Theorem absnpncan3d 45698

Description: Triangular inequality, combined with cancellation law for subtraction (applied three times). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
absnpncan3d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
absnpncan3d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
absnpncan3d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
absnpncan3d.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
absnpncan3d.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absnpncan3d	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐸)) ≤ ((((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))))

Proof of Theorem absnpncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absnpncan3d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absnpncan3d.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11506	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐸) ∈ ℂ)
4	3	abscld 15376	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐸)) ∈ ℝ)
5		absnpncan3d.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
6	1, 5	subcld 11506	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ)
7	6	abscld 15376	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐷)) ∈ ℝ)
8	5, 2	subcld 11506	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐸) ∈ ℂ)
9	8	abscld 15376	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐷 − 𝐸)) ∈ ℝ)
10	7, 9	readdcld 11175	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐷)) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))) ∈ ℝ)
11		absnpncan3d.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
12	1, 11	subcld 11506	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
13	12	abscld 15376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
14		absnpncan3d.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
15	11, 14	subcld 11506	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
16	15	abscld 15376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
17	13, 16	readdcld 11175	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℝ)
18	14, 5	subcld 11506	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ)
19	18	abscld 15376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) ∈ ℝ)
20	17, 19	readdcld 11175	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))) ∈ ℝ)
21	20, 9	readdcld 11175	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))) ∈ ℝ)
22	1, 2, 5	abs3difd 15400	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐸)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐷)) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))))
23	1, 11, 14, 5	absnpncan2d 45693	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐷)) ≤ (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))))
24	7, 20, 9, 23	leadd1dd 11765	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐷)) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))) ≤ ((((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))))
25	4, 10, 21, 22, 24	letrd 11304	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐸)) ≤ ((((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  ℂcc 11038   + caddc 11043   ≤ cle 11181   − cmin 11378  abscabs 15171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-sup 9359  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-rp 12920  df-seq 13939  df-exp 13999  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173

This theorem is referenced by:  limclner  46038