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Theorem dchrisumlem1 27664

Description: Lemma for dchrisum 27667. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1	⊢ 1 = (0_g‘𝐺)
dchrisum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrisum.2	⊢ (𝑛 = 𝑥 → 𝐴 = 𝐵)
dchrisum.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
dchrisum.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
dchrisum.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
dchrisum.6	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝐴) ⇝_𝑟 0)
dchrisum.7	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · 𝐴))
dchrisum.9	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
dchrisum.10	⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)

**Assertion**
Ref	Expression
dchrisumlem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)

Distinct variable groups: 𝑢,𝑛,𝑥 1 ,𝑛,𝑥 𝑛,𝐹,𝑢,𝑥 𝑥,𝐴 𝑛,𝑁,𝑢,𝑥 𝜑,𝑛,𝑢,𝑥 𝑅,𝑛,𝑢,𝑥 𝑈,𝑛,𝑢,𝑥 𝐵,𝑛 𝑛,𝑍,𝑥 𝐷,𝑛,𝑥 𝑛,𝐿,𝑢,𝑥 𝑛,𝑀,𝑢,𝑥 𝑛,𝑋,𝑢,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑢, 𝑛) 𝐵(𝑥, 𝑢) 𝐷(𝑢) 1 (𝑢) 𝐺(𝑥, 𝑢, 𝑛) 𝑍(𝑢)

Proof of Theorem dchrisumlem1 Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzodisj 13729	. . . . . 6 ⊢ ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∩ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)) = ∅
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∩ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)) = ∅)
3		rpvmasum.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	nnnn0d 12571	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
5	4	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
6		nn0re 12519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ ℕ₀ → 𝑈 ∈ ℝ)
7	6	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → 𝑈 ∈ ℝ)
8	3	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℕ)
9	7, 8	nndivred 12296	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ)
10	8	nnrpd 13064	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
11		nn0ge0 12535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ ℕ₀ → 0 ≤ 𝑈)
12	11	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ 𝑈)
13	7, 10, 12	divge0d 13106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ (𝑈 / 𝑁))
14		flge0nn0 13860	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑈 / 𝑁)) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ₀)
15	9, 13, 14	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ₀)
16	5, 15	nn0mulcld 12576	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℕ₀)
17		flle 13839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ≤ (𝑈 / 𝑁))
18	9, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ≤ (𝑈 / 𝑁))
19		reflcl 13836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℝ)
20	9, 19	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℝ)
21	20, 7, 10	lemuldiv2d 13116	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈 ↔ (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ≤ (𝑈 / 𝑁)))
22	18, 21	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈)
23		fznn0 13654	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ ℕ₀ → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈) ↔ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈)))
24	23	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈) ↔ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈)))
25	16, 22, 24	mpbir2and 725	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈))
26		fzosplit 13728	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈) → (0..^𝑈) = ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∪ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)))
27	25, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (0..^𝑈) = ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∪ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)))
28		fzofi 14017	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑈) ∈ Fin
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (0..^𝑈) ∈ Fin)
30		rpvmasum.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
31		rpvmasum.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
32		rpvmasum.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
33		rpvmasum.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
34		dchrisum.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
35	34	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐷)
36		elfzoelz 13694	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑈) → 𝑛 ∈ ℤ)
37	36	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑈)) → 𝑛 ∈ ℤ)
38	30, 31, 32, 33, 35, 37	dchrzrhcl 27420	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑈)) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
39	2, 27, 29, 38	fsumsplit 15799	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
40		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · 0))
41	40	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · 0)))
42	41	sumeq1d 15758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
43	42	eqeq1d 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0))
44	43	imbi2d 343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)))
45		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · 𝑚))
46	45	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · 𝑚)))
47	46	sumeq1d 15758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
48	47	eqeq1d 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0))
49	48	imbi2d 343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)))
50		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑚 + 1) → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · (𝑚 + 1)))
51	50	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑚 + 1) → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))))
52	51	sumeq1d 15758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑚 + 1) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
53	52	eqeq1d 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑚 + 1) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0))
54	53	imbi2d 343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)))
55		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))
56	55	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))))
57	56	sumeq1d 15758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
58	57	eqeq1d 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0))
59	58	imbi2d 343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)))
60	3	nncnd 12255	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
61	60	mul01d 11415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 0) = 0)
62	61	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝑁 · 0)) = (0..^0))
63		fzo0 13719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^0) = ∅
64	62, 63	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝑁 · 0)) = ∅)
65	64	sumeq1d 15758	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ∅ (𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
66		sum0 15779	. . . . . . . . 9 ⊢ Σ𝑛 ∈ ∅ (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0
67	65, 66	eqtrdi 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)
68		oveq1 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
69		fzodisj 13729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∩ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) = ∅
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∩ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) = ∅)
71		nn0re 12519	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → 𝑚 ∈ ℝ)
72	71	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 𝑚 ∈ ℝ)
73	72	lep1d 12152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 𝑚 ≤ (𝑚 + 1))
74		peano2re 11389	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
75	72, 74	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
76	3	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℕ)
77	76	nnred 12254	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℝ)
78	76	nngt0d 12291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 0 < 𝑁)
79		lemul2 12074	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (𝑚 ≤ (𝑚 + 1) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
80	72, 75, 77, 78, 79	syl112anc 1400	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑚 ≤ (𝑚 + 1) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
81	73, 80	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1)))
82		nn0mulcl 12546	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℕ₀)
83	4, 82	sylan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℕ₀)
84		nn0uz 12906	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
85	83, 84	eleqtrdi 2872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 𝑚) ∈ (ℤ_≥‘0))
86		nn0p1nn 12549	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
87		nnmulcl 12263	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
88	3, 86, 87	syl2an 607	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
89	88	nnzd 12623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℤ)
90		elfz5 13550	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 · 𝑚) ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
91	85, 89, 90	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
92	81, 91	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))))
93		fzosplit 13728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))) → (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) = ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∪ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))))
94	92, 93	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) = ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∪ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))))
95		fzofi 14017	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) ∈ Fin
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) ∈ Fin)
97	34	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
98		elfzoelz 13694	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
99	98	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℤ)
100	30, 31, 32, 33, 97, 99	dchrzrhcl 27420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
101	70, 94, 96, 100	fsumsplit 15799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
102	76	nncnd 12255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℂ)
103	72	recnd 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 𝑚 ∈ ℂ)
104		1cnd 11208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 1 ∈ ℂ)
105	102, 103, 104	adddid 11239	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) = ((𝑁 · 𝑚) + (𝑁 · 1)))
106	102	mulridd 11232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
107	106	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · 𝑚) + (𝑁 · 1)) = ((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))
108	105, 107	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) = ((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))
109	108	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) = ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁)))
110	109	sumeq1d 15758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
111		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) = ((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))
112	111	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁)))
113	112	sumeq1d 15758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
114		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (0..^𝑘) = (0..^𝑁))
115	114	sumeq1d 15758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
116	113, 115	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
117	83	nn0zd 12622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
118	117	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
119		nn0z 12621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → 𝑘 ∈ ℤ)
120		zaddcl 12640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ)
121	117, 119, 120	syl2an 607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ)
122		peano2zm 12643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ → (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) ∈ ℤ)
123	121, 122	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) ∈ ℤ)
124	34	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
125		elfzelz 13558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
126	125	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
127	30, 31, 32, 33, 124, 126	dchrzrhcl 27420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
128		2fveq3 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
129	118, 118, 123, 127, 128	fsumshftm 15839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑖 ∈ (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)))(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
130		fzoval 13695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1)))
131	121, 130	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1)))
132	131	sumeq1d 15758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
133	119	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → 𝑘 ∈ ℤ)
134		fzoval 13695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (0..^𝑘) = (0...(𝑘 − 1)))
135	133, 134	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (0..^𝑘) = (0...(𝑘 − 1)))
136	118	zcnd 12707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
137	136	subidd 11563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚)) = 0)
138	121	zcnd 12707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℂ)
139		1cnd 11208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → 1 ∈ ℂ)
140	138, 139, 136	sub32d 11607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)) = ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − (𝑁 · 𝑚)) − 1))
141		nn0cn 12520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → 𝑘 ∈ ℂ)
142	141	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → 𝑘 ∈ ℂ)
143	136, 142	pncan2d 11577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − (𝑁 · 𝑚)) = 𝑘)
144	143	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − (𝑁 · 𝑚)) − 1) = (𝑘 − 1))
145	140, 144	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)) = (𝑘 − 1))
146	137, 145	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚))) = (0...(𝑘 − 1)))
147	135, 146	eqtr4d 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (0..^𝑘) = (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚))))
148	147	sumeq1d 15758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = Σ𝑖 ∈ (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)))(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
149	129, 132, 148	3eqtr4d 2807	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
150	3	nnzd 12623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
151		nn0z 12621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → 𝑚 ∈ ℤ)
152		dvdsmul1 16341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
153	150, 151, 152	syl2an 607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
154	153	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
155		elfzoelz 13694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑘) → 𝑖 ∈ ℤ)
156	155	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑖 ∈ ℤ)
157	156	zcnd 12707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑖 ∈ ℂ)
158	136	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
159	157, 158	pncan2d 11577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖) = (𝑁 · 𝑚))
160	154, 159	breqtrrd 5138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑁 ∥ ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖))
161	76	nnnn0d 12571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
162	161	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
163		zaddcl 12640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ) → (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) ∈ ℤ)
164	155, 118, 163	syl2anr 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) ∈ ℤ)
165	31, 33	zndvds 21710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚))) = (𝐿‘𝑖) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖)))
166	162, 164, 156, 165	syl3anc 1397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → ((𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚))) = (𝐿‘𝑖) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖)))
167	160, 166	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚))) = (𝐿‘𝑖))
168	167	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = (𝑋‘(𝐿‘𝑖)))
169	168	sumeq2dv 15760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑖)))
170		2fveq3 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑋‘(𝐿‘𝑖)) = (𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
171	170	cbvsumv 15754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑖)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))
172	169, 171	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
173	149, 172	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
174	173	ralrimiva 3156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → ∀𝑘 ∈ ℕ₀ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
175	116, 174, 161	rspcdva 3581	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
176		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = (𝐿‘𝑛) → (𝑋‘𝑘) = (𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
177	3	nnne0d 12292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
178		ifnefalse 4498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
179	177, 178	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
180		fzofi 14017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
181	179, 180	eqeltrdi 2870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ∈ Fin)
182		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
183	33	reseq1i 5973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) = ((ℤRHom‘𝑍) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
184		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
185	31, 182, 183, 184	znf1o 21712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑍))
186	4, 185	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑍))
187		fvres 6900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → ((𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))‘𝑛) = (𝐿‘𝑛))
188	187	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) → ((𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))‘𝑛) = (𝐿‘𝑛))
189	30, 31, 32, 182, 34	dchrf 27417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
190	189	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋‘𝑘) ∈ ℂ)
191	176, 181, 186, 188, 190	fsumf1o 15781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋‘𝑘) = Σ𝑛 ∈ if (𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
192		rpvmasum.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 = (0_g‘𝐺)
193	30, 31, 32, 192, 34, 182	dchrsum 27444	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋‘𝑘) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))
194		dchrisum.n1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
195		ifnefalse 4498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 ≠ 1 → if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0) = 0)
196	194, 195	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0) = 0)
197	193, 196	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋‘𝑘) = 0)
198	179	sumeq1d 15758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ if (𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
199	191, 197, 198	3eqtr3rd 2806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)
200	199	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)
201	110, 175, 200	3eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)
202	201	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = (0 + 0))
203		00id 11391	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 0) = 0
204	202, 203	eqtr2di 2814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 0 = (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
205	101, 204	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0 ↔ (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
206	68, 205	imbitrrid 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0))
207	206	expcom 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)))
208	207	a2d 30	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0) → (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)))
209	44, 49, 54, 59, 67, 208	nn0ind 12697	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ₀ → (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0))
210	209	impcom 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)
211	15, 210	syldan 602	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)
212		modval 13911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) → (𝑈 mod 𝑁) = (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))))
213	7, 10, 212	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (𝑈 mod 𝑁) = (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))))
214	213	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))))
215	16	nn0cnd 12573	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℂ)
216		nn0cn 12520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ ℕ₀ → 𝑈 ∈ ℂ)
217	216	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → 𝑈 ∈ ℂ)
218	215, 217	pncan3d 11578	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))) = 𝑈)
219	214, 218	eqtr2d 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → 𝑈 = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))
220	219	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁))))
221	220	sumeq1d 15758	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
222		nn0z 12621	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ ℕ₀ → 𝑈 ∈ ℤ)
223		zmodcl 13931	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ ℕ₀)
224	222, 3, 223	syl2anr 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ ℕ₀)
225	174	ralrimiva 3156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ₀ ∀𝑘 ∈ ℕ₀ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
226	225	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → ∀𝑚 ∈ ℕ₀ ∀𝑘 ∈ ℕ₀ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
227		oveq2 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (𝑁 · 𝑚) = (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))
228	227	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))
229	227, 228	oveq12d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘)))
230	229	sumeq1d 15758	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
231	230	eqeq1d 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
232		oveq2 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))
233	232	oveq2d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘)) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁))))
234	233	sumeq1d 15758	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
235		oveq2 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → (0..^𝑘) = (0..^(𝑈 mod 𝑁)))
236	235	sumeq1d 15758	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
237	234, 236	eqeq12d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → (Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
238	231, 237	rspc2va 3592	. . . . . . 7 ⊢ ((((⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑈 mod 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ₀ ∀𝑘 ∈ ℕ₀ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
239	15, 224, 226, 238	syl21anc 850	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
240	221, 239	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
241	211, 240	oveq12d 7430	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = (0 + Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
242		fzofi 14017	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(𝑈 mod 𝑁)) ∈ Fin
243	242	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (0..^(𝑈 mod 𝑁)) ∈ Fin)
244	34	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
245		elfzoelz 13694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
246	245	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))) → 𝑛 ∈ ℤ)
247	30, 31, 32, 33, 244, 246	dchrzrhcl 27420	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
248	243, 247	fsumcl 15791	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
249	248	addlidd 11417	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (0 + Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
250	39, 241, 249	3eqtrd 2801	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
251	250	fveq2d 6885	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
252		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → (0..^𝑢) = (0..^(𝑈 mod 𝑁)))
253	252	sumeq1d 15758	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
254	253	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
255	254	breq1d 5118	. . 3 ⊢ (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅))
256		dchrisum.10	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
257	256	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
258		zmodfzo 13934	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
259	222, 3, 258	syl2anr 608	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
260	255, 257, 259	rspcdva 3581	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
261	251, 260	eqbrtrd 5132	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 400 ∧ w3a 1102 = wceq 1569 ∈ wcel 2142 ≠ wne 2957 ∀wral 3078 ∪ cun 3902 ∩ cin 3903 ∅c0 4285 ifcif 4486 class class class wbr 5108 ↦ cmpt 5191 ↾ cres 5662 –1-1-onto→wf1o 6535 ‘cfv 6536 (class class class)co 7412 Fincfn 8941 ℂcc 11104 ℝcr 11105 0cc0 11106 1c1 11107 + caddc 11109 · cmul 11111 < clt 11249 ≤ cle 11250 − cmin 11447 / cdiv 11877 ℕcn 12239 ℕ₀cn0 12510 ℤcz 12597 ℤ_≥cuz 12868 ℝ⁺crp 13022 ...cfz 13541 ..^cfzo 13689 ⌊cfl 13830 mod cmo 13909 abscabs 15292 ⇝_𝑟 crli 15543 Σcsu 15744 ∥ cdvds 16316 ϕcphi 16829 Basecbs 17275 0_gc0g 17498 ℤRHomczrh 21660 ℤ/nℤczn 21663 DChrcdchr 27407

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1824 ax-4 1838 ax-5 1939 ax-6 1996 ax-7 2037 ax-8 2144 ax-9 2152 ax-10 2175 ax-11 2191 ax-12 2212 ax-ext 2734 ax-rep 5237 ax-sep 5256 ax-nul 5268 ax-pow 5335 ax-pr 5403 ax-un 7734 ax-inf2 9608 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 ax-pre-sup 11184 ax-addf 11185 ax-mulf 11186

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1103 df-3an 1104 df-tru 1572 df-fal 1582 df-ex 1809 df-nf 1813 df-sb 2096 df-mo 2566 df-eu 2596 df-clab 2741 df-cleq 2754 df-clel 2837 df-nfc 2911 df-ne 2958 df-nel 3064 df-ral 3079 df-rex 3089 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3416 df-v 3456 df-sbc 3744 df-csb 3853 df-dif 3907 df-un 3909 df-in 3911 df-ss 3921 df-pss 3924 df-nul 4286 df-if 4487 df-pw 4563 df-sn 4589 df-pr 4591 df-tp 4593 df-op 4595 df-uni 4872 df-int 4912 df-iun 4957 df-br 5109 df-opab 5173 df-mpt 5192 df-tr 5218 df-id 5555 df-eprel 5560 df-po 5568 df-so 5569 df-fr 5613 df-se 5614 df-we 5615 df-xp 5666 df-rel 5667 df-cnv 5668 df-co 5669 df-dm 5670 df-rn 5671 df-res 5672 df-ima 5673 df-pred 6302 df-ord 6363 df-on 6364 df-lim 6365 df-suc 6366 df-iota 6492 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-isom 6545 df-riota 7369 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-of 7676 df-om 7861 df-1st 7984 df-2nd 7985 df-tpos 8220 df-frecs 8276 df-wrecs 8307 df-recs 8356 df-rdg 8395 df-1o 8451 df-oadd 8455 df-er 8692 df-ec 8694 df-qs 8698 df-map 8824 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-sup 9400 df-inf 9401 df-oi 9470 df-card 9932 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11449 df-neg 11450 df-div 11878 df-nn 12240 df-2 12309 df-3 12310 df-4 12311 df-5 12312 df-6 12313 df-7 12314 df-8 12315 df-9 12316 df-n0 12511 df-xnn0 12584 df-z 12598 df-dec 12718 df-uz 12869 df-rp 13023 df-fz 13542 df-fzo 13690 df-fl 13832 df-mod 13910 df-seq 14045 df-exp 14105 df-hash 14374 df-cj 15157 df-re 15158 df-im 15159 df-sqrt 15293 df-abs 15294 df-clim 15546 df-sum 15745 df-dvds 16317 df-gcd 16559 df-phi 16831 df-struct 17213 df-sets 17230 df-slot 17248 df-ndx 17260 df-base 17276 df-ress 17297 df-plusg 17329 df-mulr 17330 df-starv 17331 df-sca 17332 df-vsca 17333 df-ip 17334 df-tset 17335 df-ple 17336 df-ds 17338 df-unif 17339 df-0g 17500 df-imas 17568 df-qus 17569 df-mgm 18704 df-sgrp 18783 df-mnd 18799 df-mhm 18847 df-grp 19009 df-minusg 19010 df-sbg 19011 df-mulg 19140 df-subg 19195 df-nsg 19196 df-eqg 19197 df-ghm 19290 df-cmn 19858 df-abl 19859 df-mgp 20223 df-rng 20237 df-ur 20270 df-ring 20323 df-cring 20324 df-oppr 20426 df-dvdsr 20446 df-unit 20447 df-invr 20477 df-rhm 20561 df-subrng 20656 df-subrg 20680 df-lmod 20994 df-lss 21064 df-lsp 21104 df-sra 21305 df-rgmod 21306 df-lidl 21343 df-rsp 21344 df-2idl 21400 df-cnfld 21534 df-zring 21608 df-zrh 21664 df-zn 21667 df-dchr 27408

This theorem is used by: dchrisumlem2 27665

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