![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mod0 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: ๐ด mod ๐ต is zero iff ๐ด is evenly divisible by ๐ต. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Fan Zheng, 7-Jun-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
mod0 | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ ((๐ด mod ๐ต) = 0 โ (๐ด / ๐ต) โ โค)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | modval 13836 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โ (๐ต ยท (โโ(๐ด / ๐ต))))) | |
2 | 1 | eqeq1d 2735 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ ((๐ด mod ๐ต) = 0 โ (๐ด โ (๐ต ยท (โโ(๐ด / ๐ต)))) = 0)) |
3 | recn 11200 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ โ) | |
4 | 3 | adantr 482 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ ๐ด โ โ) |
5 | rpre 12982 | . . . . . . . 8 โข (๐ต โ โ+ โ ๐ต โ โ) | |
6 | 5 | adantl 483 | . . . . . . 7 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ ๐ต โ โ) |
7 | refldivcl 13788 | . . . . . . 7 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ (โโ(๐ด / ๐ต)) โ โ) | |
8 | 6, 7 | remulcld 11244 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ (๐ต ยท (โโ(๐ด / ๐ต))) โ โ) |
9 | 8 | recnd 11242 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ (๐ต ยท (โโ(๐ด / ๐ต))) โ โ) |
10 | 4, 9 | subeq0ad 11581 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ ((๐ด โ (๐ต ยท (โโ(๐ด / ๐ต)))) = 0 โ ๐ด = (๐ต ยท (โโ(๐ด / ๐ต))))) |
11 | 2, 10 | bitrd 279 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ ((๐ด mod ๐ต) = 0 โ ๐ด = (๐ต ยท (โโ(๐ด / ๐ต))))) |
12 | 7 | recnd 11242 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ (โโ(๐ด / ๐ต)) โ โ) |
13 | rpcnne0 12992 | . . . . . 6 โข (๐ต โ โ+ โ (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) | |
14 | 13 | adantl 483 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) |
15 | divmul2 11876 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง (โโ(๐ด / ๐ต)) โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) โ ((๐ด / ๐ต) = (โโ(๐ด / ๐ต)) โ ๐ด = (๐ต ยท (โโ(๐ด / ๐ต))))) | |
16 | 4, 12, 14, 15 | syl3anc 1372 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ ((๐ด / ๐ต) = (โโ(๐ด / ๐ต)) โ ๐ด = (๐ต ยท (โโ(๐ด / ๐ต))))) |
17 | eqcom 2740 | . . . 4 โข ((๐ด / ๐ต) = (โโ(๐ด / ๐ต)) โ (โโ(๐ด / ๐ต)) = (๐ด / ๐ต)) | |
18 | 16, 17 | bitr3di 286 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ (๐ด = (๐ต ยท (โโ(๐ด / ๐ต))) โ (โโ(๐ด / ๐ต)) = (๐ด / ๐ต))) |
19 | 11, 18 | bitrd 279 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ ((๐ด mod ๐ต) = 0 โ (โโ(๐ด / ๐ต)) = (๐ด / ๐ต))) |
20 | rerpdivcl 13004 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ (๐ด / ๐ต) โ โ) | |
21 | flidz 13775 | . . 3 โข ((๐ด / ๐ต) โ โ โ ((โโ(๐ด / ๐ต)) = (๐ด / ๐ต) โ (๐ด / ๐ต) โ โค)) | |
22 | 20, 21 | syl 17 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ ((โโ(๐ด / ๐ต)) = (๐ด / ๐ต) โ (๐ด / ๐ต) โ โค)) |
23 | 19, 22 | bitrd 279 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ ((๐ด mod ๐ต) = 0 โ (๐ด / ๐ต) โ โค)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โ wne 2941 โcfv 6544 (class class class)co 7409 โcc 11108 โcr 11109 0cc0 11110 ยท cmul 11115 โ cmin 11444 / cdiv 11871 โคcz 12558 โ+crp 12974 โcfl 13755 mod cmo 13834 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7725 ax-cnex 11166 ax-resscn 11167 ax-1cn 11168 ax-icn 11169 ax-addcl 11170 ax-addrcl 11171 ax-mulcl 11172 ax-mulrcl 11173 ax-mulcom 11174 ax-addass 11175 ax-mulass 11176 ax-distr 11177 ax-i2m1 11178 ax-1ne0 11179 ax-1rid 11180 ax-rnegex 11181 ax-rrecex 11182 ax-cnre 11183 ax-pre-lttri 11184 ax-pre-lttrn 11185 ax-pre-ltadd 11186 ax-pre-mulgt0 11187 ax-pre-sup 11188 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-iun 5000 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5575 df-eprel 5581 df-po 5589 df-so 5590 df-fr 5632 df-we 5634 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-riota 7365 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-om 7856 df-2nd 7976 df-frecs 8266 df-wrecs 8297 df-recs 8371 df-rdg 8410 df-er 8703 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-sup 9437 df-inf 9438 df-pnf 11250 df-mnf 11251 df-xr 11252 df-ltxr 11253 df-le 11254 df-sub 11446 df-neg 11447 df-div 11872 df-nn 12213 df-n0 12473 df-z 12559 df-uz 12823 df-rp 12975 df-fl 13757 df-mod 13835 |
This theorem is referenced by: mulmod0 13842 negmod0 13843 modid0 13862 2txmodxeq0 13896 addmodlteq 13911 dvdsval3 16201 mod2eq1n2dvds 16290 elqaalem2 25833 elqaalem3 25834 sineq0 26033 pellexlem6 41572 sineq0ALT 43698 oddfl 43987 dirker2re 44808 dirkerdenne0 44809 dirkertrigeqlem3 44816 dirkertrigeq 44817 dirkercncflem1 44819 dirkercncflem2 44820 dirkercncflem4 44822 fourierdlem24 44847 fourierswlem 44946 dfeven3 46326 dfodd4 46327 mod0mul 47205 dignn0fr 47287 digexp 47293 0dig2nn0e 47298 dignn0flhalflem1 47301 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |