Theorem cos2bnd 16099

Description: Bounds on the cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos2bnd	⊢ (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

Proof of Theorem cos2bnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7cn 12226	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
2		9cn 12232	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
3		9re 12231	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℝ
4		9pos 12245	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 9
5	3, 4	gt0ne0ii 11660	. . . . . 6 ⊢ 9 ≠ 0
6		divneg 11820	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0) → -(7 / 9) = (-7 / 9))
7	1, 2, 5, 6	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ -(7 / 9) = (-7 / 9)
8		2cn 12207	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
9	2, 5	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)
10		divsubdir 11822	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9)))
11	8, 2, 9, 10	mp3an 1463	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9))
12	2, 8	negsubdi2i 11454	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 2) = (2 − 9)
13		7p2e9 12288	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 2) = 9
14	2, 8, 1	subadd2i 11456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((9 − 2) = 7 ↔ (7 + 2) = 9)
15	13, 14	mpbir 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 − 2) = 7
16	15	negeqi 11360	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 2) = -7
17	12, 16	eqtr3i 2758	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 9) = -7
18	17	oveq1i 7362	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 9) / 9) = (-7 / 9)
19	11, 18	eqtr3i 2758	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) − (9 / 9)) = (-7 / 9)
20	2, 5	dividi 11861	. . . . . 6 ⊢ (9 / 9) = 1
21	20	oveq2i 7363	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) − (9 / 9)) = ((2 / 9) − 1)
22	7, 19, 21	3eqtr2ri 2763	. . . 4 ⊢ ((2 / 9) − 1) = -(7 / 9)
23		ax-1cn 11071	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
24	8, 23, 2, 5	divassi 11884	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) / 9) = (2 · (1 / 9))
25		2t1e2 12290	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
26	25	oveq1i 7362	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) / 9) = (2 / 9)
27	24, 26	eqtr3i 2758	. . . . . 6 ⊢ (2 · (1 / 9)) = (2 / 9)
28		3cn 12213	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
29		3ne0 12238	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≠ 0
30	23, 28, 29	sqdivi 14094	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 3)↑2) = ((1↑2) / (3↑2))
31		sq1 14104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1↑2) = 1
32		sq3 14107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑2) = 9
33	31, 32	oveq12i 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1↑2) / (3↑2)) = (1 / 9)
34	30, 33	eqtri 2756	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 3)↑2) = (1 / 9)
35		cos1bnd 16098	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))
36	35	simpli 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 3) < (cos‘1)
37		0le1 11647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 1
38		3pos 12237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
39		1re 11119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
40		3re 12212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℝ
41	39, 40	divge0i 12038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ≤ 1 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (1 / 3))
42	37, 38, 41	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (1 / 3)
43		0re 11121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
44		recoscl 16052	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℝ → (cos‘1) ∈ ℝ)
45	39, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (cos‘1) ∈ ℝ
46	40, 29	rereccli 11893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
47	43, 46, 45	lelttri 11247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ≤ (1 / 3) ∧ (1 / 3) < (cos‘1)) → 0 < (cos‘1))
48	42, 36, 47	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < (cos‘1)
49	43, 45, 48	ltleii 11243	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (cos‘1)
50	46, 45	lt2sqi 14098	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ≤ (1 / 3) ∧ 0 ≤ (cos‘1)) → ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)))
51	42, 49, 50	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2))
52	36, 51	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)
53	34, 52	eqbrtrri 5116	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 9) < ((cos‘1)↑2)
54		2pos 12235	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
55	3, 5	rereccli 11893	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 9) ∈ ℝ
56	45	resqcli 14095	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘1)↑2) ∈ ℝ
57		2re 12206	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
58	55, 56, 57	ltmul2i 12050	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 2 → ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))))
59	54, 58	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2)))
60	53, 59	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))
61	27, 60	eqbrtrri 5116	. . . . 5 ⊢ (2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2))
62	57, 3, 5	redivcli 11895	. . . . . 6 ⊢ (2 / 9) ∈ ℝ
63	57, 56	remulcli 11135	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ
64		ltsub1 11620	. . . . . 6 ⊢ (((2 / 9) ∈ ℝ ∧ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)))
65	62, 63, 39, 64	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
66	61, 65	mpbi 230	. . . 4 ⊢ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
67	22, 66	eqbrtrri 5116	. . 3 ⊢ -(7 / 9) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
68	25	fveq2i 6831	. . . 4 ⊢ (cos‘(2 · 1)) = (cos‘2)
69		cos2t 16089	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
70	23, 69	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
71	68, 70	eqtr3i 2758	. . 3 ⊢ (cos‘2) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
72	67, 71	breqtrri 5120	. 2 ⊢ -(7 / 9) < (cos‘2)
73	35	simpri 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos‘1) < (2 / 3)
74		0le2 12234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 2
75	57, 40	divge0i 12038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ≤ 2 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (2 / 3))
76	74, 38, 75	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (2 / 3)
77	57, 40, 29	redivcli 11895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 / 3) ∈ ℝ
78	45, 77	lt2sqi 14098	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ≤ (cos‘1) ∧ 0 ≤ (2 / 3)) → ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)))
79	49, 76, 78	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2))
80	73, 79	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)
81	8, 28, 29	sqdivi 14094	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 / 3)↑2) = ((2↑2) / (3↑2))
82		sq2 14106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑2) = 4
83	82, 32	oveq12i 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑2) / (3↑2)) = (4 / 9)
84	81, 83	eqtri 2756	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 / 3)↑2) = (4 / 9)
85	80, 84	breqtri 5118	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘1)↑2) < (4 / 9)
86		4re 12216	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
87	86, 3, 5	redivcli 11895	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 / 9) ∈ ℝ
88	56, 87, 57	ltmul2i 12050	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 2 → (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))))
89	54, 88	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9)))
90	85, 89	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))
91		4cn 12217	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
92	8, 91, 2, 5	divassi 11884	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) / 9) = (2 · (4 / 9))
93		4t2e8 12295	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
94	91, 8, 93	mulcomli 11128	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
95	94	oveq1i 7362	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) / 9) = (8 / 9)
96	92, 95	eqtr3i 2758	. . . . . 6 ⊢ (2 · (4 / 9)) = (8 / 9)
97	90, 96	breqtri 5118	. . . . 5 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9)
98		8re 12228	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℝ
99	98, 3, 5	redivcli 11895	. . . . . 6 ⊢ (8 / 9) ∈ ℝ
100		ltsub1 11620	. . . . . 6 ⊢ (((2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ (8 / 9) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)))
101	63, 99, 39, 100	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1))
102	97, 101	mpbi 230	. . . 4 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)
103	20	oveq2i 7363	. . . . 5 ⊢ ((8 / 9) − (9 / 9)) = ((8 / 9) − 1)
104		divneg 11820	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0) → -(1 / 9) = (-1 / 9))
105	23, 2, 5, 104	mp3an 1463	. . . . . 6 ⊢ -(1 / 9) = (-1 / 9)
106		8cn 12229	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
107	2, 106	negsubdi2i 11454	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 8) = (8 − 9)
108		8p1e9 12277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 1) = 9
109	2, 106, 23, 108	subaddrii 11457	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 − 8) = 1
110	109	negeqi 11360	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 8) = -1
111	107, 110	eqtr3i 2758	. . . . . . 7 ⊢ (8 − 9) = -1
112	111	oveq1i 7362	. . . . . 6 ⊢ ((8 − 9) / 9) = (-1 / 9)
113		divsubdir 11822	. . . . . . 7 ⊢ ((8 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9)))
114	106, 2, 9, 113	mp3an 1463	. . . . . 6 ⊢ ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9))
115	105, 112, 114	3eqtr2ri 2763	. . . . 5 ⊢ ((8 / 9) − (9 / 9)) = -(1 / 9)
116	103, 115	eqtr3i 2758	. . . 4 ⊢ ((8 / 9) − 1) = -(1 / 9)
117	102, 116	breqtri 5118	. . 3 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < -(1 / 9)
118	71, 117	eqbrtri 5114	. 2 ⊢ (cos‘2) < -(1 / 9)
119	72, 118	pm3.2i 470	1 ⊢ (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  ℝcr 11012  0cc0 11013  1c1 11014   + caddc 11016   · cmul 11018   < clt 11153   ≤ cle 11154   − cmin 11351  -cneg 11352   / cdiv 11781  2c2 12187  3c3 12188  4c4 12189  7c7 12192  8c8 12193  9c9 12194  ↑cexp 13970  cosccos 15973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-pm 8759  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-rp 12893  df-ioc 13252  df-ico 13253  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-seq 13911  df-exp 13971  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-shft 14976  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-limsup 15380  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-sum 15596  df-ef 15976  df-sin 15978  df-cos 15979

This theorem is referenced by:  sincos2sgn  16105