MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  digit2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem digit2 14206
Description: Two ways to express the ๐พ th digit in the decimal (when base ๐ต = 10) expansion of a number ๐ด. ๐พ = 1 corresponds to the first digit after the decimal point. (Contributed by NM, 25-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
digit2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) mod ๐ต) = ((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐ด)))))

Proof of Theorem digit2
StepHypRef Expression
1 nnre 12226 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2 nnnn0 12486 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
3 reexpcl 14051 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘๐พ) โˆˆ โ„)
41, 2, 3syl2an 595 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ตโ†‘๐พ) โˆˆ โ„)
5 remulcl 11201 . . . . . 6 (((๐ตโ†‘๐พ) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
64, 5stoic3 1777 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
763comr 1124 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
8 reflcl 13768 . . . 4 (((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
97, 8syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
10 nnrp 12992 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
11103ad2ant2 1133 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
12 modval 13843 . . 3 (((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) mod ๐ต) = ((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) / ๐ต)))))
139, 11, 12syl2anc 583 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) mod ๐ต) = ((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) / ๐ต)))))
14 simp2 1136 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
15 fldiv 13832 . . . . . 6 ((((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) / ๐ต)) = (โŒŠโ€˜(((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด) / ๐ต)))
167, 14, 15syl2anc 583 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) / ๐ต)) = (โŒŠโ€˜(((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด) / ๐ต)))
17 nncn 12227 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
18 expcl 14052 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘๐พ) โˆˆ โ„‚)
1917, 2, 18syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ตโ†‘๐พ) โˆˆ โ„‚)
20193adant1 1129 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ตโ†‘๐พ) โˆˆ โ„‚)
21 recn 11206 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
22213ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
23 nnne0 12253 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โ‰  0)
2417, 23jca 511 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
25243ad2ant2 1133 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
26 div23 11898 . . . . . . . 8 (((๐ตโ†‘๐พ) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด) / ๐ต) = (((๐ตโ†‘๐พ) / ๐ต) ยท ๐ด))
2720, 22, 25, 26syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด) / ๐ต) = (((๐ตโ†‘๐พ) / ๐ต) ยท ๐ด))
28 nnz 12586 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
29 expm1 14085 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ตโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) = ((๐ตโ†‘๐พ) / ๐ต))
3017, 23, 28, 29syl2an3an 1421 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ตโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) = ((๐ตโ†‘๐พ) / ๐ต))
31303adant1 1129 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ตโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) = ((๐ตโ†‘๐พ) / ๐ต))
3231oveq1d 7427 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ตโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐ด) = (((๐ตโ†‘๐พ) / ๐ต) ยท ๐ด))
3327, 32eqtr4d 2774 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด) / ๐ต) = ((๐ตโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐ด))
3433fveq2d 6895 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด) / ๐ต)) = (โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐ด)))
3516, 34eqtrd 2771 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) / ๐ต)) = (โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐ด)))
3635oveq2d 7428 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) / ๐ต))) = (๐ต ยท (โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐ด))))
3736oveq2d 7428 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) / ๐ต)))) = ((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐ด)))))
3813, 37eqtrd 2771 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) mod ๐ต) = ((โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘๐พ) ยท ๐ด)) โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜((๐ตโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐ด)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11114  โ„cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   ยท cmul 11121   โˆ’ cmin 11451   / cdiv 11878  โ„•cn 12219  โ„•0cn0 12479  โ„คcz 12565  โ„+crp 12981  โŒŠcfl 13762   mod cmo 13841  โ†‘cexp 14034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035
This theorem is referenced by:  digit1  14207
  Copyright terms: Public domain W3C validator