Theorem odmodnn0 19506

Description: Reduce the argument of a group multiple by modding out the order of the element. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odmodnn0	⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))

Proof of Theorem odmodnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Mnd)
2		nnnn0 12435	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
4		simpl3 1195	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	nn0red 12490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
6		nnrp 12945	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+)
7	6	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+)
8	5, 7	rerpdivcld 13008	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑂‘𝐴)) ∈ ℝ)
9	4	nn0ge0d 12492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑁)
10		nnre 12172	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ)
11	10	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ)
12		nngt0 12199	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → 0 < (𝑂‘𝐴))
13	12	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 0 < (𝑂‘𝐴))
14		divge0 12016	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑂‘𝐴))) → 0 ≤ (𝑁 / (𝑂‘𝐴)))
15	5, 9, 11, 13, 14	syl22anc 839	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑁 / (𝑂‘𝐴)))
16		flge0nn0 13770	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / (𝑂‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 / (𝑂‘𝐴))) → (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) ∈ ℕ0)
17	8, 15, 16	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) ∈ ℕ0)
18	3, 17	nn0mulcld 12494	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) ∈ ℕ0)
19	4	nn0zd 12540	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
20		zmodcl 13841	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
21	19, 20	sylancom 589	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
22		simpl2 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
23		odcl.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
24		odid.3	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
25		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
26	23, 24, 25	mulgnn0dir 19071	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))) · 𝐴) = ((((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) · 𝐴)(+g‘𝐺)((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)))
27	1, 18, 21, 22, 26	syl13anc 1375	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))) · 𝐴) = ((((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) · 𝐴)(+g‘𝐺)((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)))
28	11	recnd 11164	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℂ)
29	17	nn0cnd 12491	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) ∈ ℂ)
30	28, 29	mulcomd 11157	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · (𝑂‘𝐴)))
31	30	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) · 𝐴) = (((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
32	23, 24	mulgnn0ass 19077	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) ∈ ℕ0 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · ((𝑂‘𝐴) · 𝐴)))
33	1, 17, 3, 22, 32	syl13anc 1375	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · ((𝑂‘𝐴) · 𝐴)))
34		odcl.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
35		odid.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
36	23, 34, 24, 35	odid 19504	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
37	22, 36	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
38	37	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · ((𝑂‘𝐴) · 𝐴)) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · 0 ))
39	23, 24, 35	mulgnn0z 19068	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · 0 ) = 0 )
40	1, 17, 39	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · 0 ) = 0 )
41	38, 40	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · ((𝑂‘𝐴) · 𝐴)) = 0 )
42	33, 41	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 )
43	31, 42	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) · 𝐴) = 0 )
44	43	oveq1d 7375	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) · 𝐴)(+g‘𝐺)((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) = ( 0 (+g‘𝐺)((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)))
45	27, 44	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))) · 𝐴) = ( 0 (+g‘𝐺)((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)))
46		modval 13821	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 − ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))))))
47	5, 7, 46	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 − ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))))))
48	47	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))) = (((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) + (𝑁 − ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))))))
49	18	nn0cnd 12491	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) ∈ ℂ)
50	4	nn0cnd 12491	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
51	49, 50	pncan3d 11499	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) + (𝑁 − ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))))) = 𝑁)
52	48, 51	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))) = 𝑁)
53	52	oveq1d 7375	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
54	23, 24, 1, 21, 22	mulgnn0cld 19062	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) ∈ 𝑋)
55	23, 25, 35	mndlid 18713	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) ∈ 𝑋) → ( 0 (+g‘𝐺)((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
56	1, 54, 55	syl2anc 585	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ( 0 (+g‘𝐺)((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
57	45, 53, 56	3eqtr3rd 2781	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  0cc0 11029   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℝ⁺crp 12933  ⌊cfl 13740   mod cmo 13819  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  0_gc0g 17393  Mndcmnd 18693  ._gcmg 19034  odcod 19490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mulg 19035  df-od 19494

This theorem is referenced by:  mndodcong  19508