Theorem odzdvds 16979

Description: The only powers of 𝐴 that are congruent to 1 are the multiples of the order of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
odzdvds	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑𝐾) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∥ 𝐾))

Proof of Theorem odzdvds

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12619	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
2	1	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
3		odzcl 16977	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ)
4	3	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ)
5	4	nnrpd 13166	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℝ+)
6		modlt 14024	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) < ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))
7	2, 5, 6	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) < ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))
8		nn0z 12721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
9	8	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
10	9, 4	zmodcld 14036	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ0)
11	10	nn0red 12672	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℝ)
12	4	nnred 12354	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℝ)
13	11, 12	ltnled 11461	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) < ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ↔ ¬ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
14	7, 13	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ¬ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))
15		oveq2 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
16	15	oveq1d 7436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) → ((𝐴↑𝑛) − 1) = ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1))
17	16	breq2d 5114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1)))
18	17	elrab 3644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)} ↔ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1)))
19		ssrab2 4005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)} ⊆ ℕ
20		nnuz 13008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
21	19, 20	sseqtri 3956	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)} ⊆ (ℤ≥‘1)
22		infssuzle 13062	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))
23	21, 22	mpan 703	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)} → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))
24	18, 23	sylbir 238	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1)) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))
25	24	ancoms 464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) ∧ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))
26		odzval 16975	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}, ℝ, < ))
27	26	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}, ℝ, < ))
28	27	breq1d 5112	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ↔ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
29	25, 28	imbitrrid 249	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) ∧ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
30	14, 29	mtod 201	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ¬ (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) ∧ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ))
31		imnan 405	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) → ¬ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ) ↔ ¬ (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) ∧ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ))
32	30, 31	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) → ¬ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ))
33		elnn0 12612	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∨ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0))
34	10, 33	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∨ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0))
35	34	ord 878	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (¬ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0))
36	32, 35	syld 48	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0))
37		simpl1 1210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
38	37	nnzd 12723	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
39		dvds0 16447	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 0)
40	38, 39	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∥ 0)
41		simpl2 1211	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
42	41	zcnd 12808	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
43	42	exp0d 14287	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑0) = 1)
44	43	oveq1d 7436	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑0) − 1) = (1 − 1))
45		1m1e0 12419	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
46	44, 45	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑0) − 1) = 0)
47	40, 46	breqtrrd 5132	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑0) − 1))
48		oveq2 7429	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0 → (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) = (𝐴↑0))
49	48	oveq1d 7436	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0 → ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) = ((𝐴↑0) − 1))
50	49	breq2d 5114	. . . 4 ⊢ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0 → (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑0) − 1)))
51	47, 50	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0 → 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1)))
52	36, 51	impbid 215	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) ↔ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0))
53	4	nnnn0d 12671	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ0)
54	2, 4	nndivred 12396	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℝ)
55		nn0ge0 12635	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
56	55	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐾)
57	4	nngt0d 12391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 < ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))
58		ge0div 12188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) → (0 ≤ 𝐾 ↔ 0 ≤ (𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
59	2, 12, 57, 58	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐾 ↔ 0 ≤ (𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
60	56, 59	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))
61		flge0nn0 13964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) → (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) ∈ ℕ0)
62	54, 60, 61	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) ∈ ℕ0)
63	53, 62	nn0mulcld 12676	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) ∈ ℕ0)
64		zexpcl 14223	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℤ)
65	41, 63, 64	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℤ)
66	65	zred 12807	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℝ)
67		1red 11313	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
68		zexpcl 14223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ)
69	41, 10, 68	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ)
70	37	nnrpd 13166	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
71	42, 62, 53	expmuld 14296	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) = ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴))↑(⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))))
72	71	oveq1d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) mod 𝑁) = (((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴))↑(⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁))
73		zexpcl 14223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ)
74	41, 53, 73	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ)
75		1zzd 12731	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℤ)
76		odzid 16978	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) − 1))
77	76	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) − 1))
78		moddvds 16439	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) − 1)))
79	37, 74, 75, 78	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) − 1)))
80	77, 79	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
81		modexp 14386	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ ((⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)) → (((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴))↑(⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((1↑(⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁))
82	74, 75, 62, 70, 80, 81	syl221anc 1408	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴))↑(⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((1↑(⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁))
83	54	flcld 13942	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ)
84		1exp 14238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ → (1↑(⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) = 1)
85	83, 84	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (1↑(⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) = 1)
86	85	oveq1d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((1↑(⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
87	72, 82, 86	3eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
88		modmul1 14071	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)) → (((𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((1 · (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁))
89	66, 67, 69, 70, 87, 88	syl221anc 1408	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((1 · (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁))
90	42, 10, 63	expaddd 14295	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) = ((𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))))
91		modval 14015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = (𝐾 − (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))))
92	2, 5, 91	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = (𝐾 − (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))))
93	92	oveq2d 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) = ((((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 − (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))))))
94	63	nn0cnd 12673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) ∈ ℂ)
95	2	recnd 11341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℂ)
96	94, 95	pncan3d 11676	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 − (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))))) = 𝐾)
97	93, 96	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) = 𝐾)
98	97	oveq2d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) = (𝐴↑𝐾))
99	90, 98	eqtr3d 2797	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) = (𝐴↑𝐾))
100	99	oveq1d 7436	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((𝐴↑𝐾) mod 𝑁))
101	69	zcnd 12808	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) ∈ ℂ)
102	101	mullidd 11331	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (1 · (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) = (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
103	102	oveq1d 7436	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((1 · (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁))
104	89, 100, 103	3eqtr3d 2803	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝐾) mod 𝑁) = ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁))
105	104	eqeq1d 2762	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝐾) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)))
106		zexpcl 14223	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐾) ∈ ℤ)
107	41, 106	sylancom 600	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐾) ∈ ℤ)
108		moddvds 16439	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝐾) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑𝐾) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝐾) − 1)))
109	37, 107, 75, 108	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝐾) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝐾) − 1)))
110		moddvds 16439	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1)))
111	37, 69, 75, 110	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1)))
112	105, 109, 111	3bitr3d 312	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑𝐾) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1)))
113		dvdsval3 16432	. . 3 ⊢ ((((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0))
114	4, 9, 113	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0))
115	52, 112, 114	3bitr4d 314	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑𝐾) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∥ 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  infcinf 9437  ℝcr 11203  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207   · cmul 11209   < clt 11347   ≤ cle 11348   − cmin 11545   / cdiv 11977  ℕcn 12339  ℕ₀cn0 12610  ℤcz 12697  ℤ_≥cuz 12969  ℝ⁺crp 13124  ⌊cfl 13934   mod cmo 14013  ↑cexp 14208   ∥ cdvds 16428   gcd cgcd 16670  od_ℤcodz 16946

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-inf 9439  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-xnn0 12684  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-mod 14014  df-seq 14149  df-exp 14209  df-hash 14479  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-dvds 16429  df-gcd 16671  df-odz 16948  df-phi 16949

This theorem is used by:  odzphi  16980  pockthlem  17089  aks4d1p9  43232  odz2prm2pw  48742  fmtnoprmfac2  48746