Theorem modsubdir 13991

Description: Distribute the modulo operation over a subtraction. (Contributed by NM, 30-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
modsubdir	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 mod 𝐶) ≤ (𝐴 mod 𝐶) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))))

Proof of Theorem modsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modcl 13924	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ)
2	1	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ)
3		modcl 13924	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐶) ∈ ℝ)
4	3	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐶) ∈ ℝ)
5	2, 4	subge0d 11880	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ↔ (𝐵 mod 𝐶) ≤ (𝐴 mod 𝐶)))
6		resubcl 11600	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
7	6	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
8		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
9		rerpdivcl 13087	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℝ)
10	9	flcld 13849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐶)) ∈ ℤ)
11	10	3adant2 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐶)) ∈ ℤ)
12		rerpdivcl 13087	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ)
13	12	flcld 13849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℤ)
14	13	3adant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℤ)
15	11, 14	zsubcld 12752	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℤ)
16		modcyc2 13958	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℤ) → (((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) mod 𝐶) = ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶))
17	7, 8, 15, 16	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) mod 𝐶) = ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶))
18		recn 11274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
20		recn 11274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
22		rpre 13065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ ℝ)
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
24		refldivcl 13874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐶)) ∈ ℝ)
25	23, 24	remulcld 11320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) ∈ ℝ)
26	25	recnd 11318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) ∈ ℂ)
27	26	3adant2 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) ∈ ℂ)
28	22	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
29		refldivcl 13874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℝ)
30	28, 29	remulcld 11320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℝ)
31	30	recnd 11318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℂ)
32	31	3adant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℂ)
33	19, 21, 27, 32	sub4d 11696	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝐵) − ((𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) = ((𝐴 − (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶)))) − (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))))
34	22	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
35	34	recnd 11318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
36	24	recnd 11318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐶)) ∈ ℂ)
37	36	3adant2 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐶)) ∈ ℂ)
38	29	recnd 11318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℂ)
39	38	3adant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℂ)
40	35, 37, 39	subdid 11746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))) = ((𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))))
41	40	oveq2d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) = ((𝐴 − 𝐵) − ((𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))))
42		modval 13922	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐶) = (𝐴 − (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶)))))
43	42	3adant2 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐶) = (𝐴 − (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶)))))
44		modval 13922	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐶) = (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))))
45	44	3adant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐶) = (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))))
46	43, 45	oveq12d 7466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) = ((𝐴 − (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶)))) − (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))))
47	33, 41, 46	3eqtr4d 2790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
48	47	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) mod 𝐶) = (((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶))
49	17, 48	eqtr3d 2782	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = (((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶))
50	49	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = (((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶))
51	2, 4	resubcld 11718	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ∈ ℝ)
52	51	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ∈ ℝ)
53		simpl3 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ+)
54		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
55		modge0 13930	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐵 mod 𝐶))
56	55	3adant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐵 mod 𝐶))
57	2, 4	subge02d 11882	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝐵 mod 𝐶) ↔ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ≤ (𝐴 mod 𝐶)))
58	56, 57	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ≤ (𝐴 mod 𝐶))
59		modlt 13931	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐶) < 𝐶)
60	59	3adant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐶) < 𝐶)
61	51, 2, 34, 58, 60	lelttrd 11448	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) < 𝐶)
62	61	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) < 𝐶)
63		modid 13947	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ∧ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) < 𝐶)) → (((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
64	52, 53, 54, 62, 63	syl22anc 838	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → (((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
65	50, 64	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
66		modge0 13930	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶))
67	6, 66	stoic3 1774	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶))
68	67	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → 0 ≤ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶))
69		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
70	68, 69	breqtrd 5192	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
71	65, 70	impbida 800	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))))
72	5, 71	bitr3d 281	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 mod 𝐶) ≤ (𝐴 mod 𝐶) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520   / cdiv 11947  ℤcz 12639  ℝ⁺crp 13057  ⌊cfl 13841   mod cmo 13920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fl 13843  df-mod 13921

This theorem is referenced by:  modeqmodmin  13992  digit1  14286  4sqlem12  17003