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Theorem dchrisumlem1 25469
Description: Lemma for dchrisum 25472. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrisum.2 (𝑛 = 𝑥𝐴 = 𝐵)
dchrisum.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
dchrisum.4 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
dchrisum.5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
dchrisum.6 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
dchrisum.7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · 𝐴))
dchrisum.9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
dchrisum.10 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dchrisumlem1 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝑥   1 ,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑢,𝑥   𝑥,𝐴   𝑛,𝑁,𝑢,𝑥   𝜑,𝑛,𝑢,𝑥   𝑅,𝑛,𝑢,𝑥   𝑈,𝑛,𝑢,𝑥   𝐵,𝑛   𝑛,𝑍,𝑥   𝐷,𝑛,𝑥   𝑛,𝐿,𝑢,𝑥   𝑛,𝑀,𝑢,𝑥   𝑛,𝑋,𝑢,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑢,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑢)   𝐷(𝑢)   1 (𝑢)   𝐺(𝑥,𝑢,𝑛)   𝑍(𝑢)

Proof of Theorem dchrisumlem1
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzodisj 12710 . . . . . 6 ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∩ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)) = ∅
21a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∩ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)) = ∅)
3 rpvmasum.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
43nnnn0d 11598 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
54adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6 nn0re 11548 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ ℕ0𝑈 ∈ ℝ)
76adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 𝑈 ∈ ℝ)
83adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
97, 8nndivred 11326 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ)
108nnrpd 12068 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
11 nn0ge0 11565 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑈)
1211adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑈)
137, 10, 12divge0d 12110 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑈 / 𝑁))
14 flge0nn0 12829 . . . . . . . . 9 (((𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑈 / 𝑁)) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ0)
159, 13, 14syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ0)
165, 15nn0mulcld 11603 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℕ0)
17 flle 12808 . . . . . . . . 9 ((𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ≤ (𝑈 / 𝑁))
189, 17syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ≤ (𝑈 / 𝑁))
19 reflcl 12805 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℝ)
209, 19syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℝ)
2120, 7, 10lemuldiv2d 12120 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈 ↔ (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ≤ (𝑈 / 𝑁)))
2218, 21mpbird 248 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈)
23 fznn0 12639 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ ℕ0 → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈) ↔ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈)))
2423adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈) ↔ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈)))
2516, 22, 24mpbir2and 704 . . . . . 6 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈))
26 fzosplit 12709 . . . . . 6 ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈) → (0..^𝑈) = ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∪ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)))
2725, 26syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (0..^𝑈) = ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∪ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)))
28 fzofi 12981 . . . . . 6 (0..^𝑈) ∈ Fin
2928a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (0..^𝑈) ∈ Fin)
30 rpvmasum.g . . . . . 6 𝐺 = (DChr‘𝑁)
31 rpvmasum.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
32 rpvmasum.d . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐺)
33 rpvmasum.l . . . . . 6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
34 dchrisum.b . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐷)
3534ad2antrr 717 . . . . . 6 (((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑈)) → 𝑋𝐷)
36 elfzoelz 12678 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0..^𝑈) → 𝑛 ∈ ℤ)
3736adantl 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑈)) → 𝑛 ∈ ℤ)
3830, 31, 32, 33, 35, 37dchrzrhcl 25261 . . . . 5 (((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑈)) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
392, 27, 29, 38fsumsplit 14758 . . . 4 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛))))
40 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · 0))
4140oveq2d 6858 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · 0)))
4241sumeq1d 14718 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
4342eqeq1d 2767 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0))
4443imbi2d 331 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)))
45 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚 → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · 𝑚))
4645oveq2d 6858 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · 𝑚)))
4746sumeq1d 14718 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
4847eqeq1d 2767 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0))
4948imbi2d 331 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)))
50 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑚 + 1) → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · (𝑚 + 1)))
5150oveq2d 6858 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑚 + 1) → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))))
5251sumeq1d 14718 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑚 + 1) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
5352eqeq1d 2767 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑚 + 1) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0))
5453imbi2d 331 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)))
55 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))
5655oveq2d 6858 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))))
5756sumeq1d 14718 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
5857eqeq1d 2767 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0))
5958imbi2d 331 . . . . . . . 8 (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)))
603nncnd 11292 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
6160mul01d 10489 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 · 0) = 0)
6261oveq2d 6858 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0..^(𝑁 · 0)) = (0..^0))
63 fzo0 12700 . . . . . . . . . . 11 (0..^0) = ∅
6462, 63syl6eq 2815 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0..^(𝑁 · 0)) = ∅)
6564sumeq1d 14718 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ∅ (𝑋‘(𝐿𝑛)))
66 sum0 14739 . . . . . . . . 9 Σ𝑛 ∈ ∅ (𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0
6765, 66syl6eq 2815 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)
68 oveq1 6849 . . . . . . . . . . 11 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛))) = (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
69 fzodisj 12710 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∩ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) = ∅
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∩ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) = ∅)
71 nn0re 11548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℝ)
7271adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℝ)
7372lep1d 11209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ≤ (𝑚 + 1))
74 peano2re 10463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
7572, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
763adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
7776nnred 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
7876nngt0d 11321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑁)
79 lemul2 11130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (𝑚 ≤ (𝑚 + 1) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
8072, 75, 77, 78, 79syl112anc 1493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 ≤ (𝑚 + 1) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
8173, 80mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1)))
82 nn0mulcl 11576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℕ0)
834, 82sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℕ0)
84 nn0uz 11922 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (ℤ‘0)
8583, 84syl6eleq 2854 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ (ℤ‘0))
86 nn0p1nn 11579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
87 nnmulcl 11299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
883, 86, 87syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
8988nnzd 11728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℤ)
90 elfz5 12541 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 · 𝑚) ∈ (ℤ‘0) ∧ (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
9185, 89, 90syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
9281, 91mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))))
93 fzosplit 12709 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))) → (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) = ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∪ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))))
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) = ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∪ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))))
95 fzofi 12981 . . . . . . . . . . . . . 14 (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) ∈ Fin
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) ∈ Fin)
9734ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) → 𝑋𝐷)
98 elfzoelz 12678 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
9998adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℤ)
10030, 31, 32, 33, 97, 99dchrzrhcl 25261 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
10170, 94, 96, 100fsumsplit 14758 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
10276nncnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
10372recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
104 1cnd 10288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
105102, 103, 104adddid 10318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) = ((𝑁 · 𝑚) + (𝑁 · 1)))
106102mulid1d 10311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
107106oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚) + (𝑁 · 1)) = ((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))
108105, 107eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) = ((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))
109108oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) = ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁)))
110109sumeq1d 14718 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
111 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) = ((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))
112111oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁)))
113112sumeq1d 14718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑁 → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
114 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑁 → (0..^𝑘) = (0..^𝑁))
115114sumeq1d 14718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑁 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
116113, 115eqeq12d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑁 → (Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿𝑛))))
11783nn0zd 11727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
118117adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
119 nn0z 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
120 zaddcl 11664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ)
121117, 119, 120syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ)
122 peano2zm 11667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ → (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) ∈ ℤ)
123121, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) ∈ ℤ)
12434ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))) → 𝑋𝐷)
125 elfzelz 12549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
126125adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
12730, 31, 32, 33, 124, 126dchrzrhcl 25261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
128 2fveq3 6380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
129118, 118, 123, 127, 128fsumshftm 14799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑖 ∈ (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)))(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
130 fzoval 12679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1)))
131121, 130syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1)))
132131sumeq1d 14718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
133119adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
134 fzoval 12679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → (0..^𝑘) = (0...(𝑘 − 1)))
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0..^𝑘) = (0...(𝑘 − 1)))
136118zcnd 11730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
137136subidd 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚)) = 0)
138121zcnd 11730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℂ)
139 1cnd 10288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
140138, 139, 136sub32d 10678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)) = ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − (𝑁 · 𝑚)) − 1))
141 nn0cn 11549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
142141adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
143136, 142pncan2d 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − (𝑁 · 𝑚)) = 𝑘)
144143oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − (𝑁 · 𝑚)) − 1) = (𝑘 − 1))
145140, 144eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)) = (𝑘 − 1))
146137, 145oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚))) = (0...(𝑘 − 1)))
147135, 146eqtr4d 2802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0..^𝑘) = (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚))))
148147sumeq1d 14718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = Σ𝑖 ∈ (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)))(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
149129, 132, 1483eqtr4d 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
1503nnzd 11728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
151 nn0z 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℤ)
152 dvdsmul1 15290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
153150, 151, 152syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
154153ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
155 elfzoelz 12678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 ∈ (0..^𝑘) → 𝑖 ∈ ℤ)
156155adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑖 ∈ ℤ)
157156zcnd 11730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑖 ∈ ℂ)
158136adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
159157, 158pncan2d 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖) = (𝑁 · 𝑚))
160154, 159breqtrrd 4837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑁 ∥ ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖))
16176nnnn0d 11598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
162161ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
163 zaddcl 11664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ) → (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) ∈ ℤ)
164155, 118, 163syl2anr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) ∈ ℤ)
16531, 33zndvds 20170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚))) = (𝐿𝑖) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖)))
166162, 164, 156, 165syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → ((𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚))) = (𝐿𝑖) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖)))
167160, 166mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚))) = (𝐿𝑖))
168167fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = (𝑋‘(𝐿𝑖)))
169168sumeq2dv 14720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑖)))
170 2fveq3 6380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝑛 → (𝑋‘(𝐿𝑖)) = (𝑋‘(𝐿𝑛)))
171170cbvsumv 14713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑖)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛))
172169, 171syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
173149, 172eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
174173ralrimiva 3113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
175116, 174, 161rspcdva 3467 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
176 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = (𝐿𝑛) → (𝑋𝑘) = (𝑋‘(𝐿𝑛)))
1773nnne0d 11322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑁 ≠ 0)
178 ifnefalse 4255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ≠ 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
179177, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
180 fzofi 12981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0..^𝑁) ∈ Fin
181179, 180syl6eqel 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ∈ Fin)
182 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
18333reseq1i 5561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) = ((ℤRHom‘𝑍) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
184 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
18531, 182, 183, 184znf1o 20172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑍))
1864, 185syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑍))
187 fvres 6394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → ((𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))‘𝑛) = (𝐿𝑛))
188187adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) → ((𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))‘𝑛) = (𝐿𝑛))
18930, 31, 32, 182, 34dchrf 25258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
190189ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
191176, 181, 186, 188, 190fsumf1o 14741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑘) = Σ𝑛 ∈ if (𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
192 rpvmasum.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 = (0g𝐺)
19330, 31, 32, 192, 34, 182dchrsum 25285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑘) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))
194 dchrisum.n1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋1 )
195 ifnefalse 4255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋1 → if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0) = 0)
196194, 195syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0) = 0)
197193, 196eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑘) = 0)
198179sumeq1d 14718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ if (𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
199191, 197, 1983eqtr3rd 2808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)
200199adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)
201110, 175, 2003eqtrd 2803 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)
202201oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛))) = (0 + 0))
203 00id 10465 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 0) = 0
204202, 203syl6req 2816 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 0 = (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
205101, 204eqeq12d 2780 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 ↔ (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛))) = (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
20668, 205syl5ibr 237 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0))
207206expcom 402 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)))
208207a2d 29 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0) → (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)))
20944, 49, 54, 59, 67, 208nn0ind 11719 . . . . . . 7 ((⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ0 → (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0))
210209impcom 396 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)
21115, 210syldan 585 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)
212 modval 12878 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝑈 mod 𝑁) = (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))))
2137, 10, 212syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑈 mod 𝑁) = (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))))
214213oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))))
21516nn0cnd 11600 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℂ)
216 nn0cn 11549 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ ℕ0𝑈 ∈ ℂ)
217216adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 𝑈 ∈ ℂ)
218215, 217pncan3d 10649 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))) = 𝑈)
219214, 218eqtr2d 2800 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 𝑈 = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))
220219oveq2d 6858 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁))))
221220sumeq1d 14718 . . . . . 6 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
222 nn0z 11647 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ ℕ0𝑈 ∈ ℤ)
223 zmodcl 12898 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
224222, 3, 223syl2anr 590 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
225174ralrimiva 3113 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0 Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
226225adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ∀𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0 Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
227 oveq2 6850 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (𝑁 · 𝑚) = (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))
228227oveq1d 6857 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))
229227, 228oveq12d 6860 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘)))
230229sumeq1d 14718 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
231230eqeq1d 2767 . . . . . . . 8 (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛))))
232 oveq2 6850 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))
233232oveq2d 6858 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘)) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁))))
234233sumeq1d 14718 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
235 oveq2 6850 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → (0..^𝑘) = (0..^(𝑈 mod 𝑁)))
236235sumeq1d 14718 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
237234, 236eqeq12d 2780 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → (Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
238231, 237rspc2va 3475 . . . . . . 7 ((((⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑈 mod 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0 Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛))) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
23915, 224, 226, 238syl21anc 866 . . . . . 6 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
240221, 239eqtrd 2799 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
241211, 240oveq12d 6860 . . . 4 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛))) = (0 + Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
242 fzofi 12981 . . . . . . 7 (0..^(𝑈 mod 𝑁)) ∈ Fin
243242a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑈 mod 𝑁)) ∈ Fin)
24434ad2antrr 717 . . . . . . 7 (((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))) → 𝑋𝐷)
245 elfzoelz 12678 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
246245adantl 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))) → 𝑛 ∈ ℤ)
24730, 31, 32, 33, 244, 246dchrzrhcl 25261 . . . . . 6 (((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
248243, 247fsumcl 14751 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
249248addid2d 10491 . . . 4 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (0 + Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
25039, 241, 2493eqtrd 2803 . . 3 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
251250fveq2d 6379 . 2 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
252 oveq2 6850 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → (0..^𝑢) = (0..^(𝑈 mod 𝑁)))
253252sumeq1d 14718 . . . . 5 (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
254253fveq2d 6379 . . . 4 (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
255254breq1d 4819 . . 3 (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅))
256 dchrisum.10 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
257256adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
258 zmodfzo 12901 . . . 4 ((𝑈 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
259222, 3, 258syl2anr 590 . . 3 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
260255, 257, 259rspcdva 3467 . 2 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
261251, 260eqbrtrd 4831 1 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  cun 3730  cin 3731  c0 4079  ifcif 4243   class class class wbr 4809  cmpt 4888  cres 5279  1-1-ontowf1o 6067  cfv 6068  (class class class)co 6842  Fincfn 8160  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520   / cdiv 10938  cn 11274  0cn0 11538  cz 11624  cuz 11886  +crp 12028  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  cfl 12799   mod cmo 12876  abscabs 14261  𝑟 crli 14503  Σcsu 14703  cdvds 15267  ϕcphi 15750  Basecbs 16132  0gc0g 16368  ℤRHomczrh 20121  ℤ/nczn 20124  DChrcdchr 25248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-ec 7949  df-qs 7953  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-xnn0 11611  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-clim 14506  df-sum 14704  df-dvds 15268  df-gcd 15500  df-phi 15752  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-ip 16234  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-0g 16370  df-imas 16436  df-qus 16437  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-mhm 17603  df-grp 17694  df-minusg 17695  df-sbg 17696  df-mulg 17810  df-subg 17857  df-nsg 17858  df-eqg 17859  df-ghm 17924  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-cring 18817  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-rnghom 18984  df-subrg 19047  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-lsp 19244  df-sra 19446  df-rgmod 19447  df-lidl 19448  df-rsp 19449  df-2idl 19506  df-cnfld 20020  df-zring 20092  df-zrh 20125  df-zn 20128  df-dchr 25249
This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  25470
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