MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  digit2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem digit2 14198
Description: Two ways to express the ๐พ th digit in the decimal (when base ๐ต = 10) expansion of a number ๐ด. ๐พ = 1 corresponds to the first digit after the decimal point. (Contributed by NM, 25-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
digit2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) mod ๐ต) = ((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐ด)))))

Proof of Theorem digit2
StepHypRef Expression
1 nnre 12218 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2 nnnn0 12478 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
3 reexpcl 14043 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘๐พ) โˆˆ โ„)
41, 2, 3syl2an 596 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ตโ†‘๐พ) โˆˆ โ„)
5 remulcl 11194 . . . . . 6 (((๐ตโ†‘๐พ) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
64, 5stoic3 1778 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
763comr 1125 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
8 reflcl 13760 . . . 4 (((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
97, 8syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
10 nnrp 12984 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
11103ad2ant2 1134 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
12 modval 13835 . . 3 (((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) mod ๐ต) = ((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) / ๐ต)))))
139, 11, 12syl2anc 584 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) mod ๐ต) = ((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) / ๐ต)))))
14 simp2 1137 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
15 fldiv 13824 . . . . . 6 ((((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) / ๐ต)) = (โŒŠโ€˜(((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด) / ๐ต)))
167, 14, 15syl2anc 584 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) / ๐ต)) = (โŒŠโ€˜(((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด) / ๐ต)))
17 nncn 12219 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
18 expcl 14044 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘๐พ) โˆˆ โ„‚)
1917, 2, 18syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ตโ†‘๐พ) โˆˆ โ„‚)
20193adant1 1130 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ตโ†‘๐พ) โˆˆ โ„‚)
21 recn 11199 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
22213ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
23 nnne0 12245 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โ‰  0)
2417, 23jca 512 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
25243ad2ant2 1134 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
26 div23 11890 . . . . . . . 8 (((๐ตโ†‘๐พ) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด) / ๐ต) = (((๐ตโ†‘๐พ) / ๐ต) ยท ๐ด))
2720, 22, 25, 26syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด) / ๐ต) = (((๐ตโ†‘๐พ) / ๐ต) ยท ๐ด))
28 nnz 12578 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
29 expm1 14077 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ตโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) = ((๐ตโ†‘๐พ) / ๐ต))
3017, 23, 28, 29syl2an3an 1422 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ตโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) = ((๐ตโ†‘๐พ) / ๐ต))
31303adant1 1130 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ตโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) = ((๐ตโ†‘๐พ) / ๐ต))
3231oveq1d 7423 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ตโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐ด) = (((๐ตโ†‘๐พ) / ๐ต) ยท ๐ด))
3327, 32eqtr4d 2775 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด) / ๐ต) = ((๐ตโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐ด))
3433fveq2d 6895 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด) / ๐ต)) = (โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐ด)))
3516, 34eqtrd 2772 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) / ๐ต)) = (โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐ด)))
3635oveq2d 7424 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) / ๐ต))) = (๐ต ยท (โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐ด))))
3736oveq2d 7424 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) / ๐ต)))) = ((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐ด)))))
3813, 37eqtrd 2772 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) mod ๐ต) = ((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐ด)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   ยท cmul 11114   โˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  โ„•cn 12211  โ„•0cn0 12471  โ„คcz 12557  โ„+crp 12973  โŒŠcfl 13754   mod cmo 13833  โ†‘cexp 14026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027
This theorem is referenced by:  digit1  14199
  Copyright terms: Public domain W3C validator