MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modmulnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modmulnn 13860
Description: Move a positive integer in and out of a floor in the first argument of a modulo operation. (Contributed by NM, 2-Jan-2009.)
Assertion
Ref Expression
modmulnn ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) mod (๐‘ ยท ๐‘€)) โ‰ค ((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) mod (๐‘ ยท ๐‘€)))

Proof of Theorem modmulnn
StepHypRef Expression
1 nnre 12223 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2 reflcl 13767 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
3 remulcl 11197 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
41, 2, 3syl2an 595 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
543adant3 1129 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
6 remulcl 11197 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
71, 6sylan 579 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
8 reflcl 13767 . . . . 5 ((๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
97, 8syl 17 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
1093adant3 1129 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
11 nnmulcl 12240 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„•)
1211nnred 12231 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„)
13123adant2 1128 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„)
14 nncn 12224 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
15 nnne0 12250 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โ‰  0)
1614, 15jca 511 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โ‰  0))
17 nncn 12224 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
18 nnne0 12250 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
1917, 18jca 511 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0))
20 mulne0 11860 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) โ‰  0)
2116, 19, 20syl2an 595 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) โ‰  0)
22213adant2 1128 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) โ‰  0)
235, 13, 22redivcld 12046 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€)) โˆˆ โ„)
24 reflcl 13767 . . . . 5 (((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€)) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))) โˆˆ โ„)
2523, 24syl 17 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))) โˆˆ โ„)
2613, 25remulcld 11248 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€)))) โˆˆ โ„)
27 nnnn0 12483 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
28 flmulnn0 13798 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)))
2927, 28sylan 579 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)))
30293adant3 1129 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)))
315, 10, 26, 30lesub1dd 11834 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))) โ‰ค ((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))))
3211nnrpd 13020 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„+)
33 modval 13842 . . 3 (((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) mod (๐‘ ยท ๐‘€)) = ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))))
345, 32, 333imp3i2an 1342 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) mod (๐‘ ยท ๐‘€)) = ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))))
35 modval 13842 . . . 4 (((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„+) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) mod (๐‘ ยท ๐‘€)) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))))
3610, 32, 353imp3i2an 1342 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) mod (๐‘ ยท ๐‘€)) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))))
3773adant3 1129 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
38 fldiv 13831 . . . . . . 7 (((๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))) = (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท ๐ด) / (๐‘ ยท ๐‘€))))
3937, 11, 383imp3i2an 1342 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))) = (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท ๐ด) / (๐‘ ยท ๐‘€))))
40 fldiv 13831 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐‘€)) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)))
41403adant3 1129 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐‘€)) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)))
422recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
43 divcan5 11920 . . . . . . . . . 10 (((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€)) = ((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐‘€))
4442, 19, 16, 43syl3an 1157 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€)) = ((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐‘€))
4544fveq2d 6889 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))) = (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐‘€)))
46 recn 11202 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
47 divcan5 11920 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) / (๐‘ ยท ๐‘€)) = (๐ด / ๐‘€))
4846, 19, 16, 47syl3an 1157 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) / (๐‘ ยท ๐‘€)) = (๐ด / ๐‘€))
4948fveq2d 6889 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท ๐ด) / (๐‘ ยท ๐‘€))) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)))
5041, 45, 493eqtr4rd 2777 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท ๐ด) / (๐‘ ยท ๐‘€))) = (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))
51503comr 1122 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท ๐ด) / (๐‘ ยท ๐‘€))) = (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))
5239, 51eqtrd 2766 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))) = (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))
5352oveq2d 7421 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€)))) = ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€)))))
5453oveq2d 7421 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))))
5536, 54eqtrd 2766 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) mod (๐‘ ยท ๐‘€)) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))))
5631, 34, 553brtr4d 5173 1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) mod (๐‘ ยท ๐‘€)) โ‰ค ((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) mod (๐‘ ยท ๐‘€)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„+crp 12980  โŒŠcfl 13761   mod cmo 13840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fl 13763  df-mod 13841
This theorem is referenced by:  digit1  14205
  Copyright terms: Public domain W3C validator