MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fldivp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fldivp1 16873
Description: The difference between the floors of adjacent fractions is either 1 or 0. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
fldivp1 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘))) = if(๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1), 1, 0))

Proof of Theorem fldivp1
StepHypRef Expression
1 nnz 12617 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2 nnne0 12284 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โ‰  0)
3 peano2z 12641 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค)
43adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค)
5 dvdsval2 16241 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1) โ†” ((๐‘€ + 1) / ๐‘) โˆˆ โ„ค))
61, 2, 4, 5syl2an23an 1420 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1) โ†” ((๐‘€ + 1) / ๐‘) โˆˆ โ„ค))
76biimpa 475 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ ((๐‘€ + 1) / ๐‘) โˆˆ โ„ค)
8 flid 13813 . . . . . . 7 (((๐‘€ + 1) / ๐‘) โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) = ((๐‘€ + 1) / ๐‘))
97, 8syl 17 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) = ((๐‘€ + 1) / ๐‘))
10 nnm1nn0 12551 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
1110nn0red 12571 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
1210nn0ge0d 12573 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ โˆ’ 1))
13 nnre 12257 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
14 nngt0 12281 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘)
15 divge0 12121 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐‘ โˆ’ 1)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘))
1611, 12, 13, 14, 15syl22anc 837 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘))
1716ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘))
1813ltm1d 12184 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) < ๐‘)
19 nncn 12258 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2019mulridd 11269 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ ยท 1) = ๐‘)
2118, 20breqtrrd 5180 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) < (๐‘ ยท 1))
22 1re 11252 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„)
24 ltdivmul 12127 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) < 1 โ†” (๐‘ โˆ’ 1) < (๐‘ ยท 1)))
2511, 23, 13, 14, 24syl112anc 1371 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) < 1 โ†” (๐‘ โˆ’ 1) < (๐‘ ยท 1)))
2621, 25mpbird 256 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) < 1)
2726ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) < 1)
28 nndivre 12291 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) โˆˆ โ„)
2911, 28mpancom 686 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) โˆˆ โ„)
3029ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) โˆˆ โ„)
31 flbi2 13822 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ + 1) / ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) โˆˆ โ„) โ†’ ((โŒŠโ€˜(((๐‘€ + 1) / ๐‘) + ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘))) = ((๐‘€ + 1) / ๐‘) โ†” (0 โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) < 1)))
327, 30, 31syl2anc 582 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ ((โŒŠโ€˜(((๐‘€ + 1) / ๐‘) + ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘))) = ((๐‘€ + 1) / ๐‘) โ†” (0 โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) < 1)))
3317, 27, 32mpbir2and 711 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜(((๐‘€ + 1) / ๐‘) + ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘))) = ((๐‘€ + 1) / ๐‘))
349, 33eqtr4d 2771 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) = (โŒŠโ€˜(((๐‘€ + 1) / ๐‘) + ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘))))
35 zcn 12601 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
3635adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
37 ax-1cn 11204 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„‚
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3919adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4036, 38, 39ppncand 11649 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ + 1) + (๐‘ โˆ’ 1)) = (๐‘€ + ๐‘))
4140oveq1d 7441 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ + 1) + (๐‘ โˆ’ 1)) / ๐‘) = ((๐‘€ + ๐‘) / ๐‘))
424zcnd 12705 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„‚)
43 subcl 11497 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
4419, 37, 43sylancl 584 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
4544adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
462adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
4742, 45, 39, 46divdird 12066 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ + 1) + (๐‘ โˆ’ 1)) / ๐‘) = (((๐‘€ + 1) / ๐‘) + ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)))
4841, 47eqtr3d 2770 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) / ๐‘) = (((๐‘€ + 1) / ๐‘) + ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)))
4936, 39, 39, 46divdird 12066 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) / ๐‘) = ((๐‘€ / ๐‘) + (๐‘ / ๐‘)))
5048, 49eqtr3d 2770 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ + 1) / ๐‘) + ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) = ((๐‘€ / ๐‘) + (๐‘ / ๐‘)))
5139, 46dividd 12026 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ / ๐‘) = 1)
5251oveq2d 7442 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ / ๐‘) + (๐‘ / ๐‘)) = ((๐‘€ / ๐‘) + 1))
5350, 52eqtrd 2768 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ + 1) / ๐‘) + ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) = ((๐‘€ / ๐‘) + 1))
5453fveq2d 6906 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(((๐‘€ + 1) / ๐‘) + ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘))) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ / ๐‘) + 1)))
5554adantr 479 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜(((๐‘€ + 1) / ๐‘) + ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘))) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ / ๐‘) + 1)))
56 zre 12600 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
57 nndivre 12291 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„)
5856, 57sylan 578 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„)
59 1z 12630 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„ค
60 fladdz 13830 . . . . . . 7 (((๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ / ๐‘) + 1)) = ((โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘)) + 1))
6158, 59, 60sylancl 584 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ / ๐‘) + 1)) = ((โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘)) + 1))
6261adantr 479 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ / ๐‘) + 1)) = ((โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘)) + 1))
6334, 55, 623eqtrrd 2773 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘)) + 1) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)))
64 zre 12600 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„)
653, 64syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„)
66 nndivre 12291 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ + 1) / ๐‘) โˆˆ โ„)
6765, 66sylan 578 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ + 1) / ๐‘) โˆˆ โ„)
6867flcld 13803 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
6968zcnd 12705 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
7058flcld 13803 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
7170zcnd 12705 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
7269, 71, 38subaddd 11627 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘))) = 1 โ†” ((โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘)) + 1) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘))))
7372adantr 479 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘))) = 1 โ†” ((โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘)) + 1) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘))))
7463, 73mpbird 256 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘))) = 1)
75 iftrue 4538 . . . 4 (๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1) โ†’ if(๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1), 1, 0) = 1)
7675adantl 480 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ if(๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1), 1, 0) = 1)
7774, 76eqtr4d 2771 . 2 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘))) = if(๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1), 1, 0))
78 zmodcl 13896 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆˆ โ„•0)
793, 78sylan 578 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆˆ โ„•0)
8079nn0red 12571 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆˆ โ„)
81 resubcl 11562 . . . . . . . . 9 ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
8280, 22, 81sylancl 584 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
8382adantr 479 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
84 elnn0 12512 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆˆ โ„•0 โ†” (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆˆ โ„• โˆจ ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) = 0))
8579, 84sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆˆ โ„• โˆจ ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) = 0))
8685ord 862 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (ยฌ ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) = 0))
87 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
88 dvdsval3 16242 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1) โ†” ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) = 0))
8987, 3, 88syl2anr 595 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1) โ†” ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) = 0))
9086, 89sylibrd 258 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (ยฌ ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)))
9190con1d 145 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1) โ†’ ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆˆ โ„•))
9291imp 405 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆˆ โ„•)
93 nnm1nn0 12551 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
9492, 93syl 17 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
9594nn0ge0d 12573 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ 0 โ‰ค (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1))
9613, 14jca 510 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘))
9796ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘))
98 divge0 12121 . . . . . . 7 ((((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘))
9983, 95, 97, 98syl21anc 836 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ 0 โ‰ค ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘))
10013adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
10180ltm1d 12184 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) < ((๐‘€ + 1) mod ๐‘))
102 nnrp 13025 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
103 modlt 13885 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) < ๐‘)
10465, 102, 103syl2an 594 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) < ๐‘)
10582, 80, 100, 101, 104lttrd 11413 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) < ๐‘)
10639mulridd 11269 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท 1) = ๐‘)
107105, 106breqtrrd 5180 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) < (๐‘ ยท 1))
10822a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
10914adantl 480 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ๐‘)
110 ltdivmul 12127 . . . . . . . . 9 (((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ (((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘) < 1 โ†” (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) < (๐‘ ยท 1)))
11182, 108, 100, 109, 110syl112anc 1371 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘) < 1 โ†” (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) < (๐‘ ยท 1)))
112107, 111mpbird 256 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘) < 1)
113112adantr 479 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘) < 1)
114 nndivre 12291 . . . . . . . . 9 (((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘) โˆˆ โ„)
11582, 114sylancom 586 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘) โˆˆ โ„)
116 flbi2 13822 . . . . . . . 8 (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘) โˆˆ โ„) โ†’ ((โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) + ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘))) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) โ†” (0 โ‰ค ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘) โˆง ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘) < 1)))
11768, 115, 116syl2anc 582 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) + ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘))) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) โ†” (0 โ‰ค ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘) โˆง ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘) < 1)))
118117adantr 479 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) + ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘))) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) โ†” (0 โ‰ค ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘) โˆง ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘) < 1)))
11999, 113, 118mpbir2and 711 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) + ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘))) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)))
120 modval 13876 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) = ((๐‘€ + 1) โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)))))
12165, 102, 120syl2an 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) = ((๐‘€ + 1) โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)))))
122121oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) = (((๐‘€ + 1) โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)))) โˆ’ 1))
12339, 69mulcld 11272 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘))) โˆˆ โ„‚)
12442, 38, 123sub32d 11641 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ + 1) โˆ’ 1) โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)))) = (((๐‘€ + 1) โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)))) โˆ’ 1))
125122, 124eqtr4d 2771 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) = (((๐‘€ + 1) โˆ’ 1) โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)))))
126 pncan 11504 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘€ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘€)
12736, 37, 126sylancl 584 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘€)
128127oveq1d 7441 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ + 1) โˆ’ 1) โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)))) = (๐‘€ โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)))))
129125, 128eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘€ โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)))))
130129oveq1d 7441 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘) = ((๐‘€ โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)))) / ๐‘))
13136, 123, 39, 46divsubdird 12067 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)))) / ๐‘) = ((๐‘€ / ๐‘) โˆ’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘))) / ๐‘)))
13269, 39, 46divcan3d 12033 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘))) / ๐‘) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)))
133132oveq2d 7442 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ / ๐‘) โˆ’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘))) / ๐‘)) = ((๐‘€ / ๐‘) โˆ’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘))))
134130, 131, 1333eqtrrd 2773 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ / ๐‘) โˆ’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘))) = ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘))
13558recnd 11280 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„‚)
136115recnd 11280 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘) โˆˆ โ„‚)
137135, 69, 136subaddd 11627 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ / ๐‘) โˆ’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘))) = ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘) โ†” ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) + ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘)) = (๐‘€ / ๐‘)))
138134, 137mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) + ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘)) = (๐‘€ / ๐‘))
139138adantr 479 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) + ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘)) = (๐‘€ / ๐‘))
140139fveq2d 6906 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) + ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘))) = (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘)))
141119, 140eqtr3d 2770 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) = (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘)))
14269, 71subeq0ad 11619 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘))) = 0 โ†” (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) = (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘))))
143142adantr 479 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘))) = 0 โ†” (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) = (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘))))
144141, 143mpbird 256 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘))) = 0)
145 iffalse 4541 . . . 4 (ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1) โ†’ if(๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1), 1, 0) = 0)
146145adantl 480 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ if(๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1), 1, 0) = 0)
147144, 146eqtr4d 2771 . 2 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘))) = if(๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1), 1, 0))
14877, 147pm2.61dan 811 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘))) = if(๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1), 1, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  ifcif 4532   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  โ„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   ยท cmul 11151   < clt 11286   โ‰ค cle 11287   โˆ’ cmin 11482   / cdiv 11909  โ„•cn 12250  โ„•0cn0 12510  โ„คcz 12596  โ„+crp 13014  โŒŠcfl 13795   mod cmo 13874   โˆฅ cdvds 16238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fl 13797  df-mod 13875  df-dvds 16239
This theorem is referenced by:  pcfac  16875
  Copyright terms: Public domain W3C validator