Theorem modcyc 13854

Description: The modulo operation is periodic. (Contributed by NM, 10-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
modcyc	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))

Proof of Theorem modcyc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12517	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		rpre 12940	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
3		remulcl 11112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑁 · 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑁 · 𝐵) ∈ ℝ)
5		readdcl 11110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 𝐵) ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) ∈ ℝ)
6	4, 5	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+)) → (𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) ∈ ℝ)
7	6	3impb 1115	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) ∈ ℝ)
8		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
9		modval 13819	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵)))))
10	7, 8, 9	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵)))))
11		recn 11117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	4	recnd 11162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑁 · 𝐵) ∈ ℂ)
14	13	3adant1 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑁 · 𝐵) ∈ ℂ)
15		rpcnne0 12950	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
16	15	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
17		divdir 11823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) + ((𝑁 · 𝐵) / 𝐵)))
18	12, 14, 16, 17	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) + ((𝑁 · 𝐵) / 𝐵)))
19		zcn 12518	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
20		divcan4 11825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝑁 · 𝐵) / 𝐵) = 𝑁)
21	20	3expb 1121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝑁 · 𝐵) / 𝐵) = 𝑁)
22	19, 15, 21	syl2an 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝑁 · 𝐵) / 𝐵) = 𝑁)
23	22	3adant1 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝑁 · 𝐵) / 𝐵) = 𝑁)
24	23	oveq2d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) + ((𝑁 · 𝐵) / 𝐵)) = ((𝐴 / 𝐵) + 𝑁))
25	18, 24	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) + 𝑁))
26	25	fveq2d 6836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵)) = (⌊‘((𝐴 / 𝐵) + 𝑁)))
27		rerpdivcl 12963	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
28	27	3adant2 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
29		simp2 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℤ)
30		fladdz 13773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝐴 / 𝐵) + 𝑁)) = ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 𝑁))
31	28, 29, 30	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘((𝐴 / 𝐵) + 𝑁)) = ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 𝑁))
32	26, 31	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵)) = ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 𝑁))
33	32	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵))) = (𝐵 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 𝑁)))
34		rpcn 12942	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
35	34	3ad2ant3 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
36		reflcl 13744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
37	36	recnd 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
38	27, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
39	38	3adant2 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
40	19	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℂ)
41	35, 39, 40	adddid 11158	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 𝑁)) = ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝐵 · 𝑁)))
42		mulcom 11113	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑁 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑁))
43	19, 34, 42	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑁 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑁))
44	43	3adant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑁 · 𝐵) = (𝐵 · 𝑁))
45	44	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · 𝑁) = (𝑁 · 𝐵))
46	45	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝐵 · 𝑁)) = ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝑁 · 𝐵)))
47	33, 41, 46	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵))) = ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝑁 · 𝐵)))
48	47	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵)))) = ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) − ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝑁 · 𝐵))))
49	34	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
50	49, 38	mulcld 11154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ∈ ℂ)
51	50	3adant2 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ∈ ℂ)
52	12, 51, 14	pnpcan2d 11532	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) − ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝑁 · 𝐵))) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
53	10, 48, 52	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
54		modval 13819	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
55	54	3adant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
56	53, 55	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))
57	56	3com23 1127	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  ℝcr 11026  0cc0 11027   + caddc 11030   · cmul 11032   − cmin 11366   / cdiv 11796  ℤcz 12513  ℝ⁺crp 12931  ⌊cfl 13738   mod cmo 13817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-fl 13740  df-mod 13818

This theorem is referenced by:  modcyc2  13855  muladdmodid  13861  negmod  13867  modsumfzodifsn  13895  modxai  17028  wilthlem1  27049  wilthlem2  27050  lgsdir2lem1  27307  lgsdir2lem5  27311  lgseisenlem1  27357  dirkerper  46539  sqwvfoura  46671  sqwvfourb  46672  fourierswlem  46673  fouriersw  46674  m1modmmod  47809  3exp4mod41  48076