MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odzdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odzdvds 15707
Description: The only powers of 𝐴 that are congruent to 1 are the multiples of the order of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
odzdvds (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴𝐾) − 1) ↔ ((od𝑁)‘𝐴) ∥ 𝐾))

Proof of Theorem odzdvds
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0re 11503 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
21adantl 467 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
3 odzcl 15705 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ)
43adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ)
54nnrpd 12073 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℝ+)
6 modlt 12887 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) < ((od𝑁)‘𝐴))
72, 5, 6syl2anc 565 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) < ((od𝑁)‘𝐴))
8 nn0z 11602 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
98adantl 467 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
109, 4zmodcld 12899 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ0)
1110nn0red 11554 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℝ)
124nnred 11237 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℝ)
1311, 12ltnled 10386 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) < ((od𝑁)‘𝐴) ↔ ¬ ((od𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))))
147, 13mpbid 222 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ¬ ((od𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))
15 oveq2 6801 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) → (𝐴𝑛) = (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))))
1615oveq1d 6808 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) → ((𝐴𝑛) − 1) = ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1))
1716breq2d 4798 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) → (𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1)))
1817elrab 3515 . . . . . . . . 9 ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)} ↔ ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1)))
19 ssrab2 3836 . . . . . . . . . . 11 {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)} ⊆ ℕ
20 nnuz 11925 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
2119, 20sseqtri 3786 . . . . . . . . . 10 {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)} ⊆ (ℤ‘1)
22 infssuzle 11974 . . . . . . . . . 10 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)} ⊆ (ℤ‘1) ∧ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))
2321, 22mpan 662 . . . . . . . . 9 ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)} → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))
2418, 23sylbir 225 . . . . . . . 8 (((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1)) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))
2524ancoms 455 . . . . . . 7 ((𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) ∧ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))
26 odzval 15703 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((od𝑁)‘𝐴) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}, ℝ, < ))
2726adantr 466 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((od𝑁)‘𝐴) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}, ℝ, < ))
2827breq1d 4796 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((od𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ↔ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))))
2925, 28syl5ibr 236 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) ∧ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ) → ((od𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))))
3014, 29mtod 189 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ¬ (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) ∧ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ))
31 imnan 386 . . . . 5 ((𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) → ¬ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ) ↔ ¬ (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) ∧ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ))
3230, 31sylibr 224 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) → ¬ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ))
33 elnn0 11496 . . . . . 6 ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∨ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0))
3410, 33sylib 208 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∨ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0))
3534ord 843 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (¬ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ → (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0))
3632, 35syld 47 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) → (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0))
37 simpl1 1227 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
3837nnzd 11683 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
39 dvds0 15206 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 0)
4038, 39syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∥ 0)
41 simpl2 1229 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
4241zcnd 11685 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
4342exp0d 13209 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑0) = 1)
4443oveq1d 6808 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑0) − 1) = (1 − 1))
45 1m1e0 11291 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
4644, 45syl6eq 2821 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑0) − 1) = 0)
4740, 46breqtrrd 4814 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑0) − 1))
48 oveq2 6801 . . . . . 6 ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0 → (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) = (𝐴↑0))
4948oveq1d 6808 . . . . 5 ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0 → ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) = ((𝐴↑0) − 1))
5049breq2d 4798 . . . 4 ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0 → (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑0) − 1)))
5147, 50syl5ibrcom 237 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0 → 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1)))
5236, 51impbid 202 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) ↔ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0))
534nnnn0d 11553 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ0)
542, 4nndivred 11271 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℝ)
55 nn0ge0 11520 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
5655adantl 467 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐾)
574nngt0d 11266 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 < ((od𝑁)‘𝐴))
58 ge0div 11092 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < ((od𝑁)‘𝐴)) → (0 ≤ 𝐾 ↔ 0 ≤ (𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))
592, 12, 57, 58syl3anc 1476 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐾 ↔ 0 ≤ (𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))
6056, 59mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))
61 flge0nn0 12829 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))) → (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℕ0)
6254, 60, 61syl2anc 565 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℕ0)
6353, 62nn0mulcld 11558 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) ∈ ℕ0)
64 zexpcl 13082 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℤ)
6541, 63, 64syl2anc 565 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℤ)
6665zred 11684 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℝ)
67 1red 10257 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
68 zexpcl 13082 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ)
6941, 10, 68syl2anc 565 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ)
7037nnrpd 12073 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
7142, 62, 53expmuld 13218 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) = ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴))↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))))
7271oveq1d 6808 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) mod 𝑁) = (((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴))↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁))
73 zexpcl 13082 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ)
7441, 53, 73syl2anc 565 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ)
75 1zzd 11610 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℤ)
76 odzid 15706 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) − 1))
7776adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) − 1))
78 moddvds 15200 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) − 1)))
7937, 74, 75, 78syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) − 1)))
8077, 79mpbird 247 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
81 modexp 13206 . . . . . . . 8 ((((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ ((⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)) → (((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴))↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((1↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁))
8274, 75, 62, 70, 80, 81syl221anc 1487 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴))↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((1↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁))
8354flcld 12807 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ)
84 1exp 13096 . . . . . . . . 9 ((⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ → (1↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) = 1)
8583, 84syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (1↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) = 1)
8685oveq1d 6808 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((1↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
8772, 82, 863eqtrd 2809 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
88 modmul1 12931 . . . . . 6 ((((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)) → (((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((1 · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁))
8966, 67, 69, 70, 87, 88syl221anc 1487 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((1 · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁))
9042, 10, 63expaddd 13217 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) = ((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))))
91 modval 12878 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = (𝐾 − (((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))))
922, 5, 91syl2anc 565 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = (𝐾 − (((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))))
9392oveq2d 6809 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) = ((((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 − (((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))))))
9463nn0cnd 11555 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) ∈ ℂ)
952recnd 10270 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℂ)
9694, 95pncan3d 10597 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 − (((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))))) = 𝐾)
9793, 96eqtrd 2805 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) = 𝐾)
9897oveq2d 6809 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) = (𝐴𝐾))
9990, 98eqtr3d 2807 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) = (𝐴𝐾))
10099oveq1d 6808 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((𝐴𝐾) mod 𝑁))
10169zcnd 11685 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℂ)
102101mulid2d 10260 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (1 · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) = (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))))
103102oveq1d 6808 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((1 · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁))
10489, 100, 1033eqtr3d 2813 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝐾) mod 𝑁) = ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁))
105104eqeq1d 2773 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝐾) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)))
106 zexpcl 13082 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐾) ∈ ℤ)
10741, 106sylancom 568 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐾) ∈ ℤ)
108 moddvds 15200 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝐾) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴𝐾) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴𝐾) − 1)))
10937, 107, 75, 108syl3anc 1476 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝐾) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴𝐾) − 1)))
110 moddvds 15200 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1)))
11137, 69, 75, 110syl3anc 1476 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1)))
112105, 109, 1113bitr3d 298 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴𝐾) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1)))
113 dvdsval3 15193 . . 3 ((((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((od𝑁)‘𝐴) ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0))
1144, 9, 113syl2anc 565 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((od𝑁)‘𝐴) ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0))
11552, 112, 1143bitr4d 300 1 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴𝐾) − 1) ↔ ((od𝑁)‘𝐴) ∥ 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 826  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  {crab 3065  wss 3723   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  infcinf 8503  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143   < clt 10276  cle 10277  cmin 10468   / cdiv 10886  cn 11222  0cn0 11494  cz 11579  cuz 11888  +crp 12035  cfl 12799   mod cmo 12876  cexp 13067  cdvds 15189   gcd cgcd 15424  odcodz 15675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-odz 15677  df-phi 15678
This theorem is referenced by:  odzphi  15708  pockthlem  15816  odz2prm2pw  42003  fmtnoprmfac2  42007
  Copyright terms: Public domain W3C validator