Theorem cos2bnd 16361

Description: Bounds on the cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos2bnd	⊢ ( -(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

Proof of Theorem cos2bnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7cn 12440	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
2		9cn 12446	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
3		9re 12445	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℝ
4		9pos 12462	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 9
5	3, 4	gt0ne0ii 11855	. . . . . 6 ⊢ 9 ≠ 0
6		divneg 12011	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0) → -(7 / 9) = ( -7 / 9))
7	1, 2, 5, 6	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ -(7 / 9) = ( -7 / 9)
8		2cn 12421	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
9	2, 5	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)
10		divsubdir 12013	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9)))
11	8, 2, 9, 10	mp3an 1490	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9))
12	2, 8	negsubdi2i 11647	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 2) = (2 − 9)
13		7p2e9 12506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 2) = 9
14	2, 8, 1	subadd2i 11649	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((9 − 2) = 7 ↔ (7 + 2) = 9)
15	13, 14	mpbir 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 − 2) = 7
16	15	negeqi 11553	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 2) = -7
17	12, 16	eqtr3i 2785	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 9) = -7
18	17	oveq1i 7430	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 9) / 9) = ( -7 / 9)
19	11, 18	eqtr3i 2785	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) − (9 / 9)) = ( -7 / 9)
20	2, 5	dividi 12053	. . . . . 6 ⊢ (9 / 9) = 1
21	20	oveq2i 7431	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) − (9 / 9)) = ((2 / 9) − 1)
22	7, 19, 21	3eqtr2ri 2790	. . . 4 ⊢ ((2 / 9) − 1) = -(7 / 9)
23		ax-1cn 11261	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
24	8, 23, 2, 5	divassi 12076	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) / 9) = (2 · (1 / 9))
25		2t1e2 12508	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
26	25	oveq1i 7430	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) / 9) = (2 / 9)
27	24, 26	eqtr3i 2785	. . . . . 6 ⊢ (2 · (1 / 9)) = (2 / 9)
28		3cn 12427	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
29		3ne0 12455	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≠ 0
30	23, 28, 29	sqdivi 14331	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 3)↑2) = ((1↑2) / (3↑2))
31		sq1 14341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1↑2) = 1
32		sq3 14344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑2) = 9
33	31, 32	oveq12i 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1↑2) / (3↑2)) = (1 / 9)
34	30, 33	eqtri 2783	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 3)↑2) = (1 / 9)
35		cos1bnd 16360	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))
36	35	simpli 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 3) < (cos‘1)
37		0le1 11842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 1
38		3pos 12454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
39		1re 11311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
40		3re 12426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℝ
41	39, 40	divge0i 12229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ≤ 1 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (1 / 3))
42	37, 38, 41	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (1 / 3)
43		0re 11313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
44		recoscl 16314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℝ → (cos‘1) ∈ ℝ)
45	39, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (cos‘1) ∈ ℝ
46	40, 29	rereccli 12085	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
47	43, 46, 45	lelttri 11440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ≤ (1 / 3) ∧ (1 / 3) < (cos‘1)) → 0 < (cos‘1))
48	42, 36, 47	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < (cos‘1)
49	43, 45, 48	ltleii 11436	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (cos‘1)
50	46, 45	lt2sqi 14335	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ≤ (1 / 3) ∧ 0 ≤ (cos‘1)) → ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)))
51	42, 49, 50	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2))
52	36, 51	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)
53	34, 52	eqbrtrri 5127	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 9) < ((cos‘1)↑2)
54		2pos 12450	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
55	3, 5	rereccli 12085	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 9) ∈ ℝ
56	45	resqcli 14332	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘1)↑2) ∈ ℝ
57		2re 12420	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
58	55, 56, 57	ltmul2i 12241	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 2 → ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))))
59	54, 58	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2)))
60	53, 59	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))
61	27, 60	eqbrtrri 5127	. . . . 5 ⊢ (2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2))
62	57, 3, 5	redivcli 12087	. . . . . 6 ⊢ (2 / 9) ∈ ℝ
63	57, 56	remulcli 11328	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ
64		ltsub1 11815	. . . . . 6 ⊢ (((2 / 9) ∈ ℝ ∧ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)))
65	62, 63, 39, 64	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
66	61, 65	mpbi 233	. . . 4 ⊢ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
67	22, 66	eqbrtrri 5127	. . 3 ⊢ -(7 / 9) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
68	25	fveq2i 6888	. . . 4 ⊢ (cos‘(2 · 1)) = (cos‘2)
69		cos2t 16351	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
70	23, 69	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
71	68, 70	eqtr3i 2785	. . 3 ⊢ (cos‘2) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
72	67, 71	breqtrri 5131	. 2 ⊢ -(7 / 9) < (cos‘2)
73	35	simpri 491	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos‘1) < (2 / 3)
74		0le2 12448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 2
75	57, 40	divge0i 12229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ≤ 2 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (2 / 3))
76	74, 38, 75	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (2 / 3)
77	57, 40, 29	redivcli 12087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 / 3) ∈ ℝ
78	45, 77	lt2sqi 14335	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ≤ (cos‘1) ∧ 0 ≤ (2 / 3)) → ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)))
79	49, 76, 78	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2))
80	73, 79	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)
81	8, 28, 29	sqdivi 14331	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 / 3)↑2) = ((2↑2) / (3↑2))
82		sq2 14343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑2) = 4
83	82, 32	oveq12i 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑2) / (3↑2)) = (4 / 9)
84	81, 83	eqtri 2783	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 / 3)↑2) = (4 / 9)
85	80, 84	breqtri 5129	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘1)↑2) < (4 / 9)
86		4re 12430	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
87	86, 3, 5	redivcli 12087	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 / 9) ∈ ℝ
88	56, 87, 57	ltmul2i 12241	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 2 → (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))))
89	54, 88	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9)))
90	85, 89	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))
91		4cn 12431	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
92	8, 91, 2, 5	divassi 12076	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) / 9) = (2 · (4 / 9))
93		2t4e8 12515	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
94	93	oveq1i 7430	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) / 9) = (8 / 9)
95	92, 94	eqtr3i 2785	. . . . . 6 ⊢ (2 · (4 / 9)) = (8 / 9)
96	90, 95	breqtri 5129	. . . . 5 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9)
97		8re 12442	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℝ
98	97, 3, 5	redivcli 12087	. . . . . 6 ⊢ (8 / 9) ∈ ℝ
99		ltsub1 11815	. . . . . 6 ⊢ (((2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ (8 / 9) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)))
100	63, 98, 39, 99	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1))
101	96, 100	mpbi 233	. . . 4 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)
102	20	oveq2i 7431	. . . . 5 ⊢ ((8 / 9) − (9 / 9)) = ((8 / 9) − 1)
103		divneg 12011	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0) → -(1 / 9) = ( -1 / 9))
104	23, 2, 5, 103	mp3an 1490	. . . . . 6 ⊢ -(1 / 9) = ( -1 / 9)
105		8cn 12443	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
106	2, 105	negsubdi2i 11647	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 8) = (8 − 9)
107		8p1e9 12495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 1) = 9
108	2, 105, 23, 107	subaddrii 11650	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 − 8) = 1
109	108	negeqi 11553	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 8) = -1
110	106, 109	eqtr3i 2785	. . . . . . 7 ⊢ (8 − 9) = -1
111	110	oveq1i 7430	. . . . . 6 ⊢ ((8 − 9) / 9) = ( -1 / 9)
112		divsubdir 12013	. . . . . . 7 ⊢ ((8 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9)))
113	105, 2, 9, 112	mp3an 1490	. . . . . 6 ⊢ ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9))
114	104, 111, 113	3eqtr2ri 2790	. . . . 5 ⊢ ((8 / 9) − (9 / 9)) = -(1 / 9)
115	102, 114	eqtr3i 2785	. . . 4 ⊢ ((8 / 9) − 1) = -(1 / 9)
116	101, 115	breqtri 5129	. . 3 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < -(1 / 9)
117	71, 116	eqbrtri 5125	. 2 ⊢ (cos‘2) < -(1 / 9)
118	72, 117	pm3.2i 476	1 ⊢ ( -(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208   < clt 11346   ≤ cle 11347   − cmin 11544   -cneg 11545   / cdiv 11976  2c2 12400  3c3 12401  4c4 12402  7c7 12405  8c8 12406  9c9 12407  ↑cexp 14207  cosccos 16235

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-ioc 13484  df-ico 13485  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-seq 14148  df-exp 14208  df-fac 14421  df-bc 14450  df-hash 14478  df-shft 15225  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-limsup 15643  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-sum 15859  df-ef 16238  df-sin 16240  df-cos 16241

This theorem is used by:  sincos2sgn  16367