Theorem zringlpirlem3 21377

Description: Lemma for zringlpir 21380. All elements of a nonzero ideal of integers are divided by the least one. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
zringlpirlem.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
zringlpirlem.n0	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ {0})
zringlpirlem.g	⊢ 𝐺 = inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < )
zringlpirlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
zringlpirlem3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∥ 𝑋)

Proof of Theorem zringlpirlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringlpirlem.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
2		zringbas 21366	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
3		eqid 2727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
4	2, 3	lidlss 21097	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring) → 𝐼 ⊆ ℤ)
5	1, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ ℤ)
6		zringlpirlem.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
7	5, 6	sseldd 3979	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
8	7	zred 12688	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
9		zringlpirlem.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < )
10		inss2 4225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∩ ℕ) ⊆ ℕ
11		nnuz 12887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
12	10, 11	sseqtri 4014	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∩ ℕ) ⊆ (ℤ≥‘1)
13		zringlpirlem.n0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ {0})
14	1, 13	zringlpirlem1 21375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅)
15		infssuzcl 12938	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∩ ℕ) ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅) → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
16	12, 14, 15	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
17	9, 16	eqeltrid 2832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
18	17	elin2d 4195	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ)
19	18	nnrpd 13038	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ+)
20		modlt 13869	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝐺) < 𝐺)
21	8, 19, 20	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) < 𝐺)
22	7, 18	zmodcld 13881	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ0)
23	22	nn0red 12555	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℝ)
24	18	nnred 12249	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
25	23, 24	ltnled 11383	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 mod 𝐺) < 𝐺 ↔ ¬ 𝐺 ≤ (𝑋 mod 𝐺)))
26	21, 25	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐺 ≤ (𝑋 mod 𝐺))
27	7	zcnd 12689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
28	18	nncnd 12250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
29	8, 18	nndivred 12288	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝐺) ∈ ℝ)
30	29	flcld 13787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℤ)
31	30	zcnd 12689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℂ)
32	28, 31	mulcld 11256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺))) ∈ ℂ)
33	27, 32	negsubd 11599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + -(𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))) = (𝑋 − (𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))))
34	30	znegcld 12690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → -(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℤ)
35	34	zcnd 12689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℂ)
36	35, 28	mulcomd 11257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) = (𝐺 · -(⌊‘(𝑋 / 𝐺))))
37	28, 31	mulneg2d 11690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐺 · -(⌊‘(𝑋 / 𝐺))) = -(𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺))))
38	36, 37	eqtrd 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) = -(𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺))))
39	38	oveq2d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺)) = (𝑋 + -(𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))))
40		modval 13860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝐺) = (𝑋 − (𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))))
41	8, 19, 40	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) = (𝑋 − (𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))))
42	33, 39, 41	3eqtr4rd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) = (𝑋 + (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺)))
43		zringring 21362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤring ∈ Ring
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
45	1, 13, 9	zringlpirlem2 21376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐼)
46		zringmulr 21370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.r‘ℤring)
47	3, 2, 46	lidlmcl 21110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring)) ∧ (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℤ ∧ 𝐺 ∈ 𝐼)) → (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) ∈ 𝐼)
48	44, 1, 34, 45, 47	syl22anc 838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) ∈ 𝐼)
49		zringplusg 21367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+g‘ℤring)
50	3, 49	lidlacl 21106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) ∈ 𝐼)) → (𝑋 + (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺)) ∈ 𝐼)
51	44, 1, 6, 48, 50	syl22anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺)) ∈ 𝐼)
52	42, 51	eqeltrd 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) ∈ 𝐼)
53	52	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → (𝑋 mod 𝐺) ∈ 𝐼)
54		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ)
55	53, 54	elind 4190	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → (𝑋 mod 𝐺) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
56		infssuzle 12937	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∩ ℕ) ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ (𝐼 ∩ ℕ)) → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ≤ (𝑋 mod 𝐺))
57	12, 55, 56	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ≤ (𝑋 mod 𝐺))
58	9, 57	eqbrtrid 5177	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → 𝐺 ≤ (𝑋 mod 𝐺))
59	26, 58	mtand 815	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ)
60		elnn0 12496	. . . 4 ⊢ ((𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ ∨ (𝑋 mod 𝐺) = 0))
61	22, 60	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ ∨ (𝑋 mod 𝐺) = 0))
62		orel1 887	. . 3 ⊢ (¬ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ → (((𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ ∨ (𝑋 mod 𝐺) = 0) → (𝑋 mod 𝐺) = 0))
63	59, 61, 62	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) = 0)
64		dvdsval3 16226	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝐺 ∥ 𝑋 ↔ (𝑋 mod 𝐺) = 0))
65	18, 7, 64	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∥ 𝑋 ↔ (𝑋 mod 𝐺) = 0))
66	63, 65	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∥ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944  ∅c0 4318  {csn 4624   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  infcinf 9456  ℝcr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   · cmul 11135   < clt 11270   ≤ cle 11271   − cmin 11466  -cneg 11467   / cdiv 11893  ℕcn 12234  ℕ₀cn0 12494  ℤcz 12580  ℤ_≥cuz 12844  ℝ⁺crp 12998  ⌊cfl 13779   mod cmo 13858   ∥ cdvds 16222  Ringcrg 20164  LIdealclidl 21091  ℤ_ringczring 21359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209  ax-mulf 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-dvds 16223  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-0g 17414  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-subg 19069  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-lidl 21093  df-cnfld 21267  df-zring 21360

This theorem is referenced by:  zringlpir  21380