Theorem modgcd 16542

Description: The gcd remains unchanged if one operand is replaced with its remainder modulo the other. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
modgcd	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁))

Proof of Theorem modgcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12562	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2		nnrp 12995	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
3		modval 13871	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝑀 mod 𝑁) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
4	1, 2, 3	syl2an 604	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 mod 𝑁) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
5		zcn 12563	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
6	5	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
7		nncn 12208	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
8	7	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
9		nnre 12207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
10		nnne0 12237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
11		redivcl 11900	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
12	1, 9, 10, 11	syl3an 1169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
13	12	3anidm23 1436	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
14	13	flcld 13798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ)
15	14	zcnd 12668	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ)
16		mulneg1 11613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁) = -((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁))
17		mulcom 11149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁) = (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
18	17	negeqd 11414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → -((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁) = -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
19	16, 18	eqtrd 2791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁) = -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
20	19	ancoms 461	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ) → (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁) = -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
21	20	3adant1 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ) → (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁) = -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
22	21	oveq2d 7401	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ) → (𝑀 + (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁)) = (𝑀 + -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
23		mulcl 11147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ) → (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) ∈ ℂ)
24		negsub 11469	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) ∈ ℂ) → (𝑀 + -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
25	23, 24	sylan2 601	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ)) → (𝑀 + -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
26	25	3impb 1123	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ) → (𝑀 + -(𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
27	22, 26	eqtrd 2791	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ) → (𝑀 + (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁)) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
28	6, 8, 15, 27	syl3anc 1386	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁)) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))))
29	4, 28	eqtr4d 2794	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 mod 𝑁) = (𝑀 + (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁)))
30	29	oveq2d 7401	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 gcd (𝑀 mod 𝑁)) = (𝑁 gcd (𝑀 + (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁))))
31	14	znegcld 12669	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ)
32		nnz 12579	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
33	32	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
34		simpl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
35		gcdaddm 16535	. . . 4 ⊢ ((-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑁 gcd (𝑀 + (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁))))
36	31, 33, 34, 35	syl3anc 1386	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑁 gcd (𝑀 + (-(⌊‘(𝑀 / 𝑁)) · 𝑁))))
37	30, 36	eqtr4d 2794	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 gcd (𝑀 mod 𝑁)) = (𝑁 gcd 𝑀))
38		zmodcl 13891	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
39	38	nn0zd 12583	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 mod 𝑁) ∈ ℤ)
40	33, 39	gcdcomd 16524	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 gcd (𝑀 mod 𝑁)) = ((𝑀 mod 𝑁) gcd 𝑁))
41	33, 34	gcdcomd 16524	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝑁))
42	37, 40, 41	3eqtr3d 2799	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2951  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  ℂcc 11061  ℝcr 11062  0cc0 11063   + caddc 11066   · cmul 11068   − cmin 11404  -cneg 11405   / cdiv 11834  ℕcn 12200  ℤcz 12558  ℝ⁺crp 12983  ⌊cfl 13790   mod cmo 13869   gcd cgcd 16504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-rp 12984  df-fl 13792  df-mod 13870  df-seq 14005  df-exp 14065  df-cj 15102  df-re 15103  df-im 15104  df-sqrt 15238  df-abs 15239  df-dvds 16263  df-gcd 16505

This theorem is referenced by:  eucalginv  16594  phimullem  16790  eulerthlem1  16792  pockthlem  16917  gcdmodi  17086  proththd  48171