Theorem zringlpirlem3 21475

Description: Lemma for zringlpir 21478. All elements of a nonzero ideal of integers are divided by the least one. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
zringlpirlem.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
zringlpirlem.n0	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ {0})
zringlpirlem.g	⊢ 𝐺 = inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < )
zringlpirlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
zringlpirlem3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∥ 𝑋)

Proof of Theorem zringlpirlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringlpirlem.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
2		zringbas 21464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
3		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
4	2, 3	lidlss 21222	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring) → 𝐼 ⊆ ℤ)
5	1, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ ℤ)
6		zringlpirlem.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
7	5, 6	sseldd 3984	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
8	7	zred 12722	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
9		zringlpirlem.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < )
10		inss2 4238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∩ ℕ) ⊆ ℕ
11		nnuz 12921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
12	10, 11	sseqtri 4032	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∩ ℕ) ⊆ (ℤ≥‘1)
13		zringlpirlem.n0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ {0})
14	1, 13	zringlpirlem1 21473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅)
15		infssuzcl 12974	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∩ ℕ) ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅) → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
16	12, 14, 15	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
17	9, 16	eqeltrid 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
18	17	elin2d 4205	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ)
19	18	nnrpd 13075	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ+)
20		modlt 13920	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝐺) < 𝐺)
21	8, 19, 20	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) < 𝐺)
22	7, 18	zmodcld 13932	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ0)
23	22	nn0red 12588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℝ)
24	18	nnred 12281	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
25	23, 24	ltnled 11408	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 mod 𝐺) < 𝐺 ↔ ¬ 𝐺 ≤ (𝑋 mod 𝐺)))
26	21, 25	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐺 ≤ (𝑋 mod 𝐺))
27	7	zcnd 12723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
28	18	nncnd 12282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
29	8, 18	nndivred 12320	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝐺) ∈ ℝ)
30	29	flcld 13838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℤ)
31	30	zcnd 12723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℂ)
32	28, 31	mulcld 11281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺))) ∈ ℂ)
33	27, 32	negsubd 11626	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + -(𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))) = (𝑋 − (𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))))
34	30	znegcld 12724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → -(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℤ)
35	34	zcnd 12723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℂ)
36	35, 28	mulcomd 11282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) = (𝐺 · -(⌊‘(𝑋 / 𝐺))))
37	28, 31	mulneg2d 11717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐺 · -(⌊‘(𝑋 / 𝐺))) = -(𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺))))
38	36, 37	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) = -(𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺))))
39	38	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺)) = (𝑋 + -(𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))))
40		modval 13911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝐺) = (𝑋 − (𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))))
41	8, 19, 40	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) = (𝑋 − (𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))))
42	33, 39, 41	3eqtr4rd 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) = (𝑋 + (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺)))
43		zringring 21460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤring ∈ Ring
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
45	1, 13, 9	zringlpirlem2 21474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐼)
46		zringmulr 21468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.r‘ℤring)
47	3, 2, 46	lidlmcl 21235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring)) ∧ (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℤ ∧ 𝐺 ∈ 𝐼)) → (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) ∈ 𝐼)
48	44, 1, 34, 45, 47	syl22anc 839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) ∈ 𝐼)
49		zringplusg 21465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+g‘ℤring)
50	3, 49	lidlacl 21231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) ∈ 𝐼)) → (𝑋 + (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺)) ∈ 𝐼)
51	44, 1, 6, 48, 50	syl22anc 839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺)) ∈ 𝐼)
52	42, 51	eqeltrd 2841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) ∈ 𝐼)
53	52	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → (𝑋 mod 𝐺) ∈ 𝐼)
54		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ)
55	53, 54	elind 4200	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → (𝑋 mod 𝐺) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
56		infssuzle 12973	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∩ ℕ) ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ (𝐼 ∩ ℕ)) → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ≤ (𝑋 mod 𝐺))
57	12, 55, 56	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ≤ (𝑋 mod 𝐺))
58	9, 57	eqbrtrid 5178	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → 𝐺 ≤ (𝑋 mod 𝐺))
59	26, 58	mtand 816	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ)
60		elnn0 12528	. . . 4 ⊢ ((𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ ∨ (𝑋 mod 𝐺) = 0))
61	22, 60	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ ∨ (𝑋 mod 𝐺) = 0))
62		orel1 889	. . 3 ⊢ (¬ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ → (((𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ ∨ (𝑋 mod 𝐺) = 0) → (𝑋 mod 𝐺) = 0))
63	59, 61, 62	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) = 0)
64		dvdsval3 16294	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝐺 ∥ 𝑋 ↔ (𝑋 mod 𝐺) = 0))
65	18, 7, 64	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∥ 𝑋 ↔ (𝑋 mod 𝐺) = 0))
66	63, 65	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∥ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  infcinf 9481  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ℝ⁺crp 13034  ⌊cfl 13830   mod cmo 13909   ∥ cdvds 16290  Ringcrg 20230  LIdealclidl 21216  ℤ_ringczring 21457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-cnfld 21365  df-zring 21458

This theorem is referenced by:  zringlpir  21478