Theorem modirr 13859

Description: A number modulo an irrational multiple of it is nonzero. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
modirr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ)) → (𝐴 mod 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem modirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3909	. . 3 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ))
2		modval 13785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
3	2	eqeq1d 2735	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = 0))
4		recn 11106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		rpre 12909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
8		refldivcl 13737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
9	7, 8	remulcld 11152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ∈ ℂ)
11	5, 10	subeq0ad 11492	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = 0 ↔ 𝐴 = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
12		rerpdivcl 12932	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
13		reflcl 13710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
15	12, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
16		rpcnne0 12919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
17	16	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
18		divmul2 11790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ↔ 𝐴 = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
19	5, 15, 17, 18	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ↔ 𝐴 = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
20		eqcom 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵))
21	19, 20	bitr3di 286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵)))
22	3, 11, 21	3bitrd 305	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵)))
23		flidz 13724	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵) ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
24		zq 12862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
25	23, 24	biimtrdi 253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ))
26	12, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ))
27	22, 26	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ))
28	27	necon3bd 2944	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (¬ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → (𝐴 mod 𝐵) ≠ 0))
29	28	adantld 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ) → (𝐴 mod 𝐵) ≠ 0))
30	1, 29	biimtrid 242	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ) → (𝐴 mod 𝐵) ≠ 0))
31	30	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ)) → (𝐴 mod 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   ∖ cdif 3896  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℂcc 11014  ℝcr 11015  0cc0 11016   · cmul 11021   − cmin 11354   / cdiv 11784  ℤcz 12478  ℚcq 12856  ℝ⁺crp 12900  ⌊cfl 13704   mod cmo 13783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-q 12857  df-rp 12901  df-fl 13706  df-mod 13784

This theorem is referenced by: (None)