Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlnid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlnid 37745
 Description: Different translations with the same trace cannot be the identity. (Contributed by NM, 26-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlnid.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlnid.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlnid.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlnid.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlnid (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem trlnid
StepHypRef Expression
1 simp3l 1199 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → 𝐹𝐺)
2 simp1 1134 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 simp2l 1197 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → 𝐹𝑇)
4 trlnid.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 eqid 2759 . . . . . 6 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
6 trlnid.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 trlnid.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8 trlnid.r . . . . . 6 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
94, 5, 6, 7, 8trlid0b 37744 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)))
102, 3, 9syl2anc 588 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)))
1110biimpar 482 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
12 simp3r 1200 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))
1312eqeq1d 2761 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → ((𝑅𝐹) = (0.‘𝐾) ↔ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
1413biimpa 481 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾))
15 simpl1 1189 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
16 simpl2r 1225 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐺𝑇)
174, 5, 6, 7, 8trlid0b 37744 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
1815, 16, 17syl2anc 588 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
1914, 18mpbird 260 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))
2011, 19eqtr4d 2797 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐹 = 𝐺)
2120ex 417 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → ((𝑅𝐹) = (0.‘𝐾) → 𝐹 = 𝐺))
2210, 21sylbid 243 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → 𝐹 = 𝐺))
2322necon3d 2973 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → (𝐹𝐺𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
241, 23mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952   I cid 5427   ↾ cres 5524  ‘cfv 6333  Basecbs 16531  0.cp0 17703  HLchlt 36916  LHypclh 37550  LTrncltrn 37667  trLctrl 37724 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7457 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3an 1087  df-tru 1542  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-nul 4227  df-if 4419  df-pw 4494  df-sn 4521  df-pr 4523  df-op 4527  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5428  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-iota 6292  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-map 8416  df-proset 17594  df-poset 17612  df-plt 17624  df-lub 17640  df-glb 17641  df-join 17642  df-meet 17643  df-p0 17705  df-p1 17706  df-lat 17712  df-clat 17774  df-oposet 36742  df-ol 36744  df-oml 36745  df-covers 36832  df-ats 36833  df-atl 36864  df-cvlat 36888  df-hlat 36917  df-lhyp 37554  df-laut 37555  df-ldil 37670  df-ltrn 37671  df-trl 37725 This theorem is referenced by:  cdlemk43N  38529  cdlemk35u  38530  cdlemk55u1  38531  cdlemk39u1  38533  cdlemk19u1  38535
 Copyright terms: Public domain W3C validator