MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsmod 16366
Description: Any number 𝐾 whose mod base 𝑁 is divisible by a divisor 𝑃 of the base is also divisible by 𝑃. This means that primes will also be relatively prime to the base when reduced mod 𝑁 for any base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdsmod (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃𝑁) → (𝑃 ∥ (𝐾 mod 𝑁) ↔ 𝑃𝐾))

Proof of Theorem dvdsmod
StepHypRef Expression
1 simpl3 1194 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
21zred 12722 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
3 simpl2 1193 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
43nnrpd 13075 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
5 modval 13911 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝐾 mod 𝑁) = (𝐾 − (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))))
62, 4, 5syl2anc 584 . . 3 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃𝑁) → (𝐾 mod 𝑁) = (𝐾 − (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))))
76breq2d 5155 . 2 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃𝑁) → (𝑃 ∥ (𝐾 mod 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ (𝐾 − (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))))))
8 simpl1 1192 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃𝑁) → 𝑃 ∈ ℕ)
98nnzd 12640 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃𝑁) → 𝑃 ∈ ℤ)
103nnzd 12640 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
112, 3nndivred 12320 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃𝑁) → (𝐾 / 𝑁) ∈ ℝ)
1211flcld 13838 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃𝑁) → (⌊‘(𝐾 / 𝑁)) ∈ ℤ)
13 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃𝑁) → 𝑃𝑁)
149, 10, 12, 13dvdsmultr1d 16334 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃𝑁) → 𝑃 ∥ (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))))
1510, 12zmulcld 12728 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃𝑁) → (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) ∈ ℤ)
1615zcnd 12723 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃𝑁) → (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) ∈ ℂ)
1716subid1d 11609 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃𝑁) → ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) − 0) = (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))))
1814, 17breqtrrd 5171 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃𝑁) → 𝑃 ∥ ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) − 0))
19 0zd 12625 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃𝑁) → 0 ∈ ℤ)
20 moddvds 16301 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) − 0)))
218, 15, 19, 20syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃𝑁) → (((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) − 0)))
2218, 21mpbird 257 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃𝑁) → ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
2322eqeq2d 2748 . . 3 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃𝑁) → ((𝐾 mod 𝑃) = ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) mod 𝑃) ↔ (𝐾 mod 𝑃) = (0 mod 𝑃)))
24 moddvds 16301 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) ∈ ℤ) → ((𝐾 mod 𝑃) = ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝐾 − (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))))))
258, 1, 15, 24syl3anc 1373 . . 3 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃𝑁) → ((𝐾 mod 𝑃) = ((𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝐾 − (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁))))))
26 moddvds 16301 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝐾 mod 𝑃) = (0 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝐾 − 0)))
278, 1, 19, 26syl3anc 1373 . . 3 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃𝑁) → ((𝐾 mod 𝑃) = (0 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝐾 − 0)))
2823, 25, 273bitr3d 309 . 2 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃𝑁) → (𝑃 ∥ (𝐾 − (𝑁 · (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))) ↔ 𝑃 ∥ (𝐾 − 0)))
291zcnd 12723 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
3029subid1d 11609 . . 3 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃𝑁) → (𝐾 − 0) = 𝐾)
3130breq2d 5155 . 2 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃𝑁) → (𝑃 ∥ (𝐾 − 0) ↔ 𝑃𝐾))
327, 28, 313bitrd 305 1 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑃𝑁) → (𝑃 ∥ (𝐾 mod 𝑁) ↔ 𝑃𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155   · cmul 11160  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  cz 12613  +crp 13034  cfl 13830   mod cmo 13909  cdvds 16290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-mod 13910  df-dvds 16291
This theorem is referenced by:  ppiublem1  27246  lgsdir2lem2  27370
  Copyright terms: Public domain W3C validator