Theorem modmul1 13967

Description: Multiplication property of the modulo operation. Note that the multiplier 𝐶 must be an integer. (Contributed by NM, 12-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
modmul1	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))

Proof of Theorem modmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modval 13911	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
2		modval 13911	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐷) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
3	1, 2	eqeqan12d 2776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
4	3	anandirs 691	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
5	4	adantrl 728	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
6		oveq1 7419	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶))
7	5, 6	biimtrdi 256	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶)))
8		rpcn 13033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 𝐷 ∈ ℂ)
9	8	ad2antll 741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ∈ ℂ)
10		zcn 12602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
11	10	ad2antrl 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℂ)
12		rerpdivcl 13054	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐷) ∈ ℝ)
13	12	flcld 13838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℂ)
15	14	adantrl 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℂ)
16	9, 11, 15	mulassd 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) = (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
17	9, 11, 15	mul32d 11426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶))
18	16, 17	eqtr3d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶))
19	18	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐴 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶)))
20		recn 11196	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
21	20	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℂ)
22	8	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℂ)
23	22, 14	mulcld 11235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℂ)
24	23	adantrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℂ)
25	21, 24, 11	subdird 11677	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶)))
26	19, 25	eqtr4d 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶))
27	26	adantlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶))
28	8	ad2antll 741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ∈ ℂ)
29	10	ad2antrl 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℂ)
30		rerpdivcl 13054	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℝ)
31	30	flcld 13838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ)
32	31	zcnd 12707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ)
33	32	adantrl 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ)
34	28, 29, 33	mulassd 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) = (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
35	28, 29, 33	mul32d 11426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶))
36	34, 35	eqtr3d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶))
37	36	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶)))
38		recn 11196	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
39	38	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐵 ∈ ℂ)
40	8	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℂ)
41	40, 32	mulcld 11235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℂ)
42	41	adantrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℂ)
43	39, 42, 29	subdird 11677	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶)))
44	37, 43	eqtr4d 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶))
45	44	adantll 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶))
46	27, 45	eqeq12d 2778	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) ↔ ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶)))
47	7, 46	sylibrd 262	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))))
48		oveq1 7419	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷))
49		zre 12601	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℝ)
50		remulcl 11191	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
51	49, 50	sylan2 604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
52	51	adantrr 729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
53		simprr 784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
54		simprl 782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℤ)
55	13	adantrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ)
56	54, 55	zmulcld 12712	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℤ)
57		modcyc2 13947	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℤ) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷))
58	52, 53, 56, 57	syl3anc 1397	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷))
59	58	adantlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷))
60		remulcl 11191	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
61	49, 60	sylan2 604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
62	61	adantrr 729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
63		simprr 784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
64		simprl 782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℤ)
65	31	adantrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ)
66	64, 65	zmulcld 12712	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℤ)
67		modcyc2 13947	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℤ) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))
68	62, 63, 66, 67	syl3anc 1397	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))
69	68	adantll 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))
70	59, 69	eqeq12d 2778	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) ↔ ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷)))
71	48, 70	imbitrid 247	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷)))
72	47, 71	syld 48	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷)))
73	72	3impia 1134	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  ℝcr 11105   · cmul 11111   − cmin 11447   / cdiv 11877  ℤcz 12597  ℝ⁺crp 13022  ⌊cfl 13830   mod cmo 13909

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fl 13832  df-mod 13910

This theorem is used by:  modmul12d  13968  modnegd  13969  modmulmod  13979  eulerthlem2  16847  fermltl  16849  odzdvds  16861  wilthlem2  27244  lgsdir2lem4  27503  lgsdirprm  27506  gausslemma2d  27549  pellexlem6  43589