Theorem cos2bnd 16336

Description: Bounds on the cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos2bnd	⊢ (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

Proof of Theorem cos2bnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7cn 12418	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
2		9cn 12424	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
3		9re 12423	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℝ
4		9pos 12440	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 9
5	3, 4	gt0ne0ii 11833	. . . . . 6 ⊢ 9 ≠ 0
6		divneg 11989	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0) → -(7 / 9) = (-7 / 9))
7	1, 2, 5, 6	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ -(7 / 9) = (-7 / 9)
8		2cn 12399	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
9	2, 5	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)
10		divsubdir 11991	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9)))
11	8, 2, 9, 10	mp3an 1490	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9))
12	2, 8	negsubdi2i 11625	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 2) = (2 − 9)
13		7p2e9 12484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 2) = 9
14	2, 8, 1	subadd2i 11627	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((9 − 2) = 7 ↔ (7 + 2) = 9)
15	13, 14	mpbir 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 − 2) = 7
16	15	negeqi 11531	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 2) = -7
17	12, 16	eqtr3i 2786	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 9) = -7
18	17	oveq1i 7422	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 9) / 9) = (-7 / 9)
19	11, 18	eqtr3i 2786	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) − (9 / 9)) = (-7 / 9)
20	2, 5	dividi 12031	. . . . . 6 ⊢ (9 / 9) = 1
21	20	oveq2i 7423	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) − (9 / 9)) = ((2 / 9) − 1)
22	7, 19, 21	3eqtr2ri 2791	. . . 4 ⊢ ((2 / 9) − 1) = -(7 / 9)
23		ax-1cn 11239	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
24	8, 23, 2, 5	divassi 12054	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) / 9) = (2 · (1 / 9))
25		2t1e2 12486	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
26	25	oveq1i 7422	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) / 9) = (2 / 9)
27	24, 26	eqtr3i 2786	. . . . . 6 ⊢ (2 · (1 / 9)) = (2 / 9)
28		3cn 12405	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
29		3ne0 12433	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≠ 0
30	23, 28, 29	sqdivi 14308	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 3)↑2) = ((1↑2) / (3↑2))
31		sq1 14318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1↑2) = 1
32		sq3 14321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑2) = 9
33	31, 32	oveq12i 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1↑2) / (3↑2)) = (1 / 9)
34	30, 33	eqtri 2784	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 3)↑2) = (1 / 9)
35		cos1bnd 16335	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))
36	35	simpli 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 3) < (cos‘1)
37		0le1 11820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 1
38		3pos 12432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
39		1re 11289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
40		3re 12404	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℝ
41	39, 40	divge0i 12207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ≤ 1 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (1 / 3))
42	37, 38, 41	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (1 / 3)
43		0re 11291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
44		recoscl 16289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℝ → (cos‘1) ∈ ℝ)
45	39, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (cos‘1) ∈ ℝ
46	40, 29	rereccli 12063	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
47	43, 46, 45	lelttri 11418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ≤ (1 / 3) ∧ (1 / 3) < (cos‘1)) → 0 < (cos‘1))
48	42, 36, 47	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < (cos‘1)
49	43, 45, 48	ltleii 11414	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (cos‘1)
50	46, 45	lt2sqi 14312	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ≤ (1 / 3) ∧ 0 ≤ (cos‘1)) → ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)))
51	42, 49, 50	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2))
52	36, 51	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)
53	34, 52	eqbrtrri 5128	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 9) < ((cos‘1)↑2)
54		2pos 12428	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
55	3, 5	rereccli 12063	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 9) ∈ ℝ
56	45	resqcli 14309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘1)↑2) ∈ ℝ
57		2re 12398	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
58	55, 56, 57	ltmul2i 12219	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 2 → ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))))
59	54, 58	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2)))
60	53, 59	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))
61	27, 60	eqbrtrri 5128	. . . . 5 ⊢ (2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2))
62	57, 3, 5	redivcli 12065	. . . . . 6 ⊢ (2 / 9) ∈ ℝ
63	57, 56	remulcli 11306	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ
64		ltsub1 11793	. . . . . 6 ⊢ (((2 / 9) ∈ ℝ ∧ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)))
65	62, 63, 39, 64	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
66	61, 65	mpbi 233	. . . 4 ⊢ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
67	22, 66	eqbrtrri 5128	. . 3 ⊢ -(7 / 9) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
68	25	fveq2i 6880	. . . 4 ⊢ (cos‘(2 · 1)) = (cos‘2)
69		cos2t 16326	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
70	23, 69	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
71	68, 70	eqtr3i 2786	. . 3 ⊢ (cos‘2) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
72	67, 71	breqtrri 5132	. 2 ⊢ -(7 / 9) < (cos‘2)
73	35	simpri 491	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos‘1) < (2 / 3)
74		0le2 12426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 2
75	57, 40	divge0i 12207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ≤ 2 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (2 / 3))
76	74, 38, 75	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (2 / 3)
77	57, 40, 29	redivcli 12065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 / 3) ∈ ℝ
78	45, 77	lt2sqi 14312	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ≤ (cos‘1) ∧ 0 ≤ (2 / 3)) → ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)))
79	49, 76, 78	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2))
80	73, 79	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)
81	8, 28, 29	sqdivi 14308	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 / 3)↑2) = ((2↑2) / (3↑2))
82		sq2 14320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑2) = 4
83	82, 32	oveq12i 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑2) / (3↑2)) = (4 / 9)
84	81, 83	eqtri 2784	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 / 3)↑2) = (4 / 9)
85	80, 84	breqtri 5130	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘1)↑2) < (4 / 9)
86		4re 12408	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
87	86, 3, 5	redivcli 12065	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 / 9) ∈ ℝ
88	56, 87, 57	ltmul2i 12219	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 2 → (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))))
89	54, 88	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9)))
90	85, 89	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))
91		4cn 12409	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
92	8, 91, 2, 5	divassi 12054	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) / 9) = (2 · (4 / 9))
93		2t4e8 12493	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
94	93	oveq1i 7422	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) / 9) = (8 / 9)
95	92, 94	eqtr3i 2786	. . . . . 6 ⊢ (2 · (4 / 9)) = (8 / 9)
96	90, 95	breqtri 5130	. . . . 5 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9)
97		8re 12420	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℝ
98	97, 3, 5	redivcli 12065	. . . . . 6 ⊢ (8 / 9) ∈ ℝ
99		ltsub1 11793	. . . . . 6 ⊢ (((2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ (8 / 9) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)))
100	63, 98, 39, 99	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1))
101	96, 100	mpbi 233	. . . 4 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)
102	20	oveq2i 7423	. . . . 5 ⊢ ((8 / 9) − (9 / 9)) = ((8 / 9) − 1)
103		divneg 11989	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0) → -(1 / 9) = (-1 / 9))
104	23, 2, 5, 103	mp3an 1490	. . . . . 6 ⊢ -(1 / 9) = (-1 / 9)
105		8cn 12421	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
106	2, 105	negsubdi2i 11625	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 8) = (8 − 9)
107		8p1e9 12473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 1) = 9
108	2, 105, 23, 107	subaddrii 11628	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 − 8) = 1
109	108	negeqi 11531	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 8) = -1
110	106, 109	eqtr3i 2786	. . . . . . 7 ⊢ (8 − 9) = -1
111	110	oveq1i 7422	. . . . . 6 ⊢ ((8 − 9) / 9) = (-1 / 9)
112		divsubdir 11991	. . . . . . 7 ⊢ ((8 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9)))
113	105, 2, 9, 112	mp3an 1490	. . . . . 6 ⊢ ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9))
114	104, 111, 113	3eqtr2ri 2791	. . . . 5 ⊢ ((8 / 9) − (9 / 9)) = -(1 / 9)
115	102, 114	eqtr3i 2786	. . . 4 ⊢ ((8 / 9) − 1) = -(1 / 9)
116	101, 115	breqtri 5130	. . 3 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < -(1 / 9)
117	71, 116	eqbrtri 5126	. 2 ⊢ (cos‘2) < -(1 / 9)
118	72, 117	pm3.2i 476	1 ⊢ (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11522  -cneg 11523   / cdiv 11954  2c2 12378  3c3 12379  4c4 12380  7c7 12383  8c8 12384  9c9 12385  ↑cexp 14184  cosccos 16210

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-pm 8834  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-ioc 13462  df-ico 13463  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-seq 14125  df-exp 14185  df-fac 14398  df-bc 14427  df-hash 14455  df-shft 15200  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-limsup 15618  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-sum 15834  df-ef 16213  df-sin 16215  df-cos 16216

This theorem is used by:  sincos2sgn  16342