Theorem modgcd 16569

Description: The gcd remains unchanged if one operand is replaced with its remainder modulo the other. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
modgcd	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁))

Proof of Theorem modgcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12617	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2		nnrp 13046	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
3		modval 13911	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝑀 mod 𝑁) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 mod 𝑁) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
5		zcn 12618	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
7		nncn 12274	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
8	7	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
9		nnre 12273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
10		nnne0 12300	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
11		redivcl 11986	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
12	1, 9, 10, 11	syl3an 1161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
13	12	3anidm23 1423	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
14	13	flcld 13838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ)
15	14	zcnd 12723	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ)
16		mulneg1 11699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁) = -((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁))
17		mulcom 11241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁) = (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
18	17	negeqd 11502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → -((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁) = -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
19	16, 18	eqtrd 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁) = -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
20	19	ancoms 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ) → (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁) = -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
21	20	3adant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ) → (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁) = -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
22	21	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ) → (𝑀 + (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁)) = (𝑀 + -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
23		mulcl 11239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ) → (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) ∈ ℂ)
24		negsub 11557	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) ∈ ℂ) → (𝑀 + -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
25	23, 24	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ)) → (𝑀 + -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
26	25	3impb 1115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ) → (𝑀 + -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
27	22, 26	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ) → (𝑀 + (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁)) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
28	6, 8, 15, 27	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁)) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
29	4, 28	eqtr4d 2780	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 mod 𝑁) = (𝑀 + (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁)))
30	29	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 gcd (𝑀 mod 𝑁)) = (𝑁 gcd (𝑀 + (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁))))
31	14	znegcld 12724	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ)
32		nnz 12634	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
33	32	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
34		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
35		gcdaddm 16562	. . . 4 ⊢ ((-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑁 gcd (𝑀 + (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁))))
36	31, 33, 34, 35	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑁 gcd (𝑀 + (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁))))
37	30, 36	eqtr4d 2780	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 gcd (𝑀 mod 𝑁)) = (𝑁 gcd 𝑀))
38		zmodcl 13931	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
39	38	nn0zd 12639	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 mod 𝑁) ∈ ℤ)
40	33, 39	gcdcomd 16551	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 gcd (𝑀 mod 𝑁)) = ((𝑀 mod 𝑁) gcd 𝑁))
41	33, 34	gcdcomd 16551	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝑁))
42	37, 40, 41	3eqtr3d 2785	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158   · cmul 11160   − cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  ℕcn 12266  ℤcz 12613  ℝ⁺crp 13034  ⌊cfl 13830   mod cmo 13909   gcd cgcd 16531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532

This theorem is referenced by:  eucalginv  16621  phimullem  16816  eulerthlem1  16818  pockthlem  16943  gcdmodi  17112  proththd  47601