MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsmod 16145
Description: Any number ๐พ whose mod base ๐‘ is divisible by a divisor ๐‘ƒ of the base is also divisible by ๐‘ƒ. This means that primes will also be relatively prime to the base when reduced mod ๐‘ for any base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdsmod (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐พ mod ๐‘) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐พ))

Proof of Theorem dvdsmod
StepHypRef Expression
1 simpl3 1193 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
21zred 12539 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
3 simpl2 1192 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
43nnrpd 12883 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
5 modval 13704 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐พ mod ๐‘) = (๐พ โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘)))))
62, 4, 5syl2anc 584 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐พ mod ๐‘) = (๐พ โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘)))))
76breq2d 5115 . 2 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐พ mod ๐‘) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))))))
8 simpl1 1191 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
98nnzd 12538 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
103nnzd 12538 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
112, 3nndivred 12140 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐พ / ๐‘) โˆˆ โ„)
1211flcld 13631 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
13 simpr 485 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘)
149, 10, 12, 13dvdsmultr1d 16113 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))))
1510, 12zmulcld 12545 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) โˆˆ โ„ค)
1615zcnd 12540 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) โˆˆ โ„‚)
1716subid1d 11434 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) โˆ’ 0) = (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))))
1814, 17breqtrrd 5131 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) โˆ’ 0))
19 0zd 12444 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
20 moddvds 16081 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) mod ๐‘ƒ) = (0 mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) โˆ’ 0)))
218, 15, 19, 20syl3anc 1371 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) mod ๐‘ƒ) = (0 mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) โˆ’ 0)))
2218, 21mpbird 256 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) mod ๐‘ƒ) = (0 mod ๐‘ƒ))
2322eqeq2d 2748 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐พ mod ๐‘ƒ) = ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) mod ๐‘ƒ) โ†” (๐พ mod ๐‘ƒ) = (0 mod ๐‘ƒ)))
24 moddvds 16081 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ mod ๐‘ƒ) = ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))))))
258, 1, 15, 24syl3anc 1371 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐พ mod ๐‘ƒ) = ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))))))
26 moddvds 16081 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ mod ๐‘ƒ) = (0 mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 0)))
278, 1, 19, 26syl3anc 1371 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐พ mod ๐‘ƒ) = (0 mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 0)))
2823, 25, 273bitr3d 308 . 2 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘)))) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 0)))
291zcnd 12540 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
3029subid1d 11434 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐พ โˆ’ 0) = ๐พ)
3130breq2d 5115 . 2 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 0) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐พ))
327, 28, 313bitrd 304 1 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐พ mod ๐‘) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐พ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5103  โ€˜cfv 6491  (class class class)co 7349  โ„cr 10983  0cc0 10984   ยท cmul 10989   โˆ’ cmin 11318   / cdiv 11745  โ„•cn 12086  โ„คcz 12432  โ„+crp 12843  โŒŠcfl 13623   mod cmo 13702   โˆฅ cdvds 16070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-sup 9311  df-inf 9312  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-n0 12347  df-z 12433  df-uz 12696  df-rp 12844  df-fl 13625  df-mod 13703  df-dvds 16071
This theorem is referenced by:  ppiublem1  26472  lgsdir2lem2  26596
  Copyright terms: Public domain W3C validator