MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos2bnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cos2bnd 16224
Description: Bounds on the cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2bnd (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

Proof of Theorem cos2bnd
StepHypRef Expression
1 7cn 12360 . . . . . 6 7 ∈ ℂ
2 9cn 12366 . . . . . 6 9 ∈ ℂ
3 9re 12365 . . . . . . 7 9 ∈ ℝ
4 9pos 12379 . . . . . . 7 0 < 9
53, 4gt0ne0ii 11799 . . . . . 6 9 ≠ 0
6 divneg 11959 . . . . . 6 ((7 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0) → -(7 / 9) = (-7 / 9))
71, 2, 5, 6mp3an 1463 . . . . 5 -(7 / 9) = (-7 / 9)
8 2cn 12341 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
92, 5pm3.2i 470 . . . . . . 7 (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)
10 divsubdir 11961 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9)))
118, 2, 9, 10mp3an 1463 . . . . . 6 ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9))
122, 8negsubdi2i 11595 . . . . . . . 8 -(9 − 2) = (2 − 9)
13 7p2e9 12427 . . . . . . . . . 10 (7 + 2) = 9
142, 8, 1subadd2i 11597 . . . . . . . . . 10 ((9 − 2) = 7 ↔ (7 + 2) = 9)
1513, 14mpbir 231 . . . . . . . . 9 (9 − 2) = 7
1615negeqi 11501 . . . . . . . 8 -(9 − 2) = -7
1712, 16eqtr3i 2767 . . . . . . 7 (2 − 9) = -7
1817oveq1i 7441 . . . . . 6 ((2 − 9) / 9) = (-7 / 9)
1911, 18eqtr3i 2767 . . . . 5 ((2 / 9) − (9 / 9)) = (-7 / 9)
202, 5dividi 12000 . . . . . 6 (9 / 9) = 1
2120oveq2i 7442 . . . . 5 ((2 / 9) − (9 / 9)) = ((2 / 9) − 1)
227, 19, 213eqtr2ri 2772 . . . 4 ((2 / 9) − 1) = -(7 / 9)
23 ax-1cn 11213 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
248, 23, 2, 5divassi 12023 . . . . . . 7 ((2 · 1) / 9) = (2 · (1 / 9))
25 2t1e2 12429 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
2625oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((2 · 1) / 9) = (2 / 9)
2724, 26eqtr3i 2767 . . . . . 6 (2 · (1 / 9)) = (2 / 9)
28 3cn 12347 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
29 3ne0 12372 . . . . . . . . . 10 3 ≠ 0
3023, 28, 29sqdivi 14224 . . . . . . . . 9 ((1 / 3)↑2) = ((1↑2) / (3↑2))
31 sq1 14234 . . . . . . . . . 10 (1↑2) = 1
32 sq3 14237 . . . . . . . . . 10 (3↑2) = 9
3331, 32oveq12i 7443 . . . . . . . . 9 ((1↑2) / (3↑2)) = (1 / 9)
3430, 33eqtri 2765 . . . . . . . 8 ((1 / 3)↑2) = (1 / 9)
35 cos1bnd 16223 . . . . . . . . . 10 ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))
3635simpli 483 . . . . . . . . 9 (1 / 3) < (cos‘1)
37 0le1 11786 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 1
38 3pos 12371 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
39 1re 11261 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
40 3re 12346 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℝ
4139, 40divge0i 12177 . . . . . . . . . . 11 ((0 ≤ 1 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (1 / 3))
4237, 38, 41mp2an 692 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (1 / 3)
43 0re 11263 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
44 recoscl 16177 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ → (cos‘1) ∈ ℝ)
4539, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (cos‘1) ∈ ℝ
4640, 29rereccli 12032 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 3) ∈ ℝ
4743, 46, 45lelttri 11388 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ≤ (1 / 3) ∧ (1 / 3) < (cos‘1)) → 0 < (cos‘1))
4842, 36, 47mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 0 < (cos‘1)
4943, 45, 48ltleii 11384 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (cos‘1)
5046, 45lt2sqi 14228 . . . . . . . . . 10 ((0 ≤ (1 / 3) ∧ 0 ≤ (cos‘1)) → ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)))
5142, 49, 50mp2an 692 . . . . . . . . 9 ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2))
5236, 51mpbi 230 . . . . . . . 8 ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)
5334, 52eqbrtrri 5166 . . . . . . 7 (1 / 9) < ((cos‘1)↑2)
54 2pos 12369 . . . . . . . 8 0 < 2
553, 5rereccli 12032 . . . . . . . . 9 (1 / 9) ∈ ℝ
5645resqcli 14225 . . . . . . . . 9 ((cos‘1)↑2) ∈ ℝ
57 2re 12340 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
5855, 56, 57ltmul2i 12189 . . . . . . . 8 (0 < 2 → ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))))
5954, 58ax-mp 5 . . . . . . 7 ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2)))
6053, 59mpbi 230 . . . . . 6 (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))
6127, 60eqbrtrri 5166 . . . . 5 (2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2))
6257, 3, 5redivcli 12034 . . . . . 6 (2 / 9) ∈ ℝ
6357, 56remulcli 11277 . . . . . 6 (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ
64 ltsub1 11759 . . . . . 6 (((2 / 9) ∈ ℝ ∧ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)))
6562, 63, 39, 64mp3an 1463 . . . . 5 ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
6661, 65mpbi 230 . . . 4 ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
6722, 66eqbrtrri 5166 . . 3 -(7 / 9) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
6825fveq2i 6909 . . . 4 (cos‘(2 · 1)) = (cos‘2)
69 cos2t 16214 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
7023, 69ax-mp 5 . . . 4 (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
7168, 70eqtr3i 2767 . . 3 (cos‘2) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
7267, 71breqtrri 5170 . 2 -(7 / 9) < (cos‘2)
7335simpri 485 . . . . . . . . 9 (cos‘1) < (2 / 3)
74 0le2 12368 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 2
7557, 40divge0i 12177 . . . . . . . . . . 11 ((0 ≤ 2 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (2 / 3))
7674, 38, 75mp2an 692 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (2 / 3)
7757, 40, 29redivcli 12034 . . . . . . . . . . 11 (2 / 3) ∈ ℝ
7845, 77lt2sqi 14228 . . . . . . . . . 10 ((0 ≤ (cos‘1) ∧ 0 ≤ (2 / 3)) → ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)))
7949, 76, 78mp2an 692 . . . . . . . . 9 ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2))
8073, 79mpbi 230 . . . . . . . 8 ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)
818, 28, 29sqdivi 14224 . . . . . . . . 9 ((2 / 3)↑2) = ((2↑2) / (3↑2))
82 sq2 14236 . . . . . . . . . 10 (2↑2) = 4
8382, 32oveq12i 7443 . . . . . . . . 9 ((2↑2) / (3↑2)) = (4 / 9)
8481, 83eqtri 2765 . . . . . . . 8 ((2 / 3)↑2) = (4 / 9)
8580, 84breqtri 5168 . . . . . . 7 ((cos‘1)↑2) < (4 / 9)
86 4re 12350 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
8786, 3, 5redivcli 12034 . . . . . . . . 9 (4 / 9) ∈ ℝ
8856, 87, 57ltmul2i 12189 . . . . . . . 8 (0 < 2 → (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))))
8954, 88ax-mp 5 . . . . . . 7 (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9)))
9085, 89mpbi 230 . . . . . 6 (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))
91 4cn 12351 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
928, 91, 2, 5divassi 12023 . . . . . . 7 ((2 · 4) / 9) = (2 · (4 / 9))
93 4t2e8 12434 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
9491, 8, 93mulcomli 11270 . . . . . . . 8 (2 · 4) = 8
9594oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((2 · 4) / 9) = (8 / 9)
9692, 95eqtr3i 2767 . . . . . 6 (2 · (4 / 9)) = (8 / 9)
9790, 96breqtri 5168 . . . . 5 (2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9)
98 8re 12362 . . . . . . 7 8 ∈ ℝ
9998, 3, 5redivcli 12034 . . . . . 6 (8 / 9) ∈ ℝ
100 ltsub1 11759 . . . . . 6 (((2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ (8 / 9) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)))
10163, 99, 39, 100mp3an 1463 . . . . 5 ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1))
10297, 101mpbi 230 . . . 4 ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)
10320oveq2i 7442 . . . . 5 ((8 / 9) − (9 / 9)) = ((8 / 9) − 1)
104 divneg 11959 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0) → -(1 / 9) = (-1 / 9))
10523, 2, 5, 104mp3an 1463 . . . . . 6 -(1 / 9) = (-1 / 9)
106 8cn 12363 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
1072, 106negsubdi2i 11595 . . . . . . . 8 -(9 − 8) = (8 − 9)
108 8p1e9 12416 . . . . . . . . . 10 (8 + 1) = 9
1092, 106, 23, 108subaddrii 11598 . . . . . . . . 9 (9 − 8) = 1
110109negeqi 11501 . . . . . . . 8 -(9 − 8) = -1
111107, 110eqtr3i 2767 . . . . . . 7 (8 − 9) = -1
112111oveq1i 7441 . . . . . 6 ((8 − 9) / 9) = (-1 / 9)
113 divsubdir 11961 . . . . . . 7 ((8 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9)))
114106, 2, 9, 113mp3an 1463 . . . . . 6 ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9))
115105, 112, 1143eqtr2ri 2772 . . . . 5 ((8 / 9) − (9 / 9)) = -(1 / 9)
116103, 115eqtr3i 2767 . . . 4 ((8 / 9) − 1) = -(1 / 9)
117102, 116breqtri 5168 . . 3 ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < -(1 / 9)
11871, 117eqbrtri 5164 . 2 (cos‘2) < -(1 / 9)
11972, 118pm3.2i 470 1 (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  7c7 12326  8c8 12327  9c9 12328  cexp 14102  cosccos 16100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106
This theorem is referenced by:  sincos2sgn  16230
  Copyright terms: Public domain W3C validator