Theorem odmodnn0 19734

Description: Reduce the argument of a group multiple by modding out the order of the element. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odmodnn0	⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))

Proof of Theorem odmodnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Mnd)
2		nnnn0 12594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
3	2	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
4		simpl3 1212	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	nn0red 12649	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
6		nnrp 13113	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+)
7	6	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+)
8	5, 7	rerpdivcld 13176	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑂‘𝐴)) ∈ ℝ)
9	4	nn0ge0d 12651	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑁)
10		nnre 12323	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ)
11	10	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ)
12		nngt0 12350	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → 0 < (𝑂‘𝐴))
13	12	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 0 < (𝑂‘𝐴))
14		divge0 12167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑂‘𝐴))) → 0 ≤ (𝑁 / (𝑂‘𝐴)))
15	5, 9, 11, 13, 14	syl22anc 852	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑁 / (𝑂‘𝐴)))
16		flge0nn0 13940	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / (𝑂‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 / (𝑂‘𝐴))) → (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) ∈ ℕ0)
17	8, 15, 16	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) ∈ ℕ0)
18	3, 17	nn0mulcld 12653	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) ∈ ℕ0)
19	4	nn0zd 12699	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
20		zmodcl 14011	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
21	19, 20	sylancom 600	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
22		simpl2 1211	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
23		odcl.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
24		odid.3	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
25		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
26	23, 24, 25	mulgnn0dir 19294	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))) · 𝐴) = ((((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) · 𝐴)(+g‘𝐺)((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)))
27	1, 18, 21, 22, 26	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))) · 𝐴) = ((((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) · 𝐴)(+g‘𝐺)((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)))
28	11	recnd 11318	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℂ)
29	17	nn0cnd 12650	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) ∈ ℂ)
30	28, 29	mulcomd 11311	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · (𝑂‘𝐴)))
31	30	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) · 𝐴) = (((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
32	23, 24	mulgnn0ass 19300	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) ∈ ℕ0 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · ((𝑂‘𝐴) · 𝐴)))
33	1, 17, 3, 22, 32	syl13anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · ((𝑂‘𝐴) · 𝐴)))
34		odcl.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
35		odid.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
36	23, 34, 24, 35	odid 19732	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
37	22, 36	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
38	37	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · ((𝑂‘𝐴) · 𝐴)) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · 0 ))
39	23, 24, 35	mulgnn0z 19291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · 0 ) = 0 )
40	1, 17, 39	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · 0 ) = 0 )
41	38, 40	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · ((𝑂‘𝐴) · 𝐴)) = 0 )
42	33, 41	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 )
43	31, 42	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) · 𝐴) = 0 )
44	43	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) · 𝐴)(+g‘𝐺)((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) = ( 0 (+g‘𝐺)((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)))
45	27, 44	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))) · 𝐴) = ( 0 (+g‘𝐺)((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)))
46		modval 13991	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 − ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))))))
47	5, 7, 46	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 − ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))))))
48	47	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))) = (((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) + (𝑁 − ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))))))
49	18	nn0cnd 12650	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) ∈ ℂ)
50	4	nn0cnd 12650	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
51	49, 50	pncan3d 11653	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) + (𝑁 − ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))))) = 𝑁)
52	48, 51	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))) = 𝑁)
53	52	oveq1d 7427	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
54	23, 24, 1, 21, 22	mulgnn0cld 19285	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) ∈ 𝑋)
55	23, 25, 35	mndlid 18924	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) ∈ 𝑋) → ( 0 (+g‘𝐺)((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
56	1, 54, 55	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ( 0 (+g‘𝐺)((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
57	45, 53, 56	3eqtr3rd 2805	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  0cc0 11181   + caddc 11184   · cmul 11186   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11522   / cdiv 11954  ℕcn 12316  ℕ₀cn0 12587  ℤcz 12674  ℝ⁺crp 13101  ⌊cfl 13910   mod cmo 13989  Basecbs 17367  +_gcplusg 17408  0_gc0g 17590  Mndcmnd 18903  ._gcmg 19257  odcod 19718

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fz 13621  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-mulg 19258  df-od 19722

This theorem is used by:  mndodcong  19736