MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modsubdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modsubdir 13937
Description: Distribute the modulo operation over a subtraction. (Contributed by NM, 30-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
modsubdir ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ต mod ๐ถ) โ‰ค (๐ด mod ๐ถ) โ†” ((๐ด โˆ’ ๐ต) mod ๐ถ) = ((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ))))

Proof of Theorem modsubdir
StepHypRef Expression
1 modcl 13870 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด mod ๐ถ) โˆˆ โ„)
213adant2 1128 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด mod ๐ถ) โˆˆ โ„)
3 modcl 13870 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต mod ๐ถ) โˆˆ โ„)
433adant1 1127 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต mod ๐ถ) โˆˆ โ„)
52, 4subge0d 11834 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (0 โ‰ค ((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ)) โ†” (๐ต mod ๐ถ) โ‰ค (๐ด mod ๐ถ)))
6 resubcl 11554 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
763adant3 1129 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
8 simp3 1135 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
9 rerpdivcl 13036 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด / ๐ถ) โˆˆ โ„)
109flcld 13795 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ถ)) โˆˆ โ„ค)
11103adant2 1128 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ถ)) โˆˆ โ„ค)
12 rerpdivcl 13036 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต / ๐ถ) โˆˆ โ„)
1312flcld 13795 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ถ)) โˆˆ โ„ค)
14133adant1 1127 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ถ)) โˆˆ โ„ค)
1511, 14zsubcld 12701 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ถ)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ถ))) โˆˆ โ„ค)
16 modcyc2 13904 . . . . . . 7 (((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ถ)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ถ))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆ’ (๐ถ ยท ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ถ)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ถ))))) mod ๐ถ) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) mod ๐ถ))
177, 8, 15, 16syl3anc 1368 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆ’ (๐ถ ยท ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ถ)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ถ))))) mod ๐ถ) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) mod ๐ถ))
18 recn 11228 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
19183ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
20 recn 11228 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
21203ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
22 rpre 13014 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ถ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
2322adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
24 refldivcl 13820 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ถ)) โˆˆ โ„)
2523, 24remulcld 11274 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ถ))) โˆˆ โ„)
2625recnd 11272 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ถ))) โˆˆ โ„‚)
27263adant2 1128 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ถ))) โˆˆ โ„‚)
2822adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
29 refldivcl 13820 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ถ)) โˆˆ โ„)
3028, 29remulcld 11274 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ถ))) โˆˆ โ„)
3130recnd 11272 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ถ))) โˆˆ โ„‚)
32313adant1 1127 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ถ))) โˆˆ โ„‚)
3319, 21, 27, 32sub4d 11650 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆ’ ((๐ถ ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ถ))) โˆ’ (๐ถ ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ถ))))) = ((๐ด โˆ’ (๐ถ ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ถ)))) โˆ’ (๐ต โˆ’ (๐ถ ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ถ))))))
34223ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
3534recnd 11272 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
3624recnd 11272 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
37363adant2 1128 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
3829recnd 11272 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
39383adant1 1127 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
4035, 37, 39subdid 11700 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ ยท ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ถ)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ถ)))) = ((๐ถ ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ถ))) โˆ’ (๐ถ ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ถ)))))
4140oveq2d 7432 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆ’ (๐ถ ยท ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ถ)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ถ))))) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆ’ ((๐ถ ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ถ))) โˆ’ (๐ถ ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ถ))))))
42 modval 13868 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด mod ๐ถ) = (๐ด โˆ’ (๐ถ ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ถ)))))
43423adant2 1128 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด mod ๐ถ) = (๐ด โˆ’ (๐ถ ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ถ)))))
44 modval 13868 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต mod ๐ถ) = (๐ต โˆ’ (๐ถ ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ถ)))))
45443adant1 1127 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต mod ๐ถ) = (๐ต โˆ’ (๐ถ ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ถ)))))
4643, 45oveq12d 7434 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ)) = ((๐ด โˆ’ (๐ถ ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ถ)))) โˆ’ (๐ต โˆ’ (๐ถ ยท (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ถ))))))
4733, 41, 463eqtr4d 2775 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆ’ (๐ถ ยท ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ถ)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ถ))))) = ((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ)))
4847oveq1d 7431 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆ’ (๐ถ ยท ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ถ)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ต / ๐ถ))))) mod ๐ถ) = (((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ)) mod ๐ถ))
4917, 48eqtr3d 2767 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) mod ๐ถ) = (((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ)) mod ๐ถ))
5049adantr 479 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โˆง 0 โ‰ค ((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ))) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) mod ๐ถ) = (((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ)) mod ๐ถ))
512, 4resubcld 11672 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ)) โˆˆ โ„)
5251adantr 479 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โˆง 0 โ‰ค ((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ))) โ†’ ((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ)) โˆˆ โ„)
53 simpl3 1190 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โˆง 0 โ‰ค ((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
54 simpr 483 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โˆง 0 โ‰ค ((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ))) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ)))
55 modge0 13876 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค (๐ต mod ๐ถ))
56553adant1 1127 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค (๐ต mod ๐ถ))
572, 4subge02d 11836 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (0 โ‰ค (๐ต mod ๐ถ) โ†” ((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ)) โ‰ค (๐ด mod ๐ถ)))
5856, 57mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ)) โ‰ค (๐ด mod ๐ถ))
59 modlt 13877 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด mod ๐ถ) < ๐ถ)
60593adant2 1128 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด mod ๐ถ) < ๐ถ)
6151, 2, 34, 58, 60lelttrd 11402 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ)) < ๐ถ)
6261adantr 479 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โˆง 0 โ‰ค ((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ))) โ†’ ((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ)) < ๐ถ)
63 modid 13893 . . . . 5 (((((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ)) โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ)) โˆง ((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ)) < ๐ถ)) โ†’ (((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ)) mod ๐ถ) = ((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ)))
6452, 53, 54, 62, 63syl22anc 837 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โˆง 0 โ‰ค ((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ))) โ†’ (((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ)) mod ๐ถ) = ((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ)))
6550, 64eqtrd 2765 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โˆง 0 โ‰ค ((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ))) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) mod ๐ถ) = ((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ)))
66 modge0 13876 . . . . . 6 (((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ด โˆ’ ๐ต) mod ๐ถ))
676, 66stoic3 1770 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ด โˆ’ ๐ต) mod ๐ถ))
6867adantr 479 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต) mod ๐ถ) = ((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ))) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ด โˆ’ ๐ต) mod ๐ถ))
69 simpr 483 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต) mod ๐ถ) = ((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ))) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) mod ๐ถ) = ((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ)))
7068, 69breqtrd 5169 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต) mod ๐ถ) = ((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ))) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ)))
7165, 70impbida 799 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (0 โ‰ค ((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ)) โ†” ((๐ด โˆ’ ๐ต) mod ๐ถ) = ((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ))))
725, 71bitr3d 280 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ต mod ๐ถ) โ‰ค (๐ด mod ๐ถ) โ†” ((๐ด โˆ’ ๐ต) mod ๐ถ) = ((๐ด mod ๐ถ) โˆ’ (๐ต mod ๐ถ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5143  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137  0cc0 11138   ยท cmul 11143   < clt 11278   โ‰ค cle 11279   โˆ’ cmin 11474   / cdiv 11901  โ„คcz 12588  โ„+crp 13006  โŒŠcfl 13787   mod cmo 13866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fl 13789  df-mod 13867
This theorem is referenced by:  modeqmodmin  13938  digit1  14231  4sqlem12  16924
  Copyright terms: Public domain W3C validator