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Theorem odmodnn0 18660
Description: Reduce the argument of a group multiple by modding out the order of the element. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3 · = (.g𝐺)
odid.4 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
odmodnn0 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))

Proof of Theorem odmodnn0
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Mnd)
2 nnnn0 11892 . . . . . 6 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
32adantl 485 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
4 simpl3 1190 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
54nn0red 11944 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
6 nnrp 12388 . . . . . . . 8 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → (𝑂𝐴) ∈ ℝ+)
76adantl 485 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ ℝ+)
85, 7rerpdivcld 12450 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑂𝐴)) ∈ ℝ)
94nn0ge0d 11946 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑁)
10 nnre 11632 . . . . . . . 8 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
1110adantl 485 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
12 nngt0 11656 . . . . . . . 8 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → 0 < (𝑂𝐴))
1312adantl 485 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 0 < (𝑂𝐴))
14 divge0 11498 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ ((𝑂𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑂𝐴))) → 0 ≤ (𝑁 / (𝑂𝐴)))
155, 9, 11, 13, 14syl22anc 837 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑁 / (𝑂𝐴)))
16 flge0nn0 13185 . . . . . 6 (((𝑁 / (𝑂𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 / (𝑂𝐴))) → (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) ∈ ℕ0)
178, 15, 16syl2anc 587 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) ∈ ℕ0)
183, 17nn0mulcld 11948 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) ∈ ℕ0)
194nn0zd 12073 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
20 zmodcl 13254 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0)
2119, 20sylancom 591 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0)
22 simpl2 1189 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴𝑋)
23 odcl.1 . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
24 odid.3 . . . . 5 · = (.g𝐺)
25 eqid 2798 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
2623, 24, 25mulgnn0dir 18249 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0𝐴𝑋)) → ((((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂𝐴))) · 𝐴) = ((((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) · 𝐴)(+g𝐺)((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)))
271, 18, 21, 22, 26syl13anc 1369 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂𝐴))) · 𝐴) = ((((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) · 𝐴)(+g𝐺)((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)))
2811recnd 10658 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ ℂ)
2917nn0cnd 11945 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) ∈ ℂ)
3028, 29mulcomd 10651 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · (𝑂𝐴)))
3130oveq1d 7150 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) · 𝐴) = (((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · (𝑂𝐴)) · 𝐴))
3223, 24mulgnn0ass 18255 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) ∈ ℕ0 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ0𝐴𝑋)) → (((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · ((𝑂𝐴) · 𝐴)))
331, 17, 3, 22, 32syl13anc 1369 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · ((𝑂𝐴) · 𝐴)))
34 odcl.2 . . . . . . . . . 10 𝑂 = (od‘𝐺)
35 odid.4 . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝐺)
3623, 34, 24, 35odid 18658 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑋 → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
3722, 36syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
3837oveq2d 7151 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · ((𝑂𝐴) · 𝐴)) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · 0 ))
3923, 24, 35mulgnn0z 18246 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · 0 ) = 0 )
401, 17, 39syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · 0 ) = 0 )
4138, 40eqtrd 2833 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · ((𝑂𝐴) · 𝐴)) = 0 )
4233, 41eqtrd 2833 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · (𝑂𝐴)) · 𝐴) = 0 )
4331, 42eqtrd 2833 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) · 𝐴) = 0 )
4443oveq1d 7150 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) · 𝐴)(+g𝐺)((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) = ( 0 (+g𝐺)((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)))
4527, 44eqtrd 2833 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂𝐴))) · 𝐴) = ( 0 (+g𝐺)((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)))
46 modval 13234 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) = (𝑁 − ((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))))))
475, 7, 46syl2anc 587 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) = (𝑁 − ((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))))))
4847oveq2d 7151 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂𝐴))) = (((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) + (𝑁 − ((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))))))
4918nn0cnd 11945 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) ∈ ℂ)
504nn0cnd 11945 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
5149, 50pncan3d 10989 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) + (𝑁 − ((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))))) = 𝑁)
5248, 51eqtrd 2833 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂𝐴))) = 𝑁)
5352oveq1d 7150 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂𝐴))) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
5423, 24mulgnn0cl 18236 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) ∈ 𝑋)
551, 21, 22, 54syl3anc 1368 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) ∈ 𝑋)
5623, 25, 35mndlid 17923 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) ∈ 𝑋) → ( 0 (+g𝐺)((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴))
571, 55, 56syl2anc 587 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ( 0 (+g𝐺)((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴))
5845, 53, 573eqtr3rd 2842 1 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111   class class class wbr 5030  cfv 6324  (class class class)co 7135  cr 10525  0cc0 10526   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859   / cdiv 11286  cn 11625  0cn0 11885  cz 11969  +crp 12377  cfl 13155   mod cmo 13232  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  0gc0g 16705  Mndcmnd 17903  .gcmg 18216  odcod 18644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mulg 18217  df-od 18648
This theorem is referenced by:  mndodcong  18662
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