Theorem dvdsmod 16246

Description: Any number 𝐾 whose mod base 𝑁 is divisible by a divisor 𝑃 of the base is also divisible by 𝑃. This means that primes will also be relatively prime to the base when reduced mod 𝑁 for any base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmod	⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝑃 ∥ (𝐾 mod 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐾))

Proof of Theorem dvdsmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2	1	zred 12583	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
3		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	nnrpd 12938	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
5		modval 13781	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝐾 mod 𝑁) = (𝐾 − (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))))
6	2, 4, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝐾 mod 𝑁) = (𝐾 − (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))))
7	6	breq2d 5105	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝑃 ∥ (𝐾 mod 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ (𝐾 − (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))))))
8		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12501	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∈ ℤ)
10	3	nnzd 12501	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
11	2, 3	nndivred 12185	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝐾 / 𝑁) ∈ ℝ)
12	11	flcld 13708	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (⌊‘(𝐾 / 𝑁)) ∈ ℤ)
13		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∥ 𝑁)
14	9, 10, 12, 13	dvdsmultr1d 16214	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∥ (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))))
15	10, 12	zmulcld 12589	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) ∈ ℤ)
16	15	zcnd 12584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) ∈ ℂ)
17	16	subid1d 11467	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) − 0) = (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))))
18	14, 17	breqtrrd 5121	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∥ ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) − 0))
19		0zd 12486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 0 ∈ ℤ)
20		moddvds 16180	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) − 0)))
21	8, 15, 19, 20	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) − 0)))
22	18, 21	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
23	22	eqeq2d 2742	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → ((𝐾 mod 𝑃) = ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) mod 𝑃) ↔ (𝐾 mod 𝑃) = (0 mod 𝑃)))
24		moddvds 16180	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) ∈ ℤ) → ((𝐾 mod 𝑃) = ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝐾 − (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))))))
25	8, 1, 15, 24	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → ((𝐾 mod 𝑃) = ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝐾 − (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))))))
26		moddvds 16180	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝐾 mod 𝑃) = (0 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝐾 − 0)))
27	8, 1, 19, 26	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → ((𝐾 mod 𝑃) = (0 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝐾 − 0)))
28	23, 25, 27	3bitr3d 309	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝑃 ∥ (𝐾 − (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))) ↔ 𝑃 ∥ (𝐾 − 0)))
29	1	zcnd 12584	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
30	29	subid1d 11467	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝐾 − 0) = 𝐾)
31	30	breq2d 5105	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝑃 ∥ (𝐾 − 0) ↔ 𝑃 ∥ 𝐾))
32	7, 28, 31	3bitrd 305	1 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝑃 ∥ (𝐾 mod 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5093  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  ℝcr 11011  0cc0 11012   · cmul 11017   − cmin 11350   / cdiv 11780  ℕcn 12131  ℤcz 12474  ℝ⁺crp 12896  ⌊cfl 13700   mod cmo 13779   ∥ cdvds 16169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-rp 12897  df-fl 13702  df-mod 13780  df-dvds 16170

This theorem is referenced by:  ppiublem1  27146  lgsdir2lem2  27270