Theorem ltsubaddd 11501

Description: 'Less than' relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltsubaddd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) < 𝐶 ↔ 𝐴 < (𝐶 + 𝐵)))

Proof of Theorem ltsubaddd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ltadd1d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		ltsubadd 11375	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝐵) < 𝐶 ↔ 𝐴 < (𝐶 + 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1369	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) < 𝐶 ↔ 𝐴 < (𝐶 + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801   + caddc 10805   < clt 10940   − cmin 11135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137  df-neg 11138

This theorem is referenced by:  sublt0d  11531  ltaddsublt  11532  supaddc  11872  suprzcl  12330  2submod  13580  hashdvds  16404  prmreclem6  16550  4sqlem6  16572  ovolshftlem1  24578  opnmbllem  24670  mbfaddlem  24729  itg2monolem1  24820  dvlt0  25074  lhop1  25083  plydivlem3  25360  efif1olem1  25603  ang180lem2  25865  atanlogsublem  25970  bposlem1  26337  crctcshwlkn0lem5  28080  eucrctshift  28508  bcm1n  31018  subfacval3  33051  opnmbllem0  35740  itg2addnclem  35755  itg2gt0cn  35759  aks4d1p1p3  40005  aks4d1p1  40012  iooiinicc  42970  0ellimcdiv  43080  wallispilem3  43498  fourierdlem41  43579  fourierdlem49  43586  fourierdlem97  43634  elaa2lem  43664  sge0ltfirp  43828  sfprmdvdsmersenne  44943  proththdlem  44953  ltsubaddb  45743  ltsubsubb  45744  ltsubadd2b  45745