Theorem ltmul2 11484

Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ltmul2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 · 𝐴) < (𝐶 · 𝐵)))

Proof of Theorem ltmul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmul1 11483	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)))
2		recn 10620	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
3		recn 10620	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mulcom 10616	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))
5	3, 4	sylan 582	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))
6	5	3adant2 1126	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))
7		recn 10620	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
8		mulcom 10616	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
9	7, 8	sylan 582	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
10	9	3adant1 1125	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
11	6, 10	breq12d 5072	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) ↔ (𝐶 · 𝐴) < (𝐶 · 𝐵)))
12	2, 11	syl3an3 1160	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) ↔ (𝐶 · 𝐴) < (𝐶 · 𝐵)))
13	12	3adant3r 1176	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) ↔ (𝐶 · 𝐴) < (𝐶 · 𝐵)))
14	1, 13	bitrd 281	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 · 𝐴) < (𝐶 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5059  (class class class)co 7149  ℂcc 10528  ℝcr 10529  0cc0 10530   · cmul 10535   < clt 10668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-er 8282  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673  df-sub 10865  df-neg 10866

This theorem is referenced by:  ltmul12a  11489  mulgt1  11492  ltmulgt11  11493  lt2msq1  11517  ltdiv2  11519  ltmul2i  11554  ltmul2d  12467  ef01bndlem  15532  cos01gt0  15539  sin4lt0  15543  pockthg  16237  prmreclem1  16247  prmreclem5  16251  blcvx  23401  dvcvx  24614  itgulm  24994  tangtx  25089  chtub  25786  bposlem1  25858  bposlem2  25859  bposlem7  25864  lgsdilem  25898  lgsquadlem1  25954  lgsquadlem2  25955  chebbnd1lem3  26045  chto1ub  26050  pntlemb  26171  irrapxlem1  39495  irrapxlem2  39496  irrapxlem5  39499  pellexlem2  39503  stoweidlem11  42370  stoweidlem26  42385