Theorem ltrnatneq 36250

Description: If any atom (under 𝑊) is not equal to its translation, so is any other atom. TODO: ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 isn't needed to prove this. Will removing it shorten (and not lengthen) proofs using it? (Contributed by NM, 6-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrn2eq.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ltrn2eq.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrn2eq.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrn2eq.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrnatneq	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃) → (𝐹‘𝑄) ≠ 𝑄)

Proof of Theorem ltrnatneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrn2eq.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		ltrn2eq.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		ltrn2eq.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		ltrn2eq.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	ltrn2ateq 36248	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊))) → ((𝐹‘𝑃) = 𝑃 ↔ (𝐹‘𝑄) = 𝑄))
6	5	necon3bid 3043	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊))) → ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ↔ (𝐹‘𝑄) ≠ 𝑄))
7	6	biimp3a 1597	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃) → (𝐹‘𝑄) ≠ 𝑄)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999   class class class wbr 4873  ‘cfv 6123  lecple 16312  Atomscatm 35331  HLchlt 35418  LHypclh 36052  LTrncltrn 36169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-map 8124  df-proset 17281  df-poset 17299  df-plt 17311  df-lub 17327  df-glb 17328  df-join 17329  df-meet 17330  df-p0 17392  df-p1 17393  df-lat 17399  df-clat 17461  df-oposet 35244  df-ol 35246  df-oml 35247  df-covers 35334  df-ats 35335  df-atl 35366  df-cvlat 35390  df-hlat 35419  df-lhyp 36056  df-laut 36057  df-ldil 36172  df-ltrn 36173  df-trl 36227

This theorem is referenced by:  ltrnatlw  36251  cdlemg13  36720  cdlemg17i  36737  cdlemg17pq  36740  cdlemg19  36752  cdlemg21  36754