Theorem digit2 14163

Description: Two ways to express the 𝐾 th digit in the decimal (when base 𝐵 = 10) expansion of a number 𝐴. 𝐾 = 1 corresponds to the first digit after the decimal point. (Contributed by NM, 25-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
digit2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))

Proof of Theorem digit2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12156	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
2		nnnn0 12412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		reexpcl 14005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ)
5		remulcl 11115	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵↑𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ)
6	4, 5	stoic3 1778	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ)
7	6	3comr 1126	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ)
8		reflcl 13720	. . . 4 ⊢ (((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ)
10		nnrp 12921	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
11	10	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
12		modval 13795	. . 3 ⊢ (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) / 𝐵)))))
13	9, 11, 12	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) / 𝐵)))))
14		simp2 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
15		fldiv 13784	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) / 𝐵)) = (⌊‘(((𝐵↑𝐾) · 𝐴) / 𝐵)))
16	7, 14, 15	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) / 𝐵)) = (⌊‘(((𝐵↑𝐾) · 𝐴) / 𝐵)))
17		nncn 12157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
18		expcl 14006	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℂ)
19	17, 2, 18	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℂ)
20	19	3adant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℂ)
21		recn 11120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
22	21	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
23		nnne0 12183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
24	17, 23	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
25	24	3ad2ant2 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
26		div23 11819	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵↑𝐾) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐵↑𝐾) · 𝐴) / 𝐵) = (((𝐵↑𝐾) / 𝐵) · 𝐴))
27	20, 22, 25, 26	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝐵↑𝐾) · 𝐴) / 𝐵) = (((𝐵↑𝐾) / 𝐵) · 𝐴))
28		nnz 12513	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
29		expm1 14039	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) = ((𝐵↑𝐾) / 𝐵))
30	17, 23, 28, 29	syl2an3an 1425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) = ((𝐵↑𝐾) / 𝐵))
31	30	3adant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) = ((𝐵↑𝐾) / 𝐵))
32	31	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴) = (((𝐵↑𝐾) / 𝐵) · 𝐴))
33	27, 32	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝐵↑𝐾) · 𝐴) / 𝐵) = ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))
34	33	fveq2d 6839	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((𝐵↑𝐾) · 𝐴) / 𝐵)) = (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))
35	16, 34	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) / 𝐵)) = (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))
36	35	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵 · (⌊‘((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) / 𝐵))) = (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))))
37	36	oveq2d 7376	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) / 𝐵)))) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))
38	13, 37	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   · cmul 11035   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12149  ℕ₀cn0 12405  ℤcz 12492  ℝ⁺crp 12909  ⌊cfl 13714   mod cmo 13793  ↑cexp 13988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-fl 13716  df-mod 13794  df-seq 13929  df-exp 13989

This theorem is referenced by:  digit1  14164