Theorem cos2bnd 15946

Description: Bounds on the cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos2bnd	⊢ (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

Proof of Theorem cos2bnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7cn 12117	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
2		9cn 12123	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
3		9re 12122	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℝ
4		9pos 12136	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 9
5	3, 4	gt0ne0ii 11561	. . . . . 6 ⊢ 9 ≠ 0
6		divneg 11717	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0) → -(7 / 9) = (-7 / 9))
7	1, 2, 5, 6	mp3an 1461	. . . . 5 ⊢ -(7 / 9) = (-7 / 9)
8		2cn 12098	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
9	2, 5	pm3.2i 472	. . . . . . 7 ⊢ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)
10		divsubdir 11719	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9)))
11	8, 2, 9, 10	mp3an 1461	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9))
12	2, 8	negsubdi2i 11357	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 2) = (2 − 9)
13		7p2e9 12184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 2) = 9
14	2, 8, 1	subadd2i 11359	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((9 − 2) = 7 ↔ (7 + 2) = 9)
15	13, 14	mpbir 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 − 2) = 7
16	15	negeqi 11264	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 2) = -7
17	12, 16	eqtr3i 2766	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 9) = -7
18	17	oveq1i 7317	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 9) / 9) = (-7 / 9)
19	11, 18	eqtr3i 2766	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) − (9 / 9)) = (-7 / 9)
20	2, 5	dividi 11758	. . . . . 6 ⊢ (9 / 9) = 1
21	20	oveq2i 7318	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) − (9 / 9)) = ((2 / 9) − 1)
22	7, 19, 21	3eqtr2ri 2771	. . . 4 ⊢ ((2 / 9) − 1) = -(7 / 9)
23		ax-1cn 10979	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
24	8, 23, 2, 5	divassi 11781	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) / 9) = (2 · (1 / 9))
25		2t1e2 12186	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
26	25	oveq1i 7317	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) / 9) = (2 / 9)
27	24, 26	eqtr3i 2766	. . . . . 6 ⊢ (2 · (1 / 9)) = (2 / 9)
28		3cn 12104	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
29		3ne0 12129	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≠ 0
30	23, 28, 29	sqdivi 13952	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 3)↑2) = ((1↑2) / (3↑2))
31		sq1 13962	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1↑2) = 1
32		sq3 13965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑2) = 9
33	31, 32	oveq12i 7319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1↑2) / (3↑2)) = (1 / 9)
34	30, 33	eqtri 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 3)↑2) = (1 / 9)
35		cos1bnd 15945	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))
36	35	simpli 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 3) < (cos‘1)
37		0le1 11548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 1
38		3pos 12128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
39		1re 11025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
40		3re 12103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℝ
41	39, 40	divge0i 11934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ≤ 1 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (1 / 3))
42	37, 38, 41	mp2an 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (1 / 3)
43		0re 11027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
44		recoscl 15899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℝ → (cos‘1) ∈ ℝ)
45	39, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (cos‘1) ∈ ℝ
46	40, 29	rereccli 11790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
47	43, 46, 45	lelttri 11152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ≤ (1 / 3) ∧ (1 / 3) < (cos‘1)) → 0 < (cos‘1))
48	42, 36, 47	mp2an 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < (cos‘1)
49	43, 45, 48	ltleii 11148	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (cos‘1)
50	46, 45	lt2sqi 13956	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ≤ (1 / 3) ∧ 0 ≤ (cos‘1)) → ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)))
51	42, 49, 50	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2))
52	36, 51	mpbi 229	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)
53	34, 52	eqbrtrri 5104	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 9) < ((cos‘1)↑2)
54		2pos 12126	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
55	3, 5	rereccli 11790	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 9) ∈ ℝ
56	45	resqcli 13953	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘1)↑2) ∈ ℝ
57		2re 12097	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
58	55, 56, 57	ltmul2i 11946	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 2 → ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))))
59	54, 58	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2)))
60	53, 59	mpbi 229	. . . . . 6 ⊢ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))
61	27, 60	eqbrtrri 5104	. . . . 5 ⊢ (2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2))
62	57, 3, 5	redivcli 11792	. . . . . 6 ⊢ (2 / 9) ∈ ℝ
63	57, 56	remulcli 11041	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ
64		ltsub1 11521	. . . . . 6 ⊢ (((2 / 9) ∈ ℝ ∧ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)))
65	62, 63, 39, 64	mp3an 1461	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
66	61, 65	mpbi 229	. . . 4 ⊢ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
67	22, 66	eqbrtrri 5104	. . 3 ⊢ -(7 / 9) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
68	25	fveq2i 6807	. . . 4 ⊢ (cos‘(2 · 1)) = (cos‘2)
69		cos2t 15936	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
70	23, 69	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
71	68, 70	eqtr3i 2766	. . 3 ⊢ (cos‘2) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
72	67, 71	breqtrri 5108	. 2 ⊢ -(7 / 9) < (cos‘2)
73	35	simpri 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos‘1) < (2 / 3)
74		0le2 12125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 2
75	57, 40	divge0i 11934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ≤ 2 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (2 / 3))
76	74, 38, 75	mp2an 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (2 / 3)
77	57, 40, 29	redivcli 11792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 / 3) ∈ ℝ
78	45, 77	lt2sqi 13956	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ≤ (cos‘1) ∧ 0 ≤ (2 / 3)) → ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)))
79	49, 76, 78	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2))
80	73, 79	mpbi 229	. . . . . . . 8 ⊢ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)
81	8, 28, 29	sqdivi 13952	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 / 3)↑2) = ((2↑2) / (3↑2))
82		sq2 13964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑2) = 4
83	82, 32	oveq12i 7319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑2) / (3↑2)) = (4 / 9)
84	81, 83	eqtri 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 / 3)↑2) = (4 / 9)
85	80, 84	breqtri 5106	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘1)↑2) < (4 / 9)
86		4re 12107	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
87	86, 3, 5	redivcli 11792	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 / 9) ∈ ℝ
88	56, 87, 57	ltmul2i 11946	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 2 → (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))))
89	54, 88	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9)))
90	85, 89	mpbi 229	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))
91		4cn 12108	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
92	8, 91, 2, 5	divassi 11781	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) / 9) = (2 · (4 / 9))
93		4t2e8 12191	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
94	91, 8, 93	mulcomli 11034	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
95	94	oveq1i 7317	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) / 9) = (8 / 9)
96	92, 95	eqtr3i 2766	. . . . . 6 ⊢ (2 · (4 / 9)) = (8 / 9)
97	90, 96	breqtri 5106	. . . . 5 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9)
98		8re 12119	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℝ
99	98, 3, 5	redivcli 11792	. . . . . 6 ⊢ (8 / 9) ∈ ℝ
100		ltsub1 11521	. . . . . 6 ⊢ (((2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ (8 / 9) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)))
101	63, 99, 39, 100	mp3an 1461	. . . . 5 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1))
102	97, 101	mpbi 229	. . . 4 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)
103	20	oveq2i 7318	. . . . 5 ⊢ ((8 / 9) − (9 / 9)) = ((8 / 9) − 1)
104		divneg 11717	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0) → -(1 / 9) = (-1 / 9))
105	23, 2, 5, 104	mp3an 1461	. . . . . 6 ⊢ -(1 / 9) = (-1 / 9)
106		8cn 12120	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
107	2, 106	negsubdi2i 11357	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 8) = (8 − 9)
108		8p1e9 12173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 1) = 9
109	2, 106, 23, 108	subaddrii 11360	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 − 8) = 1
110	109	negeqi 11264	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 8) = -1
111	107, 110	eqtr3i 2766	. . . . . . 7 ⊢ (8 − 9) = -1
112	111	oveq1i 7317	. . . . . 6 ⊢ ((8 − 9) / 9) = (-1 / 9)
113		divsubdir 11719	. . . . . . 7 ⊢ ((8 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9)))
114	106, 2, 9, 113	mp3an 1461	. . . . . 6 ⊢ ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9))
115	105, 112, 114	3eqtr2ri 2771	. . . . 5 ⊢ ((8 / 9) − (9 / 9)) = -(1 / 9)
116	103, 115	eqtr3i 2766	. . . 4 ⊢ ((8 / 9) − 1) = -(1 / 9)
117	102, 116	breqtri 5106	. . 3 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < -(1 / 9)
118	71, 117	eqbrtri 5102	. 2 ⊢ (cos‘2) < -(1 / 9)
119	72, 118	pm3.2i 472	1 ⊢ (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2941   class class class wbr 5081  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  ℂcc 10919  ℝcr 10920  0cc0 10921  1c1 10922   + caddc 10924   · cmul 10926   < clt 11059   ≤ cle 11060   − cmin 11255  -cneg 11256   / cdiv 11682  2c2 12078  3c3 12079  4c4 12080  7c7 12083  8c8 12084  9c9 12085  ↑cexp 13832  cosccos 15823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-inf2 9447  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998  ax-pre-sup 10999

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-pm 8649  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-sup 9249  df-inf 9250  df-oi 9317  df-card 9745  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-div 11683  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-4 12088  df-5 12089  df-6 12090  df-7 12091  df-8 12092  df-9 12093  df-n0 12284  df-z 12370  df-uz 12633  df-rp 12781  df-ioc 13134  df-ico 13135  df-fz 13290  df-fzo 13433  df-fl 13562  df-seq 13772  df-exp 13833  df-fac 14038  df-bc 14067  df-hash 14095  df-shft 14827  df-cj 14859  df-re 14860  df-im 14861  df-sqrt 14995  df-abs 14996  df-limsup 15229  df-clim 15246  df-rlim 15247  df-sum 15447  df-ef 15826  df-sin 15828  df-cos 15829

This theorem is referenced by:  sincos2sgn  15952