![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > modval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The value of the modulo operation. The modulo congruence notation of number theory, ๐ฝโก๐พ (modulo ๐), can be expressed in our notation as (๐ฝ mod ๐) = (๐พ mod ๐). Definition 1 in Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. I (1972), p. 38. Knuth uses "mod" for the operation and "modulo" for the congruence. Unlike Knuth, we restrict the second argument to positive reals to simplify certain theorems. (This also gives us future flexibility to extend it to any one of several different conventions for a zero or negative second argument, should there be an advantage in doing so.) (Contributed by NM, 10-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
modval | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โ (๐ต ยท (โโ(๐ด / ๐ต))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | fvoveq1 7432 | . . . 4 โข (๐ฅ = ๐ด โ (โโ(๐ฅ / ๐ฆ)) = (โโ(๐ด / ๐ฆ))) | |
2 | 1 | oveq2d 7425 | . . 3 โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ฆ ยท (โโ(๐ฅ / ๐ฆ))) = (๐ฆ ยท (โโ(๐ด / ๐ฆ)))) |
3 | oveq12 7418 | . . 3 โข ((๐ฅ = ๐ด โง (๐ฆ ยท (โโ(๐ฅ / ๐ฆ))) = (๐ฆ ยท (โโ(๐ด / ๐ฆ)))) โ (๐ฅ โ (๐ฆ ยท (โโ(๐ฅ / ๐ฆ)))) = (๐ด โ (๐ฆ ยท (โโ(๐ด / ๐ฆ))))) | |
4 | 2, 3 | mpdan 686 | . 2 โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ฅ โ (๐ฆ ยท (โโ(๐ฅ / ๐ฆ)))) = (๐ด โ (๐ฆ ยท (โโ(๐ด / ๐ฆ))))) |
5 | oveq2 7417 | . . . . 5 โข (๐ฆ = ๐ต โ (๐ด / ๐ฆ) = (๐ด / ๐ต)) | |
6 | 5 | fveq2d 6896 | . . . 4 โข (๐ฆ = ๐ต โ (โโ(๐ด / ๐ฆ)) = (โโ(๐ด / ๐ต))) |
7 | oveq12 7418 | . . . 4 โข ((๐ฆ = ๐ต โง (โโ(๐ด / ๐ฆ)) = (โโ(๐ด / ๐ต))) โ (๐ฆ ยท (โโ(๐ด / ๐ฆ))) = (๐ต ยท (โโ(๐ด / ๐ต)))) | |
8 | 6, 7 | mpdan 686 | . . 3 โข (๐ฆ = ๐ต โ (๐ฆ ยท (โโ(๐ด / ๐ฆ))) = (๐ต ยท (โโ(๐ด / ๐ต)))) |
9 | 8 | oveq2d 7425 | . 2 โข (๐ฆ = ๐ต โ (๐ด โ (๐ฆ ยท (โโ(๐ด / ๐ฆ)))) = (๐ด โ (๐ต ยท (โโ(๐ด / ๐ต))))) |
10 | df-mod 13835 | . 2 โข mod = (๐ฅ โ โ, ๐ฆ โ โ+ โฆ (๐ฅ โ (๐ฆ ยท (โโ(๐ฅ / ๐ฆ))))) | |
11 | ovex 7442 | . 2 โข (๐ด โ (๐ต ยท (โโ(๐ด / ๐ต)))) โ V | |
12 | 4, 9, 10, 11 | ovmpo 7568 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โ (๐ต ยท (โโ(๐ด / ๐ต))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โcfv 6544 (class class class)co 7409 โcr 11109 ยท cmul 11115 โ cmin 11444 / cdiv 11871 โ+crp 12974 โcfl 13755 mod cmo 13834 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pr 5428 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-br 5150 df-opab 5212 df-id 5575 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fv 6552 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-mod 13835 |
This theorem is referenced by: modvalr 13837 modcl 13838 mod0 13841 modge0 13844 modlt 13845 moddiffl 13847 modfrac 13849 modmulnn 13854 zmodcl 13856 modid 13861 modcyc 13871 modadd1 13873 modmul1 13889 moddi 13904 modsubdir 13905 modirr 13907 iexpcyc 14171 digit2 14199 dvdsmod 16272 divalgmod 16349 modgcd 16474 bezoutlem3 16483 prmdiv 16718 odzdvds 16728 fldivp1 16830 mulgmodid 18993 odmodnn0 19408 odmod 19414 gexdvds 19452 zringlpirlem3 21034 sineq0 26033 efif1olem2 26052 lgseisenlem4 26881 dchrisumlem1 26992 ostth2lem2 27137 sineq0ALT 43698 ltmod 44354 fourierswlem 44946 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |