MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mod0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mod0 13841
Description: ๐ด mod ๐ต is zero iff ๐ด is evenly divisible by ๐ต. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Fan Zheng, 7-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
mod0 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐ต) = 0 โ†” (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ค))

Proof of Theorem mod0
StepHypRef Expression
1 modval 13836 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
21eqeq1d 2735 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐ต) = 0 โ†” (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))) = 0))
3 recn 11200 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
43adantr 482 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5 rpre 12982 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
65adantl 483 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
7 refldivcl 13788 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„)
86, 7remulcld 11244 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) โˆˆ โ„)
98recnd 11242 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
104, 9subeq0ad 11581 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))) = 0 โ†” ๐ด = (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
112, 10bitrd 279 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐ต) = 0 โ†” ๐ด = (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
127recnd 11242 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
13 rpcnne0 12992 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
1413adantl 483 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
15 divmul2 11876 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โ†” ๐ด = (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
164, 12, 14, 15syl3anc 1372 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด / ๐ต) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โ†” ๐ด = (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
17 eqcom 2740 . . . 4 ((๐ด / ๐ต) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โ†” (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) = (๐ด / ๐ต))
1816, 17bitr3di 286 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด = (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) โ†” (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) = (๐ด / ๐ต)))
1911, 18bitrd 279 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐ต) = 0 โ†” (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) = (๐ด / ๐ต)))
20 rerpdivcl 13004 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
21 flidz 13775 . . 3 ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) = (๐ด / ๐ต) โ†” (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ค))
2220, 21syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) = (๐ด / ๐ต) โ†” (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ค))
2319, 22bitrd 279 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐ต) = 0 โ†” (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ค))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  โ„คcz 12558  โ„+crp 12974  โŒŠcfl 13755   mod cmo 13834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fl 13757  df-mod 13835
This theorem is referenced by:  mulmod0  13842  negmod0  13843  modid0  13862  2txmodxeq0  13896  addmodlteq  13911  dvdsval3  16201  mod2eq1n2dvds  16290  elqaalem2  25833  elqaalem3  25834  sineq0  26033  pellexlem6  41572  sineq0ALT  43698  oddfl  43987  dirker2re  44808  dirkerdenne0  44809  dirkertrigeqlem3  44816  dirkertrigeq  44817  dirkercncflem1  44819  dirkercncflem2  44820  dirkercncflem4  44822  fourierdlem24  44847  fourierswlem  44946  dfeven3  46326  dfodd4  46327  mod0mul  47205  dignn0fr  47287  digexp  47293  0dig2nn0e  47298  dignn0flhalflem1  47301
  Copyright terms: Public domain W3C validator