Theorem digit2 14202

Description: Two ways to express the 𝐾 th digit in the decimal (when base 𝐵 = 10) expansion of a number 𝐴. 𝐾 = 1 corresponds to the first digit after the decimal point. (Contributed by NM, 25-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
digit2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))

Proof of Theorem digit2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12220	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
2		nnnn0 12480	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		reexpcl 14047	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ)
5		remulcl 11194	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵↑𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ)
6	4, 5	stoic3 1770	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ)
7	6	3comr 1122	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ)
8		reflcl 13764	. . . 4 ⊢ (((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ)
10		nnrp 12988	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
11	10	3ad2ant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
12		modval 13839	. . 3 ⊢ (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) / 𝐵)))))
13	9, 11, 12	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) / 𝐵)))))
14		simp2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
15		fldiv 13828	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) / 𝐵)) = (⌊‘(((𝐵↑𝐾) · 𝐴) / 𝐵)))
16	7, 14, 15	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) / 𝐵)) = (⌊‘(((𝐵↑𝐾) · 𝐴) / 𝐵)))
17		nncn 12221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
18		expcl 14048	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℂ)
19	17, 2, 18	syl2an 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℂ)
20	19	3adant1 1127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℂ)
21		recn 11199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
22	21	3ad2ant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
23		nnne0 12247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
24	17, 23	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
25	24	3ad2ant2 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
26		div23 11892	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵↑𝐾) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐵↑𝐾) · 𝐴) / 𝐵) = (((𝐵↑𝐾) / 𝐵) · 𝐴))
27	20, 22, 25, 26	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝐵↑𝐾) · 𝐴) / 𝐵) = (((𝐵↑𝐾) / 𝐵) · 𝐴))
28		nnz 12580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
29		expm1 14081	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) = ((𝐵↑𝐾) / 𝐵))
30	17, 23, 28, 29	syl2an3an 1419	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) = ((𝐵↑𝐾) / 𝐵))
31	30	3adant1 1127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) = ((𝐵↑𝐾) / 𝐵))
32	31	oveq1d 7419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴) = (((𝐵↑𝐾) / 𝐵) · 𝐴))
33	27, 32	eqtr4d 2769	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝐵↑𝐾) · 𝐴) / 𝐵) = ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))
34	33	fveq2d 6888	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((𝐵↑𝐾) · 𝐴) / 𝐵)) = (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))
35	16, 34	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) / 𝐵)) = (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))
36	35	oveq2d 7420	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵 · (⌊‘((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) / 𝐵))) = (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))))
37	36	oveq2d 7420	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) / 𝐵)))) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))
38	13, 37	eqtrd 2766	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  ℂcc 11107  ℝcr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   · cmul 11114   − cmin 11445   / cdiv 11872  ℕcn 12213  ℕ₀cn0 12473  ℤcz 12559  ℝ⁺crp 12977  ⌊cfl 13758   mod cmo 13837  ↑cexp 14030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031

This theorem is referenced by:  digit1  14203