Theorem mod0 13828

Description: 𝐴 mod 𝐵 is zero iff 𝐴 is evenly divisible by 𝐵. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Fan Zheng, 7-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mod0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))

Proof of Theorem mod0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modval 13823	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
2	1	eqeq1d 2735	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = 0))
3		recn 11187	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		rpre 12969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		refldivcl 13775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
8	6, 7	remulcld 11231	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11229	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ∈ ℂ)
10	4, 9	subeq0ad 11568	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = 0 ↔ 𝐴 = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
11	2, 10	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
12	7	recnd 11229	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
13		rpcnne0 12979	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
14	13	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
15		divmul2 11863	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ↔ 𝐴 = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
16	4, 12, 14, 15	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ↔ 𝐴 = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
17		eqcom 2740	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵))
18	16, 17	bitr3di 286	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵)))
19	11, 18	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵)))
20		rerpdivcl 12991	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
21		flidz 13762	. . 3 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵) ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
22	20, 21	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵) ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
23	19, 22	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ‘cfv 6535  (class class class)co 7396  ℂcc 11095  ℝcr 11096  0cc0 11097   · cmul 11102   − cmin 11431   / cdiv 11858  ℤcz 12545  ℝ⁺crp 12961  ⌊cfl 13742   mod cmo 13821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-pre-sup 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9424  df-inf 9425  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-nn 12200  df-n0 12460  df-z 12546  df-uz 12810  df-rp 12962  df-fl 13744  df-mod 13822

This theorem is referenced by:  mulmod0  13829  negmod0  13830  modid0  13849  2txmodxeq0  13883  addmodlteq  13898  dvdsval3  16188  mod2eq1n2dvds  16277  elqaalem2  25802  elqaalem3  25803  sineq0  26002  pellexlem6  41443  sineq0ALT  43569  oddfl  43860  dirker2re  44681  dirkerdenne0  44682  dirkertrigeqlem3  44689  dirkertrigeq  44690  dirkercncflem1  44692  dirkercncflem2  44693  dirkercncflem4  44695  fourierdlem24  44720  fourierswlem  44819  dfeven3  46199  dfodd4  46200  mod0mul  47045  dignn0fr  47127  digexp  47133  0dig2nn0e  47138  dignn0flhalflem1  47141