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Theorem dchrisumlem1 27547

Description: Lemma for dchrisum 27550. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1	⊢ 1 = (0_g‘𝐺)
dchrisum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrisum.2	⊢ (𝑛 = 𝑥 → 𝐴 = 𝐵)
dchrisum.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
dchrisum.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
dchrisum.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
dchrisum.6	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝐴) ⇝_𝑟 0)
dchrisum.7	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · 𝐴))
dchrisum.9	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
dchrisum.10	⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)

**Assertion**
Ref	Expression
dchrisumlem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)

Distinct variable groups: 𝑢,𝑛,𝑥 1 ,𝑛,𝑥 𝑛,𝐹,𝑢,𝑥 𝑥,𝐴 𝑛,𝑁,𝑢,𝑥 𝜑,𝑛,𝑢,𝑥 𝑅,𝑛,𝑢,𝑥 𝑈,𝑛,𝑢,𝑥 𝐵,𝑛 𝑛,𝑍,𝑥 𝐷,𝑛,𝑥 𝑛,𝐿,𝑢,𝑥 𝑛,𝑀,𝑢,𝑥 𝑛,𝑋,𝑢,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑢,𝑛) 𝐵(𝑥,𝑢) 𝐷(𝑢) 1 (𝑢) 𝐺(𝑥,𝑢,𝑛) 𝑍(𝑢)

Proof of Theorem dchrisumlem1 Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzodisj 13729	. . . . . 6 ⊢ ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∩ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)) = ∅
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∩ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)) = ∅)
3		rpvmasum.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	nnnn0d 12584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
5	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
6		nn0re 12532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ ℕ₀ → 𝑈 ∈ ℝ)
7	6	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → 𝑈 ∈ ℝ)
8	3	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℕ)
9	7, 8	nndivred 12317	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ)
10	8	nnrpd 13072	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
11		nn0ge0 12548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ ℕ₀ → 0 ≤ 𝑈)
12	11	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ 𝑈)
13	7, 10, 12	divge0d 13114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ (𝑈 / 𝑁))
14		flge0nn0 13856	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑈 / 𝑁)) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ₀)
15	9, 13, 14	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ₀)
16	5, 15	nn0mulcld 12589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℕ₀)
17		flle 13835	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ≤ (𝑈 / 𝑁))
18	9, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ≤ (𝑈 / 𝑁))
19		reflcl 13832	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℝ)
20	9, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℝ)
21	20, 7, 10	lemuldiv2d 13124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈 ↔ (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ≤ (𝑈 / 𝑁)))
22	18, 21	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈)
23		fznn0 13655	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ ℕ₀ → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈) ↔ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈)))
24	23	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈) ↔ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈)))
25	16, 22, 24	mpbir2and 713	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈))
26		fzosplit 13728	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈) → (0..^𝑈) = ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∪ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)))
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (0..^𝑈) = ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∪ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)))
28		fzofi 14011	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑈) ∈ Fin
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (0..^𝑈) ∈ Fin)
30		rpvmasum.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
31		rpvmasum.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
32		rpvmasum.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
33		rpvmasum.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
34		dchrisum.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
35	34	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐷)
36		elfzoelz 13695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑈) → 𝑛 ∈ ℤ)
37	36	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑈)) → 𝑛 ∈ ℤ)
38	30, 31, 32, 33, 35, 37	dchrzrhcl 27303	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑈)) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
39	2, 27, 29, 38	fsumsplit 15773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
40		oveq2 7438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · 0))
41	40	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · 0)))
42	41	sumeq1d 15732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
43	42	eqeq1d 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0))
44	43	imbi2d 340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)))
45		oveq2 7438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · 𝑚))
46	45	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · 𝑚)))
47	46	sumeq1d 15732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
48	47	eqeq1d 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0))
49	48	imbi2d 340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)))
50		oveq2 7438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑚 + 1) → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · (𝑚 + 1)))
51	50	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑚 + 1) → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))))
52	51	sumeq1d 15732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑚 + 1) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
53	52	eqeq1d 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑚 + 1) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0))
54	53	imbi2d 340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)))
55		oveq2 7438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))
56	55	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))))
57	56	sumeq1d 15732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
58	57	eqeq1d 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0))
59	58	imbi2d 340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)))
60	3	nncnd 12279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
61	60	mul01d 11457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 0) = 0)
62	61	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝑁 · 0)) = (0..^0))
63		fzo0 13719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^0) = ∅
64	62, 63	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝑁 · 0)) = ∅)
65	64	sumeq1d 15732	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ∅ (𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
66		sum0 15753	. . . . . . . . 9 ⊢ Σ𝑛 ∈ ∅ (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0
67	65, 66	eqtrdi 2790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)
68		oveq1 7437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
69		fzodisj 13729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∩ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) = ∅
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∩ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) = ∅)
71		nn0re 12532	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → 𝑚 ∈ ℝ)
72	71	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 𝑚 ∈ ℝ)
73	72	lep1d 12196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 𝑚 ≤ (𝑚 + 1))
74		peano2re 11431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
75	72, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
76	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℕ)
77	76	nnred 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℝ)
78	76	nngt0d 12312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 0 < 𝑁)
79		lemul2 12117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (𝑚 ≤ (𝑚 + 1) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
80	72, 75, 77, 78, 79	syl112anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑚 ≤ (𝑚 + 1) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
81	73, 80	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1)))
82		nn0mulcl 12559	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℕ₀)
83	4, 82	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℕ₀)
84		nn0uz 12917	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
85	83, 84	eleqtrdi 2848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 𝑚) ∈ (ℤ_≥‘0))
86		nn0p1nn 12562	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
87		nnmulcl 12287	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
88	3, 86, 87	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
89	88	nnzd 12637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℤ)
90		elfz5 13552	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 · 𝑚) ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
91	85, 89, 90	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
92	81, 91	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))))
93		fzosplit 13728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))) → (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) = ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∪ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))))
94	92, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) = ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∪ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))))
95		fzofi 14011	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) ∈ Fin
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) ∈ Fin)
97	34	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
98		elfzoelz 13695	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
99	98	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℤ)
100	30, 31, 32, 33, 97, 99	dchrzrhcl 27303	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
101	70, 94, 96, 100	fsumsplit 15773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
102	76	nncnd 12279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℂ)
103	72	recnd 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 𝑚 ∈ ℂ)
104		1cnd 11253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 1 ∈ ℂ)
105	102, 103, 104	adddid 11282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) = ((𝑁 · 𝑚) + (𝑁 · 1)))
106	102	mulridd 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
107	106	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · 𝑚) + (𝑁 · 1)) = ((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))
108	105, 107	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) = ((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))
109	108	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) = ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁)))
110	109	sumeq1d 15732	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
111		oveq2 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) = ((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))
112	111	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁)))
113	112	sumeq1d 15732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
114		oveq2 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (0..^𝑘) = (0..^𝑁))
115	114	sumeq1d 15732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
116	113, 115	eqeq12d 2750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
117	83	nn0zd 12636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
118	117	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
119		nn0z 12635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → 𝑘 ∈ ℤ)
120		zaddcl 12654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ)
121	117, 119, 120	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ)
122		peano2zm 12657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ → (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) ∈ ℤ)
123	121, 122	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) ∈ ℤ)
124	34	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
125		elfzelz 13560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
126	125	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
127	30, 31, 32, 33, 124, 126	dchrzrhcl 27303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
128		2fveq3 6911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
129	118, 118, 123, 127, 128	fsumshftm 15813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑖 ∈ (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)))(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
130		fzoval 13696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1)))
131	121, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1)))
132	131	sumeq1d 15732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
133	119	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → 𝑘 ∈ ℤ)
134		fzoval 13696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (0..^𝑘) = (0...(𝑘 − 1)))
135	133, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (0..^𝑘) = (0...(𝑘 − 1)))
136	118	zcnd 12720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
137	136	subidd 11605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚)) = 0)
138	121	zcnd 12720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℂ)
139		1cnd 11253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → 1 ∈ ℂ)
140	138, 139, 136	sub32d 11649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)) = ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − (𝑁 · 𝑚)) − 1))
141		nn0cn 12533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → 𝑘 ∈ ℂ)
142	141	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → 𝑘 ∈ ℂ)
143	136, 142	pncan2d 11619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − (𝑁 · 𝑚)) = 𝑘)
144	143	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − (𝑁 · 𝑚)) − 1) = (𝑘 − 1))
145	140, 144	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)) = (𝑘 − 1))
146	137, 145	oveq12d 7448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚))) = (0...(𝑘 − 1)))
147	135, 146	eqtr4d 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (0..^𝑘) = (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚))))
148	147	sumeq1d 15732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = Σ𝑖 ∈ (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)))(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
149	129, 132, 148	3eqtr4d 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
150	3	nnzd 12637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
151		nn0z 12635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → 𝑚 ∈ ℤ)
152		dvdsmul1 16311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
153	150, 151, 152	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
154	153	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
155		elfzoelz 13695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑘) → 𝑖 ∈ ℤ)
156	155	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑖 ∈ ℤ)
157	156	zcnd 12720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑖 ∈ ℂ)
158	136	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
159	157, 158	pncan2d 11619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖) = (𝑁 · 𝑚))
160	154, 159	breqtrrd 5175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑁 ∥ ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖))
161	76	nnnn0d 12584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
162	161	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
163		zaddcl 12654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ) → (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) ∈ ℤ)
164	155, 118, 163	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) ∈ ℤ)
165	31, 33	zndvds 21585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚))) = (𝐿‘𝑖) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖)))
166	162, 164, 156, 165	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → ((𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚))) = (𝐿‘𝑖) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖)))
167	160, 166	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚))) = (𝐿‘𝑖))
168	167	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = (𝑋‘(𝐿‘𝑖)))
169	168	sumeq2dv 15734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑖)))
170		2fveq3 6911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑋‘(𝐿‘𝑖)) = (𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
171	170	cbvsumv 15728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑖)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))
172	169, 171	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
173	149, 172	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
174	173	ralrimiva 3143	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → ∀𝑘 ∈ ℕ₀ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
175	116, 174, 161	rspcdva 3622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
176		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = (𝐿‘𝑛) → (𝑋‘𝑘) = (𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
177	3	nnne0d 12313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
178		ifnefalse 4542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
179	177, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
180		fzofi 14011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
181	179, 180	eqeltrdi 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ∈ Fin)
182		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
183	33	reseq1i 5995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) = ((ℤRHom‘𝑍) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
184		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
185	31, 182, 183, 184	znf1o 21587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑍))
186	4, 185	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑍))
187		fvres 6925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → ((𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))‘𝑛) = (𝐿‘𝑛))
188	187	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) → ((𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))‘𝑛) = (𝐿‘𝑛))
189	30, 31, 32, 182, 34	dchrf 27300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
190	189	ffvelcdmda 7103	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋‘𝑘) ∈ ℂ)
191	176, 181, 186, 188, 190	fsumf1o 15755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋‘𝑘) = Σ𝑛 ∈ if (𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
192		rpvmasum.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 = (0_g‘𝐺)
193	30, 31, 32, 192, 34, 182	dchrsum 27327	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋‘𝑘) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))
194		dchrisum.n1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
195		ifnefalse 4542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 ≠ 1 → if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0) = 0)
196	194, 195	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0) = 0)
197	193, 196	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋‘𝑘) = 0)
198	179	sumeq1d 15732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ if (𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
199	191, 197, 198	3eqtr3rd 2783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)
200	199	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)
201	110, 175, 200	3eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)
202	201	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = (0 + 0))
203		00id 11433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 0) = 0
204	202, 203	eqtr2di 2791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 0 = (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
205	101, 204	eqeq12d 2750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0 ↔ (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
206	68, 205	imbitrrid 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0))
207	206	expcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)))
208	207	a2d 29	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0) → (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)))
209	44, 49, 54, 59, 67, 208	nn0ind 12710	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ₀ → (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0))
210	209	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)
211	15, 210	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)
212		modval 13907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) → (𝑈 mod 𝑁) = (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))))
213	7, 10, 212	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (𝑈 mod 𝑁) = (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))))
214	213	oveq2d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))))
215	16	nn0cnd 12586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℂ)
216		nn0cn 12533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ ℕ₀ → 𝑈 ∈ ℂ)
217	216	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → 𝑈 ∈ ℂ)
218	215, 217	pncan3d 11620	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))) = 𝑈)
219	214, 218	eqtr2d 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → 𝑈 = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))
220	219	oveq2d 7446	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁))))
221	220	sumeq1d 15732	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
222		nn0z 12635	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ ℕ₀ → 𝑈 ∈ ℤ)
223		zmodcl 13927	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ ℕ₀)
224	222, 3, 223	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ ℕ₀)
225	174	ralrimiva 3143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ₀ ∀𝑘 ∈ ℕ₀ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
226	225	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → ∀𝑚 ∈ ℕ₀ ∀𝑘 ∈ ℕ₀ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
227		oveq2 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (𝑁 · 𝑚) = (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))
228	227	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))
229	227, 228	oveq12d 7448	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘)))
230	229	sumeq1d 15732	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
231	230	eqeq1d 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
232		oveq2 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))
233	232	oveq2d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘)) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁))))
234	233	sumeq1d 15732	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
235		oveq2 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → (0..^𝑘) = (0..^(𝑈 mod 𝑁)))
236	235	sumeq1d 15732	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
237	234, 236	eqeq12d 2750	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → (Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
238	231, 237	rspc2va 3633	. . . . . . 7 ⊢ ((((⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑈 mod 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ₀ ∀𝑘 ∈ ℕ₀ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
239	15, 224, 226, 238	syl21anc 838	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
240	221, 239	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
241	211, 240	oveq12d 7448	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = (0 + Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
242		fzofi 14011	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(𝑈 mod 𝑁)) ∈ Fin
243	242	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (0..^(𝑈 mod 𝑁)) ∈ Fin)
244	34	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
245		elfzoelz 13695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
246	245	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))) → 𝑛 ∈ ℤ)
247	30, 31, 32, 33, 244, 246	dchrzrhcl 27303	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
248	243, 247	fsumcl 15765	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
249	248	addlidd 11459	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (0 + Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
250	39, 241, 249	3eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
251	250	fveq2d 6910	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
252		oveq2 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → (0..^𝑢) = (0..^(𝑈 mod 𝑁)))
253	252	sumeq1d 15732	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
254	253	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
255	254	breq1d 5157	. . 3 ⊢ (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅))
256		dchrisum.10	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
257	256	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
258		zmodfzo 13930	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
259	222, 3, 258	syl2anr 597	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
260	255, 257, 259	rspcdva 3622	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
261	251, 260	eqbrtrd 5169	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1536 ∈ wcel 2105 ≠ wne 2937 ∀wral 3058 ∪ cun 3960 ∩ cin 3961 ∅c0 4338 ifcif 4530 class class class wbr 5147 ↦ cmpt 5230 ↾ cres 5690 –1-1-onto→wf1o 6561 ‘cfv 6562 (class class class)co 7430 Fincfn 8983 ℂcc 11150 ℝcr 11151 0cc0 11152 1c1 11153 + caddc 11155 · cmul 11157 < clt 11292 ≤ cle 11293 − cmin 11489 / cdiv 11917 ℕcn 12263 ℕ₀cn0 12523 ℤcz 12610 ℤ_≥cuz 12875 ℝ⁺crp 13031 ...cfz 13543 ..^cfzo 13690 ⌊cfl 13826 mod cmo 13905 abscabs 15269 ⇝_𝑟 crli 15517 Σcsu 15718 ∥ cdvds 16286 ϕcphi 16797 Basecbs 17244 0_gc0g 17485 ℤRHomczrh 21527 ℤ/nℤczn 21530 DChrcdchr 27290

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1791 ax-4 1805 ax-5 1907 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2138 ax-11 2154 ax-12 2174 ax-ext 2705 ax-rep 5284 ax-sep 5301 ax-nul 5311 ax-pow 5370 ax-pr 5437 ax-un 7753 ax-inf2 9678 ax-cnex 11208 ax-resscn 11209 ax-1cn 11210 ax-icn 11211 ax-addcl 11212 ax-addrcl 11213 ax-mulcl 11214 ax-mulrcl 11215 ax-mulcom 11216 ax-addass 11217 ax-mulass 11218 ax-distr 11219 ax-i2m1 11220 ax-1ne0 11221 ax-1rid 11222 ax-rnegex 11223 ax-rrecex 11224 ax-cnre 11225 ax-pre-lttri 11226 ax-pre-lttrn 11227 ax-pre-ltadd 11228 ax-pre-mulgt0 11229 ax-pre-sup 11230 ax-addf 11231 ax-mulf 11232

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1539 df-fal 1549 df-ex 1776 df-nf 1780 df-sb 2062 df-mo 2537 df-eu 2566 df-clab 2712 df-cleq 2726 df-clel 2813 df-nfc 2889 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3433 df-v 3479 df-sbc 3791 df-csb 3908 df-dif 3965 df-un 3967 df-in 3969 df-ss 3979 df-pss 3982 df-nul 4339 df-if 4531 df-pw 4606 df-sn 4631 df-pr 4633 df-tp 4635 df-op 4637 df-uni 4912 df-int 4951 df-iun 4997 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5582 df-eprel 5588 df-po 5596 df-so 5597 df-fr 5640 df-se 5641 df-we 5642 df-xp 5694 df-rel 5695 df-cnv 5696 df-co 5697 df-dm 5698 df-rn 5699 df-res 5700 df-ima 5701 df-pred 6322 df-ord 6388 df-on 6389 df-lim 6390 df-suc 6391 df-iota 6515 df-fun 6564 df-fn 6565 df-f 6566 df-f1 6567 df-fo 6568 df-f1o 6569 df-fv 6570 df-isom 6571 df-riota 7387 df-ov 7433 df-oprab 7434 df-mpo 7435 df-of 7696 df-om 7887 df-1st 8012 df-2nd 8013 df-tpos 8249 df-frecs 8304 df-wrecs 8335 df-recs 8409 df-rdg 8448 df-1o 8504 df-oadd 8508 df-er 8743 df-ec 8745 df-qs 8749 df-map 8866 df-en 8984 df-dom 8985 df-sdom 8986 df-fin 8987 df-sup 9479 df-inf 9480 df-oi 9547 df-card 9976 df-pnf 11294 df-mnf 11295 df-xr 11296 df-ltxr 11297 df-le 11298 df-sub 11491 df-neg 11492 df-div 11918 df-nn 12264 df-2 12326 df-3 12327 df-4 12328 df-5 12329 df-6 12330 df-7 12331 df-8 12332 df-9 12333 df-n0 12524 df-xnn0 12597 df-z 12611 df-dec 12731 df-uz 12876 df-rp 13032 df-fz 13544 df-fzo 13691 df-fl 13828 df-mod 13906 df-seq 14039 df-exp 14099 df-hash 14366 df-cj 15134 df-re 15135 df-im 15136 df-sqrt 15270 df-abs 15271 df-clim 15520 df-sum 15719 df-dvds 16287 df-gcd 16528 df-phi 16799 df-struct 17180 df-sets 17197 df-slot 17215 df-ndx 17227 df-base 17245 df-ress 17274 df-plusg 17310 df-mulr 17311 df-starv 17312 df-sca 17313 df-vsca 17314 df-ip 17315 df-tset 17316 df-ple 17317 df-ds 17319 df-unif 17320 df-0g 17487 df-imas 17554 df-qus 17555 df-mgm 18665 df-sgrp 18744 df-mnd 18760 df-mhm 18808 df-grp 18966 df-minusg 18967 df-sbg 18968 df-mulg 19098 df-subg 19153 df-nsg 19154 df-eqg 19155 df-ghm 19243 df-cmn 19814 df-abl 19815 df-mgp 20152 df-rng 20170 df-ur 20199 df-ring 20252 df-cring 20253 df-oppr 20350 df-dvdsr 20373 df-unit 20374 df-invr 20404 df-rhm 20488 df-subrng 20562 df-subrg 20586 df-lmod 20876 df-lss 20947 df-lsp 20987 df-sra 21189 df-rgmod 21190 df-lidl 21235 df-rsp 21236 df-2idl 21277 df-cnfld 21382 df-zring 21475 df-zrh 21531 df-zn 21534 df-dchr 27291

This theorem is referenced by: dchrisumlem2 27548

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