dchrisumlem1 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dchrisumlem1		Structured version Visualization version GIF version

Theorem dchrisumlem1 27551

Description: Lemma for dchrisum 27554. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1	⊢ 1 = (0_g‘𝐺)
dchrisum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrisum.2	⊢ (𝑛 = 𝑥 → 𝐴 = 𝐵)
dchrisum.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
dchrisum.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
dchrisum.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
dchrisum.6	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝐴) ⇝_𝑟 0)
dchrisum.7	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · 𝐴))
dchrisum.9	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
dchrisum.10	⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)

**Assertion**
Ref	Expression
dchrisumlem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)

Distinct variable groups: 𝑢,𝑛,𝑥 1 ,𝑛,𝑥 𝑛,𝐹,𝑢,𝑥 𝑥,𝐴 𝑛,𝑁,𝑢,𝑥 𝜑,𝑛,𝑢,𝑥 𝑅,𝑛,𝑢,𝑥 𝑈,𝑛,𝑢,𝑥 𝐵,𝑛 𝑛,𝑍,𝑥 𝐷,𝑛,𝑥 𝑛,𝐿,𝑢,𝑥 𝑛,𝑀,𝑢,𝑥 𝑛,𝑋,𝑢,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑢,𝑛) 𝐵(𝑥,𝑢) 𝐷(𝑢) 1 (𝑢) 𝐺(𝑥,𝑢,𝑛) 𝑍(𝑢)

Proof of Theorem dchrisumlem1 Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzodisj 13750	. . . . . 6 ⊢ ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∩ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)) = ∅
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∩ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)) = ∅)
3		rpvmasum.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	nnnn0d 12613	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
5	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
6		nn0re 12562	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ ℕ₀ → 𝑈 ∈ ℝ)
7	6	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → 𝑈 ∈ ℝ)
8	3	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℕ)
9	7, 8	nndivred 12347	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ)
10	8	nnrpd 13097	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
11		nn0ge0 12578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ ℕ₀ → 0 ≤ 𝑈)
12	11	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ 𝑈)
13	7, 10, 12	divge0d 13139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ (𝑈 / 𝑁))
14		flge0nn0 13871	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑈 / 𝑁)) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ₀)
15	9, 13, 14	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ₀)
16	5, 15	nn0mulcld 12618	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℕ₀)
17		flle 13850	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ≤ (𝑈 / 𝑁))
18	9, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ≤ (𝑈 / 𝑁))
19		reflcl 13847	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℝ)
20	9, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℝ)
21	20, 7, 10	lemuldiv2d 13149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈 ↔ (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ≤ (𝑈 / 𝑁)))
22	18, 21	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈)
23		fznn0 13676	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ ℕ₀ → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈) ↔ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈)))
24	23	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈) ↔ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈)))
25	16, 22, 24	mpbir2and 712	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈))
26		fzosplit 13749	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈) → (0..^𝑈) = ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∪ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)))
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (0..^𝑈) = ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∪ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)))
28		fzofi 14025	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑈) ∈ Fin
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (0..^𝑈) ∈ Fin)
30		rpvmasum.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
31		rpvmasum.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
32		rpvmasum.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
33		rpvmasum.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
34		dchrisum.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
35	34	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐷)
36		elfzoelz 13716	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑈) → 𝑛 ∈ ℤ)
37	36	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑈)) → 𝑛 ∈ ℤ)
38	30, 31, 32, 33, 35, 37	dchrzrhcl 27307	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑈)) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
39	2, 27, 29, 38	fsumsplit 15789	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
40		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · 0))
41	40	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · 0)))
42	41	sumeq1d 15748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
43	42	eqeq1d 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0))
44	43	imbi2d 340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)))
45		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · 𝑚))
46	45	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · 𝑚)))
47	46	sumeq1d 15748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
48	47	eqeq1d 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0))
49	48	imbi2d 340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)))
50		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑚 + 1) → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · (𝑚 + 1)))
51	50	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑚 + 1) → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))))
52	51	sumeq1d 15748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑚 + 1) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
53	52	eqeq1d 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑚 + 1) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0))
54	53	imbi2d 340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)))
55		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))
56	55	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))))
57	56	sumeq1d 15748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
58	57	eqeq1d 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0))
59	58	imbi2d 340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)))
60	3	nncnd 12309	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
61	60	mul01d 11489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 0) = 0)
62	61	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝑁 · 0)) = (0..^0))
63		fzo0 13740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^0) = ∅
64	62, 63	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝑁 · 0)) = ∅)
65	64	sumeq1d 15748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ∅ (𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
66		sum0 15769	. . . . . . . . 9 ⊢ Σ𝑛 ∈ ∅ (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0
67	65, 66	eqtrdi 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)
68		oveq1 7455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
69		fzodisj 13750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∩ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) = ∅
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∩ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) = ∅)
71		nn0re 12562	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → 𝑚 ∈ ℝ)
72	71	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 𝑚 ∈ ℝ)
73	72	lep1d 12226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 𝑚 ≤ (𝑚 + 1))
74		peano2re 11463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
75	72, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
76	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℕ)
77	76	nnred 12308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℝ)
78	76	nngt0d 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 0 < 𝑁)
79		lemul2 12147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (𝑚 ≤ (𝑚 + 1) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
80	72, 75, 77, 78, 79	syl112anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑚 ≤ (𝑚 + 1) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
81	73, 80	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1)))
82		nn0mulcl 12589	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℕ₀)
83	4, 82	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℕ₀)
84		nn0uz 12945	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
85	83, 84	eleqtrdi 2854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 𝑚) ∈ (ℤ_≥‘0))
86		nn0p1nn 12592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
87		nnmulcl 12317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
88	3, 86, 87	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
89	88	nnzd 12666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℤ)
90		elfz5 13576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 · 𝑚) ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
91	85, 89, 90	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
92	81, 91	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))))
93		fzosplit 13749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))) → (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) = ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∪ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))))
94	92, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) = ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∪ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))))
95		fzofi 14025	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) ∈ Fin
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) ∈ Fin)
97	34	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
98		elfzoelz 13716	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
99	98	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℤ)
100	30, 31, 32, 33, 97, 99	dchrzrhcl 27307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
101	70, 94, 96, 100	fsumsplit 15789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
102	76	nncnd 12309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℂ)
103	72	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 𝑚 ∈ ℂ)
104		1cnd 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 1 ∈ ℂ)
105	102, 103, 104	adddid 11314	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) = ((𝑁 · 𝑚) + (𝑁 · 1)))
106	102	mulridd 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
107	106	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · 𝑚) + (𝑁 · 1)) = ((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))
108	105, 107	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) = ((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))
109	108	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) = ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁)))
110	109	sumeq1d 15748	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
111		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) = ((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))
112	111	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁)))
113	112	sumeq1d 15748	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
114		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (0..^𝑘) = (0..^𝑁))
115	114	sumeq1d 15748	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
116	113, 115	eqeq12d 2756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
117	83	nn0zd 12665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
118	117	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
119		nn0z 12664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → 𝑘 ∈ ℤ)
120		zaddcl 12683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ)
121	117, 119, 120	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ)
122		peano2zm 12686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ → (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) ∈ ℤ)
123	121, 122	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) ∈ ℤ)
124	34	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
125		elfzelz 13584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
126	125	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
127	30, 31, 32, 33, 124, 126	dchrzrhcl 27307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
128		2fveq3 6925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
129	118, 118, 123, 127, 128	fsumshftm 15829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑖 ∈ (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)))(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
130		fzoval 13717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1)))
131	121, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1)))
132	131	sumeq1d 15748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
133	119	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → 𝑘 ∈ ℤ)
134		fzoval 13717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (0..^𝑘) = (0...(𝑘 − 1)))
135	133, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (0..^𝑘) = (0...(𝑘 − 1)))
136	118	zcnd 12748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
137	136	subidd 11635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚)) = 0)
138	121	zcnd 12748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℂ)
139		1cnd 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → 1 ∈ ℂ)
140	138, 139, 136	sub32d 11679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)) = ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − (𝑁 · 𝑚)) − 1))
141		nn0cn 12563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → 𝑘 ∈ ℂ)
142	141	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → 𝑘 ∈ ℂ)
143	136, 142	pncan2d 11649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − (𝑁 · 𝑚)) = 𝑘)
144	143	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − (𝑁 · 𝑚)) − 1) = (𝑘 − 1))
145	140, 144	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)) = (𝑘 − 1))
146	137, 145	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚))) = (0...(𝑘 − 1)))
147	135, 146	eqtr4d 2783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (0..^𝑘) = (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚))))
148	147	sumeq1d 15748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = Σ𝑖 ∈ (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)))(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
149	129, 132, 148	3eqtr4d 2790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
150	3	nnzd 12666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
151		nn0z 12664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → 𝑚 ∈ ℤ)
152		dvdsmul1 16326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
153	150, 151, 152	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
154	153	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
155		elfzoelz 13716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑘) → 𝑖 ∈ ℤ)
156	155	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑖 ∈ ℤ)
157	156	zcnd 12748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑖 ∈ ℂ)
158	136	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
159	157, 158	pncan2d 11649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖) = (𝑁 · 𝑚))
160	154, 159	breqtrrd 5194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑁 ∥ ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖))
161	76	nnnn0d 12613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
162	161	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
163		zaddcl 12683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ) → (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) ∈ ℤ)
164	155, 118, 163	syl2anr 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) ∈ ℤ)
165	31, 33	zndvds 21591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚))) = (𝐿‘𝑖) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖)))
166	162, 164, 156, 165	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → ((𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚))) = (𝐿‘𝑖) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖)))
167	160, 166	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚))) = (𝐿‘𝑖))
168	167	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = (𝑋‘(𝐿‘𝑖)))
169	168	sumeq2dv 15750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑖)))
170		2fveq3 6925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑋‘(𝐿‘𝑖)) = (𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
171	170	cbvsumv 15744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑖)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))
172	169, 171	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
173	149, 172	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
174	173	ralrimiva 3152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → ∀𝑘 ∈ ℕ₀ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
175	116, 174, 161	rspcdva 3636	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
176		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = (𝐿‘𝑛) → (𝑋‘𝑘) = (𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
177	3	nnne0d 12343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
178		ifnefalse 4560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
179	177, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
180		fzofi 14025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
181	179, 180	eqeltrdi 2852	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ∈ Fin)
182		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
183	33	reseq1i 6005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) = ((ℤRHom‘𝑍) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
184		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
185	31, 182, 183, 184	znf1o 21593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑍))
186	4, 185	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑍))
187		fvres 6939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → ((𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))‘𝑛) = (𝐿‘𝑛))
188	187	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) → ((𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))‘𝑛) = (𝐿‘𝑛))
189	30, 31, 32, 182, 34	dchrf 27304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
190	189	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋‘𝑘) ∈ ℂ)
191	176, 181, 186, 188, 190	fsumf1o 15771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋‘𝑘) = Σ𝑛 ∈ if (𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
192		rpvmasum.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 = (0_g‘𝐺)
193	30, 31, 32, 192, 34, 182	dchrsum 27331	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋‘𝑘) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))
194		dchrisum.n1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
195		ifnefalse 4560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 ≠ 1 → if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0) = 0)
196	194, 195	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0) = 0)
197	193, 196	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋‘𝑘) = 0)
198	179	sumeq1d 15748	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ if (𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
199	191, 197, 198	3eqtr3rd 2789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)
200	199	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)
201	110, 175, 200	3eqtrd 2784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)
202	201	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = (0 + 0))
203		00id 11465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 0) = 0
204	202, 203	eqtr2di 2797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 0 = (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
205	101, 204	eqeq12d 2756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0 ↔ (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
206	68, 205	imbitrrid 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0))
207	206	expcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)))
208	207	a2d 29	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0) → (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)))
209	44, 49, 54, 59, 67, 208	nn0ind 12738	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ₀ → (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0))
210	209	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)
211	15, 210	syldan 590	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)
212		modval 13922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) → (𝑈 mod 𝑁) = (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))))
213	7, 10, 212	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (𝑈 mod 𝑁) = (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))))
214	213	oveq2d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))))
215	16	nn0cnd 12615	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℂ)
216		nn0cn 12563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ ℕ₀ → 𝑈 ∈ ℂ)
217	216	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → 𝑈 ∈ ℂ)
218	215, 217	pncan3d 11650	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))) = 𝑈)
219	214, 218	eqtr2d 2781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → 𝑈 = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))
220	219	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁))))
221	220	sumeq1d 15748	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
222		nn0z 12664	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ ℕ₀ → 𝑈 ∈ ℤ)
223		zmodcl 13942	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ ℕ₀)
224	222, 3, 223	syl2anr 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ ℕ₀)
225	174	ralrimiva 3152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ₀ ∀𝑘 ∈ ℕ₀ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
226	225	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → ∀𝑚 ∈ ℕ₀ ∀𝑘 ∈ ℕ₀ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
227		oveq2 7456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (𝑁 · 𝑚) = (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))
228	227	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))
229	227, 228	oveq12d 7466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘)))
230	229	sumeq1d 15748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
231	230	eqeq1d 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
232		oveq2 7456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))
233	232	oveq2d 7464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘)) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁))))
234	233	sumeq1d 15748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
235		oveq2 7456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → (0..^𝑘) = (0..^(𝑈 mod 𝑁)))
236	235	sumeq1d 15748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
237	234, 236	eqeq12d 2756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → (Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
238	231, 237	rspc2va 3647	. . . . . . 7 ⊢ ((((⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑈 mod 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ₀ ∀𝑘 ∈ ℕ₀ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
239	15, 224, 226, 238	syl21anc 837	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
240	221, 239	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
241	211, 240	oveq12d 7466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = (0 + Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
242		fzofi 14025	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(𝑈 mod 𝑁)) ∈ Fin
243	242	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (0..^(𝑈 mod 𝑁)) ∈ Fin)
244	34	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
245		elfzoelz 13716	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
246	245	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))) → 𝑛 ∈ ℤ)
247	30, 31, 32, 33, 244, 246	dchrzrhcl 27307	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
248	243, 247	fsumcl 15781	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
249	248	addlidd 11491	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (0 + Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
250	39, 241, 249	3eqtrd 2784	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
251	250	fveq2d 6924	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
252		oveq2 7456	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → (0..^𝑢) = (0..^(𝑈 mod 𝑁)))
253	252	sumeq1d 15748	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
254	253	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
255	254	breq1d 5176	. . 3 ⊢ (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅))
256		dchrisum.10	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
257	256	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
258		zmodfzo 13945	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
259	222, 3, 258	syl2anr 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
260	255, 257, 259	rspcdva 3636	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
261	251, 260	eqbrtrd 5188	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1537 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2946 ∀wral 3067 ∪ cun 3974 ∩ cin 3975 ∅c0 4352 ifcif 4548 class class class wbr 5166 ↦ cmpt 5249 ↾ cres 5702 –1-1-onto→wf1o 6572 ‘cfv 6573 (class class class)co 7448 Fincfn 9003 ℂcc 11182 ℝcr 11183 0cc0 11184 1c1 11185 + caddc 11187 · cmul 11189 < clt 11324 ≤ cle 11325 − cmin 11520 / cdiv 11947 ℕcn 12293 ℕ₀cn0 12553 ℤcz 12639 ℤ_≥cuz 12903 ℝ⁺crp 13057 ...cfz 13567 ..^cfzo 13711 ⌊cfl 13841 mod cmo 13920 abscabs 15283 ⇝_𝑟 crli 15531 Σcsu 15734 ∥ cdvds 16302 ϕcphi 16811 Basecbs 17258 0_gc0g 17499 ℤRHomczrh 21533 ℤ/nℤczn 21536 DChrcdchr 27294

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1793 ax-4 1807 ax-5 1909 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2711 ax-rep 5303 ax-sep 5317 ax-nul 5324 ax-pow 5383 ax-pr 5447 ax-un 7770 ax-inf2 9710 ax-cnex 11240 ax-resscn 11241 ax-1cn 11242 ax-icn 11243 ax-addcl 11244 ax-addrcl 11245 ax-mulcl 11246 ax-mulrcl 11247 ax-mulcom 11248 ax-addass 11249 ax-mulass 11250 ax-distr 11251 ax-i2m1 11252 ax-1ne0 11253 ax-1rid 11254 ax-rnegex 11255 ax-rrecex 11256 ax-cnre 11257 ax-pre-lttri 11258 ax-pre-lttrn 11259 ax-pre-ltadd 11260 ax-pre-mulgt0 11261 ax-pre-sup 11262 ax-addf 11263 ax-mulf 11264

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 847 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1778 df-nf 1782 df-sb 2065 df-mo 2543 df-eu 2572 df-clab 2718 df-cleq 2732 df-clel 2819 df-nfc 2895 df-ne 2947 df-nel 3053 df-ral 3068 df-rex 3077 df-rmo 3388 df-reu 3389 df-rab 3444 df-v 3490 df-sbc 3805 df-csb 3922 df-dif 3979 df-un 3981 df-in 3983 df-ss 3993 df-pss 3996 df-nul 4353 df-if 4549 df-pw 4624 df-sn 4649 df-pr 4651 df-tp 4653 df-op 4655 df-uni 4932 df-int 4971 df-iun 5017 df-br 5167 df-opab 5229 df-mpt 5250 df-tr 5284 df-id 5593 df-eprel 5599 df-po 5607 df-so 5608 df-fr 5652 df-se 5653 df-we 5654 df-xp 5706 df-rel 5707 df-cnv 5708 df-co 5709 df-dm 5710 df-rn 5711 df-res 5712 df-ima 5713 df-pred 6332 df-ord 6398 df-on 6399 df-lim 6400 df-suc 6401 df-iota 6525 df-fun 6575 df-fn 6576 df-f 6577 df-f1 6578 df-fo 6579 df-f1o 6580 df-fv 6581 df-isom 6582 df-riota 7404 df-ov 7451 df-oprab 7452 df-mpo 7453 df-of 7714 df-om 7904 df-1st 8030 df-2nd 8031 df-tpos 8267 df-frecs 8322 df-wrecs 8353 df-recs 8427 df-rdg 8466 df-1o 8522 df-oadd 8526 df-er 8763 df-ec 8765 df-qs 8769 df-map 8886 df-en 9004 df-dom 9005 df-sdom 9006 df-fin 9007 df-sup 9511 df-inf 9512 df-oi 9579 df-card 10008 df-pnf 11326 df-mnf 11327 df-xr 11328 df-ltxr 11329 df-le 11330 df-sub 11522 df-neg 11523 df-div 11948 df-nn 12294 df-2 12356 df-3 12357 df-4 12358 df-5 12359 df-6 12360 df-7 12361 df-8 12362 df-9 12363 df-n0 12554 df-xnn0 12626 df-z 12640 df-dec 12759 df-uz 12904 df-rp 13058 df-fz 13568 df-fzo 13712 df-fl 13843 df-mod 13921 df-seq 14053 df-exp 14113 df-hash 14380 df-cj 15148 df-re 15149 df-im 15150 df-sqrt 15284 df-abs 15285 df-clim 15534 df-sum 15735 df-dvds 16303 df-gcd 16541 df-phi 16813 df-struct 17194 df-sets 17211 df-slot 17229 df-ndx 17241 df-base 17259 df-ress 17288 df-plusg 17324 df-mulr 17325 df-starv 17326 df-sca 17327 df-vsca 17328 df-ip 17329 df-tset 17330 df-ple 17331 df-ds 17333 df-unif 17334 df-0g 17501 df-imas 17568 df-qus 17569 df-mgm 18678 df-sgrp 18757 df-mnd 18773 df-mhm 18818 df-grp 18976 df-minusg 18977 df-sbg 18978 df-mulg 19108 df-subg 19163 df-nsg 19164 df-eqg 19165 df-ghm 19253 df-cmn 19824 df-abl 19825 df-mgp 20162 df-rng 20180 df-ur 20209 df-ring 20262 df-cring 20263 df-oppr 20360 df-dvdsr 20383 df-unit 20384 df-invr 20414 df-rhm 20498 df-subrng 20572 df-subrg 20597 df-lmod 20882 df-lss 20953 df-lsp 20993 df-sra 21195 df-rgmod 21196 df-lidl 21241 df-rsp 21242 df-2idl 21283 df-cnfld 21388 df-zring 21481 df-zrh 21537 df-zn 21540 df-dchr 27295

This theorem is referenced by: dchrisumlem2 27552

W3C validator