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Theorem dchrisumlem1 27534
Description: Lemma for dchrisum 27537. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrisum.2 (𝑛 = 𝑥𝐴 = 𝐵)
dchrisum.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
dchrisum.4 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
dchrisum.5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
dchrisum.6 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
dchrisum.7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · 𝐴))
dchrisum.9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
dchrisum.10 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dchrisumlem1 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝑥   1 ,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑢,𝑥   𝑥,𝐴   𝑛,𝑁,𝑢,𝑥   𝜑,𝑛,𝑢,𝑥   𝑅,𝑛,𝑢,𝑥   𝑈,𝑛,𝑢,𝑥   𝐵,𝑛   𝑛,𝑍,𝑥   𝐷,𝑛,𝑥   𝑛,𝐿,𝑢,𝑥   𝑛,𝑀,𝑢,𝑥   𝑛,𝑋,𝑢,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑢,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑢)   𝐷(𝑢)   1 (𝑢)   𝐺(𝑥,𝑢,𝑛)   𝑍(𝑢)

Proof of Theorem dchrisumlem1
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzodisj 13734 . . . . . 6 ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∩ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)) = ∅
21a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∩ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)) = ∅)
3 rpvmasum.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
43nnnn0d 12589 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
54adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6 nn0re 12537 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ ℕ0𝑈 ∈ ℝ)
76adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 𝑈 ∈ ℝ)
83adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
97, 8nndivred 12321 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ)
108nnrpd 13076 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
11 nn0ge0 12553 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑈)
1211adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑈)
137, 10, 12divge0d 13118 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑈 / 𝑁))
14 flge0nn0 13861 . . . . . . . . 9 (((𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑈 / 𝑁)) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ0)
159, 13, 14syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ0)
165, 15nn0mulcld 12594 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℕ0)
17 flle 13840 . . . . . . . . 9 ((𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ≤ (𝑈 / 𝑁))
189, 17syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ≤ (𝑈 / 𝑁))
19 reflcl 13837 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℝ)
209, 19syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℝ)
2120, 7, 10lemuldiv2d 13128 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈 ↔ (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ≤ (𝑈 / 𝑁)))
2218, 21mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈)
23 fznn0 13660 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ ℕ0 → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈) ↔ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈)))
2423adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈) ↔ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈)))
2516, 22, 24mpbir2and 713 . . . . . 6 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈))
26 fzosplit 13733 . . . . . 6 ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈) → (0..^𝑈) = ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∪ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)))
2725, 26syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (0..^𝑈) = ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∪ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)))
28 fzofi 14016 . . . . . 6 (0..^𝑈) ∈ Fin
2928a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (0..^𝑈) ∈ Fin)
30 rpvmasum.g . . . . . 6 𝐺 = (DChr‘𝑁)
31 rpvmasum.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
32 rpvmasum.d . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐺)
33 rpvmasum.l . . . . . 6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
34 dchrisum.b . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐷)
3534ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑈)) → 𝑋𝐷)
36 elfzoelz 13700 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0..^𝑈) → 𝑛 ∈ ℤ)
3736adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑈)) → 𝑛 ∈ ℤ)
3830, 31, 32, 33, 35, 37dchrzrhcl 27290 . . . . 5 (((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑈)) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
392, 27, 29, 38fsumsplit 15778 . . . 4 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛))))
40 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · 0))
4140oveq2d 7448 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · 0)))
4241sumeq1d 15737 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
4342eqeq1d 2738 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0))
4443imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)))
45 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚 → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · 𝑚))
4645oveq2d 7448 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · 𝑚)))
4746sumeq1d 15737 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
4847eqeq1d 2738 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0))
4948imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)))
50 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑚 + 1) → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · (𝑚 + 1)))
5150oveq2d 7448 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑚 + 1) → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))))
5251sumeq1d 15737 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑚 + 1) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
5352eqeq1d 2738 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑚 + 1) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0))
5453imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)))
55 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))
5655oveq2d 7448 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))))
5756sumeq1d 15737 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
5857eqeq1d 2738 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0))
5958imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)))
603nncnd 12283 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
6160mul01d 11461 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 · 0) = 0)
6261oveq2d 7448 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0..^(𝑁 · 0)) = (0..^0))
63 fzo0 13724 . . . . . . . . . . 11 (0..^0) = ∅
6462, 63eqtrdi 2792 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0..^(𝑁 · 0)) = ∅)
6564sumeq1d 15737 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ∅ (𝑋‘(𝐿𝑛)))
66 sum0 15758 . . . . . . . . 9 Σ𝑛 ∈ ∅ (𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0
6765, 66eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)
68 oveq1 7439 . . . . . . . . . . 11 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛))) = (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
69 fzodisj 13734 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∩ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) = ∅
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∩ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) = ∅)
71 nn0re 12537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℝ)
7271adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℝ)
7372lep1d 12200 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ≤ (𝑚 + 1))
74 peano2re 11435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
7572, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
763adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
7776nnred 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
7876nngt0d 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑁)
79 lemul2 12121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (𝑚 ≤ (𝑚 + 1) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
8072, 75, 77, 78, 79syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 ≤ (𝑚 + 1) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
8173, 80mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1)))
82 nn0mulcl 12564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℕ0)
834, 82sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℕ0)
84 nn0uz 12921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (ℤ‘0)
8583, 84eleqtrdi 2850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ (ℤ‘0))
86 nn0p1nn 12567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
87 nnmulcl 12291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
883, 86, 87syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
8988nnzd 12642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℤ)
90 elfz5 13557 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 · 𝑚) ∈ (ℤ‘0) ∧ (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
9185, 89, 90syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
9281, 91mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))))
93 fzosplit 13733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))) → (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) = ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∪ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))))
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) = ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∪ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))))
95 fzofi 14016 . . . . . . . . . . . . . 14 (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) ∈ Fin
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) ∈ Fin)
9734ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) → 𝑋𝐷)
98 elfzoelz 13700 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
9998adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℤ)
10030, 31, 32, 33, 97, 99dchrzrhcl 27290 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
10170, 94, 96, 100fsumsplit 15778 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
10276nncnd 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
10372recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
104 1cnd 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
105102, 103, 104adddid 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) = ((𝑁 · 𝑚) + (𝑁 · 1)))
106102mulridd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
107106oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚) + (𝑁 · 1)) = ((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))
108105, 107eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) = ((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))
109108oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) = ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁)))
110109sumeq1d 15737 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
111 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) = ((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))
112111oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁)))
113112sumeq1d 15737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑁 → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
114 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑁 → (0..^𝑘) = (0..^𝑁))
115114sumeq1d 15737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑁 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
116113, 115eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑁 → (Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿𝑛))))
11783nn0zd 12641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
118117adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
119 nn0z 12640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
120 zaddcl 12659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ)
121117, 119, 120syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ)
122 peano2zm 12662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ → (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) ∈ ℤ)
123121, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) ∈ ℤ)
12434ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))) → 𝑋𝐷)
125 elfzelz 13565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
126125adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
12730, 31, 32, 33, 124, 126dchrzrhcl 27290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
128 2fveq3 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
129118, 118, 123, 127, 128fsumshftm 15818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑖 ∈ (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)))(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
130 fzoval 13701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1)))
131121, 130syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1)))
132131sumeq1d 15737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
133119adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
134 fzoval 13701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → (0..^𝑘) = (0...(𝑘 − 1)))
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0..^𝑘) = (0...(𝑘 − 1)))
136118zcnd 12725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
137136subidd 11609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚)) = 0)
138121zcnd 12725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℂ)
139 1cnd 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
140138, 139, 136sub32d 11653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)) = ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − (𝑁 · 𝑚)) − 1))
141 nn0cn 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
142141adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
143136, 142pncan2d 11623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − (𝑁 · 𝑚)) = 𝑘)
144143oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − (𝑁 · 𝑚)) − 1) = (𝑘 − 1))
145140, 144eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)) = (𝑘 − 1))
146137, 145oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚))) = (0...(𝑘 − 1)))
147135, 146eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0..^𝑘) = (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚))))
148147sumeq1d 15737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = Σ𝑖 ∈ (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)))(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
149129, 132, 1483eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
1503nnzd 12642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
151 nn0z 12640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℤ)
152 dvdsmul1 16316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
153150, 151, 152syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
154153ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
155 elfzoelz 13700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 ∈ (0..^𝑘) → 𝑖 ∈ ℤ)
156155adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑖 ∈ ℤ)
157156zcnd 12725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑖 ∈ ℂ)
158136adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
159157, 158pncan2d 11623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖) = (𝑁 · 𝑚))
160154, 159breqtrrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑁 ∥ ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖))
16176nnnn0d 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
162161ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
163 zaddcl 12659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ) → (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) ∈ ℤ)
164155, 118, 163syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) ∈ ℤ)
16531, 33zndvds 21569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚))) = (𝐿𝑖) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖)))
166162, 164, 156, 165syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → ((𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚))) = (𝐿𝑖) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖)))
167160, 166mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚))) = (𝐿𝑖))
168167fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = (𝑋‘(𝐿𝑖)))
169168sumeq2dv 15739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑖)))
170 2fveq3 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝑛 → (𝑋‘(𝐿𝑖)) = (𝑋‘(𝐿𝑛)))
171170cbvsumv 15733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑖)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛))
172169, 171eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
173149, 172eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
174173ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
175116, 174, 161rspcdva 3622 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
176 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = (𝐿𝑛) → (𝑋𝑘) = (𝑋‘(𝐿𝑛)))
1773nnne0d 12317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑁 ≠ 0)
178 ifnefalse 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ≠ 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
179177, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
180 fzofi 14016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0..^𝑁) ∈ Fin
181179, 180eqeltrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ∈ Fin)
182 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
18333reseq1i 5992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) = ((ℤRHom‘𝑍) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
184 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
18531, 182, 183, 184znf1o 21571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑍))
1864, 185syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑍))
187 fvres 6924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → ((𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))‘𝑛) = (𝐿𝑛))
188187adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) → ((𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))‘𝑛) = (𝐿𝑛))
18930, 31, 32, 182, 34dchrf 27287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
190189ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
191176, 181, 186, 188, 190fsumf1o 15760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑘) = Σ𝑛 ∈ if (𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
192 rpvmasum.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 = (0g𝐺)
19330, 31, 32, 192, 34, 182dchrsum 27314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑘) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))
194 dchrisum.n1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋1 )
195 ifnefalse 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋1 → if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0) = 0)
196194, 195syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0) = 0)
197193, 196eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑘) = 0)
198179sumeq1d 15737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ if (𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
199191, 197, 1983eqtr3rd 2785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)
200199adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)
201110, 175, 2003eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)
202201oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛))) = (0 + 0))
203 00id 11437 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 0) = 0
204202, 203eqtr2di 2793 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 0 = (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
205101, 204eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 ↔ (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛))) = (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
20668, 205imbitrrid 246 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0))
207206expcom 413 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)))
208207a2d 29 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0) → (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)))
20944, 49, 54, 59, 67, 208nn0ind 12715 . . . . . . 7 ((⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ0 → (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0))
210209impcom 407 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)
21115, 210syldan 591 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)
212 modval 13912 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝑈 mod 𝑁) = (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))))
2137, 10, 212syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑈 mod 𝑁) = (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))))
214213oveq2d 7448 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))))
21516nn0cnd 12591 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℂ)
216 nn0cn 12538 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ ℕ0𝑈 ∈ ℂ)
217216adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 𝑈 ∈ ℂ)
218215, 217pncan3d 11624 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))) = 𝑈)
219214, 218eqtr2d 2777 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 𝑈 = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))
220219oveq2d 7448 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁))))
221220sumeq1d 15737 . . . . . 6 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
222 nn0z 12640 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ ℕ0𝑈 ∈ ℤ)
223 zmodcl 13932 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
224222, 3, 223syl2anr 597 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
225174ralrimiva 3145 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0 Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
226225adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ∀𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0 Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
227 oveq2 7440 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (𝑁 · 𝑚) = (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))
228227oveq1d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))
229227, 228oveq12d 7450 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘)))
230229sumeq1d 15737 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
231230eqeq1d 2738 . . . . . . . 8 (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛))))
232 oveq2 7440 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))
233232oveq2d 7448 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘)) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁))))
234233sumeq1d 15737 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
235 oveq2 7440 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → (0..^𝑘) = (0..^(𝑈 mod 𝑁)))
236235sumeq1d 15737 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
237234, 236eqeq12d 2752 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → (Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
238231, 237rspc2va 3633 . . . . . . 7 ((((⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑈 mod 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0 Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛))) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
23915, 224, 226, 238syl21anc 837 . . . . . 6 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
240221, 239eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
241211, 240oveq12d 7450 . . . 4 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛))) = (0 + Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
242 fzofi 14016 . . . . . . 7 (0..^(𝑈 mod 𝑁)) ∈ Fin
243242a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑈 mod 𝑁)) ∈ Fin)
24434ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))) → 𝑋𝐷)
245 elfzoelz 13700 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
246245adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))) → 𝑛 ∈ ℤ)
24730, 31, 32, 33, 244, 246dchrzrhcl 27290 . . . . . 6 (((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
248243, 247fsumcl 15770 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
249248addlidd 11463 . . . 4 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (0 + Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
25039, 241, 2493eqtrd 2780 . . 3 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
251250fveq2d 6909 . 2 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
252 oveq2 7440 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → (0..^𝑢) = (0..^(𝑈 mod 𝑁)))
253252sumeq1d 15737 . . . . 5 (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
254253fveq2d 6909 . . . 4 (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
255254breq1d 5152 . . 3 (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅))
256 dchrisum.10 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
257256adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
258 zmodfzo 13935 . . . 4 ((𝑈 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
259222, 3, 258syl2anr 597 . . 3 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
260255, 257, 259rspcdva 3622 . 2 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
261251, 260eqbrtrd 5164 1 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  cun 3948  cin 3949  c0 4332  ifcif 4524   class class class wbr 5142  cmpt 5224  cres 5686  1-1-ontowf1o 6559  cfv 6560  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493   / cdiv 11921  cn 12267  0cn0 12528  cz 12615  cuz 12879  +crp 13035  ...cfz 13548  ..^cfzo 13695  cfl 13831   mod cmo 13910  abscabs 15274  𝑟 crli 15522  Σcsu 15723  cdvds 16291  ϕcphi 16802  Basecbs 17248  0gc0g 17485  ℤRHomczrh 21511  ℤ/nczn 21514  DChrcdchr 27277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235  ax-mulf 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-oadd 8511  df-er 8746  df-ec 8748  df-qs 8752  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-dvds 16292  df-gcd 16533  df-phi 16804  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17487  df-imas 17554  df-qus 17555  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-nsg 19143  df-eqg 19144  df-ghm 19232  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-cring 20234  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-rhm 20473  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-lidl 21219  df-rsp 21220  df-2idl 21261  df-cnfld 21366  df-zring 21459  df-zrh 21515  df-zn 21518  df-dchr 27278
This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  27535
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