Theorem cos2bnd 16269

Description: Bounds on the cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos2bnd	⊢ (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

Proof of Theorem cos2bnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7cn 12353	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
2		9cn 12359	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
3		9re 12358	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℝ
4		9pos 12375	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 9
5	3, 4	gt0ne0ii 11768	. . . . . 6 ⊢ 9 ≠ 0
6		divneg 11924	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0) → -(7 / 9) = (-7 / 9))
7	1, 2, 5, 6	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ -(7 / 9) = (-7 / 9)
8		2cn 12334	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
9	2, 5	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)
10		divsubdir 11926	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9)))
11	8, 2, 9, 10	mp3an 1490	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9))
12	2, 8	negsubdi2i 11562	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 2) = (2 − 9)
13		7p2e9 12419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 2) = 9
14	2, 8, 1	subadd2i 11564	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((9 − 2) = 7 ↔ (7 + 2) = 9)
15	13, 14	mpbir 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 − 2) = 7
16	15	negeqi 11468	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 2) = -7
17	12, 16	eqtr3i 2791	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 9) = -7
18	17	oveq1i 7433	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 9) / 9) = (-7 / 9)
19	11, 18	eqtr3i 2791	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) − (9 / 9)) = (-7 / 9)
20	2, 5	dividi 11966	. . . . . 6 ⊢ (9 / 9) = 1
21	20	oveq2i 7434	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) − (9 / 9)) = ((2 / 9) − 1)
22	7, 19, 21	3eqtr2ri 2796	. . . 4 ⊢ ((2 / 9) − 1) = -(7 / 9)
23		ax-1cn 11176	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
24	8, 23, 2, 5	divassi 11989	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) / 9) = (2 · (1 / 9))
25		2t1e2 12421	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
26	25	oveq1i 7433	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) / 9) = (2 / 9)
27	24, 26	eqtr3i 2791	. . . . . 6 ⊢ (2 · (1 / 9)) = (2 / 9)
28		3cn 12340	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
29		3ne0 12368	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≠ 0
30	23, 28, 29	sqdivi 14241	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 3)↑2) = ((1↑2) / (3↑2))
31		sq1 14251	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1↑2) = 1
32		sq3 14254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑2) = 9
33	31, 32	oveq12i 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1↑2) / (3↑2)) = (1 / 9)
34	30, 33	eqtri 2789	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 3)↑2) = (1 / 9)
35		cos1bnd 16268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))
36	35	simpli 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 3) < (cos‘1)
37		0le1 11755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 1
38		3pos 12367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
39		1re 11226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
40		3re 12339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℝ
41	39, 40	divge0i 12142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ≤ 1 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (1 / 3))
42	37, 38, 41	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (1 / 3)
43		0re 11228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
44		recoscl 16222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℝ → (cos‘1) ∈ ℝ)
45	39, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (cos‘1) ∈ ℝ
46	40, 29	rereccli 11998	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
47	43, 46, 45	lelttri 11355	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ≤ (1 / 3) ∧ (1 / 3) < (cos‘1)) → 0 < (cos‘1))
48	42, 36, 47	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < (cos‘1)
49	43, 45, 48	ltleii 11351	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (cos‘1)
50	46, 45	lt2sqi 14245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ≤ (1 / 3) ∧ 0 ≤ (cos‘1)) → ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)))
51	42, 49, 50	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2))
52	36, 51	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)
53	34, 52	eqbrtrri 5139	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 9) < ((cos‘1)↑2)
54		2pos 12363	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
55	3, 5	rereccli 11998	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 9) ∈ ℝ
56	45	resqcli 14242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘1)↑2) ∈ ℝ
57		2re 12333	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
58	55, 56, 57	ltmul2i 12154	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 2 → ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))))
59	54, 58	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2)))
60	53, 59	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))
61	27, 60	eqbrtrri 5139	. . . . 5 ⊢ (2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2))
62	57, 3, 5	redivcli 12000	. . . . . 6 ⊢ (2 / 9) ∈ ℝ
63	57, 56	remulcli 11243	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ
64		ltsub1 11728	. . . . . 6 ⊢ (((2 / 9) ∈ ℝ ∧ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)))
65	62, 63, 39, 64	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
66	61, 65	mpbi 233	. . . 4 ⊢ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
67	22, 66	eqbrtrri 5139	. . 3 ⊢ -(7 / 9) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
68	25	fveq2i 6891	. . . 4 ⊢ (cos‘(2 · 1)) = (cos‘2)
69		cos2t 16259	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
70	23, 69	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
71	68, 70	eqtr3i 2791	. . 3 ⊢ (cos‘2) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
72	67, 71	breqtrri 5143	. 2 ⊢ -(7 / 9) < (cos‘2)
73	35	simpri 491	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos‘1) < (2 / 3)
74		0le2 12361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 2
75	57, 40	divge0i 12142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ≤ 2 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (2 / 3))
76	74, 38, 75	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (2 / 3)
77	57, 40, 29	redivcli 12000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 / 3) ∈ ℝ
78	45, 77	lt2sqi 14245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ≤ (cos‘1) ∧ 0 ≤ (2 / 3)) → ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)))
79	49, 76, 78	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2))
80	73, 79	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)
81	8, 28, 29	sqdivi 14241	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 / 3)↑2) = ((2↑2) / (3↑2))
82		sq2 14253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑2) = 4
83	82, 32	oveq12i 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑2) / (3↑2)) = (4 / 9)
84	81, 83	eqtri 2789	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 / 3)↑2) = (4 / 9)
85	80, 84	breqtri 5141	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘1)↑2) < (4 / 9)
86		4re 12343	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
87	86, 3, 5	redivcli 12000	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 / 9) ∈ ℝ
88	56, 87, 57	ltmul2i 12154	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 2 → (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))))
89	54, 88	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9)))
90	85, 89	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))
91		4cn 12344	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
92	8, 91, 2, 5	divassi 11989	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) / 9) = (2 · (4 / 9))
93		2t4e8 12428	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
94	93	oveq1i 7433	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) / 9) = (8 / 9)
95	92, 94	eqtr3i 2791	. . . . . 6 ⊢ (2 · (4 / 9)) = (8 / 9)
96	90, 95	breqtri 5141	. . . . 5 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9)
97		8re 12355	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℝ
98	97, 3, 5	redivcli 12000	. . . . . 6 ⊢ (8 / 9) ∈ ℝ
99		ltsub1 11728	. . . . . 6 ⊢ (((2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ (8 / 9) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)))
100	63, 98, 39, 99	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1))
101	96, 100	mpbi 233	. . . 4 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)
102	20	oveq2i 7434	. . . . 5 ⊢ ((8 / 9) − (9 / 9)) = ((8 / 9) − 1)
103		divneg 11924	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0) → -(1 / 9) = (-1 / 9))
104	23, 2, 5, 103	mp3an 1490	. . . . . 6 ⊢ -(1 / 9) = (-1 / 9)
105		8cn 12356	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
106	2, 105	negsubdi2i 11562	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 8) = (8 − 9)
107		8p1e9 12408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 1) = 9
108	2, 105, 23, 107	subaddrii 11565	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 − 8) = 1
109	108	negeqi 11468	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 8) = -1
110	106, 109	eqtr3i 2791	. . . . . . 7 ⊢ (8 − 9) = -1
111	110	oveq1i 7433	. . . . . 6 ⊢ ((8 − 9) / 9) = (-1 / 9)
112		divsubdir 11926	. . . . . . 7 ⊢ ((8 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9)))
113	105, 2, 9, 112	mp3an 1490	. . . . . 6 ⊢ ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9))
114	104, 111, 113	3eqtr2ri 2796	. . . . 5 ⊢ ((8 / 9) − (9 / 9)) = -(1 / 9)
115	102, 114	eqtr3i 2791	. . . 4 ⊢ ((8 / 9) − 1) = -(1 / 9)
116	101, 115	breqtri 5141	. . 3 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < -(1 / 9)
117	71, 116	eqbrtri 5137	. 2 ⊢ (cos‘2) < -(1 / 9)
118	72, 117	pm3.2i 476	1 ⊢ (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123   < clt 11261   ≤ cle 11262   − cmin 11459  -cneg 11460   / cdiv 11889  2c2 12313  3c3 12314  4c4 12315  7c7 12318  8c8 12319  9c9 12320  ↑cexp 14117  cosccos 16143

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16146  df-sin 16148  df-cos 16149

This theorem is used by:  sincos2sgn  16275