Theorem modmulnn 13929

Description: Move a positive integer in and out of a floor in the first argument of a modulo operation. (Contributed by NM, 2-Jan-2009.)

Assertion

Ref	Expression
modmulnn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) ≤ ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)))

Proof of Theorem modmulnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12273	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		reflcl 13836	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
3		remulcl 11240	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
5	4	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
6		remulcl 11240	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ)
7	1, 6	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ)
8		reflcl 13836	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (⌊‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℝ)
10	9	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℝ)
11		nnmulcl 12290	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℕ)
12	11	nnred 12281	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℝ)
13	12	3adant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℝ)
14		nncn 12274	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
15		nnne0 12300	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
16	14, 15	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
17		nncn 12274	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
18		nnne0 12300	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≠ 0)
19	17, 18	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
20		mulne0 11905	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (𝑁 · 𝑀) ≠ 0)
21	16, 19, 20	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ≠ 0)
22	21	3adant2 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ≠ 0)
23	5, 13, 22	redivcld 12095	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)) ∈ ℝ)
24		reflcl 13836	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) ∈ ℝ)
25	23, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) ∈ ℝ)
26	13, 25	remulcld 11291	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)))) ∈ ℝ)
27		nnnn0 12533	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
28		flmulnn0 13867	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴)))
29	27, 28	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴)))
30	29	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴)))
31	5, 10, 26, 30	lesub1dd 11879	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))) ≤ ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
32	11	nnrpd 13075	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℝ+)
33		modval 13911	. . 3 ⊢ (((𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 𝑀) ∈ ℝ+) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) = ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
34	5, 32, 33	3imp3i2an 1346	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) = ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
35		modval 13911	. . . 4 ⊢ (((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 𝑀) ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) = ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
36	10, 32, 35	3imp3i2an 1346	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) = ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
37	7	3adant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ)
38		fldiv 13900	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 𝑀) ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀))))
39	37, 11, 38	3imp3i2an 1346	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀))))
40		fldiv 13900	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑀)) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
41	40	3adant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑀)) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
42	2	recnd 11289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
43		divcan5 11969	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)) = ((⌊‘𝐴) / 𝑀))
44	42, 19, 16, 43	syl3an 1161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)) = ((⌊‘𝐴) / 𝑀))
45	44	fveq2d 6910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑀)))
46		recn 11245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
47		divcan5 11969	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀)) = (𝐴 / 𝑀))
48	46, 19, 16, 47	syl3an 1161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀)) = (𝐴 / 𝑀))
49	48	fveq2d 6910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
50	41, 45, 49	3eqtr4rd 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))
51	50	3comr 1126	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))
52	39, 51	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))
53	52	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)))) = ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)))))
54	53	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))) = ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
55	36, 54	eqtrd 2777	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) = ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
56	31, 34, 55	3brtr4d 5175	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) ≤ ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155   · cmul 11160   ≤ cle 11296   − cmin 11492   / cdiv 11920  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℝ⁺crp 13034  ⌊cfl 13830   mod cmo 13909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-mod 13910

This theorem is referenced by:  digit1  14276