MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos2bnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cos2bnd 15141
Description: Bounds on the cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2bnd (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

Proof of Theorem cos2bnd
StepHypRef Expression
1 7cn 11391 . . . . . 6 7 ∈ ℂ
2 9cn 11395 . . . . . 6 9 ∈ ℂ
3 9re 11394 . . . . . . 7 9 ∈ ℝ
4 9pos 11408 . . . . . . 7 0 < 9
53, 4gt0ne0ii 10852 . . . . . 6 9 ≠ 0
6 divneg 11007 . . . . . 6 ((7 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0) → -(7 / 9) = (-7 / 9))
71, 2, 5, 6mp3an 1578 . . . . 5 -(7 / 9) = (-7 / 9)
8 2cn 11378 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
92, 5pm3.2i 458 . . . . . . 7 (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)
10 divsubdir 11009 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9)))
118, 2, 9, 10mp3an 1578 . . . . . 6 ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9))
122, 8negsubdi2i 10655 . . . . . . . 8 -(9 − 2) = (2 − 9)
13 7p2e9 11455 . . . . . . . . . 10 (7 + 2) = 9
142, 8, 1subadd2i 10657 . . . . . . . . . 10 ((9 − 2) = 7 ↔ (7 + 2) = 9)
1513, 14mpbir 222 . . . . . . . . 9 (9 − 2) = 7
1615negeqi 10562 . . . . . . . 8 -(9 − 2) = -7
1712, 16eqtr3i 2837 . . . . . . 7 (2 − 9) = -7
1817oveq1i 6887 . . . . . 6 ((2 − 9) / 9) = (-7 / 9)
1911, 18eqtr3i 2837 . . . . 5 ((2 / 9) − (9 / 9)) = (-7 / 9)
202, 5dividi 11046 . . . . . 6 (9 / 9) = 1
2120oveq2i 6888 . . . . 5 ((2 / 9) − (9 / 9)) = ((2 / 9) − 1)
227, 19, 213eqtr2ri 2842 . . . 4 ((2 / 9) − 1) = -(7 / 9)
23 ax-1cn 10282 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
248, 23, 2, 5divassi 11069 . . . . . . 7 ((2 · 1) / 9) = (2 · (1 / 9))
25 2t1e2 11457 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
2625oveq1i 6887 . . . . . . 7 ((2 · 1) / 9) = (2 / 9)
2724, 26eqtr3i 2837 . . . . . 6 (2 · (1 / 9)) = (2 / 9)
28 3cn 11382 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
29 3ne0 11401 . . . . . . . . . 10 3 ≠ 0
3023, 28, 29sqdivi 13174 . . . . . . . . 9 ((1 / 3)↑2) = ((1↑2) / (3↑2))
31 sq1 13184 . . . . . . . . . 10 (1↑2) = 1
32 sq3 13187 . . . . . . . . . 10 (3↑2) = 9
3331, 32oveq12i 6889 . . . . . . . . 9 ((1↑2) / (3↑2)) = (1 / 9)
3430, 33eqtri 2835 . . . . . . . 8 ((1 / 3)↑2) = (1 / 9)
35 cos1bnd 15140 . . . . . . . . . 10 ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))
3635simpli 472 . . . . . . . . 9 (1 / 3) < (cos‘1)
37 0le1 10839 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 1
38 3pos 11400 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
39 1re 10328 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
40 3re 11381 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℝ
4139, 40divge0i 11221 . . . . . . . . . . 11 ((0 ≤ 1 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (1 / 3))
4237, 38, 41mp2an 675 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (1 / 3)
43 0re 10330 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
44 recoscl 15094 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ → (cos‘1) ∈ ℝ)
4539, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (cos‘1) ∈ ℝ
4640, 29rereccli 11078 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 3) ∈ ℝ
4743, 46, 45lelttri 10452 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ≤ (1 / 3) ∧ (1 / 3) < (cos‘1)) → 0 < (cos‘1))
4842, 36, 47mp2an 675 . . . . . . . . . . 11 0 < (cos‘1)
4943, 45, 48ltleii 10448 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (cos‘1)
5046, 45lt2sqi 13178 . . . . . . . . . 10 ((0 ≤ (1 / 3) ∧ 0 ≤ (cos‘1)) → ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)))
5142, 49, 50mp2an 675 . . . . . . . . 9 ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2))
5236, 51mpbi 221 . . . . . . . 8 ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)
5334, 52eqbrtrri 4874 . . . . . . 7 (1 / 9) < ((cos‘1)↑2)
54 2pos 11398 . . . . . . . 8 0 < 2
553, 5rereccli 11078 . . . . . . . . 9 (1 / 9) ∈ ℝ
5645resqcli 13175 . . . . . . . . 9 ((cos‘1)↑2) ∈ ℝ
57 2re 11377 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
5855, 56, 57ltmul2i 11233 . . . . . . . 8 (0 < 2 → ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))))
5954, 58ax-mp 5 . . . . . . 7 ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2)))
6053, 59mpbi 221 . . . . . 6 (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))
6127, 60eqbrtrri 4874 . . . . 5 (2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2))
6257, 3, 5redivcli 11080 . . . . . 6 (2 / 9) ∈ ℝ
6357, 56remulcli 10344 . . . . . 6 (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ
64 ltsub1 10812 . . . . . 6 (((2 / 9) ∈ ℝ ∧ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)))
6562, 63, 39, 64mp3an 1578 . . . . 5 ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
6661, 65mpbi 221 . . . 4 ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
6722, 66eqbrtrri 4874 . . 3 -(7 / 9) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
6825fveq2i 6414 . . . 4 (cos‘(2 · 1)) = (cos‘2)
69 cos2t 15131 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
7023, 69ax-mp 5 . . . 4 (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
7168, 70eqtr3i 2837 . . 3 (cos‘2) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
7267, 71breqtrri 4878 . 2 -(7 / 9) < (cos‘2)
7335simpri 475 . . . . . . . . 9 (cos‘1) < (2 / 3)
74 0le2 11397 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 2
7557, 40divge0i 11221 . . . . . . . . . . 11 ((0 ≤ 2 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (2 / 3))
7674, 38, 75mp2an 675 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (2 / 3)
7757, 40, 29redivcli 11080 . . . . . . . . . . 11 (2 / 3) ∈ ℝ
7845, 77lt2sqi 13178 . . . . . . . . . 10 ((0 ≤ (cos‘1) ∧ 0 ≤ (2 / 3)) → ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)))
7949, 76, 78mp2an 675 . . . . . . . . 9 ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2))
8073, 79mpbi 221 . . . . . . . 8 ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)
818, 28, 29sqdivi 13174 . . . . . . . . 9 ((2 / 3)↑2) = ((2↑2) / (3↑2))
82 sq2 13186 . . . . . . . . . 10 (2↑2) = 4
8382, 32oveq12i 6889 . . . . . . . . 9 ((2↑2) / (3↑2)) = (4 / 9)
8481, 83eqtri 2835 . . . . . . . 8 ((2 / 3)↑2) = (4 / 9)
8580, 84breqtri 4876 . . . . . . 7 ((cos‘1)↑2) < (4 / 9)
86 4re 11384 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
8786, 3, 5redivcli 11080 . . . . . . . . 9 (4 / 9) ∈ ℝ
8856, 87, 57ltmul2i 11233 . . . . . . . 8 (0 < 2 → (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))))
8954, 88ax-mp 5 . . . . . . 7 (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9)))
9085, 89mpbi 221 . . . . . 6 (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))
91 4cn 11385 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
928, 91, 2, 5divassi 11069 . . . . . . 7 ((2 · 4) / 9) = (2 · (4 / 9))
93 4t2e8 11462 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
9491, 8, 93mulcomli 10337 . . . . . . . 8 (2 · 4) = 8
9594oveq1i 6887 . . . . . . 7 ((2 · 4) / 9) = (8 / 9)
9692, 95eqtr3i 2837 . . . . . 6 (2 · (4 / 9)) = (8 / 9)
9790, 96breqtri 4876 . . . . 5 (2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9)
98 8re 11392 . . . . . . 7 8 ∈ ℝ
9998, 3, 5redivcli 11080 . . . . . 6 (8 / 9) ∈ ℝ
100 ltsub1 10812 . . . . . 6 (((2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ (8 / 9) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)))
10163, 99, 39, 100mp3an 1578 . . . . 5 ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1))
10297, 101mpbi 221 . . . 4 ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)
10320oveq2i 6888 . . . . 5 ((8 / 9) − (9 / 9)) = ((8 / 9) − 1)
104 divneg 11007 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0) → -(1 / 9) = (-1 / 9))
10523, 2, 5, 104mp3an 1578 . . . . . 6 -(1 / 9) = (-1 / 9)
106 8cn 11393 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
1072, 106negsubdi2i 10655 . . . . . . . 8 -(9 − 8) = (8 − 9)
108 8p1e9 11444 . . . . . . . . . 10 (8 + 1) = 9
1092, 106, 23, 108subaddrii 10658 . . . . . . . . 9 (9 − 8) = 1
110109negeqi 10562 . . . . . . . 8 -(9 − 8) = -1
111107, 110eqtr3i 2837 . . . . . . 7 (8 − 9) = -1
112111oveq1i 6887 . . . . . 6 ((8 − 9) / 9) = (-1 / 9)
113 divsubdir 11009 . . . . . . 7 ((8 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9)))
114106, 2, 9, 113mp3an 1578 . . . . . 6 ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9))
115105, 112, 1143eqtr2ri 2842 . . . . 5 ((8 / 9) − (9 / 9)) = -(1 / 9)
116103, 115eqtr3i 2837 . . . 4 ((8 / 9) − 1) = -(1 / 9)
117102, 116breqtri 4876 . . 3 ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < -(1 / 9)
11871, 117eqbrtri 4872 . 2 (cos‘2) < -(1 / 9)
11972, 118pm3.2i 458 1 (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2985   class class class wbr 4851  cfv 6104  (class class class)co 6877  cc 10222  cr 10223  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227   · cmul 10229   < clt 10362  cle 10363  cmin 10554  -cneg 10555   / cdiv 10972  2c2 11359  3c3 11360  4c4 11361  7c7 11364  8c8 11365  9c9 11366  cexp 13086  cosccos 15018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-int 4677  df-iun 4721  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-se 5278  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-isom 6113  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10973  df-nn 11309  df-2 11367  df-3 11368  df-4 11369  df-5 11370  df-6 11371  df-7 11372  df-8 11373  df-9 11374  df-n0 11563  df-z 11647  df-uz 11908  df-rp 12050  df-ioc 12401  df-ico 12402  df-fz 12553  df-fzo 12693  df-fl 12820  df-seq 13028  df-exp 13087  df-fac 13284  df-bc 13313  df-hash 13341  df-shft 14033  df-cj 14065  df-re 14066  df-im 14067  df-sqrt 14201  df-abs 14202  df-limsup 14428  df-clim 14445  df-rlim 14446  df-sum 14643  df-ef 15021  df-sin 15023  df-cos 15024
This theorem is referenced by:  sincos2sgn  15147
  Copyright terms: Public domain W3C validator