MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos2bnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cos2bnd 16127
Description: Bounds on the cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2bnd (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

Proof of Theorem cos2bnd
StepHypRef Expression
1 7cn 12302 . . . . . 6 7 ∈ ℂ
2 9cn 12308 . . . . . 6 9 ∈ ℂ
3 9re 12307 . . . . . . 7 9 ∈ ℝ
4 9pos 12321 . . . . . . 7 0 < 9
53, 4gt0ne0ii 11746 . . . . . 6 9 ≠ 0
6 divneg 11902 . . . . . 6 ((7 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0) → -(7 / 9) = (-7 / 9))
71, 2, 5, 6mp3an 1462 . . . . 5 -(7 / 9) = (-7 / 9)
8 2cn 12283 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
92, 5pm3.2i 472 . . . . . . 7 (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)
10 divsubdir 11904 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9)))
118, 2, 9, 10mp3an 1462 . . . . . 6 ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9))
122, 8negsubdi2i 11542 . . . . . . . 8 -(9 − 2) = (2 − 9)
13 7p2e9 12369 . . . . . . . . . 10 (7 + 2) = 9
142, 8, 1subadd2i 11544 . . . . . . . . . 10 ((9 − 2) = 7 ↔ (7 + 2) = 9)
1513, 14mpbir 230 . . . . . . . . 9 (9 − 2) = 7
1615negeqi 11449 . . . . . . . 8 -(9 − 2) = -7
1712, 16eqtr3i 2763 . . . . . . 7 (2 − 9) = -7
1817oveq1i 7414 . . . . . 6 ((2 − 9) / 9) = (-7 / 9)
1911, 18eqtr3i 2763 . . . . 5 ((2 / 9) − (9 / 9)) = (-7 / 9)
202, 5dividi 11943 . . . . . 6 (9 / 9) = 1
2120oveq2i 7415 . . . . 5 ((2 / 9) − (9 / 9)) = ((2 / 9) − 1)
227, 19, 213eqtr2ri 2768 . . . 4 ((2 / 9) − 1) = -(7 / 9)
23 ax-1cn 11164 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
248, 23, 2, 5divassi 11966 . . . . . . 7 ((2 · 1) / 9) = (2 · (1 / 9))
25 2t1e2 12371 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
2625oveq1i 7414 . . . . . . 7 ((2 · 1) / 9) = (2 / 9)
2724, 26eqtr3i 2763 . . . . . 6 (2 · (1 / 9)) = (2 / 9)
28 3cn 12289 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
29 3ne0 12314 . . . . . . . . . 10 3 ≠ 0
3023, 28, 29sqdivi 14145 . . . . . . . . 9 ((1 / 3)↑2) = ((1↑2) / (3↑2))
31 sq1 14155 . . . . . . . . . 10 (1↑2) = 1
32 sq3 14158 . . . . . . . . . 10 (3↑2) = 9
3331, 32oveq12i 7416 . . . . . . . . 9 ((1↑2) / (3↑2)) = (1 / 9)
3430, 33eqtri 2761 . . . . . . . 8 ((1 / 3)↑2) = (1 / 9)
35 cos1bnd 16126 . . . . . . . . . 10 ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))
3635simpli 485 . . . . . . . . 9 (1 / 3) < (cos‘1)
37 0le1 11733 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 1
38 3pos 12313 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
39 1re 11210 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
40 3re 12288 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℝ
4139, 40divge0i 12119 . . . . . . . . . . 11 ((0 ≤ 1 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (1 / 3))
4237, 38, 41mp2an 691 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (1 / 3)
43 0re 11212 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
44 recoscl 16080 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ → (cos‘1) ∈ ℝ)
4539, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (cos‘1) ∈ ℝ
4640, 29rereccli 11975 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 3) ∈ ℝ
4743, 46, 45lelttri 11337 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ≤ (1 / 3) ∧ (1 / 3) < (cos‘1)) → 0 < (cos‘1))
4842, 36, 47mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 0 < (cos‘1)
4943, 45, 48ltleii 11333 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (cos‘1)
5046, 45lt2sqi 14149 . . . . . . . . . 10 ((0 ≤ (1 / 3) ∧ 0 ≤ (cos‘1)) → ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)))
5142, 49, 50mp2an 691 . . . . . . . . 9 ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2))
5236, 51mpbi 229 . . . . . . . 8 ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)
5334, 52eqbrtrri 5170 . . . . . . 7 (1 / 9) < ((cos‘1)↑2)
54 2pos 12311 . . . . . . . 8 0 < 2
553, 5rereccli 11975 . . . . . . . . 9 (1 / 9) ∈ ℝ
5645resqcli 14146 . . . . . . . . 9 ((cos‘1)↑2) ∈ ℝ
57 2re 12282 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
5855, 56, 57ltmul2i 12131 . . . . . . . 8 (0 < 2 → ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))))
5954, 58ax-mp 5 . . . . . . 7 ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2)))
6053, 59mpbi 229 . . . . . 6 (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))
6127, 60eqbrtrri 5170 . . . . 5 (2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2))
6257, 3, 5redivcli 11977 . . . . . 6 (2 / 9) ∈ ℝ
6357, 56remulcli 11226 . . . . . 6 (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ
64 ltsub1 11706 . . . . . 6 (((2 / 9) ∈ ℝ ∧ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)))
6562, 63, 39, 64mp3an 1462 . . . . 5 ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
6661, 65mpbi 229 . . . 4 ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
6722, 66eqbrtrri 5170 . . 3 -(7 / 9) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
6825fveq2i 6891 . . . 4 (cos‘(2 · 1)) = (cos‘2)
69 cos2t 16117 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
7023, 69ax-mp 5 . . . 4 (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
7168, 70eqtr3i 2763 . . 3 (cos‘2) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
7267, 71breqtrri 5174 . 2 -(7 / 9) < (cos‘2)
7335simpri 487 . . . . . . . . 9 (cos‘1) < (2 / 3)
74 0le2 12310 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 2
7557, 40divge0i 12119 . . . . . . . . . . 11 ((0 ≤ 2 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (2 / 3))
7674, 38, 75mp2an 691 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (2 / 3)
7757, 40, 29redivcli 11977 . . . . . . . . . . 11 (2 / 3) ∈ ℝ
7845, 77lt2sqi 14149 . . . . . . . . . 10 ((0 ≤ (cos‘1) ∧ 0 ≤ (2 / 3)) → ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)))
7949, 76, 78mp2an 691 . . . . . . . . 9 ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2))
8073, 79mpbi 229 . . . . . . . 8 ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)
818, 28, 29sqdivi 14145 . . . . . . . . 9 ((2 / 3)↑2) = ((2↑2) / (3↑2))
82 sq2 14157 . . . . . . . . . 10 (2↑2) = 4
8382, 32oveq12i 7416 . . . . . . . . 9 ((2↑2) / (3↑2)) = (4 / 9)
8481, 83eqtri 2761 . . . . . . . 8 ((2 / 3)↑2) = (4 / 9)
8580, 84breqtri 5172 . . . . . . 7 ((cos‘1)↑2) < (4 / 9)
86 4re 12292 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
8786, 3, 5redivcli 11977 . . . . . . . . 9 (4 / 9) ∈ ℝ
8856, 87, 57ltmul2i 12131 . . . . . . . 8 (0 < 2 → (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))))
8954, 88ax-mp 5 . . . . . . 7 (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9)))
9085, 89mpbi 229 . . . . . 6 (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))
91 4cn 12293 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
928, 91, 2, 5divassi 11966 . . . . . . 7 ((2 · 4) / 9) = (2 · (4 / 9))
93 4t2e8 12376 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
9491, 8, 93mulcomli 11219 . . . . . . . 8 (2 · 4) = 8
9594oveq1i 7414 . . . . . . 7 ((2 · 4) / 9) = (8 / 9)
9692, 95eqtr3i 2763 . . . . . 6 (2 · (4 / 9)) = (8 / 9)
9790, 96breqtri 5172 . . . . 5 (2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9)
98 8re 12304 . . . . . . 7 8 ∈ ℝ
9998, 3, 5redivcli 11977 . . . . . 6 (8 / 9) ∈ ℝ
100 ltsub1 11706 . . . . . 6 (((2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ (8 / 9) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)))
10163, 99, 39, 100mp3an 1462 . . . . 5 ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1))
10297, 101mpbi 229 . . . 4 ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)
10320oveq2i 7415 . . . . 5 ((8 / 9) − (9 / 9)) = ((8 / 9) − 1)
104 divneg 11902 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0) → -(1 / 9) = (-1 / 9))
10523, 2, 5, 104mp3an 1462 . . . . . 6 -(1 / 9) = (-1 / 9)
106 8cn 12305 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
1072, 106negsubdi2i 11542 . . . . . . . 8 -(9 − 8) = (8 − 9)
108 8p1e9 12358 . . . . . . . . . 10 (8 + 1) = 9
1092, 106, 23, 108subaddrii 11545 . . . . . . . . 9 (9 − 8) = 1
110109negeqi 11449 . . . . . . . 8 -(9 − 8) = -1
111107, 110eqtr3i 2763 . . . . . . 7 (8 − 9) = -1
112111oveq1i 7414 . . . . . 6 ((8 − 9) / 9) = (-1 / 9)
113 divsubdir 11904 . . . . . . 7 ((8 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9)))
114106, 2, 9, 113mp3an 1462 . . . . . 6 ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9))
115105, 112, 1143eqtr2ri 2768 . . . . 5 ((8 / 9) − (9 / 9)) = -(1 / 9)
116103, 115eqtr3i 2763 . . . 4 ((8 / 9) − 1) = -(1 / 9)
117102, 116breqtri 5172 . . 3 ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < -(1 / 9)
11871, 117eqbrtri 5168 . 2 (cos‘2) < -(1 / 9)
11972, 118pm3.2i 472 1 (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941   class class class wbr 5147  cfv 6540  (class class class)co 7404  cc 11104  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11244  cle 11245  cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11867  2c2 12263  3c3 12264  4c4 12265  7c7 12268  8c8 12269  9c9 12270  cexp 14023  cosccos 16004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010
This theorem is referenced by:  sincos2sgn  16133
  Copyright terms: Public domain W3C validator