Theorem modgcd 16710

Description: The gcd remains unchanged if one operand is replaced with its remainder modulo the other. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
modgcd	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁))

Proof of Theorem modgcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12700	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2		nnrp 13135	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
3		modval 14014	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝑀 mod 𝑁) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
4	1, 2, 3	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 mod 𝑁) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
5		zcn 12701	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
6	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
7		nncn 12346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
8	7	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
9		nnre 12345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
10		nnne0 12375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
11		redivcl 12039	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
12	1, 9, 10, 11	syl3an 1178	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
13	12	3anidm23 1448	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
14	13	flcld 13941	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ)
15	14	zcnd 12807	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ)
16		mulneg1 11755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ( -(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁) = -((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁))
17		mulcom 11289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁) = (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
18	17	negeqd 11554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → -((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁) = -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
19	16, 18	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ( -(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁) = -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
20	19	ancoms 464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ) → ( -(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁) = -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
21	20	3adant1 1148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ) → ( -(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁) = -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
22	21	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ) → (𝑀 + ( -(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁)) = (𝑀 + -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
23		mulcl 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ) → (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) ∈ ℂ)
24		negsub 11609	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) ∈ ℂ) → (𝑀 + -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
25	23, 24	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ)) → (𝑀 + -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
26	25	3impb 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ) → (𝑀 + -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
27	22, 26	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ) → (𝑀 + ( -(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁)) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
28	6, 8, 15, 27	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + ( -(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁)) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
29	4, 28	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 mod 𝑁) = (𝑀 + ( -(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁)))
30	29	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 gcd (𝑀 mod 𝑁)) = (𝑁 gcd (𝑀 + ( -(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁))))
31	14	znegcld 12808	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ)
32		nnz 12717	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
33	32	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
34		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
35		gcdaddm 16702	. . . 4 ⊢ (( -(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑁 gcd (𝑀 + ( -(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁))))
36	31, 33, 34, 35	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑁 gcd (𝑀 + ( -(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁))))
37	30, 36	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 gcd (𝑀 mod 𝑁)) = (𝑁 gcd 𝑀))
38		zmodcl 14034	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
39	38	nn0zd 12721	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 mod 𝑁) ∈ ℤ)
40	33, 39	gcdcomd 16691	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 gcd (𝑀 mod 𝑁)) = ((𝑀 mod 𝑁) gcd 𝑁))
41	33, 34	gcdcomd 16691	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝑁))
42	37, 40, 41	3eqtr3d 2803	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  ℝcr 11202  0cc0 11203   + caddc 11206   · cmul 11208   − cmin 11544   -cneg 11545   / cdiv 11976  ℕcn 12338  ℤcz 12696  ℝ⁺crp 13123  ⌊cfl 13933   mod cmo 14012   gcd cgcd 16669

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fl 13935  df-mod 14013  df-seq 14148  df-exp 14208  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-dvds 16428  df-gcd 16670

This theorem is used by:  eucalginv  16764  phimullem  16961  eulerthlem1  16963  pockthlem  17088  gcdmodi  17257  proththd  48792