MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsmod 16276
Description: Any number ๐พ whose mod base ๐‘ is divisible by a divisor ๐‘ƒ of the base is also divisible by ๐‘ƒ. This means that primes will also be relatively prime to the base when reduced mod ๐‘ for any base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdsmod (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐พ mod ๐‘) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐พ))

Proof of Theorem dvdsmod
StepHypRef Expression
1 simpl3 1190 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
21zred 12667 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
3 simpl2 1189 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
43nnrpd 13017 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
5 modval 13839 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐พ mod ๐‘) = (๐พ โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘)))))
62, 4, 5syl2anc 583 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐พ mod ๐‘) = (๐พ โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘)))))
76breq2d 5153 . 2 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐พ mod ๐‘) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))))))
8 simpl1 1188 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
98nnzd 12586 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
103nnzd 12586 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
112, 3nndivred 12267 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐พ / ๐‘) โˆˆ โ„)
1211flcld 13766 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
13 simpr 484 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘)
149, 10, 12, 13dvdsmultr1d 16244 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))))
1510, 12zmulcld 12673 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) โˆˆ โ„ค)
1615zcnd 12668 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) โˆˆ โ„‚)
1716subid1d 11561 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) โˆ’ 0) = (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))))
1814, 17breqtrrd 5169 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) โˆ’ 0))
19 0zd 12571 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
20 moddvds 16212 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) mod ๐‘ƒ) = (0 mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) โˆ’ 0)))
218, 15, 19, 20syl3anc 1368 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) mod ๐‘ƒ) = (0 mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) โˆ’ 0)))
2218, 21mpbird 257 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) mod ๐‘ƒ) = (0 mod ๐‘ƒ))
2322eqeq2d 2737 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐พ mod ๐‘ƒ) = ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) mod ๐‘ƒ) โ†” (๐พ mod ๐‘ƒ) = (0 mod ๐‘ƒ)))
24 moddvds 16212 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ mod ๐‘ƒ) = ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))))))
258, 1, 15, 24syl3anc 1368 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐พ mod ๐‘ƒ) = ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))) mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘))))))
26 moddvds 16212 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ mod ๐‘ƒ) = (0 mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 0)))
278, 1, 19, 26syl3anc 1368 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐พ mod ๐‘ƒ) = (0 mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 0)))
2823, 25, 273bitr3d 309 . 2 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / ๐‘)))) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 0)))
291zcnd 12668 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
3029subid1d 11561 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐พ โˆ’ 0) = ๐พ)
3130breq2d 5153 . 2 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐พ โˆ’ 0) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐พ))
327, 28, 313bitrd 305 1 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐พ mod ๐‘) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐พ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„cr 11108  0cc0 11109   ยท cmul 11114   โˆ’ cmin 11445   / cdiv 11872  โ„•cn 12213  โ„คcz 12559  โ„+crp 12977  โŒŠcfl 13758   mod cmo 13837   โˆฅ cdvds 16201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fl 13760  df-mod 13838  df-dvds 16202
This theorem is referenced by:  ppiublem1  27085  lgsdir2lem2  27209
  Copyright terms: Public domain W3C validator