Theorem modmul1 13287

Description: Multiplication property of the modulo operation. Note that the multiplier 𝐶 must be an integer. (Contributed by NM, 12-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
modmul1	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))

Proof of Theorem modmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modval 13234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
2		modval 13234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐷) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
3	1, 2	eqeqan12d 2815	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
4	3	anandirs 678	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
5	4	adantrl 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
6		oveq1 7142	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶))
7	5, 6	syl6bi 256	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶)))
8		rpcn 12387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 𝐷 ∈ ℂ)
9	8	ad2antll 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ∈ ℂ)
10		zcn 11974	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
11	10	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℂ)
12		rerpdivcl 12407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐷) ∈ ℝ)
13	12	flcld 13163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℂ)
15	14	adantrl 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℂ)
16	9, 11, 15	mulassd 10653	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) = (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
17	9, 11, 15	mul32d 10839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶))
18	16, 17	eqtr3d 2835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶))
19	18	oveq2d 7151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐴 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶)))
20		recn 10616	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
21	20	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℂ)
22	8	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℂ)
23	22, 14	mulcld 10650	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℂ)
24	23	adantrl 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℂ)
25	21, 24, 11	subdird 11086	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶)))
26	19, 25	eqtr4d 2836	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶))
27	26	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶))
28	8	ad2antll 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ∈ ℂ)
29	10	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℂ)
30		rerpdivcl 12407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℝ)
31	30	flcld 13163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ)
32	31	zcnd 12076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ)
33	32	adantrl 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ)
34	28, 29, 33	mulassd 10653	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) = (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
35	28, 29, 33	mul32d 10839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶))
36	34, 35	eqtr3d 2835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶))
37	36	oveq2d 7151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶)))
38		recn 10616	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
39	38	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐵 ∈ ℂ)
40	8	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℂ)
41	40, 32	mulcld 10650	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℂ)
42	41	adantrl 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℂ)
43	39, 42, 29	subdird 11086	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶)))
44	37, 43	eqtr4d 2836	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶))
45	44	adantll 713	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶))
46	27, 45	eqeq12d 2814	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) ↔ ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶)))
47	7, 46	sylibrd 262	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))))
48		oveq1 7142	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷))
49		zre 11973	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℝ)
50		remulcl 10611	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
51	49, 50	sylan2 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
52	51	adantrr 716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
53		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
54		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℤ)
55	13	adantrl 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ)
56	54, 55	zmulcld 12081	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℤ)
57		modcyc2 13270	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℤ) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷))
58	52, 53, 56, 57	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷))
59	58	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷))
60		remulcl 10611	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
61	49, 60	sylan2 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
62	61	adantrr 716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
63		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
64		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℤ)
65	31	adantrl 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ)
66	64, 65	zmulcld 12081	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℤ)
67		modcyc2 13270	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℤ) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))
68	62, 63, 66, 67	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))
69	68	adantll 713	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))
70	59, 69	eqeq12d 2814	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) ↔ ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷)))
71	48, 70	syl5ib 247	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷)))
72	47, 71	syld 47	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷)))
73	72	3impia 1114	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525   · cmul 10531   − cmin 10859   / cdiv 11286  ℤcz 11969  ℝ⁺crp 12377  ⌊cfl 13155   mod cmo 13232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13157  df-mod 13233

This theorem is referenced by:  modmul12d  13288  modnegd  13289  modmulmod  13299  eulerthlem2  16109  fermltl  16111  odzdvds  16122  wilthlem2  25654  lgsdir2lem4  25912  lgsdirprm  25915  gausslemma2d  25958  pellexlem6  39775