld 11500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
13	12	abscld 15396	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
14		absnpncan3d.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
15	11, 14	subcld 11500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
16	15	abscld 15396	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
17	13, 16	readdcld 11169	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℝ)
18	14, 5	subcld 11500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ)
19	18	abscld 15396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) ∈ ℝ)
20	17, 19	readdcld 11169	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))) ∈ ℝ)
21	20, 9	readdcld 11169	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))) ∈ ℝ)
22	1, 2, 5	abs3difd 15420	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐸)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐷)) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))))
23	1, 11, 14, 5	absnpncan2d 45764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐷)) ≤ (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))))
24	7, 20, 9, 23	leadd1dd 11759	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐷)) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))) ≤ ((((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))))
25	4, 10, 21, 22, 24	letrd 11298	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐸)) ≤ ((((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℂcc 11031   + caddc 11036   ≤ cle 11175   − cmin 11372  abscabs 15191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193

This theorem is referenced by:  limclner  46108