Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlnid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlnid 38645
Description: Different translations with the same trace cannot be the identity. (Contributed by NM, 26-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlnid.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlnid.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlnid.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlnid.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlnid (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem trlnid
StepHypRef Expression
1 simp3l 1202 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → 𝐹𝐺)
2 simp1 1137 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 simp2l 1200 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → 𝐹𝑇)
4 trlnid.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 eqid 2737 . . . . . 6 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
6 trlnid.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 trlnid.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8 trlnid.r . . . . . 6 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
94, 5, 6, 7, 8trlid0b 38644 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)))
102, 3, 9syl2anc 585 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)))
1110biimpar 479 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
12 simp3r 1203 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))
1312eqeq1d 2739 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → ((𝑅𝐹) = (0.‘𝐾) ↔ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
1413biimpa 478 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾))
15 simpl1 1192 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
16 simpl2r 1228 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐺𝑇)
174, 5, 6, 7, 8trlid0b 38644 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
1815, 16, 17syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
1914, 18mpbird 257 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))
2011, 19eqtr4d 2780 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐹 = 𝐺)
2120ex 414 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → ((𝑅𝐹) = (0.‘𝐾) → 𝐹 = 𝐺))
2210, 21sylbid 239 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → 𝐹 = 𝐺))
2322necon3d 2965 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → (𝐹𝐺𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
241, 23mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944   I cid 5531  cres 5636  cfv 6497  Basecbs 17084  0.cp0 18313  HLchlt 37815  LHypclh 38450  LTrncltrn 38567  trLctrl 38624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8768  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-lhyp 38454  df-laut 38455  df-ldil 38570  df-ltrn 38571  df-trl 38625
This theorem is referenced by:  cdlemk43N  39429  cdlemk35u  39430  cdlemk55u1  39431  cdlemk39u1  39433  cdlemk19u1  39435
  Copyright terms: Public domain W3C validator