Theorem upbdrech 45765

Description: Choice of an upper bound for a nonempty bunded set (image set version). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
upbdrech.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
upbdrech.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
upbdrech.bd	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
upbdrech.c	⊢ 𝐶 = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
upbdrech	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem upbdrech

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upbdrech.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )
2		upbdrech.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	ralrimiva 3133	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
4		nfra1 3265	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ
5		nfv 1922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ ℝ
6		simp3 1145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 = 𝐵)
7		rspa 3230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
8	7	3adant3 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	6, 8	eqeltrd 2841	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
10	9	3exp 1126	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 = 𝐵 → 𝑧 ∈ ℝ)))
11	4, 5, 10	rexlimd 3248	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵 → 𝑧 ∈ ℝ))
12	11	abssdv 4000	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ)
13	3, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ)
14		upbdrech.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
15		eqidd 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 = 𝐵)
16	15	rgen 3057	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐵
17		r19.2z 4429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐵)
18	14, 16, 17	sylancl 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐵)
19		nfv 1922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
20		nfre1 3266	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵
21	20	nfex 2335	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑧∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵
22		simpr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
23		elex 3454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ V)
24	2, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
25		isset 3447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ V ↔ ∃𝑧 𝑧 = 𝐵)
26	24, 25	sylib 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 𝑧 = 𝐵)
27		rspe 3231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧 𝑧 = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = 𝐵)
28	22, 26, 27	syl2anc 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = 𝐵)
29		rexcom4 3268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = 𝐵 ↔ ∃𝑧∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵)
30	28, 29	sylib 220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑧∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵)
31	30	3adant3 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 = 𝐵) → ∃𝑧∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵)
32	31	3exp 1126	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐵 = 𝐵 → ∃𝑧∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵)))
33	19, 21, 32	rexlimd 3248	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐵 → ∃𝑧∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵))
34	18, 33	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵)
35		abn0 4315	. . . . 5 ⊢ ({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵)
36	34, 35	sylibr 236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅)
37		upbdrech.bd	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
38		vex 3437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑤 ∈ V
39		eqeq1 2745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = 𝐵 ↔ 𝑤 = 𝐵))
40	39	rexbidv 3165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵))
41	38, 40	elab 3618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵)
42	41	bilani 506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵)
43		nfra1 3265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦
44	19, 43	nfan 1907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
45	20	nfsab 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}
46	44, 45	nfan 1907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵})
47		nfv 1922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑤 ≤ 𝑦
48		simp3 1145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 = 𝐵) → 𝑤 = 𝐵)
49		simp1r 1206	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 = 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
50		simp2 1144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 = 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
51		rspa 3230	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝑦)
52	49, 50, 51	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 = 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝑦)
53	48, 52	eqbrtrd 5096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 = 𝐵) → 𝑤 ≤ 𝑦)
54	53	3exp 1126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑦)))
55	54	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑦)))
56	46, 47, 55	rexlimd 3248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑦))
57	42, 56	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}) → 𝑤 ≤ 𝑦)
58	57	ralrimiva 3133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑦)
59	58	3adant2 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑦)
60	59	3exp 1126	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑦)))
61	60	reximdvai 3152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑦))
62	37, 61	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑦)
63		suprcl 12111	. . . 4 ⊢ (({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑦) → sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
64	13, 36, 62, 63	syl3anc 1380	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
65	1, 64	eqeltrid 2845	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
66	13	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ)
67	30, 35	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅)
68	62	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑦)
69		elabrexg 7190	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵})
70	22, 2, 69	syl2anc 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵})
71		suprub 12112	. . . . 5 ⊢ ((({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}) → 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
72	66, 67, 68, 70, 71	syl31anc 1382	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
73	72, 1	breqtrrdi 5116	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)
74	73	ralrimiva 3133	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶)
75	65, 74	jca 517	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548  ∃wex 1787   ∈ wcel 2121  {cab 2719   ≠ wne 2936  ∀wral 3055  ∃wrex 3065  Vcvv 3433   ⊆ wss 3884  ∅c0 4263   class class class wbr 5074  supcsup 9347  ℝcr 11033   < clt 11175   ≤ cle 11176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-pre-sup 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-po 5528  df-so 5529  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376

This theorem is referenced by:  upbdrech2  45768