MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modadd1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modadd1 13876
Description: Addition property of the modulo operation. (Contributed by NM, 12-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
modadd1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โ†’ ((๐ด + ๐ถ) mod ๐ท) = ((๐ต + ๐ถ) mod ๐ท))

Proof of Theorem modadd1
StepHypRef Expression
1 modval 13839 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด mod ๐ท) = (๐ด โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))))
2 modval 13839 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต mod ๐ท) = (๐ต โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)))))
31, 2eqeqan12d 2740 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ ((๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท) โ†” (๐ด โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) = (๐ต โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท))))))
43anandirs 676 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท) โ†” (๐ด โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) = (๐ต โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท))))))
54adantrl 713 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ ((๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท) โ†” (๐ด โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) = (๐ต โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท))))))
6 oveq1 7411 . . . . 5 ((๐ด โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) = (๐ต โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)))) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) + ๐ถ) = ((๐ต โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)))) + ๐ถ))
75, 6biimtrdi 252 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ ((๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) + ๐ถ) = ((๐ต โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)))) + ๐ถ)))
8 recn 11199 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
98adantr 480 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
10 recn 11199 . . . . . . . 8 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
1110ad2antrl 725 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
12 rpcn 12987 . . . . . . . . . 10 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
1312adantl 481 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
14 rerpdivcl 13007 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด / ๐ท) โˆˆ โ„)
15 reflcl 13764 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด / ๐ท) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)) โˆˆ โ„)
1615recnd 11243 . . . . . . . . . 10 ((๐ด / ๐ท) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
1714, 16syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
1813, 17mulcld 11235 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท))) โˆˆ โ„‚)
1918adantrl 713 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท))) โˆˆ โ„‚)
209, 11, 19addsubd 11593 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ ((๐ด + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) = ((๐ด โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) + ๐ถ))
2120adantlr 712 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ ((๐ด + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) = ((๐ด โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) + ๐ถ))
22 recn 11199 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2322adantr 480 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2410ad2antrl 725 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2512adantl 481 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
26 rerpdivcl 13007 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต / ๐ท) โˆˆ โ„)
27 reflcl 13764 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต / ๐ท) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)) โˆˆ โ„)
2827recnd 11243 . . . . . . . . . 10 ((๐ต / ๐ท) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
2926, 28syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
3025, 29mulcld 11235 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท))) โˆˆ โ„‚)
3130adantrl 713 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท))) โˆˆ โ„‚)
3223, 24, 31addsubd 11593 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ ((๐ต + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)))) = ((๐ต โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)))) + ๐ถ))
3332adantll 711 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ ((๐ต + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)))) = ((๐ต โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)))) + ๐ถ))
3421, 33eqeq12d 2742 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ (((๐ด + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) = ((๐ต + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)))) โ†” ((๐ด โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) + ๐ถ) = ((๐ต โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)))) + ๐ถ)))
357, 34sylibrd 259 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ ((๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท) โ†’ ((๐ด + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) = ((๐ต + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท))))))
36 oveq1 7411 . . . 4 (((๐ด + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) = ((๐ต + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)))) โ†’ (((๐ด + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) mod ๐ท) = (((๐ต + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)))) mod ๐ท))
37 readdcl 11192 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด + ๐ถ) โˆˆ โ„)
3837adantrr 714 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ (๐ด + ๐ถ) โˆˆ โ„)
39 simprr 770 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
4014flcld 13766 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)) โˆˆ โ„ค)
4140adantrl 713 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)) โˆˆ โ„ค)
42 modcyc2 13875 . . . . . . 7 (((๐ด + ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ด + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) mod ๐ท) = ((๐ด + ๐ถ) mod ๐ท))
4338, 39, 41, 42syl3anc 1368 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ (((๐ด + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) mod ๐ท) = ((๐ด + ๐ถ) mod ๐ท))
4443adantlr 712 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ (((๐ด + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) mod ๐ท) = ((๐ด + ๐ถ) mod ๐ท))
45 readdcl 11192 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต + ๐ถ) โˆˆ โ„)
4645adantrr 714 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ (๐ต + ๐ถ) โˆˆ โ„)
47 simprr 770 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
4826flcld 13766 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)) โˆˆ โ„ค)
4948adantrl 713 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)) โˆˆ โ„ค)
50 modcyc2 13875 . . . . . . 7 (((๐ต + ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ต + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)))) mod ๐ท) = ((๐ต + ๐ถ) mod ๐ท))
5146, 47, 49, 50syl3anc 1368 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ (((๐ต + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)))) mod ๐ท) = ((๐ต + ๐ถ) mod ๐ท))
5251adantll 711 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ (((๐ต + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)))) mod ๐ท) = ((๐ต + ๐ถ) mod ๐ท))
5344, 52eqeq12d 2742 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ ((((๐ด + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) mod ๐ท) = (((๐ต + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)))) mod ๐ท) โ†” ((๐ด + ๐ถ) mod ๐ท) = ((๐ต + ๐ถ) mod ๐ท)))
5436, 53imbitrid 243 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ (((๐ด + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) = ((๐ต + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)))) โ†’ ((๐ด + ๐ถ) mod ๐ท) = ((๐ต + ๐ถ) mod ๐ท)))
5535, 54syld 47 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ ((๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท) โ†’ ((๐ด + ๐ถ) mod ๐ท) = ((๐ต + ๐ถ) mod ๐ท)))
56553impia 1114 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โ†’ ((๐ด + ๐ถ) mod ๐ท) = ((๐ต + ๐ถ) mod ๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โˆ’ cmin 11445   / cdiv 11872  โ„คcz 12559  โ„+crp 12977  โŒŠcfl 13758   mod cmo 13837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fl 13760  df-mod 13838
This theorem is referenced by:  modaddabs  13877  modaddmod  13878  modadd12d  13895  modaddmulmod  13906  moddvds  16212  modsubi  17011  lgsvalmod  27199  lgsmod  27206  lgsne0  27218  lgseisen  27262  pellexlem6  42132
  Copyright terms: Public domain W3C validator