Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  upbdrech Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upbdrech 41980
 Description: Choice of an upper bound for a nonempty bunded set (image set version). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
upbdrech.a (𝜑𝐴 ≠ ∅)
upbdrech.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
upbdrech.bd (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
upbdrech.c 𝐶 = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
upbdrech (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem upbdrech
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 upbdrech.c . . 3 𝐶 = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )
2 upbdrech.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
32ralrimiva 3149 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
4 nfra1 3183 . . . . . . 7 𝑥𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ
5 nfv 1915 . . . . . . 7 𝑥 𝑧 ∈ ℝ
6 simp3 1135 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴𝑧 = 𝐵) → 𝑧 = 𝐵)
7 rspa 3171 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
873adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴𝑧 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
96, 8eqeltrd 2890 . . . . . . . 8 ((∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
1093exp 1116 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (𝑥𝐴 → (𝑧 = 𝐵𝑧 ∈ ℝ)))
114, 5, 10rexlimd 3276 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵𝑧 ∈ ℝ))
1211abssdv 3996 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ)
133, 12syl 17 . . . 4 (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ)
14 upbdrech.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
15 eqidd 2799 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴𝐵 = 𝐵)
1615rgen 3116 . . . . . . 7 𝑥𝐴 𝐵 = 𝐵
17 r19.2z 4398 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 = 𝐵) → ∃𝑥𝐴 𝐵 = 𝐵)
1814, 16, 17sylancl 589 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 𝐵 = 𝐵)
19 nfv 1915 . . . . . . 7 𝑥𝜑
20 nfre1 3265 . . . . . . . 8 𝑥𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵
2120nfex 2332 . . . . . . 7 𝑥𝑧𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵
22 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
23 elex 3459 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ V)
242, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ V)
25 isset 3453 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ V ↔ ∃𝑧 𝑧 = 𝐵)
2624, 25sylib 221 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑧 𝑧 = 𝐵)
27 rspe 3263 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴 ∧ ∃𝑧 𝑧 = 𝐵) → ∃𝑥𝐴𝑧 𝑧 = 𝐵)
2822, 26, 27syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑥𝐴𝑧 𝑧 = 𝐵)
29 rexcom4 3212 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥𝐴𝑧 𝑧 = 𝐵 ↔ ∃𝑧𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
3028, 29sylib 221 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑧𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
31303adant3 1129 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴𝐵 = 𝐵) → ∃𝑧𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
32313exp 1116 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (𝐵 = 𝐵 → ∃𝑧𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)))
3319, 21, 32rexlimd 3276 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑥𝐴 𝐵 = 𝐵 → ∃𝑧𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵))
3418, 33mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑧𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
35 abn0 4290 . . . . 5 ({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
3634, 35sylibr 237 . . . 4 (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅)
37 upbdrech.bd . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
38 vex 3444 . . . . . . . . . . . . 13 𝑤 ∈ V
39 eqeq1 2802 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = 𝐵𝑤 = 𝐵))
4039rexbidv 3256 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑤 = 𝐵))
4138, 40elab 3615 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ↔ ∃𝑥𝐴 𝑤 = 𝐵)
4241biimpi 219 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} → ∃𝑥𝐴 𝑤 = 𝐵)
4342adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}) → ∃𝑥𝐴 𝑤 = 𝐵)
44 nfra1 3183 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑥𝐴 𝐵𝑦
4519, 44nfan 1900 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
4620nfsab 2789 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}
4745, 46nfan 1900 . . . . . . . . . . 11 𝑥((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵})
48 nfv 1915 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑤𝑦
49 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑥𝐴𝑤 = 𝐵) → 𝑤 = 𝐵)
50 simp1r 1195 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑥𝐴𝑤 = 𝐵) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
51 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑥𝐴𝑤 = 𝐵) → 𝑥𝐴)
52 rspa 3171 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑥𝐴) → 𝐵𝑦)
5350, 51, 52syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑥𝐴𝑤 = 𝐵) → 𝐵𝑦)
5449, 53eqbrtrd 5053 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑥𝐴𝑤 = 𝐵) → 𝑤𝑦)
55543exp 1116 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) → (𝑥𝐴 → (𝑤 = 𝐵𝑤𝑦)))
5655adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}) → (𝑥𝐴 → (𝑤 = 𝐵𝑤𝑦)))
5747, 48, 56rexlimd 3276 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}) → (∃𝑥𝐴 𝑤 = 𝐵𝑤𝑦))
5843, 57mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}) → 𝑤𝑦)
5958ralrimiva 3149 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑦)
60593adant2 1128 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑦)
61603exp 1116 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑦)))
6261reximdvai 3231 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑦))
6337, 62mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑦)
64 suprcl 11591 . . . 4 (({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑦) → sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6513, 36, 63, 64syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
661, 65eqeltrid 2894 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6713adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ)
6830, 35sylibr 237 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅)
6963adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑦)
70 elabrexg 41718 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵})
7122, 2, 70syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵})
72 suprub 11592 . . . . 5 ((({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑦) ∧ 𝐵 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}) → 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
7367, 68, 69, 71, 72syl31anc 1370 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
7473, 1breqtrrdi 5073 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶)
7574ralrimiva 3149 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶)
7666, 75jca 515 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  {cab 2776   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243   class class class wbr 5031  supcsup 8891  ℝcr 10528   < clt 10667   ≤ cle 10668 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5426  df-po 5439  df-so 5440  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-sup 8893  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865 This theorem is referenced by:  upbdrech2  41983
 Copyright terms: Public domain W3C validator