MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modadd1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modadd1 13913
Description: Addition property of the modulo operation. (Contributed by NM, 12-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
modadd1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โ†’ ((๐ด + ๐ถ) mod ๐ท) = ((๐ต + ๐ถ) mod ๐ท))

Proof of Theorem modadd1
StepHypRef Expression
1 modval 13876 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด mod ๐ท) = (๐ด โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))))
2 modval 13876 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต mod ๐ท) = (๐ต โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)))))
31, 2eqeqan12d 2742 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ ((๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท) โ†” (๐ด โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) = (๐ต โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท))))))
43anandirs 677 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท) โ†” (๐ด โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) = (๐ต โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท))))))
54adantrl 714 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ ((๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท) โ†” (๐ด โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) = (๐ต โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท))))))
6 oveq1 7433 . . . . 5 ((๐ด โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) = (๐ต โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)))) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) + ๐ถ) = ((๐ต โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)))) + ๐ถ))
75, 6biimtrdi 252 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ ((๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) + ๐ถ) = ((๐ต โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)))) + ๐ถ)))
8 recn 11236 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
98adantr 479 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
10 recn 11236 . . . . . . . 8 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
1110ad2antrl 726 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
12 rpcn 13024 . . . . . . . . . 10 (๐ท โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
1312adantl 480 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
14 rerpdivcl 13044 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด / ๐ท) โˆˆ โ„)
15 reflcl 13801 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด / ๐ท) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)) โˆˆ โ„)
1615recnd 11280 . . . . . . . . . 10 ((๐ด / ๐ท) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
1714, 16syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
1813, 17mulcld 11272 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท))) โˆˆ โ„‚)
1918adantrl 714 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท))) โˆˆ โ„‚)
209, 11, 19addsubd 11630 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ ((๐ด + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) = ((๐ด โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) + ๐ถ))
2120adantlr 713 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ ((๐ด + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) = ((๐ด โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) + ๐ถ))
22 recn 11236 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2322adantr 479 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2410ad2antrl 726 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2512adantl 480 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
26 rerpdivcl 13044 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต / ๐ท) โˆˆ โ„)
27 reflcl 13801 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต / ๐ท) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)) โˆˆ โ„)
2827recnd 11280 . . . . . . . . . 10 ((๐ต / ๐ท) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
2926, 28syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
3025, 29mulcld 11272 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท))) โˆˆ โ„‚)
3130adantrl 714 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท))) โˆˆ โ„‚)
3223, 24, 31addsubd 11630 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ ((๐ต + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)))) = ((๐ต โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)))) + ๐ถ))
3332adantll 712 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ ((๐ต + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)))) = ((๐ต โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)))) + ๐ถ))
3421, 33eqeq12d 2744 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ (((๐ด + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) = ((๐ต + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)))) โ†” ((๐ด โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) + ๐ถ) = ((๐ต โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)))) + ๐ถ)))
357, 34sylibrd 258 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ ((๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท) โ†’ ((๐ด + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) = ((๐ต + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท))))))
36 oveq1 7433 . . . 4 (((๐ด + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) = ((๐ต + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)))) โ†’ (((๐ด + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) mod ๐ท) = (((๐ต + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)))) mod ๐ท))
37 readdcl 11229 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด + ๐ถ) โˆˆ โ„)
3837adantrr 715 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ (๐ด + ๐ถ) โˆˆ โ„)
39 simprr 771 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
4014flcld 13803 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)) โˆˆ โ„ค)
4140adantrl 714 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)) โˆˆ โ„ค)
42 modcyc2 13912 . . . . . . 7 (((๐ด + ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ด + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) mod ๐ท) = ((๐ด + ๐ถ) mod ๐ท))
4338, 39, 41, 42syl3anc 1368 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ (((๐ด + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) mod ๐ท) = ((๐ด + ๐ถ) mod ๐ท))
4443adantlr 713 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ (((๐ด + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) mod ๐ท) = ((๐ด + ๐ถ) mod ๐ท))
45 readdcl 11229 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต + ๐ถ) โˆˆ โ„)
4645adantrr 715 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ (๐ต + ๐ถ) โˆˆ โ„)
47 simprr 771 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
4826flcld 13803 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)) โˆˆ โ„ค)
4948adantrl 714 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)) โˆˆ โ„ค)
50 modcyc2 13912 . . . . . . 7 (((๐ต + ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ต + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)))) mod ๐ท) = ((๐ต + ๐ถ) mod ๐ท))
5146, 47, 49, 50syl3anc 1368 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ (((๐ต + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)))) mod ๐ท) = ((๐ต + ๐ถ) mod ๐ท))
5251adantll 712 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ (((๐ต + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)))) mod ๐ท) = ((๐ต + ๐ถ) mod ๐ท))
5344, 52eqeq12d 2744 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ ((((๐ด + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) mod ๐ท) = (((๐ต + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)))) mod ๐ท) โ†” ((๐ด + ๐ถ) mod ๐ท) = ((๐ต + ๐ถ) mod ๐ท)))
5436, 53imbitrid 243 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ (((๐ด + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ท)))) = ((๐ต + ๐ถ) โˆ’ (๐ท ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ท)))) โ†’ ((๐ด + ๐ถ) mod ๐ท) = ((๐ต + ๐ถ) mod ๐ท)))
5535, 54syld 47 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+)) โ†’ ((๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท) โ†’ ((๐ด + ๐ถ) mod ๐ท) = ((๐ต + ๐ถ) mod ๐ท)))
56553impia 1114 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โ†’ ((๐ด + ๐ถ) mod ๐ท) = ((๐ต + ๐ถ) mod ๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  โ„cr 11145   + caddc 11149   ยท cmul 11151   โˆ’ cmin 11482   / cdiv 11909  โ„คcz 12596  โ„+crp 13014  โŒŠcfl 13795   mod cmo 13874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fl 13797  df-mod 13875
This theorem is referenced by:  modaddabs  13914  modaddmod  13915  modadd12d  13932  modaddmulmod  13943  moddvds  16249  modsubi  17048  lgsvalmod  27269  lgsmod  27276  lgsne0  27288  lgseisen  27332  pellexlem6  42285
  Copyright terms: Public domain W3C validator