Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | fzodisj 13662 |
. . . . . 6
β’
((0..^(π Β·
(ββ(π / π)))) β© ((π Β· (ββ(π / π)))..^π)) = β
|
2 | 1 | a1i 11 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β β0) β
((0..^(π Β·
(ββ(π / π)))) β© ((π Β· (ββ(π / π)))..^π)) = β
) |
3 | | rpvmasum.a |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π β β) |
4 | 3 | nnnn0d 12528 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π β
β0) |
5 | 4 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β0) β π β
β0) |
6 | | nn0re 12477 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β β0
β π β
β) |
7 | 6 | adantl 483 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β β0) β π β
β) |
8 | 3 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β β0) β π β
β) |
9 | 7, 8 | nndivred 12262 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β β0) β (π / π) β β) |
10 | 8 | nnrpd 13010 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β β0) β π β
β+) |
11 | | nn0ge0 12493 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β β0
β 0 β€ π) |
12 | 11 | adantl 483 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β β0) β 0 β€
π) |
13 | 7, 10, 12 | divge0d 13052 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β β0) β 0 β€
(π / π)) |
14 | | flge0nn0 13781 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π / π) β β β§ 0 β€ (π / π)) β (ββ(π / π)) β
β0) |
15 | 9, 13, 14 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β0) β
(ββ(π / π)) β
β0) |
16 | 5, 15 | nn0mulcld 12533 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β0) β (π Β· (ββ(π / π))) β
β0) |
17 | | flle 13760 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π / π) β β β
(ββ(π / π)) β€ (π / π)) |
18 | 9, 17 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β0) β
(ββ(π / π)) β€ (π / π)) |
19 | | reflcl 13757 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π / π) β β β
(ββ(π / π)) β
β) |
20 | 9, 19 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β β0) β
(ββ(π / π)) β
β) |
21 | 20, 7, 10 | lemuldiv2d 13062 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β0) β ((π Β· (ββ(π / π))) β€ π β (ββ(π / π)) β€ (π / π))) |
22 | 18, 21 | mpbird 257 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β0) β (π Β· (ββ(π / π))) β€ π) |
23 | | fznn0 13589 |
. . . . . . . 8
β’ (π β β0
β ((π Β·
(ββ(π / π))) β (0...π) β ((π Β· (ββ(π / π))) β β0 β§ (π Β· (ββ(π / π))) β€ π))) |
24 | 23 | adantl 483 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β0) β ((π Β· (ββ(π / π))) β (0...π) β ((π Β· (ββ(π / π))) β β0 β§ (π Β· (ββ(π / π))) β€ π))) |
25 | 16, 22, 24 | mpbir2and 712 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β β0) β (π Β· (ββ(π / π))) β (0...π)) |
26 | | fzosplit 13661 |
. . . . . 6
β’ ((π Β· (ββ(π / π))) β (0...π) β (0..^π) = ((0..^(π Β· (ββ(π / π)))) βͺ ((π Β· (ββ(π / π)))..^π))) |
27 | 25, 26 | syl 17 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β β0) β
(0..^π) = ((0..^(π Β· (ββ(π / π)))) βͺ ((π Β· (ββ(π / π)))..^π))) |
28 | | fzofi 13935 |
. . . . . 6
β’
(0..^π) β
Fin |
29 | 28 | a1i 11 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β β0) β
(0..^π) β
Fin) |
30 | | rpvmasum.g |
. . . . . 6
β’ πΊ = (DChrβπ) |
31 | | rpvmasum.z |
. . . . . 6
β’ π =
(β€/nβ€βπ) |
32 | | rpvmasum.d |
. . . . . 6
β’ π· = (BaseβπΊ) |
33 | | rpvmasum.l |
. . . . . 6
β’ πΏ = (β€RHomβπ) |
34 | | dchrisum.b |
. . . . . . 7
β’ (π β π β π·) |
35 | 34 | ad2antrr 725 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β (0..^π)) β π β π·) |
36 | | elfzoelz 13628 |
. . . . . . 7
β’ (π β (0..^π) β π β β€) |
37 | 36 | adantl 483 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β (0..^π)) β π β β€) |
38 | 30, 31, 32, 33, 35, 37 | dchrzrhcl 26728 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β (0..^π)) β (πβ(πΏβπ)) β β) |
39 | 2, 27, 29, 38 | fsumsplit 15683 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β β0) β
Ξ£π β (0..^π)(πβ(πΏβπ)) = (Ξ£π β (0..^(π Β· (ββ(π / π))))(πβ(πΏβπ)) + Ξ£π β ((π Β· (ββ(π / π)))..^π)(πβ(πΏβπ)))) |
40 | | oveq2 7412 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = 0 β (π Β· π) = (π Β· 0)) |
41 | 40 | oveq2d 7420 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = 0 β (0..^(π Β· π)) = (0..^(π Β· 0))) |
42 | 41 | sumeq1d 15643 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = 0 β Ξ£π β (0..^(π Β· π))(πβ(πΏβπ)) = Ξ£π β (0..^(π Β· 0))(πβ(πΏβπ))) |
43 | 42 | eqeq1d 2735 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = 0 β (Ξ£π β (0..^(π Β· π))(πβ(πΏβπ)) = 0 β Ξ£π β (0..^(π Β· 0))(πβ(πΏβπ)) = 0)) |
44 | 43 | imbi2d 341 |
. . . . . . . 8
β’ (π = 0 β ((π β Ξ£π β (0..^(π Β· π))(πβ(πΏβπ)) = 0) β (π β Ξ£π β (0..^(π Β· 0))(πβ(πΏβπ)) = 0))) |
45 | | oveq2 7412 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = π β (π Β· π) = (π Β· π)) |
46 | 45 | oveq2d 7420 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = π β (0..^(π Β· π)) = (0..^(π Β· π))) |
47 | 46 | sumeq1d 15643 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = π β Ξ£π β (0..^(π Β· π))(πβ(πΏβπ)) = Ξ£π β (0..^(π Β· π))(πβ(πΏβπ))) |
48 | 47 | eqeq1d 2735 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = π β (Ξ£π β (0..^(π Β· π))(πβ(πΏβπ)) = 0 β Ξ£π β (0..^(π Β· π))(πβ(πΏβπ)) = 0)) |
49 | 48 | imbi2d 341 |
. . . . . . . 8
β’ (π = π β ((π β Ξ£π β (0..^(π Β· π))(πβ(πΏβπ)) = 0) β (π β Ξ£π β (0..^(π Β· π))(πβ(πΏβπ)) = 0))) |
50 | | oveq2 7412 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = (π + 1) β (π Β· π) = (π Β· (π + 1))) |
51 | 50 | oveq2d 7420 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = (π + 1) β (0..^(π Β· π)) = (0..^(π Β· (π + 1)))) |
52 | 51 | sumeq1d 15643 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = (π + 1) β Ξ£π β (0..^(π Β· π))(πβ(πΏβπ)) = Ξ£π β (0..^(π Β· (π + 1)))(πβ(πΏβπ))) |
53 | 52 | eqeq1d 2735 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = (π + 1) β (Ξ£π β (0..^(π Β· π))(πβ(πΏβπ)) = 0 β Ξ£π β (0..^(π Β· (π + 1)))(πβ(πΏβπ)) = 0)) |
54 | 53 | imbi2d 341 |
. . . . . . . 8
β’ (π = (π + 1) β ((π β Ξ£π β (0..^(π Β· π))(πβ(πΏβπ)) = 0) β (π β Ξ£π β (0..^(π Β· (π + 1)))(πβ(πΏβπ)) = 0))) |
55 | | oveq2 7412 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = (ββ(π / π)) β (π Β· π) = (π Β· (ββ(π / π)))) |
56 | 55 | oveq2d 7420 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = (ββ(π / π)) β (0..^(π Β· π)) = (0..^(π Β· (ββ(π / π))))) |
57 | 56 | sumeq1d 15643 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = (ββ(π / π)) β Ξ£π β (0..^(π Β· π))(πβ(πΏβπ)) = Ξ£π β (0..^(π Β· (ββ(π / π))))(πβ(πΏβπ))) |
58 | 57 | eqeq1d 2735 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = (ββ(π / π)) β (Ξ£π β (0..^(π Β· π))(πβ(πΏβπ)) = 0 β Ξ£π β (0..^(π Β· (ββ(π / π))))(πβ(πΏβπ)) = 0)) |
59 | 58 | imbi2d 341 |
. . . . . . . 8
β’ (π = (ββ(π / π)) β ((π β Ξ£π β (0..^(π Β· π))(πβ(πΏβπ)) = 0) β (π β Ξ£π β (0..^(π Β· (ββ(π / π))))(πβ(πΏβπ)) = 0))) |
60 | 3 | nncnd 12224 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β π β β) |
61 | 60 | mul01d 11409 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β (π Β· 0) = 0) |
62 | 61 | oveq2d 7420 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (0..^(π Β· 0)) = (0..^0)) |
63 | | fzo0 13652 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (0..^0) =
β
|
64 | 62, 63 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (0..^(π Β· 0)) = β
) |
65 | 64 | sumeq1d 15643 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β Ξ£π β (0..^(π Β· 0))(πβ(πΏβπ)) = Ξ£π β β
(πβ(πΏβπ))) |
66 | | sum0 15663 |
. . . . . . . . 9
β’
Ξ£π β
β
(πβ(πΏβπ)) = 0 |
67 | 65, 66 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . 8
β’ (π β Ξ£π β (0..^(π Β· 0))(πβ(πΏβπ)) = 0) |
68 | | oveq1 7411 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(Ξ£π β
(0..^(π Β· π))(πβ(πΏβπ)) = 0 β (Ξ£π β (0..^(π Β· π))(πβ(πΏβπ)) + Ξ£π β ((π Β· π)..^(π Β· (π + 1)))(πβ(πΏβπ))) = (0 + Ξ£π β ((π Β· π)..^(π Β· (π + 1)))(πβ(πΏβπ)))) |
69 | | fzodisj 13662 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
((0..^(π Β·
π)) β© ((π Β· π)..^(π Β· (π + 1)))) = β
|
70 | 69 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β β0) β
((0..^(π Β· π)) β© ((π Β· π)..^(π Β· (π + 1)))) = β
) |
71 | | nn0re 12477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β0
β π β
β) |
72 | 71 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β β0) β π β
β) |
73 | 72 | lep1d 12141 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β β0) β π β€ (π + 1)) |
74 | | peano2re 11383 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β β (π + 1) β
β) |
75 | 72, 74 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β β0) β (π + 1) β
β) |
76 | 3 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β β0) β π β
β) |
77 | 76 | nnred 12223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β β0) β π β
β) |
78 | 76 | nngt0d 12257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β β0) β 0 <
π) |
79 | | lemul2 12063 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β β β§ (π + 1) β β β§
(π β β β§ 0
< π)) β (π β€ (π + 1) β (π Β· π) β€ (π Β· (π + 1)))) |
80 | 72, 75, 77, 78, 79 | syl112anc 1375 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β β0) β (π β€ (π + 1) β (π Β· π) β€ (π Β· (π + 1)))) |
81 | 73, 80 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β β0) β (π Β· π) β€ (π Β· (π + 1))) |
82 | | nn0mulcl 12504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β β0
β§ π β
β0) β (π Β· π) β
β0) |
83 | 4, 82 | sylan 581 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β β0) β (π Β· π) β
β0) |
84 | | nn0uz 12860 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
β0 = (β€β₯β0) |
85 | 83, 84 | eleqtrdi 2844 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β β0) β (π Β· π) β
(β€β₯β0)) |
86 | | nn0p1nn 12507 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β0
β (π + 1) β
β) |
87 | | nnmulcl 12232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β β β§ (π + 1) β β) β
(π Β· (π + 1)) β
β) |
88 | 3, 86, 87 | syl2an 597 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β β0) β (π Β· (π + 1)) β β) |
89 | 88 | nnzd 12581 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β β0) β (π Β· (π + 1)) β β€) |
90 | | elfz5 13489 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π Β· π) β (β€β₯β0)
β§ (π Β· (π + 1)) β β€) β
((π Β· π) β (0...(π Β· (π + 1))) β (π Β· π) β€ (π Β· (π + 1)))) |
91 | 85, 89, 90 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β β0) β ((π Β· π) β (0...(π Β· (π + 1))) β (π Β· π) β€ (π Β· (π + 1)))) |
92 | 81, 91 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β β0) β (π Β· π) β (0...(π Β· (π + 1)))) |
93 | | fzosplit 13661 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π Β· π) β (0...(π Β· (π + 1))) β (0..^(π Β· (π + 1))) = ((0..^(π Β· π)) βͺ ((π Β· π)..^(π Β· (π + 1))))) |
94 | 92, 93 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β β0) β
(0..^(π Β· (π + 1))) = ((0..^(π Β· π)) βͺ ((π Β· π)..^(π Β· (π + 1))))) |
95 | | fzofi 13935 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(0..^(π Β·
(π + 1))) β
Fin |
96 | 95 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β β0) β
(0..^(π Β· (π + 1))) β
Fin) |
97 | 34 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β (0..^(π Β· (π + 1)))) β π β π·) |
98 | | elfzoelz 13628 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β (0..^(π Β· (π + 1))) β π β β€) |
99 | 98 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β (0..^(π Β· (π + 1)))) β π β β€) |
100 | 30, 31, 32, 33, 97, 99 | dchrzrhcl 26728 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β (0..^(π Β· (π + 1)))) β (πβ(πΏβπ)) β β) |
101 | 70, 94, 96, 100 | fsumsplit 15683 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β β0) β
Ξ£π β (0..^(π Β· (π + 1)))(πβ(πΏβπ)) = (Ξ£π β (0..^(π Β· π))(πβ(πΏβπ)) + Ξ£π β ((π Β· π)..^(π Β· (π + 1)))(πβ(πΏβπ)))) |
102 | 76 | nncnd 12224 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β β0) β π β
β) |
103 | 72 | recnd 11238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β β0) β π β
β) |
104 | | 1cnd 11205 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β β0) β 1 β
β) |
105 | 102, 103,
104 | adddid 11234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β β0) β (π Β· (π + 1)) = ((π Β· π) + (π Β· 1))) |
106 | 102 | mulridd 11227 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β β0) β (π Β· 1) = π) |
107 | 106 | oveq2d 7420 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β β0) β ((π Β· π) + (π Β· 1)) = ((π Β· π) + π)) |
108 | 105, 107 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β β0) β (π Β· (π + 1)) = ((π Β· π) + π)) |
109 | 108 | oveq2d 7420 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β β0) β ((π Β· π)..^(π Β· (π + 1))) = ((π Β· π)..^((π Β· π) + π))) |
110 | 109 | sumeq1d 15643 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β β0) β
Ξ£π β ((π Β· π)..^(π Β· (π + 1)))(πβ(πΏβπ)) = Ξ£π β ((π Β· π)..^((π Β· π) + π))(πβ(πΏβπ))) |
111 | | oveq2 7412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π = π β ((π Β· π) + π) = ((π Β· π) + π)) |
112 | 111 | oveq2d 7420 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π = π β ((π Β· π)..^((π Β· π) + π)) = ((π Β· π)..^((π Β· π) + π))) |
113 | 112 | sumeq1d 15643 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π = π β Ξ£π β ((π Β· π)..^((π Β· π) + π))(πβ(πΏβπ)) = Ξ£π β ((π Β· π)..^((π Β· π) + π))(πβ(πΏβπ))) |
114 | | oveq2 7412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π = π β (0..^π) = (0..^π)) |
115 | 114 | sumeq1d 15643 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π = π β Ξ£π β (0..^π)(πβ(πΏβπ)) = Ξ£π β (0..^π)(πβ(πΏβπ))) |
116 | 113, 115 | eqeq12d 2749 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π = π β (Ξ£π β ((π Β· π)..^((π Β· π) + π))(πβ(πΏβπ)) = Ξ£π β (0..^π)(πβ(πΏβπ)) β Ξ£π β ((π Β· π)..^((π Β· π) + π))(πβ(πΏβπ)) = Ξ£π β (0..^π)(πβ(πΏβπ)))) |
117 | 83 | nn0zd 12580 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β β0) β (π Β· π) β β€) |
118 | 117 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β (π Β· π) β
β€) |
119 | | nn0z 12579 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β β0
β π β
β€) |
120 | | zaddcl 12598 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π Β· π) β β€ β§ π β β€) β ((π Β· π) + π) β β€) |
121 | 117, 119,
120 | syl2an 597 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β ((π Β· π) + π) β β€) |
122 | | peano2zm 12601 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π Β· π) + π) β β€ β (((π Β· π) + π) β 1) β β€) |
123 | 121, 122 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β (((π Β· π) + π) β 1) β β€) |
124 | 34 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β§ π β ((π Β· π)...(((π Β· π) + π) β 1))) β π β π·) |
125 | | elfzelz 13497 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β ((π Β· π)...(((π Β· π) + π) β 1)) β π β β€) |
126 | 125 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β§ π β ((π Β· π)...(((π Β· π) + π) β 1))) β π β β€) |
127 | 30, 31, 32, 33, 124, 126 | dchrzrhcl 26728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β§ π β ((π Β· π)...(((π Β· π) + π) β 1))) β (πβ(πΏβπ)) β β) |
128 | | 2fveq3 6893 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π = (π + (π Β· π)) β (πβ(πΏβπ)) = (πβ(πΏβ(π + (π Β· π))))) |
129 | 118, 118,
123, 127, 128 | fsumshftm 15723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β Ξ£π β
((π Β· π)...(((π Β· π) + π) β 1))(πβ(πΏβπ)) = Ξ£π β (((π Β· π) β (π Β· π))...((((π Β· π) + π) β 1) β (π Β· π)))(πβ(πΏβ(π + (π Β· π))))) |
130 | | fzoval 13629 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π Β· π) + π) β β€ β ((π Β· π)..^((π Β· π) + π)) = ((π Β· π)...(((π Β· π) + π) β 1))) |
131 | 121, 130 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β ((π Β· π)..^((π Β· π) + π)) = ((π Β· π)...(((π Β· π) + π) β 1))) |
132 | 131 | sumeq1d 15643 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β Ξ£π β
((π Β· π)..^((π Β· π) + π))(πβ(πΏβπ)) = Ξ£π β ((π Β· π)...(((π Β· π) + π) β 1))(πβ(πΏβπ))) |
133 | 119 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β π β
β€) |
134 | | fzoval 13629 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β β€ β
(0..^π) = (0...(π β 1))) |
135 | 133, 134 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β (0..^π) =
(0...(π β
1))) |
136 | 118 | zcnd 12663 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β (π Β· π) β
β) |
137 | 136 | subidd 11555 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β ((π Β· π) β (π Β· π)) = 0) |
138 | 121 | zcnd 12663 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β ((π Β· π) + π) β β) |
139 | | 1cnd 11205 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β 1 β β) |
140 | 138, 139,
136 | sub32d 11599 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β ((((π Β· π) + π) β 1) β (π Β· π)) = ((((π Β· π) + π) β (π Β· π)) β 1)) |
141 | | nn0cn 12478 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π β β0
β π β
β) |
142 | 141 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β π β
β) |
143 | 136, 142 | pncan2d 11569 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β (((π Β· π) + π) β (π Β· π)) = π) |
144 | 143 | oveq1d 7419 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β ((((π Β· π) + π) β (π Β· π)) β 1) = (π β 1)) |
145 | 140, 144 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β ((((π Β· π) + π) β 1) β (π Β· π)) = (π β 1)) |
146 | 137, 145 | oveq12d 7422 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β (((π Β· π) β (π Β· π))...((((π Β· π) + π) β 1) β (π Β· π))) = (0...(π β 1))) |
147 | 135, 146 | eqtr4d 2776 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β (0..^π) = (((π Β· π) β (π Β· π))...((((π Β· π) + π) β 1) β (π Β· π)))) |
148 | 147 | sumeq1d 15643 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β Ξ£π β
(0..^π)(πβ(πΏβ(π + (π Β· π)))) = Ξ£π β (((π Β· π) β (π Β· π))...((((π Β· π) + π) β 1) β (π Β· π)))(πβ(πΏβ(π + (π Β· π))))) |
149 | 129, 132,
148 | 3eqtr4d 2783 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β Ξ£π β
((π Β· π)..^((π Β· π) + π))(πβ(πΏβπ)) = Ξ£π β (0..^π)(πβ(πΏβ(π + (π Β· π))))) |
150 | 3 | nnzd 12581 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π β π β β€) |
151 | | nn0z 12579 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π β β0
β π β
β€) |
152 | | dvdsmul1 16217 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π β β€ β§ π β β€) β π β₯ (π Β· π)) |
153 | 150, 151,
152 | syl2an 597 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π β§ π β β0) β π β₯ (π Β· π)) |
154 | 153 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β§ π β (0..^π)) β π β₯ (π Β· π)) |
155 | | elfzoelz 13628 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π β (0..^π) β π β β€) |
156 | 155 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β§ π β (0..^π)) β π β β€) |
157 | 156 | zcnd 12663 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β§ π β (0..^π)) β π β β) |
158 | 136 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β§ π β (0..^π)) β (π Β· π) β β) |
159 | 157, 158 | pncan2d 11569 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β§ π β (0..^π)) β ((π + (π Β· π)) β π) = (π Β· π)) |
160 | 154, 159 | breqtrrd 5175 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β§ π β (0..^π)) β π β₯ ((π + (π Β· π)) β π)) |
161 | 76 | nnnn0d 12528 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π β§ π β β0) β π β
β0) |
162 | 161 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β§ π β (0..^π)) β π β
β0) |
163 | | zaddcl 12598 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π β β€ β§ (π Β· π) β β€) β (π + (π Β· π)) β β€) |
164 | 155, 118,
163 | syl2anr 598 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β§ π β (0..^π)) β (π + (π Β· π)) β β€) |
165 | 31, 33 | zndvds 21089 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β β0
β§ (π + (π Β· π)) β β€ β§ π β β€) β ((πΏβ(π + (π Β· π))) = (πΏβπ) β π β₯ ((π + (π Β· π)) β π))) |
166 | 162, 164,
156, 165 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β§ π β (0..^π)) β ((πΏβ(π + (π Β· π))) = (πΏβπ) β π β₯ ((π + (π Β· π)) β π))) |
167 | 160, 166 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β§ π β (0..^π)) β (πΏβ(π + (π Β· π))) = (πΏβπ)) |
168 | 167 | fveq2d 6892 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β§ π β (0..^π)) β (πβ(πΏβ(π + (π Β· π)))) = (πβ(πΏβπ))) |
169 | 168 | sumeq2dv 15645 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β Ξ£π β
(0..^π)(πβ(πΏβ(π + (π Β· π)))) = Ξ£π β (0..^π)(πβ(πΏβπ))) |
170 | | 2fveq3 6893 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π = π β (πβ(πΏβπ)) = (πβ(πΏβπ))) |
171 | 170 | cbvsumv 15638 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
Ξ£π β
(0..^π)(πβ(πΏβπ)) = Ξ£π β (0..^π)(πβ(πΏβπ)) |
172 | 169, 171 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β Ξ£π β
(0..^π)(πβ(πΏβ(π + (π Β· π)))) = Ξ£π β (0..^π)(πβ(πΏβπ))) |
173 | 149, 172 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β β0)
β Ξ£π β
((π Β· π)..^((π Β· π) + π))(πβ(πΏβπ)) = Ξ£π β (0..^π)(πβ(πΏβπ))) |
174 | 173 | ralrimiva 3147 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β β0) β
βπ β
β0 Ξ£π β ((π Β· π)..^((π Β· π) + π))(πβ(πΏβπ)) = Ξ£π β (0..^π)(πβ(πΏβπ))) |
175 | 116, 174,
161 | rspcdva 3613 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β β0) β
Ξ£π β ((π Β· π)..^((π Β· π) + π))(πβ(πΏβπ)) = Ξ£π β (0..^π)(πβ(πΏβπ))) |
176 | | fveq2 6888 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π = (πΏβπ) β (πβπ) = (πβ(πΏβπ))) |
177 | 3 | nnne0d 12258 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β π β 0) |
178 | | ifnefalse 4539 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β 0 β if(π = 0, β€, (0..^π)) = (0..^π)) |
179 | 177, 178 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β if(π = 0, β€, (0..^π)) = (0..^π)) |
180 | | fzofi 13935 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
(0..^π) β
Fin |
181 | 179, 180 | eqeltrdi 2842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β if(π = 0, β€, (0..^π)) β Fin) |
182 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’
(Baseβπ) =
(Baseβπ) |
183 | 33 | reseq1i 5975 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (πΏ βΎ if(π = 0, β€, (0..^π))) = ((β€RHomβπ) βΎ if(π = 0, β€, (0..^π))) |
184 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ if(π = 0, β€, (0..^π)) = if(π = 0, β€, (0..^π)) |
185 | 31, 182, 183, 184 | znf1o 21091 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β β0
β (πΏ βΎ if(π = 0, β€, (0..^π))):if(π = 0, β€, (0..^π))β1-1-ontoβ(Baseβπ)) |
186 | 4, 185 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β (πΏ βΎ if(π = 0, β€, (0..^π))):if(π = 0, β€, (0..^π))β1-1-ontoβ(Baseβπ)) |
187 | | fvres 6907 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β if(π = 0, β€, (0..^π)) β ((πΏ βΎ if(π = 0, β€, (0..^π)))βπ) = (πΏβπ)) |
188 | 187 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β if(π = 0, β€, (0..^π))) β ((πΏ βΎ if(π = 0, β€, (0..^π)))βπ) = (πΏβπ)) |
189 | 30, 31, 32, 182, 34 | dchrf 26725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β π:(Baseβπ)βΆβ) |
190 | 189 | ffvelcdmda 7082 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (Baseβπ)) β (πβπ) β β) |
191 | 176, 181,
186, 188, 190 | fsumf1o 15665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β Ξ£π β (Baseβπ)(πβπ) = Ξ£π β if (π = 0, β€, (0..^π))(πβ(πΏβπ))) |
192 | | rpvmasum.1 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ 1 =
(0gβπΊ) |
193 | 30, 31, 32, 192, 34, 182 | dchrsum 26752 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β Ξ£π β (Baseβπ)(πβπ) = if(π = 1 , (Οβπ), 0)) |
194 | | dchrisum.n1 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β π β 1 ) |
195 | | ifnefalse 4539 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β 1 β if(π = 1 , (Οβπ), 0) = 0) |
196 | 194, 195 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β if(π = 1 , (Οβπ), 0) = 0) |
197 | 193, 196 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β Ξ£π β (Baseβπ)(πβπ) = 0) |
198 | 179 | sumeq1d 15643 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β Ξ£π β if (π = 0, β€, (0..^π))(πβ(πΏβπ)) = Ξ£π β (0..^π)(πβ(πΏβπ))) |
199 | 191, 197,
198 | 3eqtr3rd 2782 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β Ξ£π β (0..^π)(πβ(πΏβπ)) = 0) |
200 | 199 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β β0) β
Ξ£π β (0..^π)(πβ(πΏβπ)) = 0) |
201 | 110, 175,
200 | 3eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β β0) β
Ξ£π β ((π Β· π)..^(π Β· (π + 1)))(πβ(πΏβπ)) = 0) |
202 | 201 | oveq2d 7420 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β β0) β (0 +
Ξ£π β ((π Β· π)..^(π Β· (π + 1)))(πβ(πΏβπ))) = (0 + 0)) |
203 | | 00id 11385 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (0 + 0) =
0 |
204 | 202, 203 | eqtr2di 2790 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β β0) β 0 = (0 +
Ξ£π β ((π Β· π)..^(π Β· (π + 1)))(πβ(πΏβπ)))) |
205 | 101, 204 | eqeq12d 2749 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β β0) β
(Ξ£π β
(0..^(π Β· (π + 1)))(πβ(πΏβπ)) = 0 β (Ξ£π β (0..^(π Β· π))(πβ(πΏβπ)) + Ξ£π β ((π Β· π)..^(π Β· (π + 1)))(πβ(πΏβπ))) = (0 + Ξ£π β ((π Β· π)..^(π Β· (π + 1)))(πβ(πΏβπ))))) |
206 | 68, 205 | imbitrrid 245 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β β0) β
(Ξ£π β
(0..^(π Β· π))(πβ(πΏβπ)) = 0 β Ξ£π β (0..^(π Β· (π + 1)))(πβ(πΏβπ)) = 0)) |
207 | 206 | expcom 415 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β β0
β (π β
(Ξ£π β
(0..^(π Β· π))(πβ(πΏβπ)) = 0 β Ξ£π β (0..^(π Β· (π + 1)))(πβ(πΏβπ)) = 0))) |
208 | 207 | a2d 29 |
. . . . . . . 8
β’ (π β β0
β ((π β
Ξ£π β (0..^(π Β· π))(πβ(πΏβπ)) = 0) β (π β Ξ£π β (0..^(π Β· (π + 1)))(πβ(πΏβπ)) = 0))) |
209 | 44, 49, 54, 59, 67, 208 | nn0ind 12653 |
. . . . . . 7
β’
((ββ(π /
π)) β
β0 β (π
β Ξ£π β
(0..^(π Β·
(ββ(π / π))))(πβ(πΏβπ)) = 0)) |
210 | 209 | impcom 409 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ (ββ(π / π)) β β0) β
Ξ£π β (0..^(π Β· (ββ(π / π))))(πβ(πΏβπ)) = 0) |
211 | 15, 210 | syldan 592 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β β0) β
Ξ£π β (0..^(π Β· (ββ(π / π))))(πβ(πΏβπ)) = 0) |
212 | | modval 13832 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β β β§ π β β+)
β (π mod π) = (π β (π Β· (ββ(π / π))))) |
213 | 7, 10, 212 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β β0) β (π mod π) = (π β (π Β· (ββ(π / π))))) |
214 | 213 | oveq2d 7420 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β β0) β ((π Β· (ββ(π / π))) + (π mod π)) = ((π Β· (ββ(π / π))) + (π β (π Β· (ββ(π / π)))))) |
215 | 16 | nn0cnd 12530 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β β0) β (π Β· (ββ(π / π))) β β) |
216 | | nn0cn 12478 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β β0
β π β
β) |
217 | 216 | adantl 483 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β β0) β π β
β) |
218 | 215, 217 | pncan3d 11570 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β β0) β ((π Β· (ββ(π / π))) + (π β (π Β· (ββ(π / π))))) = π) |
219 | 214, 218 | eqtr2d 2774 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β0) β π = ((π Β· (ββ(π / π))) + (π mod π))) |
220 | 219 | oveq2d 7420 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β0) β ((π Β· (ββ(π / π)))..^π) = ((π Β· (ββ(π / π)))..^((π Β· (ββ(π / π))) + (π mod π)))) |
221 | 220 | sumeq1d 15643 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β β0) β
Ξ£π β ((π Β· (ββ(π / π)))..^π)(πβ(πΏβπ)) = Ξ£π β ((π Β· (ββ(π / π)))..^((π Β· (ββ(π / π))) + (π mod π)))(πβ(πΏβπ))) |
222 | | nn0z 12579 |
. . . . . . . 8
β’ (π β β0
β π β
β€) |
223 | | zmodcl 13852 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β β€ β§ π β β) β (π mod π) β
β0) |
224 | 222, 3, 223 | syl2anr 598 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β0) β (π mod π) β
β0) |
225 | 174 | ralrimiva 3147 |
. . . . . . . 8
β’ (π β βπ β β0 βπ β β0
Ξ£π β ((π Β· π)..^((π Β· π) + π))(πβ(πΏβπ)) = Ξ£π β (0..^π)(πβ(πΏβπ))) |
226 | 225 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β0) β
βπ β
β0 βπ β β0 Ξ£π β ((π Β· π)..^((π Β· π) + π))(πβ(πΏβπ)) = Ξ£π β (0..^π)(πβ(πΏβπ))) |
227 | | oveq2 7412 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = (ββ(π / π)) β (π Β· π) = (π Β· (ββ(π / π)))) |
228 | 227 | oveq1d 7419 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = (ββ(π / π)) β ((π Β· π) + π) = ((π Β· (ββ(π / π))) + π)) |
229 | 227, 228 | oveq12d 7422 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = (ββ(π / π)) β ((π Β· π)..^((π Β· π) + π)) = ((π Β· (ββ(π / π)))..^((π Β· (ββ(π / π))) + π))) |
230 | 229 | sumeq1d 15643 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = (ββ(π / π)) β Ξ£π β ((π Β· π)..^((π Β· π) + π))(πβ(πΏβπ)) = Ξ£π β ((π Β· (ββ(π / π)))..^((π Β· (ββ(π / π))) + π))(πβ(πΏβπ))) |
231 | 230 | eqeq1d 2735 |
. . . . . . . 8
β’ (π = (ββ(π / π)) β (Ξ£π β ((π Β· π)..^((π Β· π) + π))(πβ(πΏβπ)) = Ξ£π β (0..^π)(πβ(πΏβπ)) β Ξ£π β ((π Β· (ββ(π / π)))..^((π Β· (ββ(π / π))) + π))(πβ(πΏβπ)) = Ξ£π β (0..^π)(πβ(πΏβπ)))) |
232 | | oveq2 7412 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = (π mod π) β ((π Β· (ββ(π / π))) + π) = ((π Β· (ββ(π / π))) + (π mod π))) |
233 | 232 | oveq2d 7420 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = (π mod π) β ((π Β· (ββ(π / π)))..^((π Β· (ββ(π / π))) + π)) = ((π Β· (ββ(π / π)))..^((π Β· (ββ(π / π))) + (π mod π)))) |
234 | 233 | sumeq1d 15643 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = (π mod π) β Ξ£π β ((π Β· (ββ(π / π)))..^((π Β· (ββ(π / π))) + π))(πβ(πΏβπ)) = Ξ£π β ((π Β· (ββ(π / π)))..^((π Β· (ββ(π / π))) + (π mod π)))(πβ(πΏβπ))) |
235 | | oveq2 7412 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = (π mod π) β (0..^π) = (0..^(π mod π))) |
236 | 235 | sumeq1d 15643 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = (π mod π) β Ξ£π β (0..^π)(πβ(πΏβπ)) = Ξ£π β (0..^(π mod π))(πβ(πΏβπ))) |
237 | 234, 236 | eqeq12d 2749 |
. . . . . . . 8
β’ (π = (π mod π) β (Ξ£π β ((π Β· (ββ(π / π)))..^((π Β· (ββ(π / π))) + π))(πβ(πΏβπ)) = Ξ£π β (0..^π)(πβ(πΏβπ)) β Ξ£π β ((π Β· (ββ(π / π)))..^((π Β· (ββ(π / π))) + (π mod π)))(πβ(πΏβπ)) = Ξ£π β (0..^(π mod π))(πβ(πΏβπ)))) |
238 | 231, 237 | rspc2va 3622 |
. . . . . . 7
β’
((((ββ(π
/ π)) β
β0 β§ (π mod π) β β0) β§
βπ β
β0 βπ β β0 Ξ£π β ((π Β· π)..^((π Β· π) + π))(πβ(πΏβπ)) = Ξ£π β (0..^π)(πβ(πΏβπ))) β Ξ£π β ((π Β· (ββ(π / π)))..^((π Β· (ββ(π / π))) + (π mod π)))(πβ(πΏβπ)) = Ξ£π β (0..^(π mod π))(πβ(πΏβπ))) |
239 | 15, 224, 226, 238 | syl21anc 837 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β β0) β
Ξ£π β ((π Β· (ββ(π / π)))..^((π Β· (ββ(π / π))) + (π mod π)))(πβ(πΏβπ)) = Ξ£π β (0..^(π mod π))(πβ(πΏβπ))) |
240 | 221, 239 | eqtrd 2773 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β β0) β
Ξ£π β ((π Β· (ββ(π / π)))..^π)(πβ(πΏβπ)) = Ξ£π β (0..^(π mod π))(πβ(πΏβπ))) |
241 | 211, 240 | oveq12d 7422 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β β0) β
(Ξ£π β
(0..^(π Β·
(ββ(π / π))))(πβ(πΏβπ)) + Ξ£π β ((π Β· (ββ(π / π)))..^π)(πβ(πΏβπ))) = (0 + Ξ£π β (0..^(π mod π))(πβ(πΏβπ)))) |
242 | | fzofi 13935 |
. . . . . . 7
β’
(0..^(π mod π)) β Fin |
243 | 242 | a1i 11 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β β0) β
(0..^(π mod π)) β Fin) |
244 | 34 | ad2antrr 725 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β (0..^(π mod π))) β π β π·) |
245 | | elfzoelz 13628 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (0..^(π mod π)) β π β β€) |
246 | 245 | adantl 483 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β (0..^(π mod π))) β π β β€) |
247 | 30, 31, 32, 33, 244, 246 | dchrzrhcl 26728 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β (0..^(π mod π))) β (πβ(πΏβπ)) β β) |
248 | 243, 247 | fsumcl 15675 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β β0) β
Ξ£π β (0..^(π mod π))(πβ(πΏβπ)) β β) |
249 | 248 | addlidd 11411 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β β0) β (0 +
Ξ£π β (0..^(π mod π))(πβ(πΏβπ))) = Ξ£π β (0..^(π mod π))(πβ(πΏβπ))) |
250 | 39, 241, 249 | 3eqtrd 2777 |
. . 3
β’ ((π β§ π β β0) β
Ξ£π β (0..^π)(πβ(πΏβπ)) = Ξ£π β (0..^(π mod π))(πβ(πΏβπ))) |
251 | 250 | fveq2d 6892 |
. 2
β’ ((π β§ π β β0) β
(absβΞ£π β
(0..^π)(πβ(πΏβπ))) = (absβΞ£π β (0..^(π mod π))(πβ(πΏβπ)))) |
252 | | oveq2 7412 |
. . . . . 6
β’ (π’ = (π mod π) β (0..^π’) = (0..^(π mod π))) |
253 | 252 | sumeq1d 15643 |
. . . . 5
β’ (π’ = (π mod π) β Ξ£π β (0..^π’)(πβ(πΏβπ)) = Ξ£π β (0..^(π mod π))(πβ(πΏβπ))) |
254 | 253 | fveq2d 6892 |
. . . 4
β’ (π’ = (π mod π) β (absβΞ£π β (0..^π’)(πβ(πΏβπ))) = (absβΞ£π β (0..^(π mod π))(πβ(πΏβπ)))) |
255 | 254 | breq1d 5157 |
. . 3
β’ (π’ = (π mod π) β ((absβΞ£π β (0..^π’)(πβ(πΏβπ))) β€ π
β (absβΞ£π β (0..^(π mod π))(πβ(πΏβπ))) β€ π
)) |
256 | | dchrisum.10 |
. . . 4
β’ (π β βπ’ β (0..^π)(absβΞ£π β (0..^π’)(πβ(πΏβπ))) β€ π
) |
257 | 256 | adantr 482 |
. . 3
β’ ((π β§ π β β0) β
βπ’ β (0..^π)(absβΞ£π β (0..^π’)(πβ(πΏβπ))) β€ π
) |
258 | | zmodfzo 13855 |
. . . 4
β’ ((π β β€ β§ π β β) β (π mod π) β (0..^π)) |
259 | 222, 3, 258 | syl2anr 598 |
. . 3
β’ ((π β§ π β β0) β (π mod π) β (0..^π)) |
260 | 255, 257,
259 | rspcdva 3613 |
. 2
β’ ((π β§ π β β0) β
(absβΞ£π β
(0..^(π mod π))(πβ(πΏβπ))) β€ π
) |
261 | 251, 260 | eqbrtrd 5169 |
1
β’ ((π β§ π β β0) β
(absβΞ£π β
(0..^π)(πβ(πΏβπ))) β€ π
) |