MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos2bnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cos2bnd 15529
Description: Bounds on the cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2bnd (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

Proof of Theorem cos2bnd
StepHypRef Expression
1 7cn 11719 . . . . . 6 7 ∈ ℂ
2 9cn 11725 . . . . . 6 9 ∈ ℂ
3 9re 11724 . . . . . . 7 9 ∈ ℝ
4 9pos 11738 . . . . . . 7 0 < 9
53, 4gt0ne0ii 11164 . . . . . 6 9 ≠ 0
6 divneg 11320 . . . . . 6 ((7 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0) → -(7 / 9) = (-7 / 9))
71, 2, 5, 6mp3an 1452 . . . . 5 -(7 / 9) = (-7 / 9)
8 2cn 11700 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
92, 5pm3.2i 471 . . . . . . 7 (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)
10 divsubdir 11322 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9)))
118, 2, 9, 10mp3an 1452 . . . . . 6 ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9))
122, 8negsubdi2i 10960 . . . . . . . 8 -(9 − 2) = (2 − 9)
13 7p2e9 11786 . . . . . . . . . 10 (7 + 2) = 9
142, 8, 1subadd2i 10962 . . . . . . . . . 10 ((9 − 2) = 7 ↔ (7 + 2) = 9)
1513, 14mpbir 232 . . . . . . . . 9 (9 − 2) = 7
1615negeqi 10867 . . . . . . . 8 -(9 − 2) = -7
1712, 16eqtr3i 2843 . . . . . . 7 (2 − 9) = -7
1817oveq1i 7155 . . . . . 6 ((2 − 9) / 9) = (-7 / 9)
1911, 18eqtr3i 2843 . . . . 5 ((2 / 9) − (9 / 9)) = (-7 / 9)
202, 5dividi 11361 . . . . . 6 (9 / 9) = 1
2120oveq2i 7156 . . . . 5 ((2 / 9) − (9 / 9)) = ((2 / 9) − 1)
227, 19, 213eqtr2ri 2848 . . . 4 ((2 / 9) − 1) = -(7 / 9)
23 ax-1cn 10583 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
248, 23, 2, 5divassi 11384 . . . . . . 7 ((2 · 1) / 9) = (2 · (1 / 9))
25 2t1e2 11788 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
2625oveq1i 7155 . . . . . . 7 ((2 · 1) / 9) = (2 / 9)
2724, 26eqtr3i 2843 . . . . . 6 (2 · (1 / 9)) = (2 / 9)
28 3cn 11706 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
29 3ne0 11731 . . . . . . . . . 10 3 ≠ 0
3023, 28, 29sqdivi 13536 . . . . . . . . 9 ((1 / 3)↑2) = ((1↑2) / (3↑2))
31 sq1 13546 . . . . . . . . . 10 (1↑2) = 1
32 sq3 13549 . . . . . . . . . 10 (3↑2) = 9
3331, 32oveq12i 7157 . . . . . . . . 9 ((1↑2) / (3↑2)) = (1 / 9)
3430, 33eqtri 2841 . . . . . . . 8 ((1 / 3)↑2) = (1 / 9)
35 cos1bnd 15528 . . . . . . . . . 10 ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))
3635simpli 484 . . . . . . . . 9 (1 / 3) < (cos‘1)
37 0le1 11151 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 1
38 3pos 11730 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
39 1re 10629 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
40 3re 11705 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℝ
4139, 40divge0i 11537 . . . . . . . . . . 11 ((0 ≤ 1 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (1 / 3))
4237, 38, 41mp2an 688 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (1 / 3)
43 0re 10631 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
44 recoscl 15482 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ → (cos‘1) ∈ ℝ)
4539, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (cos‘1) ∈ ℝ
4640, 29rereccli 11393 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 3) ∈ ℝ
4743, 46, 45lelttri 10755 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ≤ (1 / 3) ∧ (1 / 3) < (cos‘1)) → 0 < (cos‘1))
4842, 36, 47mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 0 < (cos‘1)
4943, 45, 48ltleii 10751 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (cos‘1)
5046, 45lt2sqi 13540 . . . . . . . . . 10 ((0 ≤ (1 / 3) ∧ 0 ≤ (cos‘1)) → ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)))
5142, 49, 50mp2an 688 . . . . . . . . 9 ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2))
5236, 51mpbi 231 . . . . . . . 8 ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)
5334, 52eqbrtrri 5080 . . . . . . 7 (1 / 9) < ((cos‘1)↑2)
54 2pos 11728 . . . . . . . 8 0 < 2
553, 5rereccli 11393 . . . . . . . . 9 (1 / 9) ∈ ℝ
5645resqcli 13537 . . . . . . . . 9 ((cos‘1)↑2) ∈ ℝ
57 2re 11699 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
5855, 56, 57ltmul2i 11549 . . . . . . . 8 (0 < 2 → ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))))
5954, 58ax-mp 5 . . . . . . 7 ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2)))
6053, 59mpbi 231 . . . . . 6 (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))
6127, 60eqbrtrri 5080 . . . . 5 (2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2))
6257, 3, 5redivcli 11395 . . . . . 6 (2 / 9) ∈ ℝ
6357, 56remulcli 10645 . . . . . 6 (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ
64 ltsub1 11124 . . . . . 6 (((2 / 9) ∈ ℝ ∧ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)))
6562, 63, 39, 64mp3an 1452 . . . . 5 ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
6661, 65mpbi 231 . . . 4 ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
6722, 66eqbrtrri 5080 . . 3 -(7 / 9) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
6825fveq2i 6666 . . . 4 (cos‘(2 · 1)) = (cos‘2)
69 cos2t 15519 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
7023, 69ax-mp 5 . . . 4 (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
7168, 70eqtr3i 2843 . . 3 (cos‘2) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
7267, 71breqtrri 5084 . 2 -(7 / 9) < (cos‘2)
7335simpri 486 . . . . . . . . 9 (cos‘1) < (2 / 3)
74 0le2 11727 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 2
7557, 40divge0i 11537 . . . . . . . . . . 11 ((0 ≤ 2 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (2 / 3))
7674, 38, 75mp2an 688 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (2 / 3)
7757, 40, 29redivcli 11395 . . . . . . . . . . 11 (2 / 3) ∈ ℝ
7845, 77lt2sqi 13540 . . . . . . . . . 10 ((0 ≤ (cos‘1) ∧ 0 ≤ (2 / 3)) → ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)))
7949, 76, 78mp2an 688 . . . . . . . . 9 ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2))
8073, 79mpbi 231 . . . . . . . 8 ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)
818, 28, 29sqdivi 13536 . . . . . . . . 9 ((2 / 3)↑2) = ((2↑2) / (3↑2))
82 sq2 13548 . . . . . . . . . 10 (2↑2) = 4
8382, 32oveq12i 7157 . . . . . . . . 9 ((2↑2) / (3↑2)) = (4 / 9)
8481, 83eqtri 2841 . . . . . . . 8 ((2 / 3)↑2) = (4 / 9)
8580, 84breqtri 5082 . . . . . . 7 ((cos‘1)↑2) < (4 / 9)
86 4re 11709 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
8786, 3, 5redivcli 11395 . . . . . . . . 9 (4 / 9) ∈ ℝ
8856, 87, 57ltmul2i 11549 . . . . . . . 8 (0 < 2 → (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))))
8954, 88ax-mp 5 . . . . . . 7 (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9)))
9085, 89mpbi 231 . . . . . 6 (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))
91 4cn 11710 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
928, 91, 2, 5divassi 11384 . . . . . . 7 ((2 · 4) / 9) = (2 · (4 / 9))
93 4t2e8 11793 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
9491, 8, 93mulcomli 10638 . . . . . . . 8 (2 · 4) = 8
9594oveq1i 7155 . . . . . . 7 ((2 · 4) / 9) = (8 / 9)
9692, 95eqtr3i 2843 . . . . . 6 (2 · (4 / 9)) = (8 / 9)
9790, 96breqtri 5082 . . . . 5 (2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9)
98 8re 11721 . . . . . . 7 8 ∈ ℝ
9998, 3, 5redivcli 11395 . . . . . 6 (8 / 9) ∈ ℝ
100 ltsub1 11124 . . . . . 6 (((2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ (8 / 9) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)))
10163, 99, 39, 100mp3an 1452 . . . . 5 ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1))
10297, 101mpbi 231 . . . 4 ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)
10320oveq2i 7156 . . . . 5 ((8 / 9) − (9 / 9)) = ((8 / 9) − 1)
104 divneg 11320 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0) → -(1 / 9) = (-1 / 9))
10523, 2, 5, 104mp3an 1452 . . . . . 6 -(1 / 9) = (-1 / 9)
106 8cn 11722 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
1072, 106negsubdi2i 10960 . . . . . . . 8 -(9 − 8) = (8 − 9)
108 8p1e9 11775 . . . . . . . . . 10 (8 + 1) = 9
1092, 106, 23, 108subaddrii 10963 . . . . . . . . 9 (9 − 8) = 1
110109negeqi 10867 . . . . . . . 8 -(9 − 8) = -1
111107, 110eqtr3i 2843 . . . . . . 7 (8 − 9) = -1
112111oveq1i 7155 . . . . . 6 ((8 − 9) / 9) = (-1 / 9)
113 divsubdir 11322 . . . . . . 7 ((8 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9)))
114106, 2, 9, 113mp3an 1452 . . . . . 6 ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9))
115105, 112, 1143eqtr2ri 2848 . . . . 5 ((8 / 9) − (9 / 9)) = -(1 / 9)
116103, 115eqtr3i 2843 . . . 4 ((8 / 9) − 1) = -(1 / 9)
117102, 116breqtri 5082 . . 3 ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < -(1 / 9)
11871, 117eqbrtri 5078 . 2 (cos‘2) < -(1 / 9)
11972, 118pm3.2i 471 1 (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  -cneg 10859   / cdiv 11285  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  7c7 11685  8c8 11686  9c9 11687  cexp 13417  cosccos 15406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412
This theorem is referenced by:  sincos2sgn  15535
  Copyright terms: Public domain W3C validator