MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsmod 16146
Description: Any number ๐พ whose mod base ๐‘ is divisible by a divisor ๐‘ƒ of the base is also divisible by ๐‘ƒ. This means that primes will also be relatively prime to the base when reduced mod ๐‘ for any base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdsmod (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐พ mod ๐‘) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐พ))

Proof of Theorem dvdsmod
StepHypRef Expression
1 simpl3 1194 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
21zred 12540 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
3 simpl2 1193 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
43nnrpd 12884 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
5 modval 13705 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐พ mod ๐‘) = (๐พ โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘)))))
62, 4, 5syl2anc 585 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐พ mod ๐‘) = (๐พ โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘)))))
76breq2d 5116 . 2 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐พ mod ๐‘) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))))))
8 simpl1 1192 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
98nnzd 12539 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
103nnzd 12539 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
112, 3nndivred 12141 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐พ / ๐‘) โˆˆ โ„)
1211flcld 13632 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
13 simpr 486 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘)
149, 10, 12, 13dvdsmultr1d 16114 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))))
1510, 12zmulcld 12546 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) โˆˆ โ„ค)
1615zcnd 12541 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) โˆˆ โ„‚)
1716subid1d 11435 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) โˆ’ 0) = (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))))
1814, 17breqtrrd 5132 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) โˆ’ 0))
19 0zd 12445 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
20 moddvds 16082 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) mod ๐‘ƒ) = (0 mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) โˆ’ 0)))
218, 15, 19, 20syl3anc 1372 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) mod ๐‘ƒ) = (0 mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) โˆ’ 0)))
2218, 21mpbird 257 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) mod ๐‘ƒ) = (0 mod ๐‘ƒ))
2322eqeq2d 2749 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐พ mod ๐‘ƒ) = ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) mod ๐‘ƒ) โ†” (๐พ mod ๐‘ƒ) = (0 mod ๐‘ƒ)))
24 moddvds 16082 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ mod ๐‘ƒ) = ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))))))
258, 1, 15, 24syl3anc 1372 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐พ mod ๐‘ƒ) = ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))))))
26 moddvds 16082 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ mod ๐‘ƒ) = (0 mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 0)))
278, 1, 19, 26syl3anc 1372 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐พ mod ๐‘ƒ) = (0 mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 0)))
2823, 25, 273bitr3d 309 . 2 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘)))) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 0)))
291zcnd 12541 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
3029subid1d 11435 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐พ โˆ’ 0) = ๐พ)
3130breq2d 5116 . 2 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 0) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐พ))
327, 28, 313bitrd 305 1 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐พ mod ๐‘) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐พ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5104  โ€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  โ„cr 10984  0cc0 10985   ยท cmul 10990   โˆ’ cmin 11319   / cdiv 11746  โ„•cn 12087  โ„คcz 12433  โ„+crp 12844  โŒŠcfl 13624   mod cmo 13703   โˆฅ cdvds 16071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-sup 9312  df-inf 9313  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-rp 12845  df-fl 13626  df-mod 13704  df-dvds 16072
This theorem is referenced by:  ppiublem1  26472  lgsdir2lem2  26596
  Copyright terms: Public domain W3C validator