Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  upbdrech Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upbdrech 44920
Description: Choice of an upper bound for a nonempty bunded set (image set version). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
upbdrech.a (𝜑𝐴 ≠ ∅)
upbdrech.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
upbdrech.bd (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
upbdrech.c 𝐶 = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
upbdrech (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem upbdrech
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 upbdrech.c . . 3 𝐶 = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )
2 upbdrech.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
32ralrimiva 3136 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
4 nfra1 3272 . . . . . . 7 𝑥𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ
5 nfv 1910 . . . . . . 7 𝑥 𝑧 ∈ ℝ
6 simp3 1135 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴𝑧 = 𝐵) → 𝑧 = 𝐵)
7 rspa 3236 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
873adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴𝑧 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
96, 8eqeltrd 2826 . . . . . . . 8 ((∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
1093exp 1116 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (𝑥𝐴 → (𝑧 = 𝐵𝑧 ∈ ℝ)))
114, 5, 10rexlimd 3254 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵𝑧 ∈ ℝ))
1211abssdv 4064 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ)
133, 12syl 17 . . . 4 (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ)
14 upbdrech.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
15 eqidd 2727 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴𝐵 = 𝐵)
1615rgen 3053 . . . . . . 7 𝑥𝐴 𝐵 = 𝐵
17 r19.2z 4499 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 = 𝐵) → ∃𝑥𝐴 𝐵 = 𝐵)
1814, 16, 17sylancl 584 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 𝐵 = 𝐵)
19 nfv 1910 . . . . . . 7 𝑥𝜑
20 nfre1 3273 . . . . . . . 8 𝑥𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵
2120nfex 2313 . . . . . . 7 𝑥𝑧𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵
22 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
23 elex 3482 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ V)
242, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ V)
25 isset 3476 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ V ↔ ∃𝑧 𝑧 = 𝐵)
2624, 25sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑧 𝑧 = 𝐵)
27 rspe 3237 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴 ∧ ∃𝑧 𝑧 = 𝐵) → ∃𝑥𝐴𝑧 𝑧 = 𝐵)
2822, 26, 27syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑥𝐴𝑧 𝑧 = 𝐵)
29 rexcom4 3276 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥𝐴𝑧 𝑧 = 𝐵 ↔ ∃𝑧𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
3028, 29sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑧𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
31303adant3 1129 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴𝐵 = 𝐵) → ∃𝑧𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
32313exp 1116 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (𝐵 = 𝐵 → ∃𝑧𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)))
3319, 21, 32rexlimd 3254 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑥𝐴 𝐵 = 𝐵 → ∃𝑧𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵))
3418, 33mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑧𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
35 abn0 4385 . . . . 5 ({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
3634, 35sylibr 233 . . . 4 (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅)
37 upbdrech.bd . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
38 vex 3466 . . . . . . . . . . . . 13 𝑤 ∈ V
39 eqeq1 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = 𝐵𝑤 = 𝐵))
4039rexbidv 3169 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑤 = 𝐵))
4138, 40elab 3666 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ↔ ∃𝑥𝐴 𝑤 = 𝐵)
4241biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} → ∃𝑥𝐴 𝑤 = 𝐵)
4342adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}) → ∃𝑥𝐴 𝑤 = 𝐵)
44 nfra1 3272 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑥𝐴 𝐵𝑦
4519, 44nfan 1895 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
4620nfsab 2716 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}
4745, 46nfan 1895 . . . . . . . . . . 11 𝑥((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵})
48 nfv 1910 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑤𝑦
49 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑥𝐴𝑤 = 𝐵) → 𝑤 = 𝐵)
50 simp1r 1195 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑥𝐴𝑤 = 𝐵) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
51 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑥𝐴𝑤 = 𝐵) → 𝑥𝐴)
52 rspa 3236 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑥𝐴) → 𝐵𝑦)
5350, 51, 52syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑥𝐴𝑤 = 𝐵) → 𝐵𝑦)
5449, 53eqbrtrd 5175 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑥𝐴𝑤 = 𝐵) → 𝑤𝑦)
55543exp 1116 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) → (𝑥𝐴 → (𝑤 = 𝐵𝑤𝑦)))
5655adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}) → (𝑥𝐴 → (𝑤 = 𝐵𝑤𝑦)))
5747, 48, 56rexlimd 3254 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}) → (∃𝑥𝐴 𝑤 = 𝐵𝑤𝑦))
5843, 57mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}) → 𝑤𝑦)
5958ralrimiva 3136 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑦)
60593adant2 1128 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑦)
61603exp 1116 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑦)))
6261reximdvai 3155 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑦))
6337, 62mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑦)
64 suprcl 12226 . . . 4 (({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑦) → sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6513, 36, 63, 64syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
661, 65eqeltrid 2830 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6713adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ)
6830, 35sylibr 233 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅)
6963adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑦)
70 elabrexg 7258 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵})
7122, 2, 70syl2anc 582 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵})
72 suprub 12227 . . . . 5 ((({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑦) ∧ 𝐵 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}) → 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
7367, 68, 69, 71, 72syl31anc 1370 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
7473, 1breqtrrdi 5195 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶)
7574ralrimiva 3136 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶)
7666, 75jca 510 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  {cab 2703  wne 2930  wral 3051  wrex 3060  Vcvv 3462  wss 3947  c0 4325   class class class wbr 5153  supcsup 9483  cr 11157   < clt 11298  cle 11299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497
This theorem is referenced by:  upbdrech2  44923
  Copyright terms: Public domain W3C validator