MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modadd1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modadd1 13945
Description: Addition property of the modulo operation. (Contributed by NM, 12-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
modadd1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))

Proof of Theorem modadd1
StepHypRef Expression
1 modval 13908 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
2 modval 13908 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐷) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
31, 2eqeqan12d 2749 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
43anandirs 679 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
54adantrl 716 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
6 oveq1 7438 . . . . 5 ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶))
75, 6biimtrdi 253 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶)))
8 recn 11243 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
98adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℂ)
10 recn 11243 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
1110ad2antrl 728 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℂ)
12 rpcn 13043 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℂ)
1312adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℂ)
14 rerpdivcl 13063 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐷) ∈ ℝ)
15 reflcl 13833 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 / 𝐷) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℝ)
1615recnd 11287 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 𝐷) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℂ)
1714, 16syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℂ)
1813, 17mulcld 11279 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℂ)
1918adantrl 716 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℂ)
209, 11, 19addsubd 11639 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶))
2120adantlr 715 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶))
22 recn 11243 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
2322adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐵 ∈ ℂ)
2410ad2antrl 728 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℂ)
2512adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℂ)
26 rerpdivcl 13063 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℝ)
27 reflcl 13833 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 / 𝐷) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℝ)
2827recnd 11287 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 / 𝐷) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ)
2926, 28syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ)
3025, 29mulcld 11279 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℂ)
3130adantrl 716 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℂ)
3223, 24, 31addsubd 11639 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶))
3332adantll 714 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶))
3421, 33eqeq12d 2751 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) ↔ ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶)))
357, 34sylibrd 259 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
36 oveq1 7438 . . . 4 (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷))
37 readdcl 11236 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ)
3837adantrr 717 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ)
39 simprr 773 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
4014flcld 13835 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ)
4140adantrl 716 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ)
42 modcyc2 13944 . . . . . . 7 (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ) → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷))
4338, 39, 41, 42syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷))
4443adantlr 715 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷))
45 readdcl 11236 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
4645adantrr 717 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
47 simprr 773 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
4826flcld 13835 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ)
4948adantrl 716 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ)
50 modcyc2 13944 . . . . . . 7 (((𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ) → (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))
5146, 47, 49, 50syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))
5251adantll 714 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))
5344, 52eqeq12d 2751 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)))
5436, 53imbitrid 244 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)))
5535, 54syld 47 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)))
56553impia 1116 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490   / cdiv 11918  cz 12611  +crp 13032  cfl 13827   mod cmo 13906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-mod 13907
This theorem is referenced by:  modaddabs  13946  modaddmod  13947  modadd12d  13965  modaddmulmod  13976  moddvds  16298  modsubi  17106  lgsvalmod  27375  lgsmod  27382  lgsne0  27394  lgseisen  27438  pellexlem6  42822
  Copyright terms: Public domain W3C validator