MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltsubaddd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltsubaddd 11709
Description: 'Less than' relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
ltsubaddd (𝜑 → ((𝐴𝐵) < 𝐶𝐴 < (𝐶 + 𝐵)))

Proof of Theorem ltsubaddd
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 ltadd1d.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 ltsubadd 11583 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵) < 𝐶𝐴 < (𝐶 + 𝐵)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1371 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) < 𝐶𝐴 < (𝐶 + 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2106   class class class wbr 5103  (class class class)co 7351  cr 11008   + caddc 11012   < clt 11147  cmin 11343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-ltxr 11152  df-sub 11345  df-neg 11346
This theorem is referenced by:  sublt0d  11739  ltaddsublt  11740  supaddc  12080  suprzcl  12541  2submod  13791  hashdvds  16601  prmreclem6  16747  4sqlem6  16769  ovolshftlem1  24819  opnmbllem  24911  mbfaddlem  24970  itg2monolem1  25061  dvlt0  25315  lhop1  25324  plydivlem3  25601  efif1olem1  25844  ang180lem2  26106  atanlogsublem  26211  bposlem1  26578  crctcshwlkn0lem5  28604  eucrctshift  29032  bcm1n  31540  subfacval3  33611  opnmbllem0  36046  itg2addnclem  36061  itg2gt0cn  36065  aks4d1p1p3  40458  aks4d1p1  40465  iooiinicc  43675  0ellimcdiv  43785  wallispilem3  44203  fourierdlem41  44284  fourierdlem49  44291  fourierdlem97  44339  elaa2lem  44369  sge0ltfirp  44536  sfprmdvdsmersenne  45690  proththdlem  45700  ltsubaddb  46490  ltsubsubb  46491  ltsubadd2b  46492
  Copyright terms: Public domain W3C validator