Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrn2ateq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrn2ateq 37435
Description: Property of the equality of a lattice translation with its value. (Contributed by NM, 27-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrn2eq.l = (le‘𝐾)
ltrn2eq.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrn2eq.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrn2eq.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrn2ateq (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → ((𝐹𝑃) = 𝑃 ↔ (𝐹𝑄) = 𝑄))

Proof of Theorem ltrn2ateq
StepHypRef Expression
1 eqid 2822 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 ltrn2eq.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 ltrn2eq.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 ltrn2eq.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 ltrn2eq.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5ltrnideq 37430 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝐹𝑃) = 𝑃))
763adant3r3 1181 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → (𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝐹𝑃) = 𝑃))
81, 2, 3, 4, 5ltrnideq 37430 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝐹𝑄) = 𝑄))
983adant3r2 1180 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → (𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝐹𝑄) = 𝑄))
107, 9bitr3d 284 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → ((𝐹𝑃) = 𝑃 ↔ (𝐹𝑄) = 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114   class class class wbr 5042   I cid 5436  cres 5534  cfv 6334  Basecbs 16474  lecple 16563  Atomscatm 36518  HLchlt 36605  LHypclh 37239  LTrncltrn 37356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-map 8395  df-proset 17529  df-poset 17547  df-plt 17559  df-lub 17575  df-glb 17576  df-join 17577  df-meet 17578  df-p0 17640  df-p1 17641  df-lat 17647  df-clat 17709  df-oposet 36431  df-ol 36433  df-oml 36434  df-covers 36521  df-ats 36522  df-atl 36553  df-cvlat 36577  df-hlat 36606  df-lhyp 37243  df-laut 37244  df-ldil 37359  df-ltrn 37360  df-trl 37414
This theorem is referenced by:  ltrnateq  37436  ltrnatneq  37437  trlval3  37442
  Copyright terms: Public domain W3C validator