Theorem upbdrech 45220

Description: Choice of an upper bound for a nonempty bunded set (image set version). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
upbdrech.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
upbdrech.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
upbdrech.bd	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
upbdrech.c	⊢ 𝐶 = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
upbdrech	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem upbdrech

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upbdrech.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )
2		upbdrech.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	ralrimiva 3152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
4		nfra1 3290	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ
5		nfv 1913	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ ℝ
6		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 = 𝐵)
7		rspa 3254	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
8	7	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	6, 8	eqeltrd 2844	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
10	9	3exp 1119	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 = 𝐵 → 𝑧 ∈ ℝ)))
11	4, 5, 10	rexlimd 3272	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵 → 𝑧 ∈ ℝ))
12	11	abssdv 4091	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ)
13	3, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ)
14		upbdrech.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
15		eqidd 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 = 𝐵)
16	15	rgen 3069	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐵
17		r19.2z 4518	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐵)
18	14, 16, 17	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐵)
19		nfv 1913	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
20		nfre1 3291	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵
21	20	nfex 2328	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑧∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵
22		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
23		elex 3509	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ V)
24	2, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
25		isset 3502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ V ↔ ∃𝑧 𝑧 = 𝐵)
26	24, 25	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 𝑧 = 𝐵)
27		rspe 3255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧 𝑧 = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = 𝐵)
28	22, 26, 27	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = 𝐵)
29		rexcom4 3294	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = 𝐵 ↔ ∃𝑧∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵)
30	28, 29	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑧∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵)
31	30	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 = 𝐵) → ∃𝑧∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵)
32	31	3exp 1119	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐵 = 𝐵 → ∃𝑧∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵)))
33	19, 21, 32	rexlimd 3272	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐵 → ∃𝑧∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵))
34	18, 33	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵)
35		abn0 4408	. . . . 5 ⊢ ({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵)
36	34, 35	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅)
37		upbdrech.bd	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
38		vex 3492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑤 ∈ V
39		eqeq1 2744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = 𝐵 ↔ 𝑤 = 𝐵))
40	39	rexbidv 3185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵))
41	38, 40	elab 3694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵)
42	41	biimpi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵)
43	42	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵)
44		nfra1 3290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦
45	19, 44	nfan 1898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
46	20	nfsab 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}
47	45, 46	nfan 1898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵})
48		nfv 1913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑤 ≤ 𝑦
49		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 = 𝐵) → 𝑤 = 𝐵)
50		simp1r 1198	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 = 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
51		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 = 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
52		rspa 3254	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝑦)
53	50, 51, 52	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 = 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝑦)
54	49, 53	eqbrtrd 5188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 = 𝐵) → 𝑤 ≤ 𝑦)
55	54	3exp 1119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑦)))
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑦)))
57	47, 48, 56	rexlimd 3272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑦))
58	43, 57	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}) → 𝑤 ≤ 𝑦)
59	58	ralrimiva 3152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑦)
60	59	3adant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑦)
61	60	3exp 1119	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑦)))
62	61	reximdvai 3171	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑦))
63	37, 62	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑦)
64		suprcl 12255	. . . 4 ⊢ (({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑦) → sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
65	13, 36, 63, 64	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
66	1, 65	eqeltrid 2848	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
67	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ)
68	30, 35	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅)
69	63	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑦)
70		elabrexg 7280	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵})
71	22, 2, 70	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵})
72		suprub 12256	. . . . 5 ⊢ ((({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}) → 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
73	67, 68, 69, 71, 72	syl31anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
74	73, 1	breqtrrdi 5208	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)
75	74	ralrimiva 3152	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶)
76	66, 75	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  {cab 2717   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352   class class class wbr 5166  supcsup 9509  ℝcr 11183   < clt 11324   ≤ cle 11325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523

This theorem is referenced by:  upbdrech2  45223