MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltmul2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltmul2 12064
Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
ltmul2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ถ ยท ๐ด) < (๐ถ ยท ๐ต)))

Proof of Theorem ltmul2
StepHypRef Expression
1 ltmul1 12063 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)))
2 recn 11199 . . . 4 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
3 recn 11199 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4 mulcom 11195 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ด))
53, 4sylan 580 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ด))
653adant2 1131 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ด))
7 recn 11199 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
8 mulcom 11195 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต))
97, 8sylan 580 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต))
1093adant1 1130 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต))
116, 10breq12d 5161 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โ†” (๐ถ ยท ๐ด) < (๐ถ ยท ๐ต)))
122, 11syl3an3 1165 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โ†” (๐ถ ยท ๐ด) < (๐ถ ยท ๐ต)))
13123adant3r 1181 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โ†” (๐ถ ยท ๐ด) < (๐ถ ยท ๐ต)))
141, 13bitrd 278 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ถ ยท ๐ด) < (๐ถ ยท ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109   ยท cmul 11114   < clt 11247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11445  df-neg 11446
This theorem is referenced by:  ltmul12a  12069  mulgt1  12072  ltmulgt11  12073  lt2msq1  12097  ltdiv2  12099  ltmul2i  12134  ltmul2d  13057  ef01bndlem  16126  cos01gt0  16133  sin4lt0  16137  pockthg  16838  prmreclem1  16848  prmreclem5  16852  blcvx  24313  dvcvx  25536  itgulm  25919  tangtx  26014  chtub  26712  bposlem1  26784  bposlem2  26785  bposlem7  26790  lgsdilem  26824  lgsquadlem1  26880  lgsquadlem2  26881  chebbnd1lem3  26971  chto1ub  26976  pntlemb  27097  irrapxlem1  41550  irrapxlem2  41551  irrapxlem5  41554  pellexlem2  41558  stoweidlem11  44717  stoweidlem26  44732
  Copyright terms: Public domain W3C validator