MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odzdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odzdvds 16829
Description: The only powers of 𝐴 that are congruent to 1 are the multiples of the order of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
odzdvds (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴𝐾) − 1) ↔ ((od𝑁)‘𝐴) ∥ 𝐾))

Proof of Theorem odzdvds
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0re 12533 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
21adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
3 odzcl 16827 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ)
43adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ)
54nnrpd 13073 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℝ+)
6 modlt 13917 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) < ((od𝑁)‘𝐴))
72, 5, 6syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) < ((od𝑁)‘𝐴))
8 nn0z 12636 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
98adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
109, 4zmodcld 13929 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ0)
1110nn0red 12586 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℝ)
124nnred 12279 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℝ)
1311, 12ltnled 11406 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) < ((od𝑁)‘𝐴) ↔ ¬ ((od𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))))
147, 13mpbid 232 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ¬ ((od𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))
15 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) → (𝐴𝑛) = (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))))
1615oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) → ((𝐴𝑛) − 1) = ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1))
1716breq2d 5160 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) → (𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1)))
1817elrab 3695 . . . . . . . . 9 ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)} ↔ ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1)))
19 ssrab2 4090 . . . . . . . . . . 11 {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)} ⊆ ℕ
20 nnuz 12919 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
2119, 20sseqtri 4032 . . . . . . . . . 10 {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)} ⊆ (ℤ‘1)
22 infssuzle 12971 . . . . . . . . . 10 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)} ⊆ (ℤ‘1) ∧ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))
2321, 22mpan 690 . . . . . . . . 9 ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)} → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))
2418, 23sylbir 235 . . . . . . . 8 (((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1)) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))
2524ancoms 458 . . . . . . 7 ((𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) ∧ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))
26 odzval 16825 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((od𝑁)‘𝐴) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}, ℝ, < ))
2726adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((od𝑁)‘𝐴) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}, ℝ, < ))
2827breq1d 5158 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((od𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ↔ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))))
2925, 28imbitrrid 246 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) ∧ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ) → ((od𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))))
3014, 29mtod 198 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ¬ (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) ∧ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ))
31 imnan 399 . . . . 5 ((𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) → ¬ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ) ↔ ¬ (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) ∧ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ))
3230, 31sylibr 234 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) → ¬ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ))
33 elnn0 12526 . . . . . 6 ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∨ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0))
3410, 33sylib 218 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∨ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0))
3534ord 864 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (¬ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ → (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0))
3632, 35syld 47 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) → (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0))
37 simpl1 1190 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
3837nnzd 12638 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
39 dvds0 16306 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 0)
4038, 39syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∥ 0)
41 simpl2 1191 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
4241zcnd 12721 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
4342exp0d 14177 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑0) = 1)
4443oveq1d 7446 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑0) − 1) = (1 − 1))
45 1m1e0 12336 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
4644, 45eqtrdi 2791 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑0) − 1) = 0)
4740, 46breqtrrd 5176 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑0) − 1))
48 oveq2 7439 . . . . . 6 ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0 → (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) = (𝐴↑0))
4948oveq1d 7446 . . . . 5 ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0 → ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) = ((𝐴↑0) − 1))
5049breq2d 5160 . . . 4 ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0 → (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑0) − 1)))
5147, 50syl5ibrcom 247 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0 → 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1)))
5236, 51impbid 212 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) ↔ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0))
534nnnn0d 12585 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ0)
542, 4nndivred 12318 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℝ)
55 nn0ge0 12549 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
5655adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐾)
574nngt0d 12313 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 < ((od𝑁)‘𝐴))
58 ge0div 12133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < ((od𝑁)‘𝐴)) → (0 ≤ 𝐾 ↔ 0 ≤ (𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))
592, 12, 57, 58syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐾 ↔ 0 ≤ (𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))
6056, 59mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))
61 flge0nn0 13857 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))) → (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℕ0)
6254, 60, 61syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℕ0)
6353, 62nn0mulcld 12590 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) ∈ ℕ0)
64 zexpcl 14114 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℤ)
6541, 63, 64syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℤ)
6665zred 12720 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℝ)
67 1red 11260 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
68 zexpcl 14114 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ)
6941, 10, 68syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ)
7037nnrpd 13073 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
7142, 62, 53expmuld 14186 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) = ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴))↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))))
7271oveq1d 7446 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) mod 𝑁) = (((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴))↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁))
73 zexpcl 14114 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ)
7441, 53, 73syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ)
75 1zzd 12646 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℤ)
76 odzid 16828 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) − 1))
7776adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) − 1))
78 moddvds 16298 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) − 1)))
7937, 74, 75, 78syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) − 1)))
8077, 79mpbird 257 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
81 modexp 14274 . . . . . . . 8 ((((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ ((⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)) → (((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴))↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((1↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁))
8274, 75, 62, 70, 80, 81syl221anc 1380 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴))↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((1↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁))
8354flcld 13835 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ)
84 1exp 14129 . . . . . . . . 9 ((⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ → (1↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) = 1)
8583, 84syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (1↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) = 1)
8685oveq1d 7446 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((1↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
8772, 82, 863eqtrd 2779 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
88 modmul1 13962 . . . . . 6 ((((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)) → (((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((1 · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁))
8966, 67, 69, 70, 87, 88syl221anc 1380 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((1 · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁))
9042, 10, 63expaddd 14185 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) = ((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))))
91 modval 13908 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = (𝐾 − (((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))))
922, 5, 91syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = (𝐾 − (((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))))
9392oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) = ((((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 − (((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))))))
9463nn0cnd 12587 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) ∈ ℂ)
952recnd 11287 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℂ)
9694, 95pncan3d 11621 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 − (((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))))) = 𝐾)
9793, 96eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) = 𝐾)
9897oveq2d 7447 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) = (𝐴𝐾))
9990, 98eqtr3d 2777 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) = (𝐴𝐾))
10099oveq1d 7446 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((𝐴𝐾) mod 𝑁))
10169zcnd 12721 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℂ)
102101mullidd 11277 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (1 · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) = (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))))
103102oveq1d 7446 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((1 · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁))
10489, 100, 1033eqtr3d 2783 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝐾) mod 𝑁) = ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁))
105104eqeq1d 2737 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝐾) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)))
106 zexpcl 14114 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐾) ∈ ℤ)
10741, 106sylancom 588 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐾) ∈ ℤ)
108 moddvds 16298 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝐾) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴𝐾) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴𝐾) − 1)))
10937, 107, 75, 108syl3anc 1370 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝐾) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴𝐾) − 1)))
110 moddvds 16298 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1)))
11137, 69, 75, 110syl3anc 1370 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1)))
112105, 109, 1113bitr3d 309 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴𝐾) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1)))
113 dvdsval3 16291 . . 3 ((((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((od𝑁)‘𝐴) ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0))
1144, 9, 113syl2anc 584 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((od𝑁)‘𝐴) ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0))
11552, 112, 1143bitr4d 311 1 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴𝐾) − 1) ↔ ((od𝑁)‘𝐴) ∥ 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  wss 3963   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  infcinf 9479  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  +crp 13032  cfl 13827   mod cmo 13906  cexp 14099  cdvds 16287   gcd cgcd 16528  odcodz 16797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-odz 16799  df-phi 16800
This theorem is referenced by:  odzphi  16830  pockthlem  16939  aks4d1p9  42070  odz2prm2pw  47488  fmtnoprmfac2  47492
  Copyright terms: Public domain W3C validator