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Theorem fldivp1 16837

Description: The difference between the floors of adjacent fractions is either 1 or 0. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
fldivp1	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) = if(𝑁 ∥ (𝑀 + 1), 1, 0))

**Proof of Theorem fldivp1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2		nnne0 12191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3		peano2z 12544	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
4	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
5		dvdsval2 16194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑀 + 1) ↔ ((𝑀 + 1) / 𝑁) ∈ ℤ))
6	1, 2, 4, 5	syl2an23an 1426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ (𝑀 + 1) ↔ ((𝑀 + 1) / 𝑁) ∈ ℤ))
7	6	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((𝑀 + 1) / 𝑁) ∈ ℤ)
8		flid 13740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 + 1) / 𝑁) ∈ ℤ → (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) = ((𝑀 + 1) / 𝑁))
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) = ((𝑀 + 1) / 𝑁))
10		nnm1nn0 12454	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
11	10	nn0red 12475	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
12	10	nn0ge0d 12477	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑁 − 1))
13		nnre 12164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
14		nngt0 12188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
15		divge0 12023	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁))
16	11, 12, 13, 14, 15	syl22anc 839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁))
17	16	ad2antlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁))
18	13	ltm1d 12086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < 𝑁)
19		nncn 12165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
20	19	mulridd 11161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
21	18, 20	breqtrrd 5128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < (𝑁 · 1))
22		1re 11144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
24		ltdivmul 12029	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (((𝑁 − 1) / 𝑁) < 1 ↔ (𝑁 − 1) < (𝑁 · 1)))
25	11, 23, 13, 14, 24	syl112anc 1377	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) / 𝑁) < 1 ↔ (𝑁 − 1) < (𝑁 · 1)))
26	21, 25	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) / 𝑁) < 1)
27	26	ad2antlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((𝑁 − 1) / 𝑁) < 1)
28		nndivre 12198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
29	11, 28	mpancom 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
30	29	ad2antlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
31		flbi2 13749	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 + 1) / 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑀 + 1) / 𝑁) + ((𝑁 − 1) / 𝑁))) = ((𝑀 + 1) / 𝑁) ↔ (0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∧ ((𝑁 − 1) / 𝑁) < 1)))
32	7, 30, 31	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((⌊‘(((𝑀 + 1) / 𝑁) + ((𝑁 − 1) / 𝑁))) = ((𝑀 + 1) / 𝑁) ↔ (0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∧ ((𝑁 − 1) / 𝑁) < 1)))
33	17, 27, 32	mpbir2and 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (⌊‘(((𝑀 + 1) / 𝑁) + ((𝑁 − 1) / 𝑁))) = ((𝑀 + 1) / 𝑁))
34	9, 33	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) = (⌊‘(((𝑀 + 1) / 𝑁) + ((𝑁 − 1) / 𝑁))))
35		zcn 12505	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
37		ax-1cn 11096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
39	19	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
40	36, 38, 39	ppncand 11544	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) + (𝑁 − 1)) = (𝑀 + 𝑁))
41	40	oveq1d 7383	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) + (𝑁 − 1)) / 𝑁) = ((𝑀 + 𝑁) / 𝑁))
42	4	zcnd 12609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
43		subcl 11391	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
44	19, 37, 43	sylancl 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
45	44	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
46	2	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
47	42, 45, 39, 46	divdird 11967	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) + (𝑁 − 1)) / 𝑁) = (((𝑀 + 1) / 𝑁) + ((𝑁 − 1) / 𝑁)))
48	41, 47	eqtr3d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 𝑁) / 𝑁) = (((𝑀 + 1) / 𝑁) + ((𝑁 − 1) / 𝑁)))
49	36, 39, 39, 46	divdird 11967	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 𝑁) / 𝑁) = ((𝑀 / 𝑁) + (𝑁 / 𝑁)))
50	48, 49	eqtr3d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) / 𝑁) + ((𝑁 − 1) / 𝑁)) = ((𝑀 / 𝑁) + (𝑁 / 𝑁)))
51	39, 46	dividd 11927	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝑁) = 1)
52	51	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 / 𝑁) + (𝑁 / 𝑁)) = ((𝑀 / 𝑁) + 1))
53	50, 52	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) / 𝑁) + ((𝑁 − 1) / 𝑁)) = ((𝑀 / 𝑁) + 1))
54	53	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(((𝑀 + 1) / 𝑁) + ((𝑁 − 1) / 𝑁))) = (⌊‘((𝑀 / 𝑁) + 1)))
55	54	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (⌊‘(((𝑀 + 1) / 𝑁) + ((𝑁 − 1) / 𝑁))) = (⌊‘((𝑀 / 𝑁) + 1)))
56		zre 12504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
57		nndivre 12198	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
58	56, 57	sylan 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
59		1z 12533	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
60		fladdz 13757	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝑀 / 𝑁) + 1)) = ((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) + 1))
61	58, 59, 60	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑀 / 𝑁) + 1)) = ((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) + 1))
62	61	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (⌊‘((𝑀 / 𝑁) + 1)) = ((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) + 1))
63	34, 55, 62	3eqtrrd 2777	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) + 1) = (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))
64		zre 12504	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
65	3, 64	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
66		nndivre 12198	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
67	65, 66	sylan 581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
68	67	flcld 13730	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) ∈ ℤ)
69	68	zcnd 12609	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) ∈ ℂ)
70	58	flcld 13730	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ)
71	70	zcnd 12609	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ)
72	69, 71, 38	subaddd 11522	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) = 1 ↔ ((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) + 1) = (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁))))
73	72	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) = 1 ↔ ((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) + 1) = (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁))))
74	63, 73	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) = 1)
75		iftrue 4487	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∥ (𝑀 + 1) → if(𝑁 ∥ (𝑀 + 1), 1, 0) = 1)
76	75	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → if(𝑁 ∥ (𝑀 + 1), 1, 0) = 1)
77	74, 76	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) = if(𝑁 ∥ (𝑀 + 1), 1, 0))
78		zmodcl 13823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ₀)
79	3, 78	sylan 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ₀)
80	79	nn0red 12475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℝ)
81		resubcl 11457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) ∈ ℝ)
82	80, 22, 81	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) ∈ ℝ)
83	82	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) ∈ ℝ)
84		elnn0 12415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ₀ ↔ (((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ ∨ ((𝑀 + 1) mod 𝑁) = 0))
85	79, 84	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ ∨ ((𝑀 + 1) mod 𝑁) = 0))
86	85	ord 865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ ((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑀 + 1) mod 𝑁) = 0))
87		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
88		dvdsval3 16195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑀 + 1) ↔ ((𝑀 + 1) mod 𝑁) = 0))
89	87, 3, 88	syl2anr 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ (𝑀 + 1) ↔ ((𝑀 + 1) mod 𝑁) = 0))
90	86, 89	sylibrd 259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ ((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ → 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)))
91	90	con1d 145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1) → ((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ))
92	91	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ)
93		nnm1nn0 12454	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) ∈ ℕ₀)
94	92, 93	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) ∈ ℕ₀)
95	94	nn0ge0d 12477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → 0 ≤ (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1))
96	13, 14	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
97	96	ad2antlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
98		divge0 12023	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁))
99	83, 95, 97, 98	syl21anc 838	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → 0 ≤ ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁))
100	13	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
101	80	ltm1d 12086	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) < ((𝑀 + 1) mod 𝑁))
102		nnrp 12929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
103		modlt 13812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) → ((𝑀 + 1) mod 𝑁) < 𝑁)
104	65, 102, 103	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) mod 𝑁) < 𝑁)
105	82, 80, 100, 101, 104	lttrd 11306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) < 𝑁)
106	39	mulridd 11161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
107	105, 106	breqtrrd 5128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) < (𝑁 · 1))
108	22	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
109	14	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
110		ltdivmul 12029	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) < 1 ↔ (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) < (𝑁 · 1)))
111	82, 108, 100, 109, 110	syl112anc 1377	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) < 1 ↔ (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) < (𝑁 · 1)))
112	107, 111	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) < 1)
113	112	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) < 1)
114		nndivre 12198	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
115	82, 114	sylancom 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
116		flbi2 13749	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) ∈ ℝ) → ((⌊‘((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) + ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁))) = (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) ↔ (0 ≤ ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) ∧ ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) < 1)))
117	68, 115, 116	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) + ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁))) = (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) ↔ (0 ≤ ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) ∧ ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) < 1)))
118	117	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((⌊‘((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) + ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁))) = (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) ↔ (0 ≤ ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) ∧ ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) < 1)))
119	99, 113, 118	mpbir2and 714	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (⌊‘((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) + ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁))) = (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))
120		modval 13803	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) → ((𝑀 + 1) mod 𝑁) = ((𝑀 + 1) − (𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))))
121	65, 102, 120	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) mod 𝑁) = ((𝑀 + 1) − (𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))))
122	121	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) = (((𝑀 + 1) − (𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))) − 1))
123	39, 69	mulcld 11164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁))) ∈ ℂ)
124	42, 38, 123	sub32d 11536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) − 1) − (𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))) = (((𝑀 + 1) − (𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))) − 1))
125	122, 124	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) = (((𝑀 + 1) − 1) − (𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))))
126		pncan 11398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
127	36, 37, 126	sylancl 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
128	127	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) − 1) − (𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))))
129	125, 128	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))))
130	129	oveq1d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) = ((𝑀 − (𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))) / 𝑁))
131	36, 123, 39, 46	divsubdird 11968	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 − (𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))) / 𝑁) = ((𝑀 / 𝑁) − ((𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁))) / 𝑁)))
132	69, 39, 46	divcan3d 11934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁))) / 𝑁) = (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))
133	132	oveq2d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 / 𝑁) − ((𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁))) / 𝑁)) = ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁))))
134	130, 131, 133	3eqtrrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁))) = ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁))
135	58	recnd 11172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℂ)
136	115	recnd 11172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) ∈ ℂ)
137	135, 69, 136	subaddd 11522	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁))) = ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) ↔ ((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) + ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁)) = (𝑀 / 𝑁)))
138	134, 137	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) + ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁)) = (𝑀 / 𝑁))
139	138	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) + ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁)) = (𝑀 / 𝑁))
140	139	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (⌊‘((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) + ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁))) = (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))
141	119, 140	eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) = (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))
142	69, 71	subeq0ad 11514	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) = 0 ↔ (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) = (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
143	142	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) = 0 ↔ (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) = (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
144	141, 143	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) = 0)
145		iffalse 4490	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1) → if(𝑁 ∥ (𝑀 + 1), 1, 0) = 0)
146	145	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → if(𝑁 ∥ (𝑀 + 1), 1, 0) = 0)
147	144, 146	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) = if(𝑁 ∥ (𝑀 + 1), 1, 0))
148	77, 147	pm2.61dan 813	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) = if(𝑁 ∥ (𝑀 + 1), 1, 0))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 848 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2933 ifcif 4481 class class class wbr 5100 ‘cfv 6500 (class class class)co 7368 ℂcc 11036 ℝcr 11037 0cc0 11038 1c1 11039 + caddc 11041 · cmul 11043 < clt 11178 ≤ cle 11179 − cmin 11376 / cdiv 11806 ℕcn 12157 ℕ₀cn0 12413 ℤcz 12500 ℝ⁺crp 12917 ⌊cfl 13722 mod cmo 13801 ∥ cdvds 16191

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-sep 5243 ax-nul 5253 ax-pow 5312 ax-pr 5379 ax-un 7690 ax-cnex 11094 ax-resscn 11095 ax-1cn 11096 ax-icn 11097 ax-addcl 11098 ax-addrcl 11099 ax-mulcl 11100 ax-mulrcl 11101 ax-mulcom 11102 ax-addass 11103 ax-mulass 11104 ax-distr 11105 ax-i2m1 11106 ax-1ne0 11107 ax-1rid 11108 ax-rnegex 11109 ax-rrecex 11110 ax-cnre 11111 ax-pre-lttri 11112 ax-pre-lttrn 11113 ax-pre-ltadd 11114 ax-pre-mulgt0 11115 ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3402 df-v 3444 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-dif 3906 df-un 3908 df-in 3910 df-ss 3920 df-pss 3923 df-nul 4288 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4583 df-pr 4585 df-op 4589 df-uni 4866 df-iun 4950 df-br 5101 df-opab 5163 df-mpt 5182 df-tr 5208 df-id 5527 df-eprel 5532 df-po 5540 df-so 5541 df-fr 5585 df-we 5587 df-xp 5638 df-rel 5639 df-cnv 5640 df-co 5641 df-dm 5642 df-rn 5643 df-res 5644 df-ima 5645 df-pred 6267 df-ord 6328 df-on 6329 df-lim 6330 df-suc 6331 df-iota 6456 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-riota 7325 df-ov 7371 df-oprab 7372 df-mpo 7373 df-om 7819 df-2nd 7944 df-frecs 8233 df-wrecs 8264 df-recs 8313 df-rdg 8351 df-er 8645 df-en 8896 df-dom 8897 df-sdom 8898 df-sup 9357 df-inf 9358 df-pnf 11180 df-mnf 11181 df-xr 11182 df-ltxr 11183 df-le 11184 df-sub 11378 df-neg 11379 df-div 11807 df-nn 12158 df-n0 12414 df-z 12501 df-uz 12764 df-rp 12918 df-fl 13724 df-mod 13802 df-dvds 16192

This theorem is referenced by: pcfac 16839

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