![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > modval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The value of the modulo operation. The modulo congruence notation of number theory, ๐ฝโก๐พ (modulo ๐), can be expressed in our notation as (๐ฝ mod ๐) = (๐พ mod ๐). Definition 1 in Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. I (1972), p. 38. Knuth uses "mod" for the operation and "modulo" for the congruence. Unlike Knuth, we restrict the second argument to positive reals to simplify certain theorems. (This also gives us future flexibility to extend it to any one of several different conventions for a zero or negative second argument, should there be an advantage in doing so.) (Contributed by NM, 10-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
modval | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โ (๐ต ยท (โโ(๐ด / ๐ต))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | fvoveq1 7437 | . . . 4 โข (๐ฅ = ๐ด โ (โโ(๐ฅ / ๐ฆ)) = (โโ(๐ด / ๐ฆ))) | |
2 | 1 | oveq2d 7430 | . . 3 โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ฆ ยท (โโ(๐ฅ / ๐ฆ))) = (๐ฆ ยท (โโ(๐ด / ๐ฆ)))) |
3 | oveq12 7423 | . . 3 โข ((๐ฅ = ๐ด โง (๐ฆ ยท (โโ(๐ฅ / ๐ฆ))) = (๐ฆ ยท (โโ(๐ด / ๐ฆ)))) โ (๐ฅ โ (๐ฆ ยท (โโ(๐ฅ / ๐ฆ)))) = (๐ด โ (๐ฆ ยท (โโ(๐ด / ๐ฆ))))) | |
4 | 2, 3 | mpdan 686 | . 2 โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ฅ โ (๐ฆ ยท (โโ(๐ฅ / ๐ฆ)))) = (๐ด โ (๐ฆ ยท (โโ(๐ด / ๐ฆ))))) |
5 | oveq2 7422 | . . . . 5 โข (๐ฆ = ๐ต โ (๐ด / ๐ฆ) = (๐ด / ๐ต)) | |
6 | 5 | fveq2d 6895 | . . . 4 โข (๐ฆ = ๐ต โ (โโ(๐ด / ๐ฆ)) = (โโ(๐ด / ๐ต))) |
7 | oveq12 7423 | . . . 4 โข ((๐ฆ = ๐ต โง (โโ(๐ด / ๐ฆ)) = (โโ(๐ด / ๐ต))) โ (๐ฆ ยท (โโ(๐ด / ๐ฆ))) = (๐ต ยท (โโ(๐ด / ๐ต)))) | |
8 | 6, 7 | mpdan 686 | . . 3 โข (๐ฆ = ๐ต โ (๐ฆ ยท (โโ(๐ด / ๐ฆ))) = (๐ต ยท (โโ(๐ด / ๐ต)))) |
9 | 8 | oveq2d 7430 | . 2 โข (๐ฆ = ๐ต โ (๐ด โ (๐ฆ ยท (โโ(๐ด / ๐ฆ)))) = (๐ด โ (๐ต ยท (โโ(๐ด / ๐ต))))) |
10 | df-mod 13859 | . 2 โข mod = (๐ฅ โ โ, ๐ฆ โ โ+ โฆ (๐ฅ โ (๐ฆ ยท (โโ(๐ฅ / ๐ฆ))))) | |
11 | ovex 7447 | . 2 โข (๐ด โ (๐ต ยท (โโ(๐ด / ๐ต)))) โ V | |
12 | 4, 9, 10, 11 | ovmpo 7575 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โ (๐ต ยท (โโ(๐ด / ๐ต))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1534 โ wcel 2099 โcfv 6542 (class class class)co 7414 โcr 11129 ยท cmul 11135 โ cmin 11466 / cdiv 11893 โ+crp 12998 โcfl 13779 mod cmo 13858 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pr 5423 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-ral 3057 df-rex 3066 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-nul 4319 df-if 4525 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-br 5143 df-opab 5205 df-id 5570 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fv 6550 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-mod 13859 |
This theorem is referenced by: modvalr 13861 modcl 13862 mod0 13865 modge0 13868 modlt 13869 moddiffl 13871 modfrac 13873 modmulnn 13878 zmodcl 13880 modid 13885 modcyc 13895 modadd1 13897 modmul1 13913 moddi 13928 modsubdir 13929 modirr 13931 iexpcyc 14194 digit2 14222 dvdsmod 16297 divalgmod 16374 modgcd 16499 bezoutlem3 16508 prmdiv 16745 odzdvds 16755 fldivp1 16857 mulgmodid 19059 odmodnn0 19486 odmod 19492 gexdvds 19530 zringlpirlem3 21377 sineq0 26445 efif1olem2 26464 lgseisenlem4 27298 dchrisumlem1 27409 ostth2lem2 27554 sineq0ALT 44299 ltmod 44949 fourierswlem 45541 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |