Theorem modcyc 13920

Description: The modulo operation is periodic. (Contributed by NM, 10-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
modcyc	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))

Proof of Theorem modcyc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12608	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		rpre 13030	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
3		remulcl 11234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑁 · 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2an 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑁 · 𝐵) ∈ ℝ)
5		readdcl 11232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 𝐵) ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) ∈ ℝ)
6	4, 5	sylan2 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)) → (𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) ∈ ℝ)
7	6	3impb 1112	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) ∈ ℝ)
8		simp3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
9		modval 13885	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵)))))
10	7, 8, 9	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵)))))
11		recn 11239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	4	recnd 11283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑁 · 𝐵) ∈ ℂ)
14	13	3adant1 1127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑁 · 𝐵) ∈ ℂ)
15		rpcnne0 13040	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
16	15	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
17		divdir 11939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) + ((𝑁 · 𝐵) / 𝐵)))
18	12, 14, 16, 17	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) + ((𝑁 · 𝐵) / 𝐵)))
19		zcn 12609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
20		divcan4 11941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝑁 · 𝐵) / 𝐵) = 𝑁)
21	20	3expb 1117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝑁 · 𝐵) / 𝐵) = 𝑁)
22	19, 15, 21	syl2an 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝑁 · 𝐵) / 𝐵) = 𝑁)
23	22	3adant1 1127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝑁 · 𝐵) / 𝐵) = 𝑁)
24	23	oveq2d 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) + ((𝑁 · 𝐵) / 𝐵)) = ((𝐴 / 𝐵) + 𝑁))
25	18, 24	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) + 𝑁))
26	25	fveq2d 6897	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵)) = (⌊‘((𝐴 / 𝐵) + 𝑁)))
27		rerpdivcl 13052	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
28	27	3adant2 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
29		simp2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℤ)
30		fladdz 13839	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝐴 / 𝐵) + 𝑁)) = ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 𝑁))
31	28, 29, 30	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘((𝐴 / 𝐵) + 𝑁)) = ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 𝑁))
32	26, 31	eqtrd 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵)) = ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 𝑁))
33	32	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵))) = (𝐵 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 𝑁)))
34		rpcn 13032	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
35	34	3ad2ant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
36		reflcl 13810	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
37	36	recnd 11283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
38	27, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
39	38	3adant2 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
40	19	3ad2ant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℂ)
41	35, 39, 40	adddid 11279	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 𝑁)) = ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝐵 · 𝑁)))
42		mulcom 11235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑁 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑁))
43	19, 34, 42	syl2an 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑁 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑁))
44	43	3adant1 1127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑁 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑁))
45	44	eqcomd 2732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · 𝑁) = (𝑁 · 𝐵))
46	45	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝐵 · 𝑁)) = ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝑁 · 𝐵)))
47	33, 41, 46	3eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵))) = ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝑁 · 𝐵)))
48	47	oveq2d 7432	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵)))) = ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) − ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝑁 · 𝐵))))
49	34	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
50	49, 38	mulcld 11275	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ∈ ℂ)
51	50	3adant2 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ∈ ℂ)
52	12, 51, 14	pnpcan2d 11650	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) − ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝑁 · 𝐵))) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
53	10, 48, 52	3eqtrd 2770	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
54		modval 13885	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
55	54	3adant2 1128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
56	53, 55	eqtr4d 2769	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))
57	56	3com23 1123	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  ℂcc 11147  ℝcr 11148  0cc0 11149   + caddc 11152   · cmul 11154   − cmin 11485   / cdiv 11912  ℤcz 12604  ℝ⁺crp 13022  ⌊cfl 13804   mod cmo 13883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9478  df-inf 9479  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fl 13806  df-mod 13884

This theorem is referenced by:  modcyc2  13921  muladdmodid  13925  negmod  13930  modsumfzodifsn  13958  modxai  17065  wilthlem1  27093  wilthlem2  27094  lgsdir2lem1  27351  lgsdir2lem5  27355  lgseisenlem1  27401  dirkerper  45753  sqwvfoura  45885  sqwvfourb  45886  fourierswlem  45887  fouriersw  45888  3exp4mod41  47224  m1modmmod  47945