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Theorem dchrisumlem1 26076
Description: Lemma for dchrisum 26079. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrisum.2 (𝑛 = 𝑥𝐴 = 𝐵)
dchrisum.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
dchrisum.4 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
dchrisum.5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
dchrisum.6 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
dchrisum.7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · 𝐴))
dchrisum.9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
dchrisum.10 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dchrisumlem1 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝑥   1 ,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑢,𝑥   𝑥,𝐴   𝑛,𝑁,𝑢,𝑥   𝜑,𝑛,𝑢,𝑥   𝑅,𝑛,𝑢,𝑥   𝑈,𝑛,𝑢,𝑥   𝐵,𝑛   𝑛,𝑍,𝑥   𝐷,𝑛,𝑥   𝑛,𝐿,𝑢,𝑥   𝑛,𝑀,𝑢,𝑥   𝑛,𝑋,𝑢,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑢,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑢)   𝐷(𝑢)   1 (𝑢)   𝐺(𝑥,𝑢,𝑛)   𝑍(𝑢)

Proof of Theorem dchrisumlem1
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzodisj 13070 . . . . . 6 ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∩ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)) = ∅
21a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∩ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)) = ∅)
3 rpvmasum.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
43nnnn0d 11947 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
54adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6 nn0re 11898 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ ℕ0𝑈 ∈ ℝ)
76adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 𝑈 ∈ ℝ)
83adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
97, 8nndivred 11683 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ)
108nnrpd 12421 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
11 nn0ge0 11914 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑈)
1211adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑈)
137, 10, 12divge0d 12463 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑈 / 𝑁))
14 flge0nn0 13189 . . . . . . . . 9 (((𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑈 / 𝑁)) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ0)
159, 13, 14syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ0)
165, 15nn0mulcld 11952 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℕ0)
17 flle 13168 . . . . . . . . 9 ((𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ≤ (𝑈 / 𝑁))
189, 17syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ≤ (𝑈 / 𝑁))
19 reflcl 13165 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℝ)
209, 19syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℝ)
2120, 7, 10lemuldiv2d 12473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈 ↔ (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ≤ (𝑈 / 𝑁)))
2218, 21mpbird 260 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈)
23 fznn0 12998 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ ℕ0 → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈) ↔ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈)))
2423adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈) ↔ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈)))
2516, 22, 24mpbir2and 712 . . . . . 6 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈))
26 fzosplit 13069 . . . . . 6 ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈) → (0..^𝑈) = ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∪ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)))
2725, 26syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (0..^𝑈) = ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∪ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)))
28 fzofi 13341 . . . . . 6 (0..^𝑈) ∈ Fin
2928a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (0..^𝑈) ∈ Fin)
30 rpvmasum.g . . . . . 6 𝐺 = (DChr‘𝑁)
31 rpvmasum.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
32 rpvmasum.d . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐺)
33 rpvmasum.l . . . . . 6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
34 dchrisum.b . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐷)
3534ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑈)) → 𝑋𝐷)
36 elfzoelz 13037 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0..^𝑈) → 𝑛 ∈ ℤ)
3736adantl 485 . . . . . 6 (((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑈)) → 𝑛 ∈ ℤ)
3830, 31, 32, 33, 35, 37dchrzrhcl 25832 . . . . 5 (((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑈)) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
392, 27, 29, 38fsumsplit 15092 . . . 4 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛))))
40 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · 0))
4140oveq2d 7155 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · 0)))
4241sumeq1d 15053 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
4342eqeq1d 2803 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0))
4443imbi2d 344 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)))
45 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚 → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · 𝑚))
4645oveq2d 7155 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · 𝑚)))
4746sumeq1d 15053 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
4847eqeq1d 2803 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0))
4948imbi2d 344 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)))
50 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑚 + 1) → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · (𝑚 + 1)))
5150oveq2d 7155 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑚 + 1) → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))))
5251sumeq1d 15053 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑚 + 1) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
5352eqeq1d 2803 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑚 + 1) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0))
5453imbi2d 344 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)))
55 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))
5655oveq2d 7155 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))))
5756sumeq1d 15053 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
5857eqeq1d 2803 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0))
5958imbi2d 344 . . . . . . . 8 (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)))
603nncnd 11645 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
6160mul01d 10832 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 · 0) = 0)
6261oveq2d 7155 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0..^(𝑁 · 0)) = (0..^0))
63 fzo0 13060 . . . . . . . . . . 11 (0..^0) = ∅
6462, 63eqtrdi 2852 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0..^(𝑁 · 0)) = ∅)
6564sumeq1d 15053 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ∅ (𝑋‘(𝐿𝑛)))
66 sum0 15073 . . . . . . . . 9 Σ𝑛 ∈ ∅ (𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0
6765, 66eqtrdi 2852 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)
68 oveq1 7146 . . . . . . . . . . 11 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛))) = (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
69 fzodisj 13070 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∩ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) = ∅
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∩ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) = ∅)
71 nn0re 11898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℝ)
7271adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℝ)
7372lep1d 11564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ≤ (𝑚 + 1))
74 peano2re 10806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
7572, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
763adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
7776nnred 11644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
7876nngt0d 11678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑁)
79 lemul2 11486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (𝑚 ≤ (𝑚 + 1) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
8072, 75, 77, 78, 79syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 ≤ (𝑚 + 1) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
8173, 80mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1)))
82 nn0mulcl 11925 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℕ0)
834, 82sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℕ0)
84 nn0uz 12272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (ℤ‘0)
8583, 84eleqtrdi 2903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ (ℤ‘0))
86 nn0p1nn 11928 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
87 nnmulcl 11653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
883, 86, 87syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
8988nnzd 12078 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℤ)
90 elfz5 12898 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 · 𝑚) ∈ (ℤ‘0) ∧ (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
9185, 89, 90syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
9281, 91mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))))
93 fzosplit 13069 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))) → (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) = ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∪ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))))
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) = ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∪ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))))
95 fzofi 13341 . . . . . . . . . . . . . 14 (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) ∈ Fin
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) ∈ Fin)
9734ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) → 𝑋𝐷)
98 elfzoelz 13037 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
9998adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℤ)
10030, 31, 32, 33, 97, 99dchrzrhcl 25832 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
10170, 94, 96, 100fsumsplit 15092 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
10276nncnd 11645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
10372recnd 10662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
104 1cnd 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
105102, 103, 104adddid 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) = ((𝑁 · 𝑚) + (𝑁 · 1)))
106102mulid1d 10651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
107106oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚) + (𝑁 · 1)) = ((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))
108105, 107eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) = ((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))
109108oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) = ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁)))
110109sumeq1d 15053 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
111 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) = ((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))
112111oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁)))
113112sumeq1d 15053 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑁 → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
114 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑁 → (0..^𝑘) = (0..^𝑁))
115114sumeq1d 15053 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑁 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
116113, 115eqeq12d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑁 → (Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿𝑛))))
11783nn0zd 12077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
118117adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
119 nn0z 11997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
120 zaddcl 12014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ)
121117, 119, 120syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ)
122 peano2zm 12017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ → (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) ∈ ℤ)
123121, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) ∈ ℤ)
12434ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))) → 𝑋𝐷)
125 elfzelz 12906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
126125adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
12730, 31, 32, 33, 124, 126dchrzrhcl 25832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
128 2fveq3 6654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
129118, 118, 123, 127, 128fsumshftm 15131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑖 ∈ (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)))(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
130 fzoval 13038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1)))
131121, 130syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1)))
132131sumeq1d 15053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
133119adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
134 fzoval 13038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → (0..^𝑘) = (0...(𝑘 − 1)))
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0..^𝑘) = (0...(𝑘 − 1)))
136118zcnd 12080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
137136subidd 10978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚)) = 0)
138121zcnd 12080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℂ)
139 1cnd 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
140138, 139, 136sub32d 11022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)) = ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − (𝑁 · 𝑚)) − 1))
141 nn0cn 11899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
142141adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
143136, 142pncan2d 10992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − (𝑁 · 𝑚)) = 𝑘)
144143oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − (𝑁 · 𝑚)) − 1) = (𝑘 − 1))
145140, 144eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)) = (𝑘 − 1))
146137, 145oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚))) = (0...(𝑘 − 1)))
147135, 146eqtr4d 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0..^𝑘) = (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚))))
148147sumeq1d 15053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = Σ𝑖 ∈ (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)))(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
149129, 132, 1483eqtr4d 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
1503nnzd 12078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
151 nn0z 11997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℤ)
152 dvdsmul1 15626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
153150, 151, 152syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
154153ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
155 elfzoelz 13037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 ∈ (0..^𝑘) → 𝑖 ∈ ℤ)
156155adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑖 ∈ ℤ)
157156zcnd 12080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑖 ∈ ℂ)
158136adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
159157, 158pncan2d 10992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖) = (𝑁 · 𝑚))
160154, 159breqtrrd 5061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑁 ∥ ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖))
16176nnnn0d 11947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
162161ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
163 zaddcl 12014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ) → (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) ∈ ℤ)
164155, 118, 163syl2anr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) ∈ ℤ)
16531, 33zndvds 20244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚))) = (𝐿𝑖) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖)))
166162, 164, 156, 165syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → ((𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚))) = (𝐿𝑖) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖)))
167160, 166mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚))) = (𝐿𝑖))
168167fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = (𝑋‘(𝐿𝑖)))
169168sumeq2dv 15055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑖)))
170 2fveq3 6654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝑛 → (𝑋‘(𝐿𝑖)) = (𝑋‘(𝐿𝑛)))
171170cbvsumv 15048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑖)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛))
172169, 171eqtrdi 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
173149, 172eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
174173ralrimiva 3152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
175116, 174, 161rspcdva 3576 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
176 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = (𝐿𝑛) → (𝑋𝑘) = (𝑋‘(𝐿𝑛)))
1773nnne0d 11679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑁 ≠ 0)
178 ifnefalse 4440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ≠ 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
179177, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
180 fzofi 13341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0..^𝑁) ∈ Fin
181179, 180eqeltrdi 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ∈ Fin)
182 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
18333reseq1i 5818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) = ((ℤRHom‘𝑍) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
184 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
18531, 182, 183, 184znf1o 20246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑍))
1864, 185syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑍))
187 fvres 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → ((𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))‘𝑛) = (𝐿𝑛))
188187adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) → ((𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))‘𝑛) = (𝐿𝑛))
18930, 31, 32, 182, 34dchrf 25829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
190189ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
191176, 181, 186, 188, 190fsumf1o 15075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑘) = Σ𝑛 ∈ if (𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
192 rpvmasum.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 = (0g𝐺)
19330, 31, 32, 192, 34, 182dchrsum 25856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑘) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))
194 dchrisum.n1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋1 )
195 ifnefalse 4440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋1 → if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0) = 0)
196194, 195syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0) = 0)
197193, 196eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑘) = 0)
198179sumeq1d 15053 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ if (𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
199191, 197, 1983eqtr3rd 2845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)
200199adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)
201110, 175, 2003eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)
202201oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛))) = (0 + 0))
203 00id 10808 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 0) = 0
204202, 203eqtr2di 2853 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 0 = (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
205101, 204eqeq12d 2817 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 ↔ (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛))) = (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
20668, 205syl5ibr 249 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0))
207206expcom 417 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)))
208207a2d 29 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0) → (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)))
20944, 49, 54, 59, 67, 208nn0ind 12069 . . . . . . 7 ((⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ0 → (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0))
210209impcom 411 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)
21115, 210syldan 594 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)
212 modval 13238 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝑈 mod 𝑁) = (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))))
2137, 10, 212syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑈 mod 𝑁) = (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))))
214213oveq2d 7155 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))))
21516nn0cnd 11949 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℂ)
216 nn0cn 11899 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ ℕ0𝑈 ∈ ℂ)
217216adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 𝑈 ∈ ℂ)
218215, 217pncan3d 10993 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))) = 𝑈)
219214, 218eqtr2d 2837 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 𝑈 = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))
220219oveq2d 7155 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁))))
221220sumeq1d 15053 . . . . . 6 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
222 nn0z 11997 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ ℕ0𝑈 ∈ ℤ)
223 zmodcl 13258 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
224222, 3, 223syl2anr 599 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
225174ralrimiva 3152 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0 Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
226225adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ∀𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0 Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
227 oveq2 7147 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (𝑁 · 𝑚) = (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))
228227oveq1d 7154 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))
229227, 228oveq12d 7157 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘)))
230229sumeq1d 15053 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
231230eqeq1d 2803 . . . . . . . 8 (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛))))
232 oveq2 7147 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))
233232oveq2d 7155 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘)) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁))))
234233sumeq1d 15053 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
235 oveq2 7147 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → (0..^𝑘) = (0..^(𝑈 mod 𝑁)))
236235sumeq1d 15053 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
237234, 236eqeq12d 2817 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → (Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
238231, 237rspc2va 3585 . . . . . . 7 ((((⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑈 mod 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0 Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛))) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
23915, 224, 226, 238syl21anc 836 . . . . . 6 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
240221, 239eqtrd 2836 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
241211, 240oveq12d 7157 . . . 4 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛))) = (0 + Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
242 fzofi 13341 . . . . . . 7 (0..^(𝑈 mod 𝑁)) ∈ Fin
243242a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑈 mod 𝑁)) ∈ Fin)
24434ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))) → 𝑋𝐷)
245 elfzoelz 13037 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
246245adantl 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))) → 𝑛 ∈ ℤ)
24730, 31, 32, 33, 244, 246dchrzrhcl 25832 . . . . . 6 (((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
248243, 247fsumcl 15085 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
249248addid2d 10834 . . . 4 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (0 + Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
25039, 241, 2493eqtrd 2840 . . 3 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
251250fveq2d 6653 . 2 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
252 oveq2 7147 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → (0..^𝑢) = (0..^(𝑈 mod 𝑁)))
253252sumeq1d 15053 . . . . 5 (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
254253fveq2d 6653 . . . 4 (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
255254breq1d 5043 . . 3 (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅))
256 dchrisum.10 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
257256adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
258 zmodfzo 13261 . . . 4 ((𝑈 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
259222, 3, 258syl2anr 599 . . 3 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
260255, 257, 259rspcdva 3576 . 2 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
261251, 260eqbrtrd 5055 1 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wral 3109  cun 3882  cin 3883  c0 4246  ifcif 4428   class class class wbr 5033  cmpt 5113  cres 5525  1-1-ontowf1o 6327  cfv 6328  (class class class)co 7139  Fincfn 8496  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863   / cdiv 11290  cn 11629  0cn0 11889  cz 11973  cuz 12235  +crp 12381  ...cfz 12889  ..^cfzo 13032  cfl 13159   mod cmo 13236  abscabs 14588  𝑟 crli 14837  Σcsu 15037  cdvds 15602  ϕcphi 16094  Basecbs 16478  0gc0g 16708  ℤRHomczrh 20196  ℤ/nczn 20199  DChrcdchr 25819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-ec 8278  df-qs 8282  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-dvds 15603  df-gcd 15837  df-phi 16096  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-0g 16710  df-imas 16776  df-qus 16777  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-nsg 18272  df-eqg 18273  df-ghm 18351  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-rnghom 19466  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-lsp 19740  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-lidl 19942  df-rsp 19943  df-2idl 20001  df-cnfld 20095  df-zring 20167  df-zrh 20200  df-zn 20203  df-dchr 25820
This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  26077
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