MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modcyc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modcyc 13877
Description: The modulo operation is periodic. (Contributed by NM, 10-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
modcyc ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) mod ๐ต) = (๐ด mod ๐ต))

Proof of Theorem modcyc
StepHypRef Expression
1 zre 12568 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2 rpre 12988 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3 remulcl 11199 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
41, 2, 3syl2an 594 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
5 readdcl 11197 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
64, 5sylan2 591 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+)) โ†’ (๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
763impb 1113 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
8 simp3 1136 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
9 modval 13842 . . . . 5 (((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) mod ๐ต) = ((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) / ๐ต)))))
107, 8, 9syl2anc 582 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) mod ๐ต) = ((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) / ๐ต)))))
11 recn 11204 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
12113ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
134recnd 11248 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
14133adant1 1128 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
15 rpcnne0 12998 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
16153ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
17 divdir 11903 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) / ๐ต) = ((๐ด / ๐ต) + ((๐‘ ยท ๐ต) / ๐ต)))
1812, 14, 16, 17syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) / ๐ต) = ((๐ด / ๐ต) + ((๐‘ ยท ๐ต) / ๐ต)))
19 zcn 12569 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
20 divcan4 11905 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ต) / ๐ต) = ๐‘)
21203expb 1118 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ต) / ๐ต) = ๐‘)
2219, 15, 21syl2an 594 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ต) / ๐ต) = ๐‘)
23223adant1 1128 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ต) / ๐ต) = ๐‘)
2423oveq2d 7429 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด / ๐ต) + ((๐‘ ยท ๐ต) / ๐ต)) = ((๐ด / ๐ต) + ๐‘))
2518, 24eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) / ๐ต) = ((๐ด / ๐ต) + ๐‘))
2625fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) / ๐ต)) = (โŒŠโ€˜((๐ด / ๐ต) + ๐‘)))
27 rerpdivcl 13010 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
28273adant2 1129 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
29 simp2 1135 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
30 fladdz 13796 . . . . . . . . 9 (((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ด / ๐ต) + ๐‘)) = ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) + ๐‘))
3128, 29, 30syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ด / ๐ต) + ๐‘)) = ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) + ๐‘))
3226, 31eqtrd 2770 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) / ๐ต)) = ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) + ๐‘))
3332oveq2d 7429 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) / ๐ต))) = (๐ต ยท ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) + ๐‘)))
34 rpcn 12990 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
35343ad2ant3 1133 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
36 reflcl 13767 . . . . . . . . . 10 ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„)
3736recnd 11248 . . . . . . . . 9 ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3827, 37syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
39383adant2 1129 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
40193ad2ant2 1132 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4135, 39, 40adddid 11244 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต ยท ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) + ๐‘)) = ((๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) + (๐ต ยท ๐‘)))
42 mulcom 11200 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘))
4319, 34, 42syl2an 594 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘))
44433adant1 1128 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐‘))
4544eqcomd 2736 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐ต))
4645oveq2d 7429 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) + (๐ต ยท ๐‘)) = ((๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) + (๐‘ ยท ๐ต)))
4733, 41, 463eqtrd 2774 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) / ๐ต))) = ((๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) + (๐‘ ยท ๐ต)))
4847oveq2d 7429 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) / ๐ต)))) = ((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) + (๐‘ ยท ๐ต))))
4934adantl 480 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
5049, 38mulcld 11240 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
51503adant2 1129 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
5212, 51, 14pnpcan2d 11615 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) + (๐‘ ยท ๐ต))) = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
5310, 48, 523eqtrd 2774 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) mod ๐ต) = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
54 modval 13842 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
55543adant2 1129 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
5653, 55eqtr4d 2773 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) mod ๐ต) = (๐ด mod ๐ต))
57563com23 1124 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) mod ๐ต) = (๐ด mod ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11112  โ„cr 11113  0cc0 11114   + caddc 11117   ยท cmul 11119   โˆ’ cmin 11450   / cdiv 11877  โ„คcz 12564  โ„+crp 12980  โŒŠcfl 13761   mod cmo 13840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-rp 12981  df-fl 13763  df-mod 13841
This theorem is referenced by:  modcyc2  13878  muladdmodid  13882  negmod  13887  modsumfzodifsn  13915  modxai  17007  wilthlem1  26806  wilthlem2  26807  lgsdir2lem1  27062  lgsdir2lem5  27066  lgseisenlem1  27112  dirkerper  45112  sqwvfoura  45244  sqwvfourb  45245  fourierswlem  45246  fouriersw  45247  3exp4mod41  46584  m1modmmod  47296
  Copyright terms: Public domain W3C validator