Theorem digit2 13415

Description: Two ways to express the 𝐾 th digit in the decimal (when base 𝐵 = 10) expansion of a number 𝐴. 𝐾 = 1 corresponds to the first digit after the decimal point. (Contributed by NM, 25-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
digit2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))

Proof of Theorem digit2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 11449	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
2		nnnn0 11718	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		reexpcl 13264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2an 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ)
5		remulcl 10422	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵↑𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ)
6	4, 5	stoic3 1739	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ)
7	6	3comr 1105	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ)
8		reflcl 12984	. . . 4 ⊢ (((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ)
10		nnrp 12220	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
11	10	3ad2ant2 1114	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
12		modval 13057	. . 3 ⊢ (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) / 𝐵)))))
13	9, 11, 12	syl2anc 576	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) / 𝐵)))))
14		simp2 1117	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
15		fldiv 13046	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) / 𝐵)) = (⌊‘(((𝐵↑𝐾) · 𝐴) / 𝐵)))
16	7, 14, 15	syl2anc 576	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) / 𝐵)) = (⌊‘(((𝐵↑𝐾) · 𝐴) / 𝐵)))
17		nncn 11450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
18		expcl 13265	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℂ)
19	17, 2, 18	syl2an 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℂ)
20	19	3adant1 1110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℂ)
21		recn 10427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
22	21	3ad2ant1 1113	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
23		nnne0 11477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
24	17, 23	jca 504	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
25	24	3ad2ant2 1114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
26		div23 11120	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵↑𝐾) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐵↑𝐾) · 𝐴) / 𝐵) = (((𝐵↑𝐾) / 𝐵) · 𝐴))
27	20, 22, 25, 26	syl3anc 1351	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝐵↑𝐾) · 𝐴) / 𝐵) = (((𝐵↑𝐾) / 𝐵) · 𝐴))
28		nnz 11820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
29		expm1 13297	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) = ((𝐵↑𝐾) / 𝐵))
30	17, 23, 28, 29	syl2an3an 1402	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) = ((𝐵↑𝐾) / 𝐵))
31	30	3adant1 1110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) = ((𝐵↑𝐾) / 𝐵))
32	31	oveq1d 6993	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴) = (((𝐵↑𝐾) / 𝐵) · 𝐴))
33	27, 32	eqtr4d 2817	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝐵↑𝐾) · 𝐴) / 𝐵) = ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))
34	33	fveq2d 6505	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((𝐵↑𝐾) · 𝐴) / 𝐵)) = (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))
35	16, 34	eqtrd 2814	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) / 𝐵)) = (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))
36	35	oveq2d 6994	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵 · (⌊‘((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) / 𝐵))) = (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))))
37	36	oveq2d 6994	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) / 𝐵)))) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))
38	13, 37	eqtrd 2814	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2967  ‘cfv 6190  (class class class)co 6978  ℂcc 10335  ℝcr 10336  0cc0 10337  1c1 10338   · cmul 10342   − cmin 10672   / cdiv 11100  ℕcn 11441  ℕ₀cn0 11710  ℤcz 11796  ℝ⁺crp 12207  ⌊cfl 12978   mod cmo 13055  ↑cexp 13247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-sup 8703  df-inf 8704  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-rp 12208  df-fl 12980  df-mod 13056  df-seq 13188  df-exp 13248

This theorem is referenced by:  digit1  13416