Theorem absnpncan3d 44594

Description: Triangular inequality, combined with cancellation law for subtraction (applied three times). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
absnpncan3d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
absnpncan3d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
absnpncan3d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
absnpncan3d.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
absnpncan3d.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absnpncan3d	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐸)) ≤ ((((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))))

Proof of Theorem absnpncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absnpncan3d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absnpncan3d.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11575	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐸) ∈ ℂ)
4	3	abscld 15389	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐸)) ∈ ℝ)
5		absnpncan3d.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
6	1, 5	subcld 11575	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ)
7	6	abscld 15389	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐷)) ∈ ℝ)
8	5, 2	subcld 11575	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐸) ∈ ℂ)
9	8	abscld 15389	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐷 − 𝐸)) ∈ ℝ)
10	7, 9	readdcld 11247	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐷)) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))) ∈ ℝ)
11		absnpncan3d.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
12	1, 11	subcld 11575	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
13	12	abscld 15389	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
14		absnpncan3d.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
15	11, 14	subcld 11575	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
16	15	abscld 15389	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
17	13, 16	readdcld 11247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℝ)
18	14, 5	subcld 11575	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ)
19	18	abscld 15389	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) ∈ ℝ)
20	17, 19	readdcld 11247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))) ∈ ℝ)
21	20, 9	readdcld 11247	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))) ∈ ℝ)
22	1, 2, 5	abs3difd 15413	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐸)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐷)) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))))
23	1, 11, 14, 5	absnpncan2d 44589	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐷)) ≤ (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))))
24	7, 20, 9, 23	leadd1dd 11832	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐷)) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))) ≤ ((((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))))
25	4, 10, 21, 22, 24	letrd 11375	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐸)) ≤ ((((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℂcc 11110   + caddc 11115   ≤ cle 11253   − cmin 11448  abscabs 15187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189

This theorem is referenced by:  limclner  44944