Theorem zringlpirlem3 21518

Description: Lemma for zringlpir 21521. All elements of a nonzero ideal of integers are divided by the least one. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
zringlpirlem.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
zringlpirlem.n0	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ {0})
zringlpirlem.g	⊢ 𝐺 = inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < )
zringlpirlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
zringlpirlem3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∥ 𝑋)

Proof of Theorem zringlpirlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringlpirlem.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
2		zringbas 21507	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
3		eqid 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
4	2, 3	lidlss 21284	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring) → 𝐼 ⊆ ℤ)
5	1, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ ℤ)
6		zringlpirlem.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
7	5, 6	sseldd 3939	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
8	7	zred 12679	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
9		zringlpirlem.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < )
10		inss2 4191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∩ ℕ) ⊆ ℕ
11		nnuz 12880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
12	10, 11	sseqtri 3986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∩ ℕ) ⊆ (ℤ≥‘1)
13		zringlpirlem.n0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ {0})
14	1, 13	zringlpirlem1 21516	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅)
15		infssuzcl 12935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∩ ℕ) ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅) → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
16	12, 14, 15	sylancr 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
17	9, 16	eqeltrid 2868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
18	17	elin2d 4159	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ)
19	18	nnrpd 13037	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ+)
20		modlt 13892	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝐺) < 𝐺)
21	8, 19, 20	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) < 𝐺)
22	7, 18	zmodcld 13904	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ0)
23	22	nn0red 12545	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℝ)
24	18	nnred 12227	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
25	23, 24	ltnled 11332	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 mod 𝐺) < 𝐺 ↔ ¬ 𝐺 ≤ (𝑋 mod 𝐺)))
26	21, 25	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐺 ≤ (𝑋 mod 𝐺))
27	7	zcnd 12680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
28	18	nncnd 12228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
29	8, 18	nndivred 12269	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝐺) ∈ ℝ)
30	29	flcld 13810	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℤ)
31	30	zcnd 12680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℂ)
32	28, 31	mulcld 11204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺))) ∈ ℂ)
33	27, 32	negsubd 11550	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + -(𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))) = (𝑋 − (𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))))
34	30	znegcld 12681	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → -(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℤ)
35	34	zcnd 12680	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℂ)
36	35, 28	mulcomd 11205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) = (𝐺 · -(⌊‘(𝑋 / 𝐺))))
37	28, 31	mulneg2d 11643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐺 · -(⌊‘(𝑋 / 𝐺))) = -(𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺))))
38	36, 37	eqtrd 2799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) = -(𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺))))
39	38	oveq2d 7414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺)) = (𝑋 + -(𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))))
40		modval 13883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝐺) = (𝑋 − (𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))))
41	8, 19, 40	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) = (𝑋 − (𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))))
42	33, 39, 41	3eqtr4rd 2810	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) = (𝑋 + (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺)))
43		zringring 21503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤring ∈ Ring
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
45	1, 13, 9	zringlpirlem2 21517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐼)
46		zringmulr 21511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.r‘ℤring)
47	3, 2, 46	lidlmcl 21297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring)) ∧ (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℤ ∧ 𝐺 ∈ 𝐼)) → (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) ∈ 𝐼)
48	44, 1, 34, 45, 47	syl22anc 849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) ∈ 𝐼)
49		zringplusg 21508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+g‘ℤring)
50	3, 49	lidlacl 21293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) ∈ 𝐼)) → (𝑋 + (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺)) ∈ 𝐼)
51	44, 1, 6, 48, 50	syl22anc 849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺)) ∈ 𝐼)
52	42, 51	eqeltrd 2864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) ∈ 𝐼)
53	52	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → (𝑋 mod 𝐺) ∈ 𝐼)
54		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ)
55	53, 54	elind 4154	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → (𝑋 mod 𝐺) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
56		infssuzle 12934	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∩ ℕ) ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ (𝐼 ∩ ℕ)) → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ≤ (𝑋 mod 𝐺))
57	12, 55, 56	sylancr 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ≤ (𝑋 mod 𝐺))
58	9, 57	eqbrtrid 5137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → 𝐺 ≤ (𝑋 mod 𝐺))
59	26, 58	mtand 825	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ)
60		elnn0 12485	. . . 4 ⊢ ((𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ ∨ (𝑋 mod 𝐺) = 0))
61	22, 60	sylib 220	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ ∨ (𝑋 mod 𝐺) = 0))
62		orel1 899	. . 3 ⊢ (¬ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ → (((𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ ∨ (𝑋 mod 𝐺) = 0) → (𝑋 mod 𝐺) = 0))
63	59, 61, 62	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) = 0)
64		dvdsval3 16292	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝐺 ∥ 𝑋 ↔ (𝑋 mod 𝐺) = 0))
65	18, 7, 64	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∥ 𝑋 ↔ (𝑋 mod 𝐺) = 0))
66	63, 65	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∥ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  {csn 4584   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  infcinf 9389  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   < clt 11218   ≤ cle 11219   − cmin 11416  -cneg 11417   / cdiv 11846  ℕcn 12212  ℕ₀cn0 12483  ℤcz 12570  ℤ_≥cuz 12841  ℝ⁺crp 12995  ⌊cfl 13802   mod cmo 13881   ∥ cdvds 16288  Ringcrg 20285  LIdealclidl 21278  ℤ_ringczring 21500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-rp 12996  df-fz 13515  df-fl 13804  df-mod 13882  df-seq 14017  df-exp 14077  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-dvds 16289  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-starv 17303  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-ip 17306  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-unif 17311  df-0g 17472  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-sbg 18982  df-subg 19167  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201  df-ur 20234  df-ring 20287  df-cring 20288  df-subrng 20598  df-subrg 20622  df-lmod 20931  df-lss 21001  df-sra 21242  df-rgmod 21243  df-lidl 21280  df-cnfld 21427  df-zring 21501

This theorem is referenced by:  zringlpir  21521