MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odmodnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odmodnn0 19538
Description: Reduce the argument of a group multiple by modding out the order of the element. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3 · = (.g𝐺)
odid.4 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
odmodnn0 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))

Proof of Theorem odmodnn0
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Mnd)
2 nnnn0 12531 . . . . . 6 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
32adantl 480 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
4 simpl3 1190 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
54nn0red 12585 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
6 nnrp 13039 . . . . . . . 8 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → (𝑂𝐴) ∈ ℝ+)
76adantl 480 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ ℝ+)
85, 7rerpdivcld 13101 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑂𝐴)) ∈ ℝ)
94nn0ge0d 12587 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑁)
10 nnre 12271 . . . . . . . 8 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
1110adantl 480 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
12 nngt0 12295 . . . . . . . 8 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → 0 < (𝑂𝐴))
1312adantl 480 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 0 < (𝑂𝐴))
14 divge0 12135 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ ((𝑂𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑂𝐴))) → 0 ≤ (𝑁 / (𝑂𝐴)))
155, 9, 11, 13, 14syl22anc 837 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑁 / (𝑂𝐴)))
16 flge0nn0 13840 . . . . . 6 (((𝑁 / (𝑂𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 / (𝑂𝐴))) → (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) ∈ ℕ0)
178, 15, 16syl2anc 582 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) ∈ ℕ0)
183, 17nn0mulcld 12589 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) ∈ ℕ0)
194nn0zd 12636 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
20 zmodcl 13911 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0)
2119, 20sylancom 586 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0)
22 simpl2 1189 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴𝑋)
23 odcl.1 . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
24 odid.3 . . . . 5 · = (.g𝐺)
25 eqid 2726 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
2623, 24, 25mulgnn0dir 19098 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0𝐴𝑋)) → ((((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂𝐴))) · 𝐴) = ((((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) · 𝐴)(+g𝐺)((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)))
271, 18, 21, 22, 26syl13anc 1369 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂𝐴))) · 𝐴) = ((((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) · 𝐴)(+g𝐺)((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)))
2811recnd 11292 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ ℂ)
2917nn0cnd 12586 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) ∈ ℂ)
3028, 29mulcomd 11285 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · (𝑂𝐴)))
3130oveq1d 7439 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) · 𝐴) = (((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · (𝑂𝐴)) · 𝐴))
3223, 24mulgnn0ass 19104 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) ∈ ℕ0 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ0𝐴𝑋)) → (((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · ((𝑂𝐴) · 𝐴)))
331, 17, 3, 22, 32syl13anc 1369 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · ((𝑂𝐴) · 𝐴)))
34 odcl.2 . . . . . . . . . 10 𝑂 = (od‘𝐺)
35 odid.4 . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝐺)
3623, 34, 24, 35odid 19536 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑋 → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
3722, 36syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
3837oveq2d 7440 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · ((𝑂𝐴) · 𝐴)) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · 0 ))
3923, 24, 35mulgnn0z 19095 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · 0 ) = 0 )
401, 17, 39syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · 0 ) = 0 )
4138, 40eqtrd 2766 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · ((𝑂𝐴) · 𝐴)) = 0 )
4233, 41eqtrd 2766 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · (𝑂𝐴)) · 𝐴) = 0 )
4331, 42eqtrd 2766 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) · 𝐴) = 0 )
4443oveq1d 7439 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) · 𝐴)(+g𝐺)((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) = ( 0 (+g𝐺)((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)))
4527, 44eqtrd 2766 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂𝐴))) · 𝐴) = ( 0 (+g𝐺)((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)))
46 modval 13891 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) = (𝑁 − ((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))))))
475, 7, 46syl2anc 582 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) = (𝑁 − ((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))))))
4847oveq2d 7440 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂𝐴))) = (((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) + (𝑁 − ((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))))))
4918nn0cnd 12586 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) ∈ ℂ)
504nn0cnd 12586 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
5149, 50pncan3d 11624 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) + (𝑁 − ((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))))) = 𝑁)
5248, 51eqtrd 2766 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂𝐴))) = 𝑁)
5352oveq1d 7439 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂𝐴))) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
5423, 24, 1, 21, 22mulgnn0cld 19089 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) ∈ 𝑋)
5523, 25, 35mndlid 18747 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) ∈ 𝑋) → ( 0 (+g𝐺)((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴))
561, 54, 55syl2anc 582 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ( 0 (+g𝐺)((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴))
5745, 53, 563eqtr3rd 2775 1 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5153  cfv 6554  (class class class)co 7424  cr 11157  0cc0 11158   + caddc 11161   · cmul 11163   < clt 11298  cle 11299  cmin 11494   / cdiv 11921  cn 12264  0cn0 12524  cz 12610  +crp 13028  cfl 13810   mod cmo 13889  Basecbs 17213  +gcplusg 17266  0gc0g 17454  Mndcmnd 18727  .gcmg 19061  odcod 19522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13539  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14022  df-0g 17456  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-mulg 19062  df-od 19526
This theorem is referenced by:  mndodcong  19540
  Copyright terms: Public domain W3C validator