MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos2bnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cos2bnd 15536
Description: Bounds on the cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2bnd (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

Proof of Theorem cos2bnd
StepHypRef Expression
1 7cn 11725 . . . . . 6 7 ∈ ℂ
2 9cn 11731 . . . . . 6 9 ∈ ℂ
3 9re 11730 . . . . . . 7 9 ∈ ℝ
4 9pos 11744 . . . . . . 7 0 < 9
53, 4gt0ne0ii 11170 . . . . . 6 9 ≠ 0
6 divneg 11326 . . . . . 6 ((7 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0) → -(7 / 9) = (-7 / 9))
71, 2, 5, 6mp3an 1454 . . . . 5 -(7 / 9) = (-7 / 9)
8 2cn 11706 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
92, 5pm3.2i 471 . . . . . . 7 (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)
10 divsubdir 11328 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9)))
118, 2, 9, 10mp3an 1454 . . . . . 6 ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9))
122, 8negsubdi2i 10966 . . . . . . . 8 -(9 − 2) = (2 − 9)
13 7p2e9 11792 . . . . . . . . . 10 (7 + 2) = 9
142, 8, 1subadd2i 10968 . . . . . . . . . 10 ((9 − 2) = 7 ↔ (7 + 2) = 9)
1513, 14mpbir 232 . . . . . . . . 9 (9 − 2) = 7
1615negeqi 10873 . . . . . . . 8 -(9 − 2) = -7
1712, 16eqtr3i 2851 . . . . . . 7 (2 − 9) = -7
1817oveq1i 7160 . . . . . 6 ((2 − 9) / 9) = (-7 / 9)
1911, 18eqtr3i 2851 . . . . 5 ((2 / 9) − (9 / 9)) = (-7 / 9)
202, 5dividi 11367 . . . . . 6 (9 / 9) = 1
2120oveq2i 7161 . . . . 5 ((2 / 9) − (9 / 9)) = ((2 / 9) − 1)
227, 19, 213eqtr2ri 2856 . . . 4 ((2 / 9) − 1) = -(7 / 9)
23 ax-1cn 10589 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
248, 23, 2, 5divassi 11390 . . . . . . 7 ((2 · 1) / 9) = (2 · (1 / 9))
25 2t1e2 11794 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
2625oveq1i 7160 . . . . . . 7 ((2 · 1) / 9) = (2 / 9)
2724, 26eqtr3i 2851 . . . . . 6 (2 · (1 / 9)) = (2 / 9)
28 3cn 11712 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
29 3ne0 11737 . . . . . . . . . 10 3 ≠ 0
3023, 28, 29sqdivi 13543 . . . . . . . . 9 ((1 / 3)↑2) = ((1↑2) / (3↑2))
31 sq1 13553 . . . . . . . . . 10 (1↑2) = 1
32 sq3 13556 . . . . . . . . . 10 (3↑2) = 9
3331, 32oveq12i 7162 . . . . . . . . 9 ((1↑2) / (3↑2)) = (1 / 9)
3430, 33eqtri 2849 . . . . . . . 8 ((1 / 3)↑2) = (1 / 9)
35 cos1bnd 15535 . . . . . . . . . 10 ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))
3635simpli 484 . . . . . . . . 9 (1 / 3) < (cos‘1)
37 0le1 11157 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 1
38 3pos 11736 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
39 1re 10635 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
40 3re 11711 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℝ
4139, 40divge0i 11543 . . . . . . . . . . 11 ((0 ≤ 1 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (1 / 3))
4237, 38, 41mp2an 688 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (1 / 3)
43 0re 10637 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
44 recoscl 15489 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ → (cos‘1) ∈ ℝ)
4539, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (cos‘1) ∈ ℝ
4640, 29rereccli 11399 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 3) ∈ ℝ
4743, 46, 45lelttri 10761 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ≤ (1 / 3) ∧ (1 / 3) < (cos‘1)) → 0 < (cos‘1))
4842, 36, 47mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 0 < (cos‘1)
4943, 45, 48ltleii 10757 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (cos‘1)
5046, 45lt2sqi 13547 . . . . . . . . . 10 ((0 ≤ (1 / 3) ∧ 0 ≤ (cos‘1)) → ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)))
5142, 49, 50mp2an 688 . . . . . . . . 9 ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2))
5236, 51mpbi 231 . . . . . . . 8 ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)
5334, 52eqbrtrri 5086 . . . . . . 7 (1 / 9) < ((cos‘1)↑2)
54 2pos 11734 . . . . . . . 8 0 < 2
553, 5rereccli 11399 . . . . . . . . 9 (1 / 9) ∈ ℝ
5645resqcli 13544 . . . . . . . . 9 ((cos‘1)↑2) ∈ ℝ
57 2re 11705 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
5855, 56, 57ltmul2i 11555 . . . . . . . 8 (0 < 2 → ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))))
5954, 58ax-mp 5 . . . . . . 7 ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2)))
6053, 59mpbi 231 . . . . . 6 (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))
6127, 60eqbrtrri 5086 . . . . 5 (2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2))
6257, 3, 5redivcli 11401 . . . . . 6 (2 / 9) ∈ ℝ
6357, 56remulcli 10651 . . . . . 6 (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ
64 ltsub1 11130 . . . . . 6 (((2 / 9) ∈ ℝ ∧ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)))
6562, 63, 39, 64mp3an 1454 . . . . 5 ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
6661, 65mpbi 231 . . . 4 ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
6722, 66eqbrtrri 5086 . . 3 -(7 / 9) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
6825fveq2i 6672 . . . 4 (cos‘(2 · 1)) = (cos‘2)
69 cos2t 15526 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
7023, 69ax-mp 5 . . . 4 (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
7168, 70eqtr3i 2851 . . 3 (cos‘2) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
7267, 71breqtrri 5090 . 2 -(7 / 9) < (cos‘2)
7335simpri 486 . . . . . . . . 9 (cos‘1) < (2 / 3)
74 0le2 11733 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 2
7557, 40divge0i 11543 . . . . . . . . . . 11 ((0 ≤ 2 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (2 / 3))
7674, 38, 75mp2an 688 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (2 / 3)
7757, 40, 29redivcli 11401 . . . . . . . . . . 11 (2 / 3) ∈ ℝ
7845, 77lt2sqi 13547 . . . . . . . . . 10 ((0 ≤ (cos‘1) ∧ 0 ≤ (2 / 3)) → ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)))
7949, 76, 78mp2an 688 . . . . . . . . 9 ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2))
8073, 79mpbi 231 . . . . . . . 8 ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)
818, 28, 29sqdivi 13543 . . . . . . . . 9 ((2 / 3)↑2) = ((2↑2) / (3↑2))
82 sq2 13555 . . . . . . . . . 10 (2↑2) = 4
8382, 32oveq12i 7162 . . . . . . . . 9 ((2↑2) / (3↑2)) = (4 / 9)
8481, 83eqtri 2849 . . . . . . . 8 ((2 / 3)↑2) = (4 / 9)
8580, 84breqtri 5088 . . . . . . 7 ((cos‘1)↑2) < (4 / 9)
86 4re 11715 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
8786, 3, 5redivcli 11401 . . . . . . . . 9 (4 / 9) ∈ ℝ
8856, 87, 57ltmul2i 11555 . . . . . . . 8 (0 < 2 → (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))))
8954, 88ax-mp 5 . . . . . . 7 (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9)))
9085, 89mpbi 231 . . . . . 6 (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))
91 4cn 11716 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
928, 91, 2, 5divassi 11390 . . . . . . 7 ((2 · 4) / 9) = (2 · (4 / 9))
93 4t2e8 11799 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
9491, 8, 93mulcomli 10644 . . . . . . . 8 (2 · 4) = 8
9594oveq1i 7160 . . . . . . 7 ((2 · 4) / 9) = (8 / 9)
9692, 95eqtr3i 2851 . . . . . 6 (2 · (4 / 9)) = (8 / 9)
9790, 96breqtri 5088 . . . . 5 (2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9)
98 8re 11727 . . . . . . 7 8 ∈ ℝ
9998, 3, 5redivcli 11401 . . . . . 6 (8 / 9) ∈ ℝ
100 ltsub1 11130 . . . . . 6 (((2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ (8 / 9) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)))
10163, 99, 39, 100mp3an 1454 . . . . 5 ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1))
10297, 101mpbi 231 . . . 4 ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)
10320oveq2i 7161 . . . . 5 ((8 / 9) − (9 / 9)) = ((8 / 9) − 1)
104 divneg 11326 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0) → -(1 / 9) = (-1 / 9))
10523, 2, 5, 104mp3an 1454 . . . . . 6 -(1 / 9) = (-1 / 9)
106 8cn 11728 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
1072, 106negsubdi2i 10966 . . . . . . . 8 -(9 − 8) = (8 − 9)
108 8p1e9 11781 . . . . . . . . . 10 (8 + 1) = 9
1092, 106, 23, 108subaddrii 10969 . . . . . . . . 9 (9 − 8) = 1
110109negeqi 10873 . . . . . . . 8 -(9 − 8) = -1
111107, 110eqtr3i 2851 . . . . . . 7 (8 − 9) = -1
112111oveq1i 7160 . . . . . 6 ((8 − 9) / 9) = (-1 / 9)
113 divsubdir 11328 . . . . . . 7 ((8 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9)))
114106, 2, 9, 113mp3an 1454 . . . . . 6 ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9))
115105, 112, 1143eqtr2ri 2856 . . . . 5 ((8 / 9) − (9 / 9)) = -(1 / 9)
116103, 115eqtr3i 2851 . . . 4 ((8 / 9) − 1) = -(1 / 9)
117102, 116breqtri 5088 . . 3 ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < -(1 / 9)
11871, 117eqbrtri 5084 . 2 (cos‘2) < -(1 / 9)
11972, 118pm3.2i 471 1 (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021   class class class wbr 5063  cfv 6354  (class class class)co 7150  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536   < clt 10669  cle 10670  cmin 10864  -cneg 10865   / cdiv 11291  2c2 11686  3c3 11687  4c4 11688  7c7 11691  8c8 11692  9c9 11693  cexp 13424  cosccos 15413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-pm 8404  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12385  df-ioc 12738  df-ico 12739  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13425  df-fac 13629  df-bc 13658  df-hash 13686  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-ef 15416  df-sin 15418  df-cos 15419
This theorem is referenced by:  sincos2sgn  15542
  Copyright terms: Public domain W3C validator