Theorem digit2 14159

Description: Two ways to express the 𝐾 th digit in the decimal (when base 𝐵 = 10) expansion of a number 𝐴. 𝐾 = 1 corresponds to the first digit after the decimal point. (Contributed by NM, 25-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
digit2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))

Proof of Theorem digit2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12152	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
2		nnnn0 12408	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		reexpcl 14001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ)
5		remulcl 11111	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵↑𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ)
6	4, 5	stoic3 1777	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ)
7	6	3comr 1125	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ)
8		reflcl 13716	. . . 4 ⊢ (((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ)
10		nnrp 12917	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
11	10	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
12		modval 13791	. . 3 ⊢ (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) / 𝐵)))))
13	9, 11, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) / 𝐵)))))
14		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
15		fldiv 13780	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) / 𝐵)) = (⌊‘(((𝐵↑𝐾) · 𝐴) / 𝐵)))
16	7, 14, 15	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) / 𝐵)) = (⌊‘(((𝐵↑𝐾) · 𝐴) / 𝐵)))
17		nncn 12153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
18		expcl 14002	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℂ)
19	17, 2, 18	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℂ)
20	19	3adant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℂ)
21		recn 11116	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
22	21	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
23		nnne0 12179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
24	17, 23	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
25	24	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
26		div23 11815	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵↑𝐾) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐵↑𝐾) · 𝐴) / 𝐵) = (((𝐵↑𝐾) / 𝐵) · 𝐴))
27	20, 22, 25, 26	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝐵↑𝐾) · 𝐴) / 𝐵) = (((𝐵↑𝐾) / 𝐵) · 𝐴))
28		nnz 12509	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
29		expm1 14035	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) = ((𝐵↑𝐾) / 𝐵))
30	17, 23, 28, 29	syl2an3an 1424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) = ((𝐵↑𝐾) / 𝐵))
31	30	3adant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) = ((𝐵↑𝐾) / 𝐵))
32	31	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴) = (((𝐵↑𝐾) / 𝐵) · 𝐴))
33	27, 32	eqtr4d 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝐵↑𝐾) · 𝐴) / 𝐵) = ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))
34	33	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((𝐵↑𝐾) · 𝐴) / 𝐵)) = (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))
35	16, 34	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) / 𝐵)) = (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))
36	35	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵 · (⌊‘((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) / 𝐵))) = (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))))
37	36	oveq2d 7374	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) / 𝐵)))) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))
38	13, 37	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   · cmul 11031   − cmin 11364   / cdiv 11794  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ℝ⁺crp 12905  ⌊cfl 13710   mod cmo 13789  ↑cexp 13984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985

This theorem is referenced by:  digit1  14160