Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltsubsubb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltsubsubb 44854
Description: Equivalence for the "less than" relation between differences. (Contributed by AV, 6-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
ltsubsubb (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐶) < (𝐵𝐷) ↔ (𝐴𝐵) < (𝐶𝐷)))

Proof of Theorem ltsubsubb
StepHypRef Expression
1 simprl 770 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
21recnd 10667 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
3 simprr 772 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ)
43recnd 10667 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
5 simplr 768 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
65recnd 10667 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
7 subadd23 10896 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐶𝐷) + 𝐵) = (𝐶 + (𝐵𝐷)))
87eqcomd 2830 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 + (𝐵𝐷)) = ((𝐶𝐷) + 𝐵))
92, 4, 6, 8syl3anc 1368 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶 + (𝐵𝐷)) = ((𝐶𝐷) + 𝐵))
109breq2d 5064 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 < (𝐶 + (𝐵𝐷)) ↔ 𝐴 < ((𝐶𝐷) + 𝐵)))
11 simpll 766 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
12 resubcl 10948 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐵𝐷) ∈ ℝ)
1312ad2ant2l 745 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵𝐷) ∈ ℝ)
1411, 1, 13ltsubadd2d 11236 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐶) < (𝐵𝐷) ↔ 𝐴 < (𝐶 + (𝐵𝐷))))
15 resubcl 10948 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶𝐷) ∈ ℝ)
1615adantl 485 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶𝐷) ∈ ℝ)
1711, 5, 16ltsubaddd 11234 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐵) < (𝐶𝐷) ↔ 𝐴 < ((𝐶𝐷) + 𝐵)))
1810, 14, 173bitr4d 314 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐶) < (𝐵𝐷) ↔ (𝐴𝐵) < (𝐶𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5052  (class class class)co 7149  cc 10533  cr 10534   + caddc 10538   < clt 10673  cmin 10868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-ltxr 10678  df-sub 10870  df-neg 10871
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator