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Theorem dchrisumlem1 25767
Description: Lemma for dchrisum 25770. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrisum.2 (𝑛 = 𝑥𝐴 = 𝐵)
dchrisum.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
dchrisum.4 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
dchrisum.5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
dchrisum.6 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
dchrisum.7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · 𝐴))
dchrisum.9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
dchrisum.10 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dchrisumlem1 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝑥   1 ,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑢,𝑥   𝑥,𝐴   𝑛,𝑁,𝑢,𝑥   𝜑,𝑛,𝑢,𝑥   𝑅,𝑛,𝑢,𝑥   𝑈,𝑛,𝑢,𝑥   𝐵,𝑛   𝑛,𝑍,𝑥   𝐷,𝑛,𝑥   𝑛,𝐿,𝑢,𝑥   𝑛,𝑀,𝑢,𝑥   𝑛,𝑋,𝑢,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑢,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑢)   𝐷(𝑢)   1 (𝑢)   𝐺(𝑥,𝑢,𝑛)   𝑍(𝑢)

Proof of Theorem dchrisumlem1
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzodisj 12886 . . . . . 6 ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∩ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)) = ∅
21a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∩ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)) = ∅)
3 rpvmasum.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
43nnnn0d 11767 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
54adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6 nn0re 11717 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ ℕ0𝑈 ∈ ℝ)
76adantl 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 𝑈 ∈ ℝ)
83adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
97, 8nndivred 11494 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ)
108nnrpd 12246 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
11 nn0ge0 11734 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑈)
1211adantl 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑈)
137, 10, 12divge0d 12288 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑈 / 𝑁))
14 flge0nn0 13005 . . . . . . . . 9 (((𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑈 / 𝑁)) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ0)
159, 13, 14syl2anc 576 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ0)
165, 15nn0mulcld 11772 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℕ0)
17 flle 12984 . . . . . . . . 9 ((𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ≤ (𝑈 / 𝑁))
189, 17syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ≤ (𝑈 / 𝑁))
19 reflcl 12981 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℝ)
209, 19syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℝ)
2120, 7, 10lemuldiv2d 12298 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈 ↔ (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ≤ (𝑈 / 𝑁)))
2218, 21mpbird 249 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈)
23 fznn0 12815 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ ℕ0 → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈) ↔ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈)))
2423adantl 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈) ↔ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈)))
2516, 22, 24mpbir2and 700 . . . . . 6 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈))
26 fzosplit 12885 . . . . . 6 ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈) → (0..^𝑈) = ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∪ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)))
2725, 26syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (0..^𝑈) = ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∪ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)))
28 fzofi 13157 . . . . . 6 (0..^𝑈) ∈ Fin
2928a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (0..^𝑈) ∈ Fin)
30 rpvmasum.g . . . . . 6 𝐺 = (DChr‘𝑁)
31 rpvmasum.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
32 rpvmasum.d . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐺)
33 rpvmasum.l . . . . . 6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
34 dchrisum.b . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐷)
3534ad2antrr 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑈)) → 𝑋𝐷)
36 elfzoelz 12854 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0..^𝑈) → 𝑛 ∈ ℤ)
3736adantl 474 . . . . . 6 (((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑈)) → 𝑛 ∈ ℤ)
3830, 31, 32, 33, 35, 37dchrzrhcl 25523 . . . . 5 (((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑈)) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
392, 27, 29, 38fsumsplit 14957 . . . 4 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛))))
40 oveq2 6984 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · 0))
4140oveq2d 6992 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · 0)))
4241sumeq1d 14918 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
4342eqeq1d 2780 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0))
4443imbi2d 333 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)))
45 oveq2 6984 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚 → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · 𝑚))
4645oveq2d 6992 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · 𝑚)))
4746sumeq1d 14918 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
4847eqeq1d 2780 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0))
4948imbi2d 333 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)))
50 oveq2 6984 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑚 + 1) → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · (𝑚 + 1)))
5150oveq2d 6992 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑚 + 1) → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))))
5251sumeq1d 14918 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑚 + 1) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
5352eqeq1d 2780 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑚 + 1) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0))
5453imbi2d 333 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)))
55 oveq2 6984 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))
5655oveq2d 6992 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))))
5756sumeq1d 14918 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
5857eqeq1d 2780 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0))
5958imbi2d 333 . . . . . . . 8 (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)))
603nncnd 11457 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
6160mul01d 10639 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 · 0) = 0)
6261oveq2d 6992 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0..^(𝑁 · 0)) = (0..^0))
63 fzo0 12876 . . . . . . . . . . 11 (0..^0) = ∅
6462, 63syl6eq 2830 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0..^(𝑁 · 0)) = ∅)
6564sumeq1d 14918 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ∅ (𝑋‘(𝐿𝑛)))
66 sum0 14938 . . . . . . . . 9 Σ𝑛 ∈ ∅ (𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0
6765, 66syl6eq 2830 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)
68 oveq1 6983 . . . . . . . . . . 11 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛))) = (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
69 fzodisj 12886 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∩ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) = ∅
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∩ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) = ∅)
71 nn0re 11717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℝ)
7271adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℝ)
7372lep1d 11372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ≤ (𝑚 + 1))
74 peano2re 10613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
7572, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
763adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
7776nnred 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
7876nngt0d 11489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑁)
79 lemul2 11294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (𝑚 ≤ (𝑚 + 1) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
8072, 75, 77, 78, 79syl112anc 1354 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 ≤ (𝑚 + 1) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
8173, 80mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1)))
82 nn0mulcl 11745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℕ0)
834, 82sylan 572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℕ0)
84 nn0uz 12094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (ℤ‘0)
8583, 84syl6eleq 2876 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ (ℤ‘0))
86 nn0p1nn 11748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
87 nnmulcl 11464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
883, 86, 87syl2an 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
8988nnzd 11899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℤ)
90 elfz5 12716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 · 𝑚) ∈ (ℤ‘0) ∧ (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
9185, 89, 90syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
9281, 91mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))))
93 fzosplit 12885 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))) → (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) = ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∪ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))))
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) = ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∪ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))))
95 fzofi 13157 . . . . . . . . . . . . . 14 (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) ∈ Fin
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) ∈ Fin)
9734ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) → 𝑋𝐷)
98 elfzoelz 12854 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
9998adantl 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℤ)
10030, 31, 32, 33, 97, 99dchrzrhcl 25523 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
10170, 94, 96, 100fsumsplit 14957 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
10276nncnd 11457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
10372recnd 10468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
104 1cnd 10434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
105102, 103, 104adddid 10464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) = ((𝑁 · 𝑚) + (𝑁 · 1)))
106102mulid1d 10457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
107106oveq2d 6992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚) + (𝑁 · 1)) = ((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))
108105, 107eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) = ((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))
109108oveq2d 6992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) = ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁)))
110109sumeq1d 14918 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
111 oveq2 6984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) = ((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))
112111oveq2d 6992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁)))
113112sumeq1d 14918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑁 → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
114 oveq2 6984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑁 → (0..^𝑘) = (0..^𝑁))
115114sumeq1d 14918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑁 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
116113, 115eqeq12d 2793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑁 → (Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿𝑛))))
11783nn0zd 11898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
118117adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
119 nn0z 11818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
120 zaddcl 11835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ)
121117, 119, 120syl2an 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ)
122 peano2zm 11838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ → (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) ∈ ℤ)
123121, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) ∈ ℤ)
12434ad3antrrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))) → 𝑋𝐷)
125 elfzelz 12724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
126125adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
12730, 31, 32, 33, 124, 126dchrzrhcl 25523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
128 2fveq3 6504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
129118, 118, 123, 127, 128fsumshftm 14996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑖 ∈ (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)))(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
130 fzoval 12855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1)))
131121, 130syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1)))
132131sumeq1d 14918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
133119adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
134 fzoval 12855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → (0..^𝑘) = (0...(𝑘 − 1)))
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0..^𝑘) = (0...(𝑘 − 1)))
136118zcnd 11901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
137136subidd 10786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚)) = 0)
138121zcnd 11901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℂ)
139 1cnd 10434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
140138, 139, 136sub32d 10830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)) = ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − (𝑁 · 𝑚)) − 1))
141 nn0cn 11718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
142141adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
143136, 142pncan2d 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − (𝑁 · 𝑚)) = 𝑘)
144143oveq1d 6991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − (𝑁 · 𝑚)) − 1) = (𝑘 − 1))
145140, 144eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)) = (𝑘 − 1))
146137, 145oveq12d 6994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚))) = (0...(𝑘 − 1)))
147135, 146eqtr4d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0..^𝑘) = (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚))))
148147sumeq1d 14918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = Σ𝑖 ∈ (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)))(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
149129, 132, 1483eqtr4d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
1503nnzd 11899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
151 nn0z 11818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℤ)
152 dvdsmul1 15491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
153150, 151, 152syl2an 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
154153ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
155 elfzoelz 12854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 ∈ (0..^𝑘) → 𝑖 ∈ ℤ)
156155adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑖 ∈ ℤ)
157156zcnd 11901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑖 ∈ ℂ)
158136adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
159157, 158pncan2d 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖) = (𝑁 · 𝑚))
160154, 159breqtrrd 4957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑁 ∥ ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖))
16176nnnn0d 11767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
162161ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
163 zaddcl 11835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ) → (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) ∈ ℤ)
164155, 118, 163syl2anr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) ∈ ℤ)
16531, 33zndvds 20398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚))) = (𝐿𝑖) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖)))
166162, 164, 156, 165syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → ((𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚))) = (𝐿𝑖) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖)))
167160, 166mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚))) = (𝐿𝑖))
168167fveq2d 6503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = (𝑋‘(𝐿𝑖)))
169168sumeq2dv 14920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑖)))
170 2fveq3 6504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝑛 → (𝑋‘(𝐿𝑖)) = (𝑋‘(𝐿𝑛)))
171170cbvsumv 14913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑖)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛))
172169, 171syl6eq 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
173149, 172eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
174173ralrimiva 3132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
175116, 174, 161rspcdva 3541 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
176 fveq2 6499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = (𝐿𝑛) → (𝑋𝑘) = (𝑋‘(𝐿𝑛)))
1773nnne0d 11490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑁 ≠ 0)
178 ifnefalse 4362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ≠ 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
179177, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
180 fzofi 13157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0..^𝑁) ∈ Fin
181179, 180syl6eqel 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ∈ Fin)
182 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
18333reseq1i 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) = ((ℤRHom‘𝑍) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
184 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
18531, 182, 183, 184znf1o 20400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑍))
1864, 185syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑍))
187 fvres 6518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → ((𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))‘𝑛) = (𝐿𝑛))
188187adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) → ((𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))‘𝑛) = (𝐿𝑛))
18930, 31, 32, 182, 34dchrf 25520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
190189ffvelrnda 6676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
191176, 181, 186, 188, 190fsumf1o 14940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑘) = Σ𝑛 ∈ if (𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
192 rpvmasum.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 = (0g𝐺)
19330, 31, 32, 192, 34, 182dchrsum 25547 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑘) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))
194 dchrisum.n1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋1 )
195 ifnefalse 4362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋1 → if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0) = 0)
196194, 195syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0) = 0)
197193, 196eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑘) = 0)
198179sumeq1d 14918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ if (𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
199191, 197, 1983eqtr3rd 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)
200199adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)
201110, 175, 2003eqtrd 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)
202201oveq2d 6992 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛))) = (0 + 0))
203 00id 10615 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 0) = 0
204202, 203syl6req 2831 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 0 = (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
205101, 204eqeq12d 2793 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 ↔ (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛))) = (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
20668, 205syl5ibr 238 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0))
207206expcom 406 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)))
208207a2d 29 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0) → (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)))
20944, 49, 54, 59, 67, 208nn0ind 11890 . . . . . . 7 ((⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ0 → (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0))
210209impcom 399 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)
21115, 210syldan 582 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)
212 modval 13054 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝑈 mod 𝑁) = (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))))
2137, 10, 212syl2anc 576 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑈 mod 𝑁) = (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))))
214213oveq2d 6992 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))))
21516nn0cnd 11769 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℂ)
216 nn0cn 11718 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ ℕ0𝑈 ∈ ℂ)
217216adantl 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 𝑈 ∈ ℂ)
218215, 217pncan3d 10801 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))) = 𝑈)
219214, 218eqtr2d 2815 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 𝑈 = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))
220219oveq2d 6992 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁))))
221220sumeq1d 14918 . . . . . 6 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
222 nn0z 11818 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ ℕ0𝑈 ∈ ℤ)
223 zmodcl 13074 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
224222, 3, 223syl2anr 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
225174ralrimiva 3132 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0 Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
226225adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ∀𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0 Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
227 oveq2 6984 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (𝑁 · 𝑚) = (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))
228227oveq1d 6991 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))
229227, 228oveq12d 6994 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘)))
230229sumeq1d 14918 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
231230eqeq1d 2780 . . . . . . . 8 (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛))))
232 oveq2 6984 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))
233232oveq2d 6992 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘)) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁))))
234233sumeq1d 14918 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
235 oveq2 6984 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → (0..^𝑘) = (0..^(𝑈 mod 𝑁)))
236235sumeq1d 14918 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
237234, 236eqeq12d 2793 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → (Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
238231, 237rspc2va 3549 . . . . . . 7 ((((⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑈 mod 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0 Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛))) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
23915, 224, 226, 238syl21anc 825 . . . . . 6 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
240221, 239eqtrd 2814 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
241211, 240oveq12d 6994 . . . 4 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛))) = (0 + Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
242 fzofi 13157 . . . . . . 7 (0..^(𝑈 mod 𝑁)) ∈ Fin
243242a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑈 mod 𝑁)) ∈ Fin)
24434ad2antrr 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))) → 𝑋𝐷)
245 elfzoelz 12854 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
246245adantl 474 . . . . . . 7 (((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))) → 𝑛 ∈ ℤ)
24730, 31, 32, 33, 244, 246dchrzrhcl 25523 . . . . . 6 (((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
248243, 247fsumcl 14950 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
249248addid2d 10641 . . . 4 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (0 + Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
25039, 241, 2493eqtrd 2818 . . 3 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
251250fveq2d 6503 . 2 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
252 oveq2 6984 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → (0..^𝑢) = (0..^(𝑈 mod 𝑁)))
253252sumeq1d 14918 . . . . 5 (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
254253fveq2d 6503 . . . 4 (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
255254breq1d 4939 . . 3 (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅))
256 dchrisum.10 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
257256adantr 473 . . 3 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
258 zmodfzo 13077 . . . 4 ((𝑈 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
259222, 3, 258syl2anr 587 . . 3 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
260255, 257, 259rspcdva 3541 . 2 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
261251, 260eqbrtrd 4951 1 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967  wral 3088  cun 3827  cin 3828  c0 4178  ifcif 4350   class class class wbr 4929  cmpt 5008  cres 5409  1-1-ontowf1o 6187  cfv 6188  (class class class)co 6976  Fincfn 8306  cc 10333  cr 10334  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338   · cmul 10340   < clt 10474  cle 10475  cmin 10670   / cdiv 11098  cn 11439  0cn0 11707  cz 11793  cuz 12058  +crp 12204  ...cfz 12708  ..^cfzo 12849  cfl 12975   mod cmo 13052  abscabs 14454  𝑟 crli 14703  Σcsu 14903  cdvds 15467  ϕcphi 15957  Basecbs 16339  0gc0g 16569  ℤRHomczrh 20349  ℤ/nczn 20352  DChrcdchr 25510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-addf 10414  ax-mulf 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-tpos 7695  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-ec 8091  df-qs 8095  df-map 8208  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-xnn0 11780  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-rp 12205  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-fl 12977  df-mod 13053  df-seq 13185  df-exp 13245  df-hash 13506  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-clim 14706  df-sum 14904  df-dvds 15468  df-gcd 15704  df-phi 15959  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-0g 16571  df-imas 16637  df-qus 16638  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-mhm 17803  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-sbg 17896  df-mulg 18012  df-subg 18060  df-nsg 18061  df-eqg 18062  df-ghm 18127  df-cmn 18668  df-abl 18669  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-cring 19023  df-oppr 19096  df-dvdsr 19114  df-unit 19115  df-invr 19145  df-rnghom 19190  df-subrg 19256  df-lmod 19358  df-lss 19426  df-lsp 19466  df-sra 19666  df-rgmod 19667  df-lidl 19668  df-rsp 19669  df-2idl 19726  df-cnfld 20248  df-zring 20320  df-zrh 20353  df-zn 20356  df-dchr 25511
This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  25768
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