MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modval 13836
Description: The value of the modulo operation. The modulo congruence notation of number theory, ๐ฝโ‰ก๐พ (modulo ๐‘), can be expressed in our notation as (๐ฝ mod ๐‘) = (๐พ mod ๐‘). Definition 1 in Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. I (1972), p. 38. Knuth uses "mod" for the operation and "modulo" for the congruence. Unlike Knuth, we restrict the second argument to positive reals to simplify certain theorems. (This also gives us future flexibility to extend it to any one of several different conventions for a zero or negative second argument, should there be an advantage in doing so.) (Contributed by NM, 10-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
modval ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))

Proof of Theorem modval
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvoveq1 7432 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘ฆ)))
21oveq2d 7425 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฆ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘ฆ))) = (๐‘ฆ ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘ฆ))))
3 oveq12 7418 . . 3 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง (๐‘ฆ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘ฆ))) = (๐‘ฆ ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘ฆ)))) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฆ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘ฆ)))) = (๐ด โˆ’ (๐‘ฆ ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘ฆ)))))
42, 3mpdan 686 . 2 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฆ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘ฆ)))) = (๐ด โˆ’ (๐‘ฆ ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘ฆ)))))
5 oveq2 7417 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐ด / ๐‘ฆ) = (๐ด / ๐ต))
65fveq2d 6896 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘ฆ)) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))
7 oveq12 7418 . . . 4 ((๐‘ฆ = ๐ต โˆง (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘ฆ)) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) โ†’ (๐‘ฆ ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘ฆ))) = (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))))
86, 7mpdan 686 . . 3 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐‘ฆ ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘ฆ))) = (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))))
98oveq2d 7425 . 2 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐ด โˆ’ (๐‘ฆ ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘ฆ)))) = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
10 df-mod 13835 . 2 mod = (๐‘ฅ โˆˆ โ„, ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฆ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘ฆ)))))
11 ovex 7442 . 2 (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))) โˆˆ V
124, 9, 10, 11ovmpo 7568 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„cr 11109   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  โ„+crp 12974  โŒŠcfl 13755   mod cmo 13834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-mod 13835
This theorem is referenced by:  modvalr  13837  modcl  13838  mod0  13841  modge0  13844  modlt  13845  moddiffl  13847  modfrac  13849  modmulnn  13854  zmodcl  13856  modid  13861  modcyc  13871  modadd1  13873  modmul1  13889  moddi  13904  modsubdir  13905  modirr  13907  iexpcyc  14171  digit2  14199  dvdsmod  16272  divalgmod  16349  modgcd  16474  bezoutlem3  16483  prmdiv  16718  odzdvds  16728  fldivp1  16830  mulgmodid  18993  odmodnn0  19408  odmod  19414  gexdvds  19452  zringlpirlem3  21034  sineq0  26033  efif1olem2  26052  lgseisenlem4  26881  dchrisumlem1  26992  ostth2lem2  27137  sineq0ALT  43698  ltmod  44354  fourierswlem  44946
  Copyright terms: Public domain W3C validator