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Theorem modmulnn 13066

Description: Move a positive integer in and out of a floor in the first argument of a modulo operation. (Contributed by NM, 2-Jan-2009.)

**Assertion**
Ref	Expression
modmulnn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) ≤ ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)))

**Proof of Theorem modmulnn**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 11441	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		reflcl 12975	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
3		remulcl 10414	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2an 586	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
5	4	3adant3 1112	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
6		remulcl 10414	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ)
7	1, 6	sylan 572	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ)
8		reflcl 12975	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (⌊‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℝ)
10	9	3adant3 1112	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℝ)
11		nnmulcl 11458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℕ)
12	11	nnred 11450	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℝ)
13	12	3adant2 1111	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℝ)
14		nncn 11442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
15		nnne0 11468	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
16	14, 15	jca 504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
17		nncn 11442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
18		nnne0 11468	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≠ 0)
19	17, 18	jca 504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
20		mulne0 11077	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (𝑁 · 𝑀) ≠ 0)
21	16, 19, 20	syl2an 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ≠ 0)
22	21	3adant2 1111	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ≠ 0)
23	5, 13, 22	redivcld 11263	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)) ∈ ℝ)
24		reflcl 12975	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) ∈ ℝ)
25	23, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) ∈ ℝ)
26	13, 25	remulcld 10464	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)))) ∈ ℝ)
27		nnnn0 11709	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
28		flmulnn0 13006	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴)))
29	27, 28	sylan 572	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴)))
30	29	3adant3 1112	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴)))
31	5, 10, 26, 30	lesub1dd 11051	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))) ≤ ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
32	11	nnrpd 12240	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℝ⁺)
33		modval 13048	. . 3 ⊢ (((𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 𝑀) ∈ ℝ⁺) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) = ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
34	5, 32, 33	3imp3i2an 1325	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) = ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
35		modval 13048	. . . 4 ⊢ (((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 𝑀) ∈ ℝ⁺) → ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) = ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
36	10, 32, 35	3imp3i2an 1325	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) = ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
37	7	3adant3 1112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ)
38		fldiv 13037	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 𝑀) ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀))))
39	37, 11, 38	3imp3i2an 1325	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀))))
40		fldiv 13037	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑀)) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
41	40	3adant3 1112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑀)) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
42	2	recnd 10462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
43		divcan5 11137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)) = ((⌊‘𝐴) / 𝑀))
44	42, 19, 16, 43	syl3an 1140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)) = ((⌊‘𝐴) / 𝑀))
45	44	fveq2d 6497	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑀)))
46		recn 10419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
47		divcan5 11137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀)) = (𝐴 / 𝑀))
48	46, 19, 16, 47	syl3an 1140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀)) = (𝐴 / 𝑀))
49	48	fveq2d 6497	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
50	41, 45, 49	3eqtr4rd 2819	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))
51	50	3comr 1105	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))
52	39, 51	eqtrd 2808	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))
53	52	oveq2d 6986	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)))) = ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)))))
54	53	oveq2d 6986	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))) = ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
55	36, 54	eqtrd 2808	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) = ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
56	31, 34, 55	3brtr4d 4955	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) ≤ ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 387 ∧ w3a 1068 = wceq 1507 ∈ wcel 2050 ≠ wne 2961 class class class wbr 4923 ‘cfv 6182 (class class class)co 6970 ℂcc 10327 ℝcr 10328 0cc0 10329 · cmul 10334 ≤ cle 10469 − cmin 10664 / cdiv 11092 ℕcn 11433 ℕ₀cn0 11701 ℝ⁺crp 12198 ⌊cfl 12969 mod cmo 13046

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1758 ax-4 1772 ax-5 1869 ax-6 1928 ax-7 1965 ax-8 2052 ax-9 2059 ax-10 2079 ax-11 2093 ax-12 2106 ax-13 2301 ax-ext 2744 ax-sep 5054 ax-nul 5061 ax-pow 5113 ax-pr 5180 ax-un 7273 ax-cnex 10385 ax-resscn 10386 ax-1cn 10387 ax-icn 10388 ax-addcl 10389 ax-addrcl 10390 ax-mulcl 10391 ax-mulrcl 10392 ax-mulcom 10393 ax-addass 10394 ax-mulass 10395 ax-distr 10396 ax-i2m1 10397 ax-1ne0 10398 ax-1rid 10399 ax-rnegex 10400 ax-rrecex 10401 ax-cnre 10402 ax-pre-lttri 10403 ax-pre-lttrn 10404 ax-pre-ltadd 10405 ax-pre-mulgt0 10406 ax-pre-sup 10407

This theorem depends on definitions: df-bi 199 df-an 388 df-or 834 df-3or 1069 df-3an 1070 df-tru 1510 df-ex 1743 df-nf 1747 df-sb 2016 df-mo 2547 df-eu 2584 df-clab 2753 df-cleq 2765 df-clel 2840 df-nfc 2912 df-ne 2962 df-nel 3068 df-ral 3087 df-rex 3088 df-reu 3089 df-rmo 3090 df-rab 3091 df-v 3411 df-sbc 3676 df-csb 3781 df-dif 3826 df-un 3828 df-in 3830 df-ss 3837 df-pss 3839 df-nul 4173 df-if 4345 df-pw 4418 df-sn 4436 df-pr 4438 df-tp 4440 df-op 4442 df-uni 4707 df-iun 4788 df-br 4924 df-opab 4986 df-mpt 5003 df-tr 5025 df-id 5306 df-eprel 5311 df-po 5320 df-so 5321 df-fr 5360 df-we 5362 df-xp 5407 df-rel 5408 df-cnv 5409 df-co 5410 df-dm 5411 df-rn 5412 df-res 5413 df-ima 5414 df-pred 5980 df-ord 6026 df-on 6027 df-lim 6028 df-suc 6029 df-iota 6146 df-fun 6184 df-fn 6185 df-f 6186 df-f1 6187 df-fo 6188 df-f1o 6189 df-fv 6190 df-riota 6931 df-ov 6973 df-oprab 6974 df-mpo 6975 df-om 7391 df-wrecs 7744 df-recs 7806 df-rdg 7844 df-er 8083 df-en 8301 df-dom 8302 df-sdom 8303 df-sup 8695 df-inf 8696 df-pnf 10470 df-mnf 10471 df-xr 10472 df-ltxr 10473 df-le 10474 df-sub 10666 df-neg 10667 df-div 11093 df-nn 11434 df-n0 11702 df-z 11788 df-uz 12053 df-rp 12199 df-fl 12971 df-mod 13047

This theorem is referenced by: digit1 13407

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