Theorem modmul1 13927

Description: Multiplication property of the modulo operation. Note that the multiplier 𝐶 must be an integer. (Contributed by NM, 12-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
modmul1	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))

Proof of Theorem modmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modval 13871	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
2		modval 13871	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐷) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
3	1, 2	eqeqan12d 2770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
4	3	anandirs 687	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
5	4	adantrl 724	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
6		oveq1 7392	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶))
7	5, 6	biimtrdi 255	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶)))
8		rpcn 12994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 𝐷 ∈ ℂ)
9	8	ad2antll 737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ∈ ℂ)
10		zcn 12563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
11	10	ad2antrl 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℂ)
12		rerpdivcl 13015	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐷) ∈ ℝ)
13	12	flcld 13798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℂ)
15	14	adantrl 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℂ)
16	9, 11, 15	mulassd 11195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) = (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
17	9, 11, 15	mul32d 11383	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶))
18	16, 17	eqtr3d 2793	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶))
19	18	oveq2d 7401	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐴 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶)))
20		recn 11153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
21	20	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℂ)
22	8	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℂ)
23	22, 14	mulcld 11192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℂ)
24	23	adantrl 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℂ)
25	21, 24, 11	subdird 11634	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶)))
26	19, 25	eqtr4d 2794	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶))
27	26	adantlr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶))
28	8	ad2antll 737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ∈ ℂ)
29	10	ad2antrl 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℂ)
30		rerpdivcl 13015	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℝ)
31	30	flcld 13798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ)
32	31	zcnd 12668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ)
33	32	adantrl 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ)
34	28, 29, 33	mulassd 11195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) = (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
35	28, 29, 33	mul32d 11383	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶))
36	34, 35	eqtr3d 2793	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶))
37	36	oveq2d 7401	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶)))
38		recn 11153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
39	38	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐵 ∈ ℂ)
40	8	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℂ)
41	40, 32	mulcld 11192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℂ)
42	41	adantrl 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℂ)
43	39, 42, 29	subdird 11634	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶)))
44	37, 43	eqtr4d 2794	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶))
45	44	adantll 722	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶))
46	27, 45	eqeq12d 2772	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) ↔ ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶)))
47	7, 46	sylibrd 261	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))))
48		oveq1 7392	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷))
49		zre 12562	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℝ)
50		remulcl 11148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
51	49, 50	sylan2 601	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
52	51	adantrr 725	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
53		simprr 780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
54		simprl 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℤ)
55	13	adantrl 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ)
56	54, 55	zmulcld 12673	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℤ)
57		modcyc2 13907	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℤ) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷))
58	52, 53, 56, 57	syl3anc 1386	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷))
59	58	adantlr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷))
60		remulcl 11148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
61	49, 60	sylan2 601	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
62	61	adantrr 725	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
63		simprr 780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
64		simprl 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℤ)
65	31	adantrl 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ)
66	64, 65	zmulcld 12673	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℤ)
67		modcyc2 13907	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℤ) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))
68	62, 63, 66, 67	syl3anc 1386	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))
69	68	adantll 722	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))
70	59, 69	eqeq12d 2772	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) ↔ ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷)))
71	48, 70	imbitrid 246	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷)))
72	47, 71	syld 47	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷)))
73	72	3impia 1126	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  ℂcc 11061  ℝcr 11062   · cmul 11068   − cmin 11404   / cdiv 11834  ℤcz 12558  ℝ⁺crp 12983  ⌊cfl 13790   mod cmo 13869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-rp 12984  df-fl 13792  df-mod 13870

This theorem is referenced by:  modmul12d  13928  modnegd  13929  modmulmod  13939  eulerthlem2  16793  fermltl  16795  odzdvds  16807  wilthlem2  27103  lgsdir2lem4  27362  lgsdirprm  27365  gausslemma2d  27408  pellexlem6  43359