Theorem modadd1 13959

Description: Addition property of the modulo operation. (Contributed by NM, 12-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
modadd1	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))

Proof of Theorem modadd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modval 13922	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
2		modval 13922	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐷) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
3	1, 2	eqeqan12d 2754	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
4	3	anandirs 678	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
5	4	adantrl 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
6		oveq1 7455	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶))
7	5, 6	biimtrdi 253	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶)))
8		recn 11274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		recn 11274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
11	10	ad2antrl 727	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℂ)
12		rpcn 13067	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 𝐷 ∈ ℂ)
13	12	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℂ)
14		rerpdivcl 13087	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐷) ∈ ℝ)
15		reflcl 13847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 / 𝐷) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 𝐷) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℂ)
17	14, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℂ)
18	13, 17	mulcld 11310	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℂ)
19	18	adantrl 715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℂ)
20	9, 11, 19	addsubd 11668	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶))
21	20	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶))
22		recn 11274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
23	22	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐵 ∈ ℂ)
24	10	ad2antrl 727	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℂ)
25	12	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℂ)
26		rerpdivcl 13087	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℝ)
27		reflcl 13847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 / 𝐷) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 / 𝐷) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ)
29	26, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ)
30	25, 29	mulcld 11310	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℂ)
31	30	adantrl 715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℂ)
32	23, 24, 31	addsubd 11668	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶))
33	32	adantll 713	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶))
34	21, 33	eqeq12d 2756	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) ↔ ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶)))
35	7, 34	sylibrd 259	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
36		oveq1 7455	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷))
37		readdcl 11267	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ)
38	37	adantrr 716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ)
39		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
40	14	flcld 13849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ)
41	40	adantrl 715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ)
42		modcyc2 13958	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ) → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷))
43	38, 39, 41, 42	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷))
44	43	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷))
45		readdcl 11267	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
46	45	adantrr 716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
47		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
48	26	flcld 13849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ)
49	48	adantrl 715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ)
50		modcyc2 13958	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ) → (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))
51	46, 47, 49, 50	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))
52	51	adantll 713	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))
53	44, 52	eqeq12d 2756	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)))
54	36, 53	imbitrid 244	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)))
55	35, 54	syld 47	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)))
56	55	3impia 1117	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183   + caddc 11187   · cmul 11189   − cmin 11520   / cdiv 11947  ℤcz 12639  ℝ⁺crp 13057  ⌊cfl 13841   mod cmo 13920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fl 13843  df-mod 13921

This theorem is referenced by:  modaddabs  13960  modaddmod  13961  modadd12d  13978  modaddmulmod  13989  moddvds  16313  modsubi  17119  lgsvalmod  27378  lgsmod  27385  lgsne0  27397  lgseisen  27441  pellexlem6  42790