Theorem cos2bnd 15533

Description: Bounds on the cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos2bnd	⊢ (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

Proof of Theorem cos2bnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7cn 11719	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
2		9cn 11725	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
3		9re 11724	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℝ
4		9pos 11738	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 9
5	3, 4	gt0ne0ii 11165	. . . . . 6 ⊢ 9 ≠ 0
6		divneg 11321	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0) → -(7 / 9) = (-7 / 9))
7	1, 2, 5, 6	mp3an 1458	. . . . 5 ⊢ -(7 / 9) = (-7 / 9)
8		2cn 11700	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
9	2, 5	pm3.2i 474	. . . . . . 7 ⊢ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)
10		divsubdir 11323	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9)))
11	8, 2, 9, 10	mp3an 1458	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9))
12	2, 8	negsubdi2i 10961	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 2) = (2 − 9)
13		7p2e9 11786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 2) = 9
14	2, 8, 1	subadd2i 10963	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((9 − 2) = 7 ↔ (7 + 2) = 9)
15	13, 14	mpbir 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 − 2) = 7
16	15	negeqi 10868	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 2) = -7
17	12, 16	eqtr3i 2823	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 9) = -7
18	17	oveq1i 7145	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 9) / 9) = (-7 / 9)
19	11, 18	eqtr3i 2823	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) − (9 / 9)) = (-7 / 9)
20	2, 5	dividi 11362	. . . . . 6 ⊢ (9 / 9) = 1
21	20	oveq2i 7146	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) − (9 / 9)) = ((2 / 9) − 1)
22	7, 19, 21	3eqtr2ri 2828	. . . 4 ⊢ ((2 / 9) − 1) = -(7 / 9)
23		ax-1cn 10584	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
24	8, 23, 2, 5	divassi 11385	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) / 9) = (2 · (1 / 9))
25		2t1e2 11788	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
26	25	oveq1i 7145	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) / 9) = (2 / 9)
27	24, 26	eqtr3i 2823	. . . . . 6 ⊢ (2 · (1 / 9)) = (2 / 9)
28		3cn 11706	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
29		3ne0 11731	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≠ 0
30	23, 28, 29	sqdivi 13544	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 3)↑2) = ((1↑2) / (3↑2))
31		sq1 13554	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1↑2) = 1
32		sq3 13557	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑2) = 9
33	31, 32	oveq12i 7147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1↑2) / (3↑2)) = (1 / 9)
34	30, 33	eqtri 2821	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 3)↑2) = (1 / 9)
35		cos1bnd 15532	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))
36	35	simpli 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 3) < (cos‘1)
37		0le1 11152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 1
38		3pos 11730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
39		1re 10630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
40		3re 11705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℝ
41	39, 40	divge0i 11538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ≤ 1 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (1 / 3))
42	37, 38, 41	mp2an 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (1 / 3)
43		0re 10632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
44		recoscl 15486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℝ → (cos‘1) ∈ ℝ)
45	39, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (cos‘1) ∈ ℝ
46	40, 29	rereccli 11394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
47	43, 46, 45	lelttri 10756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ≤ (1 / 3) ∧ (1 / 3) < (cos‘1)) → 0 < (cos‘1))
48	42, 36, 47	mp2an 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < (cos‘1)
49	43, 45, 48	ltleii 10752	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (cos‘1)
50	46, 45	lt2sqi 13548	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ≤ (1 / 3) ∧ 0 ≤ (cos‘1)) → ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)))
51	42, 49, 50	mp2an 691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2))
52	36, 51	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)
53	34, 52	eqbrtrri 5053	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 9) < ((cos‘1)↑2)
54		2pos 11728	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
55	3, 5	rereccli 11394	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 9) ∈ ℝ
56	45	resqcli 13545	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘1)↑2) ∈ ℝ
57		2re 11699	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
58	55, 56, 57	ltmul2i 11550	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 2 → ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))))
59	54, 58	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2)))
60	53, 59	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))
61	27, 60	eqbrtrri 5053	. . . . 5 ⊢ (2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2))
62	57, 3, 5	redivcli 11396	. . . . . 6 ⊢ (2 / 9) ∈ ℝ
63	57, 56	remulcli 10646	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ
64		ltsub1 11125	. . . . . 6 ⊢ (((2 / 9) ∈ ℝ ∧ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)))
65	62, 63, 39, 64	mp3an 1458	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
66	61, 65	mpbi 233	. . . 4 ⊢ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
67	22, 66	eqbrtrri 5053	. . 3 ⊢ -(7 / 9) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
68	25	fveq2i 6648	. . . 4 ⊢ (cos‘(2 · 1)) = (cos‘2)
69		cos2t 15523	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
70	23, 69	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
71	68, 70	eqtr3i 2823	. . 3 ⊢ (cos‘2) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
72	67, 71	breqtrri 5057	. 2 ⊢ -(7 / 9) < (cos‘2)
73	35	simpri 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos‘1) < (2 / 3)
74		0le2 11727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 2
75	57, 40	divge0i 11538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ≤ 2 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (2 / 3))
76	74, 38, 75	mp2an 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (2 / 3)
77	57, 40, 29	redivcli 11396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 / 3) ∈ ℝ
78	45, 77	lt2sqi 13548	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ≤ (cos‘1) ∧ 0 ≤ (2 / 3)) → ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)))
79	49, 76, 78	mp2an 691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2))
80	73, 79	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)
81	8, 28, 29	sqdivi 13544	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 / 3)↑2) = ((2↑2) / (3↑2))
82		sq2 13556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑2) = 4
83	82, 32	oveq12i 7147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑2) / (3↑2)) = (4 / 9)
84	81, 83	eqtri 2821	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 / 3)↑2) = (4 / 9)
85	80, 84	breqtri 5055	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘1)↑2) < (4 / 9)
86		4re 11709	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
87	86, 3, 5	redivcli 11396	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 / 9) ∈ ℝ
88	56, 87, 57	ltmul2i 11550	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 2 → (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))))
89	54, 88	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9)))
90	85, 89	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))
91		4cn 11710	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
92	8, 91, 2, 5	divassi 11385	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) / 9) = (2 · (4 / 9))
93		4t2e8 11793	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
94	91, 8, 93	mulcomli 10639	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
95	94	oveq1i 7145	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) / 9) = (8 / 9)
96	92, 95	eqtr3i 2823	. . . . . 6 ⊢ (2 · (4 / 9)) = (8 / 9)
97	90, 96	breqtri 5055	. . . . 5 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9)
98		8re 11721	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℝ
99	98, 3, 5	redivcli 11396	. . . . . 6 ⊢ (8 / 9) ∈ ℝ
100		ltsub1 11125	. . . . . 6 ⊢ (((2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ (8 / 9) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)))
101	63, 99, 39, 100	mp3an 1458	. . . . 5 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1))
102	97, 101	mpbi 233	. . . 4 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)
103	20	oveq2i 7146	. . . . 5 ⊢ ((8 / 9) − (9 / 9)) = ((8 / 9) − 1)
104		divneg 11321	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0) → -(1 / 9) = (-1 / 9))
105	23, 2, 5, 104	mp3an 1458	. . . . . 6 ⊢ -(1 / 9) = (-1 / 9)
106		8cn 11722	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
107	2, 106	negsubdi2i 10961	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 8) = (8 − 9)
108		8p1e9 11775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 1) = 9
109	2, 106, 23, 108	subaddrii 10964	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 − 8) = 1
110	109	negeqi 10868	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 8) = -1
111	107, 110	eqtr3i 2823	. . . . . . 7 ⊢ (8 − 9) = -1
112	111	oveq1i 7145	. . . . . 6 ⊢ ((8 − 9) / 9) = (-1 / 9)
113		divsubdir 11323	. . . . . . 7 ⊢ ((8 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9)))
114	106, 2, 9, 113	mp3an 1458	. . . . . 6 ⊢ ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9))
115	105, 112, 114	3eqtr2ri 2828	. . . . 5 ⊢ ((8 / 9) − (9 / 9)) = -(1 / 9)
116	103, 115	eqtr3i 2823	. . . 4 ⊢ ((8 / 9) − 1) = -(1 / 9)
117	102, 116	breqtri 5055	. . 3 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < -(1 / 9)
118	71, 117	eqbrtri 5051	. 2 ⊢ (cos‘2) < -(1 / 9)
119	72, 118	pm3.2i 474	1 ⊢ (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859  -cneg 10860   / cdiv 11286  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  7c7 11685  8c8 11686  9c9 11687  ↑cexp 13425  cosccos 15410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416

This theorem is referenced by:  sincos2sgn  15539