MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  digit2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem digit2 14052
Description: Two ways to express the 𝐾 th digit in the decimal (when base 𝐵 = 10) expansion of a number 𝐴. 𝐾 = 1 corresponds to the first digit after the decimal point. (Contributed by NM, 25-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
digit2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))

Proof of Theorem digit2
StepHypRef Expression
1 nnre 12081 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
2 nnnn0 12341 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
3 reexpcl 13900 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵𝐾) ∈ ℝ)
41, 2, 3syl2an 596 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵𝐾) ∈ ℝ)
5 remulcl 11057 . . . . . 6 (((𝐵𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ)
64, 5stoic3 1777 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ)
763comr 1124 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝐵𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ)
8 reflcl 13617 . . . 4 (((𝐵𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ)
10 nnrp 12842 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
11103ad2ant2 1133 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
12 modval 13692 . . 3 (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) / 𝐵)))))
139, 11, 12syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) / 𝐵)))))
14 simp2 1136 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
15 fldiv 13681 . . . . . 6 ((((𝐵𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) / 𝐵)) = (⌊‘(((𝐵𝐾) · 𝐴) / 𝐵)))
167, 14, 15syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) / 𝐵)) = (⌊‘(((𝐵𝐾) · 𝐴) / 𝐵)))
17 nncn 12082 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
18 expcl 13901 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵𝐾) ∈ ℂ)
1917, 2, 18syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵𝐾) ∈ ℂ)
20193adant1 1129 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵𝐾) ∈ ℂ)
21 recn 11062 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
22213ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
23 nnne0 12108 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
2417, 23jca 512 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
25243ad2ant2 1133 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
26 div23 11753 . . . . . . . 8 (((𝐵𝐾) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐵𝐾) · 𝐴) / 𝐵) = (((𝐵𝐾) / 𝐵) · 𝐴))
2720, 22, 25, 26syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝐵𝐾) · 𝐴) / 𝐵) = (((𝐵𝐾) / 𝐵) · 𝐴))
28 nnz 12443 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
29 expm1 13934 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) = ((𝐵𝐾) / 𝐵))
3017, 23, 28, 29syl2an3an 1421 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) = ((𝐵𝐾) / 𝐵))
31303adant1 1129 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) = ((𝐵𝐾) / 𝐵))
3231oveq1d 7352 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴) = (((𝐵𝐾) / 𝐵) · 𝐴))
3327, 32eqtr4d 2779 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝐵𝐾) · 𝐴) / 𝐵) = ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))
3433fveq2d 6829 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((𝐵𝐾) · 𝐴) / 𝐵)) = (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))
3516, 34eqtrd 2776 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) / 𝐵)) = (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))
3635oveq2d 7353 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵 · (⌊‘((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) / 𝐵))) = (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))))
3736oveq2d 7353 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) / 𝐵)))) = ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))
3813, 37eqtrd 2776 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  cfv 6479  (class class class)co 7337  cc 10970  cr 10971  0cc0 10972  1c1 10973   · cmul 10977  cmin 11306   / cdiv 11733  cn 12074  0cn0 12334  cz 12420  +crp 12831  cfl 13611   mod cmo 13690  cexp 13883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-sup 9299  df-inf 9300  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-rp 12832  df-fl 13613  df-mod 13691  df-seq 13823  df-exp 13884
This theorem is referenced by:  digit1  14053
  Copyright terms: Public domain W3C validator