Theorem modsubdir 13911

Description: Distribute the modulo operation over a subtraction. (Contributed by NM, 30-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
modsubdir	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 mod 𝐶) ≤ (𝐴 mod 𝐶) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))))

Proof of Theorem modsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modcl 13844	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ)
2	1	3adant2 1128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ)
3		modcl 13844	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐶) ∈ ℝ)
4	3	3adant1 1127	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐶) ∈ ℝ)
5	2, 4	subge0d 11808	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ↔ (𝐵 mod 𝐶) ≤ (𝐴 mod 𝐶)))
6		resubcl 11528	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
7	6	3adant3 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
8		simp3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
9		rerpdivcl 13010	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℝ)
10	9	flcld 13769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐶)) ∈ ℤ)
11	10	3adant2 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐶)) ∈ ℤ)
12		rerpdivcl 13010	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ)
13	12	flcld 13769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℤ)
14	13	3adant1 1127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℤ)
15	11, 14	zsubcld 12675	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℤ)
16		modcyc2 13878	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℤ) → (((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) mod 𝐶) = ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶))
17	7, 8, 15, 16	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) mod 𝐶) = ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶))
18		recn 11202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
20		recn 11202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
22		rpre 12988	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ ℝ)
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
24		refldivcl 13794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐶)) ∈ ℝ)
25	23, 24	remulcld 11248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) ∈ ℝ)
26	25	recnd 11246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) ∈ ℂ)
27	26	3adant2 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) ∈ ℂ)
28	22	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
29		refldivcl 13794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℝ)
30	28, 29	remulcld 11248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℝ)
31	30	recnd 11246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℂ)
32	31	3adant1 1127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℂ)
33	19, 21, 27, 32	sub4d 11624	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝐵) − ((𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) = ((𝐴 − (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶)))) − (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))))
34	22	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
35	34	recnd 11246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
36	24	recnd 11246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐶)) ∈ ℂ)
37	36	3adant2 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐶)) ∈ ℂ)
38	29	recnd 11246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℂ)
39	38	3adant1 1127	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℂ)
40	35, 37, 39	subdid 11674	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))) = ((𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))))
41	40	oveq2d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) = ((𝐴 − 𝐵) − ((𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))))
42		modval 13842	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐶) = (𝐴 − (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶)))))
43	42	3adant2 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐶) = (𝐴 − (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶)))))
44		modval 13842	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐶) = (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))))
45	44	3adant1 1127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐶) = (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))))
46	43, 45	oveq12d 7423	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) = ((𝐴 − (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶)))) − (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))))
47	33, 41, 46	3eqtr4d 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
48	47	oveq1d 7420	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) mod 𝐶) = (((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶))
49	17, 48	eqtr3d 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = (((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶))
50	49	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = (((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶))
51	2, 4	resubcld 11646	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ∈ ℝ)
52	51	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ∈ ℝ)
53		simpl3 1190	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ+)
54		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
55		modge0 13850	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐵 mod 𝐶))
56	55	3adant1 1127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐵 mod 𝐶))
57	2, 4	subge02d 11810	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝐵 mod 𝐶) ↔ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ≤ (𝐴 mod 𝐶)))
58	56, 57	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ≤ (𝐴 mod 𝐶))
59		modlt 13851	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐶) < 𝐶)
60	59	3adant2 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐶) < 𝐶)
61	51, 2, 34, 58, 60	lelttrd 11376	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) < 𝐶)
62	61	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) < 𝐶)
63		modid 13867	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ∧ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) < 𝐶)) → (((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
64	52, 53, 54, 62, 63	syl22anc 836	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → (((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
65	50, 64	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
66		modge0 13850	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶))
67	6, 66	stoic3 1770	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶))
68	67	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → 0 ≤ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶))
69		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
70	68, 69	breqtrd 5167	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
71	65, 70	impbida 798	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))))
72	5, 71	bitr3d 281	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 mod 𝐶) ≤ (𝐴 mod 𝐶) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112   · cmul 11117   < clt 11252   ≤ cle 11253   − cmin 11448   / cdiv 11875  ℤcz 12562  ℝ⁺crp 12980  ⌊cfl 13761   mod cmo 13840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fl 13763  df-mod 13841

This theorem is referenced by:  modeqmodmin  13912  digit1  14205  4sqlem12  16898