Theorem absnpncan3d 44680

Description: Triangular inequality, combined with cancellation law for subtraction (applied three times). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
absnpncan3d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
absnpncan3d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
absnpncan3d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
absnpncan3d.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
absnpncan3d.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absnpncan3d	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐸)) ≤ ((((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))))

Proof of Theorem absnpncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absnpncan3d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absnpncan3d.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐸) ∈ ℂ)
4	3	abscld 15410	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐸)) ∈ ℝ)
5		absnpncan3d.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
6	1, 5	subcld 11596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ)
7	6	abscld 15410	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐷)) ∈ ℝ)
8	5, 2	subcld 11596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐸) ∈ ℂ)
9	8	abscld 15410	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐷 − 𝐸)) ∈ ℝ)
10	7, 9	readdcld 11268	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐷)) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))) ∈ ℝ)
11		absnpncan3d.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
12	1, 11	subcld 11596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
13	12	abscld 15410	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
14		absnpncan3d.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
15	11, 14	subcld 11596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
16	15	abscld 15410	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
17	13, 16	readdcld 11268	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℝ)
18	14, 5	subcld 11596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ)
19	18	abscld 15410	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) ∈ ℝ)
20	17, 19	readdcld 11268	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))) ∈ ℝ)
21	20, 9	readdcld 11268	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))) ∈ ℝ)
22	1, 2, 5	abs3difd 15434	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐸)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐷)) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))))
23	1, 11, 14, 5	absnpncan2d 44675	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐷)) ≤ (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))))
24	7, 20, 9, 23	leadd1dd 11853	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐷)) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))) ≤ ((((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))))
25	4, 10, 21, 22, 24	letrd 11396	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐸)) ≤ ((((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5143  ‘cfv 6543  (class class class)co 7415  ℂcc 11131   + caddc 11136   ≤ cle 11274   − cmin 11469  abscabs 15208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-sup 9460  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210

This theorem is referenced by:  limclner  45030