MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  digit2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem digit2 14231
Description: Two ways to express the ๐พ th digit in the decimal (when base ๐ต = 10) expansion of a number ๐ด. ๐พ = 1 corresponds to the first digit after the decimal point. (Contributed by NM, 25-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
digit2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) mod ๐ต) = ((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐ด)))))

Proof of Theorem digit2
StepHypRef Expression
1 nnre 12250 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2 nnnn0 12510 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
3 reexpcl 14076 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘๐พ) โˆˆ โ„)
41, 2, 3syl2an 595 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ตโ†‘๐พ) โˆˆ โ„)
5 remulcl 11224 . . . . . 6 (((๐ตโ†‘๐พ) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
64, 5stoic3 1771 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
763comr 1123 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
8 reflcl 13794 . . . 4 (((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
97, 8syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
10 nnrp 13018 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
11103ad2ant2 1132 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
12 modval 13869 . . 3 (((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) mod ๐ต) = ((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) / ๐ต)))))
139, 11, 12syl2anc 583 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) mod ๐ต) = ((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) / ๐ต)))))
14 simp2 1135 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
15 fldiv 13858 . . . . . 6 ((((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) / ๐ต)) = (โŒŠโ€˜(((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด) / ๐ต)))
167, 14, 15syl2anc 583 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) / ๐ต)) = (โŒŠโ€˜(((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด) / ๐ต)))
17 nncn 12251 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
18 expcl 14077 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘๐พ) โˆˆ โ„‚)
1917, 2, 18syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ตโ†‘๐พ) โˆˆ โ„‚)
20193adant1 1128 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ตโ†‘๐พ) โˆˆ โ„‚)
21 recn 11229 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
22213ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
23 nnne0 12277 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โ‰  0)
2417, 23jca 511 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
25243ad2ant2 1132 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
26 div23 11922 . . . . . . . 8 (((๐ตโ†‘๐พ) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด) / ๐ต) = (((๐ตโ†‘๐พ) / ๐ต) ยท ๐ด))
2720, 22, 25, 26syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด) / ๐ต) = (((๐ตโ†‘๐พ) / ๐ต) ยท ๐ด))
28 nnz 12610 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
29 expm1 14110 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ตโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) = ((๐ตโ†‘๐พ) / ๐ต))
3017, 23, 28, 29syl2an3an 1420 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ตโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) = ((๐ตโ†‘๐พ) / ๐ต))
31303adant1 1128 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ตโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) = ((๐ตโ†‘๐พ) / ๐ต))
3231oveq1d 7435 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ตโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐ด) = (((๐ตโ†‘๐พ) / ๐ต) ยท ๐ด))
3327, 32eqtr4d 2771 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด) / ๐ต) = ((๐ตโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐ด))
3433fveq2d 6901 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด) / ๐ต)) = (โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐ด)))
3516, 34eqtrd 2768 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) / ๐ต)) = (โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐ด)))
3635oveq2d 7436 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) / ๐ต))) = (๐ต ยท (โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐ด))))
3736oveq2d 7436 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) / ๐ต)))) = ((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐ด)))))
3813, 37eqtrd 2768 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) mod ๐ต) = ((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐ด)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2937  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11137  โ„cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   ยท cmul 11144   โˆ’ cmin 11475   / cdiv 11902  โ„•cn 12243  โ„•0cn0 12503  โ„คcz 12589  โ„+crp 13007  โŒŠcfl 13788   mod cmo 13867  โ†‘cexp 14059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060
This theorem is referenced by:  digit1  14232
  Copyright terms: Public domain W3C validator