Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnatlw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrnatlw 40140
Description: If the value of an atom equals the atom in a non-identity translation, the atom is under the fiducial hyperplane. (Contributed by NM, 15-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrn2eq.l = (le‘𝐾)
ltrn2eq.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrn2eq.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrn2eq.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrnatlw (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐹𝑄) = 𝑄)) → 𝑄 𝑊)

Proof of Theorem ltrnatlw
StepHypRef Expression
1 simp3r 1202 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐹𝑄) = 𝑄)) → (𝐹𝑄) = 𝑄)
2 simpl1 1191 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐹𝑄) = 𝑄)) ∧ ¬ 𝑄 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 simpl21 1251 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐹𝑄) = 𝑄)) ∧ ¬ 𝑄 𝑊) → 𝐹𝑇)
4 simpl22 1252 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐹𝑄) = 𝑄)) ∧ ¬ 𝑄 𝑊) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
5 simpl23 1253 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐹𝑄) = 𝑄)) ∧ ¬ 𝑄 𝑊) → 𝑄𝐴)
6 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐹𝑄) = 𝑄)) ∧ ¬ 𝑄 𝑊) → ¬ 𝑄 𝑊)
75, 6jca 511 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐹𝑄) = 𝑄)) ∧ ¬ 𝑄 𝑊) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
8 simpl3l 1228 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐹𝑄) = 𝑄)) ∧ ¬ 𝑄 𝑊) → (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)
9 ltrn2eq.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
10 ltrn2eq.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11 ltrn2eq.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
12 ltrn2eq.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
139, 10, 11, 12ltrnatneq 40139 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → (𝐹𝑄) ≠ 𝑄)
142, 3, 4, 7, 8, 13syl131anc 1383 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐹𝑄) = 𝑄)) ∧ ¬ 𝑄 𝑊) → (𝐹𝑄) ≠ 𝑄)
1514ex 412 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐹𝑄) = 𝑄)) → (¬ 𝑄 𝑊 → (𝐹𝑄) ≠ 𝑄))
1615necon4bd 2966 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐹𝑄) = 𝑄)) → ((𝐹𝑄) = 𝑄𝑄 𝑊))
171, 16mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐹𝑄) = 𝑄)) → 𝑄 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946   class class class wbr 5166  cfv 6573  lecple 17318  Atomscatm 39219  HLchlt 39306  LHypclh 39941  LTrncltrn 40058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-map 8886  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-p1 18496  df-lat 18502  df-clat 18569  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-lhyp 39945  df-laut 39946  df-ldil 40061  df-ltrn 40062  df-trl 40116
This theorem is referenced by:  cdlemg18  40639
  Copyright terms: Public domain W3C validator