MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mod0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mod0 13788
Description: ๐ด mod ๐ต is zero iff ๐ด is evenly divisible by ๐ต. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Fan Zheng, 7-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
mod0 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐ต) = 0 โ†” (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ค))

Proof of Theorem mod0
StepHypRef Expression
1 modval 13783 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
21eqeq1d 2739 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐ต) = 0 โ†” (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))) = 0))
3 recn 11148 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
43adantr 482 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5 rpre 12930 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
65adantl 483 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
7 refldivcl 13735 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„)
86, 7remulcld 11192 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) โˆˆ โ„)
98recnd 11190 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
104, 9subeq0ad 11529 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))) = 0 โ†” ๐ด = (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
112, 10bitrd 279 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐ต) = 0 โ†” ๐ด = (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
127recnd 11190 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
13 rpcnne0 12940 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
1413adantl 483 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
15 divmul2 11824 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โ†” ๐ด = (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
164, 12, 14, 15syl3anc 1372 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด / ๐ต) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โ†” ๐ด = (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
17 eqcom 2744 . . . 4 ((๐ด / ๐ต) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โ†” (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) = (๐ด / ๐ต))
1816, 17bitr3di 286 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด = (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) โ†” (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) = (๐ด / ๐ต)))
1911, 18bitrd 279 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐ต) = 0 โ†” (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) = (๐ด / ๐ต)))
20 rerpdivcl 12952 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
21 flidz 13722 . . 3 ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) = (๐ด / ๐ต) โ†” (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ค))
2220, 21syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) = (๐ด / ๐ต) โ†” (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ค))
2319, 22bitrd 279 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐ต) = 0 โ†” (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ค))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  โ„คcz 12506  โ„+crp 12922  โŒŠcfl 13702   mod cmo 13781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fl 13704  df-mod 13782
This theorem is referenced by:  mulmod0  13789  negmod0  13790  modid0  13809  2txmodxeq0  13843  addmodlteq  13858  dvdsval3  16147  mod2eq1n2dvds  16236  elqaalem2  25696  elqaalem3  25697  sineq0  25896  pellexlem6  41186  sineq0ALT  43293  oddfl  43585  dirker2re  44407  dirkerdenne0  44408  dirkertrigeqlem3  44415  dirkertrigeq  44416  dirkercncflem1  44418  dirkercncflem2  44419  dirkercncflem4  44421  fourierdlem24  44446  fourierswlem  44545  dfeven3  45924  dfodd4  45925  mod0mul  46679  dignn0fr  46761  digexp  46767  0dig2nn0e  46772  dignn0flhalflem1  46775
  Copyright terms: Public domain W3C validator