MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odmodnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odmodnn0 19449
Description: Reduce the argument of a group multiple by modding out the order of the element. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
odcl.2 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
odid.3 ยท = (.gโ€˜๐บ)
odid.4 0 = (0gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
odmodnn0 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = (๐‘ ยท ๐ด))

Proof of Theorem odmodnn0
StepHypRef Expression
1 simpl1 1189 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
2 nnnn0 12483 . . . . . 6 ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
32adantl 480 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
4 simpl3 1191 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
54nn0red 12537 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
6 nnrp 12989 . . . . . . . 8 ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
76adantl 480 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
85, 7rerpdivcld 13051 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
94nn0ge0d 12539 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
10 nnre 12223 . . . . . . . 8 ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1110adantl 480 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
12 nngt0 12247 . . . . . . . 8 ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ 0 < (๐‘‚โ€˜๐ด))
1312adantl 480 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < (๐‘‚โ€˜๐ด))
14 divge0 12087 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐‘‚โ€˜๐ด))) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))
155, 9, 11, 13, 14syl22anc 835 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))
16 flge0nn0 13789 . . . . . 6 (((๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„•0)
178, 15, 16syl2anc 582 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„•0)
183, 17nn0mulcld 12541 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„•0)
194nn0zd 12588 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
20 zmodcl 13860 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•0)
2119, 20sylancom 586 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•0)
22 simpl2 1190 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‹)
23 odcl.1 . . . . 5 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
24 odid.3 . . . . 5 ยท = (.gโ€˜๐บ)
25 eqid 2730 . . . . 5 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
2623, 24, 25mulgnn0dir 19020 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹)) โ†’ ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))) + (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท ๐ด) = ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))) ยท ๐ด)(+gโ€˜๐บ)((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด)))
271, 18, 21, 22, 26syl13anc 1370 . . 3 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))) + (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท ๐ด) = ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))) ยท ๐ด)(+gโ€˜๐บ)((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด)))
2811recnd 11246 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
2917nn0cnd 12538 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
3028, 29mulcomd 11239 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท (๐‘‚โ€˜๐ด)))
3130oveq1d 7426 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))) ยท ๐ด) = (((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด))
3223, 24mulgnn0ass 19026 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹)) โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด)))
331, 17, 3, 22, 32syl13anc 1370 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด)))
34 odcl.2 . . . . . . . . . 10 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
35 odid.4 . . . . . . . . . 10 0 = (0gโ€˜๐บ)
3623, 34, 24, 35odid 19447 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ ๐‘‹ โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด) = 0 )
3722, 36syl 17 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด) = 0 )
3837oveq2d 7427 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด)) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท 0 ))
3923, 24, 35mulgnn0z 19017 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท 0 ) = 0 )
401, 17, 39syl2anc 582 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท 0 ) = 0 )
4138, 40eqtrd 2770 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด)) = 0 )
4233, 41eqtrd 2770 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = 0 )
4331, 42eqtrd 2770 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))) ยท ๐ด) = 0 )
4443oveq1d 7426 . . 3 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))) ยท ๐ด)(+gโ€˜๐บ)((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด)) = ( 0 (+gโ€˜๐บ)((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด)))
4527, 44eqtrd 2770 . 2 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))) + (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท ๐ด) = ( 0 (+gโ€˜๐บ)((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด)))
46 modval 13840 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) = (๐‘ โˆ’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))))))
475, 7, 46syl2anc 582 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) = (๐‘ โˆ’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด))))))
4847oveq2d 7427 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))) + (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด))) = (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))) + (๐‘ โˆ’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))))))
4918nn0cnd 12538 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„‚)
504nn0cnd 12538 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
5149, 50pncan3d 11578 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))) + (๐‘ โˆ’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))))) = ๐‘)
5248, 51eqtrd 2770 . . 3 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))) + (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด))) = ๐‘)
5352oveq1d 7426 . 2 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘‚โ€˜๐ด)))) + (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท ๐ด) = (๐‘ ยท ๐ด))
5423, 24, 1, 21, 22mulgnn0cld 19011 . . 3 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) โˆˆ ๐‘‹)
5523, 25, 35mndlid 18679 . . 3 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ( 0 (+gโ€˜๐บ)((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด)) = ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด))
561, 54, 55syl2anc 582 . 2 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ( 0 (+gโ€˜๐บ)((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด)) = ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด))
5745, 53, 563eqtr3rd 2779 1 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = (๐‘ ยท ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„+crp 12978  โŒŠcfl 13759   mod cmo 13838  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  0gc0g 17389  Mndcmnd 18659  .gcmg 18986  odcod 19433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mulg 18987  df-od 19437
This theorem is referenced by:  mndodcong  19451
  Copyright terms: Public domain W3C validator