MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltmul2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltmul2i 12133
Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 16-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
ltplus1.1 ๐ด โˆˆ โ„
prodgt0.2 ๐ต โˆˆ โ„
ltmul1.3 ๐ถ โˆˆ โ„
Assertion
Ref Expression
ltmul2i (0 < ๐ถ โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ถ ยท ๐ด) < (๐ถ ยท ๐ต)))

Proof of Theorem ltmul2i
StepHypRef Expression
1 ltmul1.3 . 2 ๐ถ โˆˆ โ„
2 ltplus1.1 . . 3 ๐ด โˆˆ โ„
3 prodgt0.2 . . 3 ๐ต โˆˆ โ„
4 ltmul2 12063 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ถ ยท ๐ด) < (๐ถ ยท ๐ต)))
52, 3, 4mp3an12 1447 . 2 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ถ ยท ๐ด) < (๐ถ ยท ๐ต)))
61, 5mpan 687 1 (0 < ๐ถ โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ถ ยท ๐ด) < (๐ถ ยท ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5139  (class class class)co 7402  โ„cr 11106  0cc0 11107   ยท cmul 11112   < clt 11246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-ltxr 11251  df-sub 11444  df-neg 11445
This theorem is referenced by:  cos2bnd  16130  chebbnd1  27324  hgt750lem  34154  hgt750lem2  34155
  Copyright terms: Public domain W3C validator