Theorem dvdsmod 16313

Description: Any number 𝐾 whose mod base 𝑁 is divisible by a divisor 𝑃 of the base is also divisible by 𝑃. This means that primes will also be relatively prime to the base when reduced mod 𝑁 for any base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmod	⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝑃 ∥ (𝐾 mod 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐾))

Proof of Theorem dvdsmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1190	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2	1	zred 12704	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
3		simpl2 1189	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	nnrpd 13054	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
5		modval 13876	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝐾 mod 𝑁) = (𝐾 − (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))))
6	2, 4, 5	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝐾 mod 𝑁) = (𝐾 − (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))))
7	6	breq2d 5164	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝑃 ∥ (𝐾 mod 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ (𝐾 − (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))))))
8		simpl1 1188	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12623	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∈ ℤ)
10	3	nnzd 12623	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
11	2, 3	nndivred 12304	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝐾 / 𝑁) ∈ ℝ)
12	11	flcld 13803	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (⌊‘(𝐾 / 𝑁)) ∈ ℤ)
13		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∥ 𝑁)
14	9, 10, 12, 13	dvdsmultr1d 16281	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∥ (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))))
15	10, 12	zmulcld 12710	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) ∈ ℤ)
16	15	zcnd 12705	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) ∈ ℂ)
17	16	subid1d 11598	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) − 0) = (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))))
18	14, 17	breqtrrd 5180	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∥ ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) − 0))
19		0zd 12608	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 0 ∈ ℤ)
20		moddvds 16249	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) − 0)))
21	8, 15, 19, 20	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) − 0)))
22	18, 21	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
23	22	eqeq2d 2739	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → ((𝐾 mod 𝑃) = ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) mod 𝑃) ↔ (𝐾 mod 𝑃) = (0 mod 𝑃)))
24		moddvds 16249	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) ∈ ℤ) → ((𝐾 mod 𝑃) = ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝐾 − (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))))))
25	8, 1, 15, 24	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → ((𝐾 mod 𝑃) = ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝐾 − (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))))))
26		moddvds 16249	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝐾 mod 𝑃) = (0 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝐾 − 0)))
27	8, 1, 19, 26	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → ((𝐾 mod 𝑃) = (0 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝐾 − 0)))
28	23, 25, 27	3bitr3d 308	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝑃 ∥ (𝐾 − (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))) ↔ 𝑃 ∥ (𝐾 − 0)))
29	1	zcnd 12705	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
30	29	subid1d 11598	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝐾 − 0) = 𝐾)
31	30	breq2d 5164	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝑃 ∥ (𝐾 − 0) ↔ 𝑃 ∥ 𝐾))
32	7, 28, 31	3bitrd 304	1 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝑃 ∥ (𝐾 mod 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℝcr 11145  0cc0 11146   · cmul 11151   − cmin 11482   / cdiv 11909  ℕcn 12250  ℤcz 12596  ℝ⁺crp 13014  ⌊cfl 13795   mod cmo 13874   ∥ cdvds 16238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fl 13797  df-mod 13875  df-dvds 16239

This theorem is referenced by:  ppiublem1  27155  lgsdir2lem2  27279