MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odmodnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odmodnn0 19450
Description: Reduce the argument of a group multiple by modding out the order of the element. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
odcl.2 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
odid.3 ยท = (.gโ€˜๐บ)
odid.4 0 = (0gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
odmodnn0 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = (๐‘ ยท ๐ด))

Proof of Theorem odmodnn0
StepHypRef Expression
1 simpl1 1190 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
2 nnnn0 12484 . . . . . 6 ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
32adantl 481 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
4 simpl3 1192 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
54nn0red 12538 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
6 nnrp 12990 . . . . . . . 8 ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
76adantl 481 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
85, 7rerpdivcld 13052 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
94nn0ge0d 12540 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
10 nnre 12224 . . . . . . . 8 ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1110adantl 481 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
12 nngt0 12248 . . . . . . . 8 ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ 0 < (๐‘‚โ€˜๐ด))
1312adantl 481 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < (๐‘‚โ€˜๐ด))
14 divge0 12088 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐‘‚โ€˜๐ด))) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))
155, 9, 11, 13, 14syl22anc 836 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))
16 flge0nn0 13790 . . . . . 6 (((๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„•0)
178, 15, 16syl2anc 583 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„•0)
183, 17nn0mulcld 12542 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„•0)
194nn0zd 12589 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
20 zmodcl 13861 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•0)
2119, 20sylancom 587 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•0)
22 simpl2 1191 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‹)
23 odcl.1 . . . . 5 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
24 odid.3 . . . . 5 ยท = (.gโ€˜๐บ)
25 eqid 2731 . . . . 5 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
2623, 24, 25mulgnn0dir 19021 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹)) โ†’ ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))) + (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท ๐ด) = ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))) ยท ๐ด)(+gโ€˜๐บ)((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด)))
271, 18, 21, 22, 26syl13anc 1371 . . 3 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))) + (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท ๐ด) = ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))) ยท ๐ด)(+gโ€˜๐บ)((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด)))
2811recnd 11247 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
2917nn0cnd 12539 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
3028, 29mulcomd 11240 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท (๐‘‚โ€˜๐ด)))
3130oveq1d 7427 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))) ยท ๐ด) = (((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด))
3223, 24mulgnn0ass 19027 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹)) โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด)))
331, 17, 3, 22, 32syl13anc 1371 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด)))
34 odcl.2 . . . . . . . . . 10 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
35 odid.4 . . . . . . . . . 10 0 = (0gโ€˜๐บ)
3623, 34, 24, 35odid 19448 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ ๐‘‹ โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด) = 0 )
3722, 36syl 17 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด) = 0 )
3837oveq2d 7428 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด)) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท 0 ))
3923, 24, 35mulgnn0z 19018 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท 0 ) = 0 )
401, 17, 39syl2anc 583 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท 0 ) = 0 )
4138, 40eqtrd 2771 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด)) = 0 )
4233, 41eqtrd 2771 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = 0 )
4331, 42eqtrd 2771 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))) ยท ๐ด) = 0 )
4443oveq1d 7427 . . 3 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))) ยท ๐ด)(+gโ€˜๐บ)((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด)) = ( 0 (+gโ€˜๐บ)((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด)))
4527, 44eqtrd 2771 . 2 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))) + (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท ๐ด) = ( 0 (+gโ€˜๐บ)((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด)))
46 modval 13841 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) = (๐‘ โˆ’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))))))
475, 7, 46syl2anc 583 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) = (๐‘ โˆ’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))))))
4847oveq2d 7428 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))) + (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด))) = (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))) + (๐‘ โˆ’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))))))
4918nn0cnd 12539 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„‚)
504nn0cnd 12539 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
5149, 50pncan3d 11579 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))) + (๐‘ โˆ’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))))) = ๐‘)
5248, 51eqtrd 2771 . . 3 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))) + (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด))) = ๐‘)
5352oveq1d 7427 . 2 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))) + (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท ๐ด) = (๐‘ ยท ๐ด))
5423, 24, 1, 21, 22mulgnn0cld 19012 . . 3 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) โˆˆ ๐‘‹)
5523, 25, 35mndlid 18680 . . 3 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ( 0 (+gโ€˜๐บ)((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด)) = ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด))
561, 54, 55syl2anc 583 . 2 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ( 0 (+gโ€˜๐บ)((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด)) = ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด))
5745, 53, 563eqtr3rd 2780 1 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = (๐‘ ยท ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  โ„cr 11113  0cc0 11114   + caddc 11117   ยท cmul 11119   < clt 11253   โ‰ค cle 11254   โˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  โ„•cn 12217  โ„•0cn0 12477  โ„คcz 12563  โ„+crp 12979  โŒŠcfl 13760   mod cmo 13839  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  0gc0g 17390  Mndcmnd 18660  .gcmg 18987  odcod 19434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mulg 18988  df-od 19438
This theorem is referenced by:  mndodcong  19452
  Copyright terms: Public domain W3C validator