Theorem modmul1 13851

Description: Multiplication property of the modulo operation. Note that the multiplier 𝐶 must be an integer. (Contributed by NM, 12-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
modmul1	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))

Proof of Theorem modmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modval 13795	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
2		modval 13795	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐷) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
3	1, 2	eqeqan12d 2751	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
4	3	anandirs 680	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
5	4	adantrl 717	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
6		oveq1 7367	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶))
7	5, 6	biimtrdi 253	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶)))
8		rpcn 12920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 𝐷 ∈ ℂ)
9	8	ad2antll 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ∈ ℂ)
10		zcn 12497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
11	10	ad2antrl 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℂ)
12		rerpdivcl 12941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐷) ∈ ℝ)
13	12	flcld 13722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℂ)
15	14	adantrl 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℂ)
16	9, 11, 15	mulassd 11159	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) = (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
17	9, 11, 15	mul32d 11347	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶))
18	16, 17	eqtr3d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶))
19	18	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐴 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶)))
20		recn 11120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
21	20	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℂ)
22	8	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℂ)
23	22, 14	mulcld 11156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℂ)
24	23	adantrl 717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℂ)
25	21, 24, 11	subdird 11598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶)))
26	19, 25	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶))
27	26	adantlr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶))
28	8	ad2antll 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ∈ ℂ)
29	10	ad2antrl 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℂ)
30		rerpdivcl 12941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℝ)
31	30	flcld 13722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ)
32	31	zcnd 12601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ)
33	32	adantrl 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ)
34	28, 29, 33	mulassd 11159	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) = (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
35	28, 29, 33	mul32d 11347	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶))
36	34, 35	eqtr3d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶))
37	36	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶)))
38		recn 11120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
39	38	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐵 ∈ ℂ)
40	8	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℂ)
41	40, 32	mulcld 11156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℂ)
42	41	adantrl 717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℂ)
43	39, 42, 29	subdird 11598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶)))
44	37, 43	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶))
45	44	adantll 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶))
46	27, 45	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) ↔ ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶)))
47	7, 46	sylibrd 259	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))))
48		oveq1 7367	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷))
49		zre 12496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℝ)
50		remulcl 11115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
51	49, 50	sylan2 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
52	51	adantrr 718	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
53		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
54		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℤ)
55	13	adantrl 717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ)
56	54, 55	zmulcld 12606	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℤ)
57		modcyc2 13831	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℤ) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷))
58	52, 53, 56, 57	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷))
59	58	adantlr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷))
60		remulcl 11115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
61	49, 60	sylan2 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
62	61	adantrr 718	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
63		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
64		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℤ)
65	31	adantrl 717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ)
66	64, 65	zmulcld 12606	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℤ)
67		modcyc2 13831	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℤ) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))
68	62, 63, 66, 67	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))
69	68	adantll 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))
70	59, 69	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) ↔ ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷)))
71	48, 70	imbitrid 244	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷)))
72	47, 71	syld 47	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷)))
73	72	3impia 1118	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  ℝcr 11029   · cmul 11035   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℤcz 12492  ℝ⁺crp 12909  ⌊cfl 13714   mod cmo 13793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-fl 13716  df-mod 13794

This theorem is referenced by:  modmul12d  13852  modnegd  13853  modmulmod  13863  eulerthlem2  16713  fermltl  16715  odzdvds  16727  wilthlem2  27039  lgsdir2lem4  27299  lgsdirprm  27302  gausslemma2d  27345  pellexlem6  43112