Theorem upbdrech 45667

Description: Choice of an upper bound for a nonempty bunded set (image set version). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
upbdrech.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
upbdrech.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
upbdrech.bd	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
upbdrech.c	⊢ 𝐶 = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
upbdrech	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem upbdrech

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upbdrech.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )
2		upbdrech.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	ralrimiva 3130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
4		nfra1 3262	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ
5		nfv 1916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ ℝ
6		simp3 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 = 𝐵)
7		rspa 3227	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
8	7	3adant3 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	6, 8	eqeltrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
10	9	3exp 1120	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 = 𝐵 → 𝑧 ∈ ℝ)))
11	4, 5, 10	rexlimd 3245	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵 → 𝑧 ∈ ℝ))
12	11	abssdv 4021	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ)
13	3, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ)
14		upbdrech.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
15		eqidd 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 = 𝐵)
16	15	rgen 3054	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐵
17		r19.2z 4454	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐵)
18	14, 16, 17	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐵)
19		nfv 1916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
20		nfre1 3263	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵
21	20	nfex 2330	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑧∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵
22		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
23		elex 3463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ V)
24	2, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
25		isset 3456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ V ↔ ∃𝑧 𝑧 = 𝐵)
26	24, 25	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 𝑧 = 𝐵)
27		rspe 3228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧 𝑧 = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = 𝐵)
28	22, 26, 27	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = 𝐵)
29		rexcom4 3265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 𝑧 = 𝐵 ↔ ∃𝑧∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵)
30	28, 29	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑧∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵)
31	30	3adant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 = 𝐵) → ∃𝑧∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵)
32	31	3exp 1120	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐵 = 𝐵 → ∃𝑧∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵)))
33	19, 21, 32	rexlimd 3245	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐵 → ∃𝑧∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵))
34	18, 33	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵)
35		abn0 4339	. . . . 5 ⊢ ({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵)
36	34, 35	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅)
37		upbdrech.bd	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
38		vex 3446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑤 ∈ V
39		eqeq1 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = 𝐵 ↔ 𝑤 = 𝐵))
40	39	rexbidv 3162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵))
41	38, 40	elab 3636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵)
42	41	biimpi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵)
43	42	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵)
44		nfra1 3262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦
45	19, 44	nfan 1901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
46	20	nfsab 2727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}
47	45, 46	nfan 1901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵})
48		nfv 1916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑤 ≤ 𝑦
49		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 = 𝐵) → 𝑤 = 𝐵)
50		simp1r 1200	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 = 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
51		simp2 1138	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 = 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
52		rspa 3227	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝑦)
53	50, 51, 52	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 = 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝑦)
54	49, 53	eqbrtrd 5122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 = 𝐵) → 𝑤 ≤ 𝑦)
55	54	3exp 1120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑦)))
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑦)))
57	47, 48, 56	rexlimd 3245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝑦))
58	43, 57	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}) → 𝑤 ≤ 𝑦)
59	58	ralrimiva 3130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑦)
60	59	3adant2 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑦)
61	60	3exp 1120	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑦)))
62	61	reximdvai 3149	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑦))
63	37, 62	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑦)
64		suprcl 12114	. . . 4 ⊢ (({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑦) → sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
65	13, 36, 63, 64	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
66	1, 65	eqeltrid 2841	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
67	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ)
68	30, 35	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅)
69	63	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑦)
70		elabrexg 7199	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵})
71	22, 2, 70	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵})
72		suprub 12115	. . . . 5 ⊢ ((({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}) → 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
73	67, 68, 69, 71, 72	syl31anc 1376	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
74	73, 1	breqtrrdi 5142	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)
75	74	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶)
76	66, 75	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  {cab 2715   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287   class class class wbr 5100  supcsup 9355  ℝcr 11037   < clt 11178   ≤ cle 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379

This theorem is referenced by:  upbdrech2  45670