MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modmulnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modmulnn 13896
Description: Move a positive integer in and out of a floor in the first argument of a modulo operation. (Contributed by NM, 2-Jan-2009.)
Assertion
Ref Expression
modmulnn ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) mod (๐‘ ยท ๐‘€)) โ‰ค ((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) mod (๐‘ ยท ๐‘€)))

Proof of Theorem modmulnn
StepHypRef Expression
1 nnre 12259 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2 reflcl 13803 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
3 remulcl 11233 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
41, 2, 3syl2an 594 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
543adant3 1129 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
6 remulcl 11233 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
71, 6sylan 578 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
8 reflcl 13803 . . . . 5 ((๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
97, 8syl 17 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
1093adant3 1129 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
11 nnmulcl 12276 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„•)
1211nnred 12267 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„)
13123adant2 1128 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„)
14 nncn 12260 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
15 nnne0 12286 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โ‰  0)
1614, 15jca 510 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โ‰  0))
17 nncn 12260 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
18 nnne0 12286 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
1917, 18jca 510 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0))
20 mulne0 11896 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) โ‰  0)
2116, 19, 20syl2an 594 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) โ‰  0)
22213adant2 1128 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) โ‰  0)
235, 13, 22redivcld 12082 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€)) โˆˆ โ„)
24 reflcl 13803 . . . . 5 (((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€)) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))) โˆˆ โ„)
2523, 24syl 17 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))) โˆˆ โ„)
2613, 25remulcld 11284 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€)))) โˆˆ โ„)
27 nnnn0 12519 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
28 flmulnn0 13834 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)))
2927, 28sylan 578 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)))
30293adant3 1129 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)))
315, 10, 26, 30lesub1dd 11870 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))) โ‰ค ((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))))
3211nnrpd 13056 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„+)
33 modval 13878 . . 3 (((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) mod (๐‘ ยท ๐‘€)) = ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))))
345, 32, 333imp3i2an 1342 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) mod (๐‘ ยท ๐‘€)) = ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))))
35 modval 13878 . . . 4 (((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„+) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) mod (๐‘ ยท ๐‘€)) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))))
3610, 32, 353imp3i2an 1342 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) mod (๐‘ ยท ๐‘€)) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))))
3773adant3 1129 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
38 fldiv 13867 . . . . . . 7 (((๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))) = (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท ๐ด) / (๐‘ ยท ๐‘€))))
3937, 11, 383imp3i2an 1342 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))) = (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท ๐ด) / (๐‘ ยท ๐‘€))))
40 fldiv 13867 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐‘€)) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)))
41403adant3 1129 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐‘€)) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)))
422recnd 11282 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
43 divcan5 11956 . . . . . . . . . 10 (((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€)) = ((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐‘€))
4442, 19, 16, 43syl3an 1157 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€)) = ((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐‘€))
4544fveq2d 6906 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))) = (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐‘€)))
46 recn 11238 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
47 divcan5 11956 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) / (๐‘ ยท ๐‘€)) = (๐ด / ๐‘€))
4846, 19, 16, 47syl3an 1157 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) / (๐‘ ยท ๐‘€)) = (๐ด / ๐‘€))
4948fveq2d 6906 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท ๐ด) / (๐‘ ยท ๐‘€))) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)))
5041, 45, 493eqtr4rd 2779 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท ๐ด) / (๐‘ ยท ๐‘€))) = (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))
51503comr 1122 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท ๐ด) / (๐‘ ยท ๐‘€))) = (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))
5239, 51eqtrd 2768 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))) = (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))
5352oveq2d 7442 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€)))) = ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€)))))
5453oveq2d 7442 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))))
5536, 54eqtrd 2768 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) mod (๐‘ ยท ๐‘€)) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ ((๐‘ ยท ๐‘€) ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) / (๐‘ ยท ๐‘€))))))
5631, 34, 553brtr4d 5184 1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜๐ด)) mod (๐‘ ยท ๐‘€)) โ‰ค ((โŒŠโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) mod (๐‘ ยท ๐‘€)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11146  โ„cr 11147  0cc0 11148   ยท cmul 11153   โ‰ค cle 11289   โˆ’ cmin 11484   / cdiv 11911  โ„•cn 12252  โ„•0cn0 12512  โ„+crp 13016  โŒŠcfl 13797   mod cmo 13876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fl 13799  df-mod 13877
This theorem is referenced by:  digit1  14241
  Copyright terms: Public domain W3C validator