MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringlpirlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zringlpirlem3 21475
Description: Lemma for zringlpir 21478. All elements of a nonzero ideal of integers are divided by the least one. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
zringlpirlem.i (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
zringlpirlem.n0 (𝜑𝐼 ≠ {0})
zringlpirlem.g 𝐺 = inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < )
zringlpirlem.x (𝜑𝑋𝐼)
Assertion
Ref Expression
zringlpirlem3 (𝜑𝐺𝑋)

Proof of Theorem zringlpirlem3
StepHypRef Expression
1 zringlpirlem.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
2 zringbas 21464 . . . . . . . . . 10 ℤ = (Base‘ℤring)
3 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
42, 3lidlss 21222 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring) → 𝐼 ⊆ ℤ)
51, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ⊆ ℤ)
6 zringlpirlem.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐼)
75, 6sseldd 3984 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
87zred 12722 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
9 zringlpirlem.g . . . . . . . . 9 𝐺 = inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < )
10 inss2 4238 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∩ ℕ) ⊆ ℕ
11 nnuz 12921 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
1210, 11sseqtri 4032 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∩ ℕ) ⊆ (ℤ‘1)
13 zringlpirlem.n0 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 ≠ {0})
141, 13zringlpirlem1 21473 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅)
15 infssuzcl 12974 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∩ ℕ) ⊆ (ℤ‘1) ∧ (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅) → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
1612, 14, 15sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
179, 16eqeltrid 2845 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
1817elin2d 4205 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ ℕ)
1918nnrpd 13075 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ ℝ+)
20 modlt 13920 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝐺) < 𝐺)
218, 19, 20syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) < 𝐺)
227, 18zmodcld 13932 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ0)
2322nn0red 12588 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℝ)
2418nnred 12281 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ ℝ)
2523, 24ltnled 11408 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 mod 𝐺) < 𝐺 ↔ ¬ 𝐺 ≤ (𝑋 mod 𝐺)))
2621, 25mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐺 ≤ (𝑋 mod 𝐺))
277zcnd 12723 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
2818nncnd 12282 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
298, 18nndivred 12320 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 / 𝐺) ∈ ℝ)
3029flcld 13838 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℤ)
3130zcnd 12723 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℂ)
3228, 31mulcld 11281 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺))) ∈ ℂ)
3327, 32negsubd 11626 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + -(𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))) = (𝑋 − (𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))))
3430znegcld 12724 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℤ)
3534zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℂ)
3635, 28mulcomd 11282 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) = (𝐺 · -(⌊‘(𝑋 / 𝐺))))
3728, 31mulneg2d 11717 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐺 · -(⌊‘(𝑋 / 𝐺))) = -(𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺))))
3836, 37eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) = -(𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺))))
3938oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺)) = (𝑋 + -(𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))))
40 modval 13911 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝐺) = (𝑋 − (𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))))
418, 19, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) = (𝑋 − (𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))))
4233, 39, 413eqtr4rd 2788 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) = (𝑋 + (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺)))
43 zringring 21460 . . . . . . . . . . 11 ring ∈ Ring
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
451, 13, 9zringlpirlem2 21474 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺𝐼)
46 zringmulr 21468 . . . . . . . . . . . 12 · = (.r‘ℤring)
473, 2, 46lidlmcl 21235 . . . . . . . . . . 11 (((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring)) ∧ (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℤ ∧ 𝐺𝐼)) → (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) ∈ 𝐼)
4844, 1, 34, 45, 47syl22anc 839 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) ∈ 𝐼)
49 zringplusg 21465 . . . . . . . . . . 11 + = (+g‘ℤring)
503, 49lidlacl 21231 . . . . . . . . . 10 (((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring)) ∧ (𝑋𝐼 ∧ (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) ∈ 𝐼)) → (𝑋 + (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺)) ∈ 𝐼)
5144, 1, 6, 48, 50syl22anc 839 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 + (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺)) ∈ 𝐼)
5242, 51eqeltrd 2841 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) ∈ 𝐼)
5352adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → (𝑋 mod 𝐺) ∈ 𝐼)
54 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ)
5553, 54elind 4200 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → (𝑋 mod 𝐺) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
56 infssuzle 12973 . . . . . 6 (((𝐼 ∩ ℕ) ⊆ (ℤ‘1) ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ (𝐼 ∩ ℕ)) → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ≤ (𝑋 mod 𝐺))
5712, 55, 56sylancr 587 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ≤ (𝑋 mod 𝐺))
589, 57eqbrtrid 5178 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → 𝐺 ≤ (𝑋 mod 𝐺))
5926, 58mtand 816 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ)
60 elnn0 12528 . . . 4 ((𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ ∨ (𝑋 mod 𝐺) = 0))
6122, 60sylib 218 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ ∨ (𝑋 mod 𝐺) = 0))
62 orel1 889 . . 3 (¬ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ → (((𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ ∨ (𝑋 mod 𝐺) = 0) → (𝑋 mod 𝐺) = 0))
6359, 61, 62sylc 65 . 2 (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) = 0)
64 dvdsval3 16294 . . 3 ((𝐺 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝐺𝑋 ↔ (𝑋 mod 𝐺) = 0))
6518, 7, 64syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑋 ↔ (𝑋 mod 𝐺) = 0))
6663, 65mpbird 257 1 (𝜑𝐺𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cin 3950  wss 3951  c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  infcinf 9481  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  cfl 13830   mod cmo 13909  cdvds 16290  Ringcrg 20230  LIdealclidl 21216  ringczring 21457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-cnfld 21365  df-zring 21458
This theorem is referenced by:  zringlpir  21478
  Copyright terms: Public domain W3C validator