Theorem upbdrech 44920

Description: Choice of an upper bound for a nonempty bunded set (image set version). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
upbdrech.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
upbdrech.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
upbdrech.bd	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
upbdrech.c	⊢ 𝐶 = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
upbdrech	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem upbdrech

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upbdrech.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )
2		upbdrech.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	ralrimiva 3136	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
4		nfra1 3272	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ
5		nfv 1910	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ ℝ
6		simp3 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 = 𝐵)
7		rspa 3236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
8	7	3adant3 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	6, 8	eqeltrd 2826	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
10	9	3exp 1116	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 = 𝐵 → 𝑧 ∈ ℝ)))
11	4, 5, 10	rexlimd 3254	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵 → 𝑧 ∈ ℝ))
12	11	abssdv 4064	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ)
13	3, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ)
14		upbdrech.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
15		eqidd 2727	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 = 𝐵)
16	15	rgen 3053	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐵
17		r19.2z 4499	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐵)
18	14, 16, 17	sylancl 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐵)
19		nfv 1910	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
20		nfre1 3273	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵
21	20	nfex 2313	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑧∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵
22		simpr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
23		elex 3482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ V)
24	2, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
25		isset 3476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ V ↔ ∃𝑧 𝑧 = 𝐵)
26	24, 25	sylib 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 𝑧 = 𝐵)
27		rspe 3237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧 𝑧 = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = 𝐵)
28	22, 26, 27	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = 𝐵)
29		rexcom4 3276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = 𝐵 ↔ ∃𝑧∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵)
30	28, 29	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑧∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵)
31	30	3adant3 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 = 𝐵) → ∃𝑧∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵)
32	31	3exp 1116	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐵 = 𝐵 → ∃𝑧∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵)))
33	19, 21, 32	rexlimd 3254	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐵 → ∃𝑧∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵))
34	18, 33	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵)
35		abn0 4385	. . . . 5 ⊢ ({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵)
36	34, 35	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅)
37		upbdrech.bd	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
38		vex 3466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑤 ∈ V
39		eqeq1 2730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = 𝐵 ↔ 𝑤 = 𝐵))
40	39	rexbidv 3169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵))
41	38, 40	elab 3666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵)
42	41	biimpi 215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵)
43	42	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵)
44		nfra1 3272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦
45	19, 44	nfan 1895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
46	20	nfsab 2716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}
47	45, 46	nfan 1895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵})
48		nfv 1910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑤 ≤ 𝑦
49		simp3 1135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 = 𝐵) → 𝑤 = 𝐵)
50		simp1r 1195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 = 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
51		simp2 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 = 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
52		rspa 3236	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝑦)
53	50, 51, 52	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 = 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝑦)
54	49, 53	eqbrtrd 5175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 = 𝐵) → 𝑤 ≤ 𝑦)
55	54	3exp 1116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑦)))
56	55	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑦)))
57	47, 48, 56	rexlimd 3254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑦))
58	43, 57	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}) → 𝑤 ≤ 𝑦)
59	58	ralrimiva 3136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑦)
60	59	3adant2 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑦)
61	60	3exp 1116	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑦)))
62	61	reximdvai 3155	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑦))
63	37, 62	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑦)
64		suprcl 12226	. . . 4 ⊢ (({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑦) → sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
65	13, 36, 63, 64	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
66	1, 65	eqeltrid 2830	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
67	13	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ)
68	30, 35	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅)
69	63	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑦)
70		elabrexg 7258	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵})
71	22, 2, 70	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵})
72		suprub 12227	. . . . 5 ⊢ ((({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}) → 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
73	67, 68, 69, 71, 72	syl31anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
74	73, 1	breqtrrdi 5195	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)
75	74	ralrimiva 3136	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶)
76	66, 75	jca 510	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099  {cab 2703   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3462   ⊆ wss 3947  ∅c0 4325   class class class wbr 5153  supcsup 9483  ℝcr 11157   < clt 11298   ≤ cle 11299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497

This theorem is referenced by:  upbdrech2  44923