Theorem modcyc 13871

Description: The modulo operation is periodic. (Contributed by NM, 10-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
modcyc	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))

Proof of Theorem modcyc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12562	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		rpre 12982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
3		remulcl 11195	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑁 · 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑁 · 𝐵) ∈ ℝ)
5		readdcl 11193	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 𝐵) ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) ∈ ℝ)
6	4, 5	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)) → (𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) ∈ ℝ)
7	6	3impb 1116	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) ∈ ℝ)
8		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
9		modval 13836	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵)))))
10	7, 8, 9	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵)))))
11		recn 11200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	4	recnd 11242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑁 · 𝐵) ∈ ℂ)
14	13	3adant1 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑁 · 𝐵) ∈ ℂ)
15		rpcnne0 12992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
16	15	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
17		divdir 11897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) + ((𝑁 · 𝐵) / 𝐵)))
18	12, 14, 16, 17	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) + ((𝑁 · 𝐵) / 𝐵)))
19		zcn 12563	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
20		divcan4 11899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝑁 · 𝐵) / 𝐵) = 𝑁)
21	20	3expb 1121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝑁 · 𝐵) / 𝐵) = 𝑁)
22	19, 15, 21	syl2an 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝑁 · 𝐵) / 𝐵) = 𝑁)
23	22	3adant1 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝑁 · 𝐵) / 𝐵) = 𝑁)
24	23	oveq2d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) + ((𝑁 · 𝐵) / 𝐵)) = ((𝐴 / 𝐵) + 𝑁))
25	18, 24	eqtrd 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) + 𝑁))
26	25	fveq2d 6896	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵)) = (⌊‘((𝐴 / 𝐵) + 𝑁)))
27		rerpdivcl 13004	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
28	27	3adant2 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
29		simp2 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℤ)
30		fladdz 13790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝐴 / 𝐵) + 𝑁)) = ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 𝑁))
31	28, 29, 30	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘((𝐴 / 𝐵) + 𝑁)) = ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 𝑁))
32	26, 31	eqtrd 2773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵)) = ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 𝑁))
33	32	oveq2d 7425	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵))) = (𝐵 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 𝑁)))
34		rpcn 12984	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
35	34	3ad2ant3 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
36		reflcl 13761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
37	36	recnd 11242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
38	27, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
39	38	3adant2 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
40	19	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℂ)
41	35, 39, 40	adddid 11238	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 𝑁)) = ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝐵 · 𝑁)))
42		mulcom 11196	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑁 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑁))
43	19, 34, 42	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑁 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑁))
44	43	3adant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑁 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑁))
45	44	eqcomd 2739	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · 𝑁) = (𝑁 · 𝐵))
46	45	oveq2d 7425	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝐵 · 𝑁)) = ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝑁 · 𝐵)))
47	33, 41, 46	3eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵))) = ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝑁 · 𝐵)))
48	47	oveq2d 7425	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵)))) = ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) − ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝑁 · 𝐵))))
49	34	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
50	49, 38	mulcld 11234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ∈ ℂ)
51	50	3adant2 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ∈ ℂ)
52	12, 51, 14	pnpcan2d 11609	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) − ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝑁 · 𝐵))) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
53	10, 48, 52	3eqtrd 2777	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
54		modval 13836	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
55	54	3adant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
56	53, 55	eqtr4d 2776	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))
57	56	3com23 1127	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  ℝcr 11109  0cc0 11110   + caddc 11113   · cmul 11115   − cmin 11444   / cdiv 11871  ℤcz 12558  ℝ⁺crp 12974  ⌊cfl 13755   mod cmo 13834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fl 13757  df-mod 13835

This theorem is referenced by:  modcyc2  13872  muladdmodid  13876  negmod  13881  modsumfzodifsn  13909  modxai  17001  wilthlem1  26572  wilthlem2  26573  lgsdir2lem1  26828  lgsdir2lem5  26832  lgseisenlem1  26878  dirkerper  44860  sqwvfoura  44992  sqwvfourb  44993  fourierswlem  44994  fouriersw  44995  3exp4mod41  46332  m1modmmod  47255