Theorem modmulnn 13940

Description: Move a positive integer in and out of a floor in the first argument of a modulo operation. (Contributed by NM, 2-Jan-2009.)

Assertion

Ref	Expression
modmulnn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) ≤ ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)))

Proof of Theorem modmulnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12300	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		reflcl 13847	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
3		remulcl 11269	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2an 595	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
5	4	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
6		remulcl 11269	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ)
7	1, 6	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ)
8		reflcl 13847	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (⌊‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℝ)
10	9	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℝ)
11		nnmulcl 12317	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℕ)
12	11	nnred 12308	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℝ)
13	12	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℝ)
14		nncn 12301	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
15		nnne0 12327	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
16	14, 15	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
17		nncn 12301	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
18		nnne0 12327	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≠ 0)
19	17, 18	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
20		mulne0 11932	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (𝑁 · 𝑀) ≠ 0)
21	16, 19, 20	syl2an 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ≠ 0)
22	21	3adant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ≠ 0)
23	5, 13, 22	redivcld 12122	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)) ∈ ℝ)
24		reflcl 13847	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) ∈ ℝ)
25	23, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) ∈ ℝ)
26	13, 25	remulcld 11320	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)))) ∈ ℝ)
27		nnnn0 12560	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
28		flmulnn0 13878	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴)))
29	27, 28	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴)))
30	29	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴)))
31	5, 10, 26, 30	lesub1dd 11906	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))) ≤ ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
32	11	nnrpd 13097	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℝ+)
33		modval 13922	. . 3 ⊢ (((𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 𝑀) ∈ ℝ+) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) = ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
34	5, 32, 33	3imp3i2an 1345	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) = ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
35		modval 13922	. . . 4 ⊢ (((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 𝑀) ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) = ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
36	10, 32, 35	3imp3i2an 1345	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) = ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
37	7	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ)
38		fldiv 13911	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 𝑀) ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀))))
39	37, 11, 38	3imp3i2an 1345	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀))))
40		fldiv 13911	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑀)) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
41	40	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑀)) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
42	2	recnd 11318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
43		divcan5 11996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)) = ((⌊‘𝐴) / 𝑀))
44	42, 19, 16, 43	syl3an 1160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)) = ((⌊‘𝐴) / 𝑀))
45	44	fveq2d 6924	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑀)))
46		recn 11274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
47		divcan5 11996	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀)) = (𝐴 / 𝑀))
48	46, 19, 16, 47	syl3an 1160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀)) = (𝐴 / 𝑀))
49	48	fveq2d 6924	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
50	41, 45, 49	3eqtr4rd 2791	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))
51	50	3comr 1125	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))
52	39, 51	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))
53	52	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)))) = ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)))))
54	53	oveq2d 7464	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))) = ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
55	36, 54	eqtrd 2780	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) = ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
56	31, 34, 55	3brtr4d 5198	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) ≤ ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184   · cmul 11189   ≤ cle 11325   − cmin 11520   / cdiv 11947  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ℝ⁺crp 13057  ⌊cfl 13841   mod cmo 13920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fl 13843  df-mod 13921

This theorem is referenced by:  digit1  14286