Theorem moddi 13512

Description: Distribute multiplication over a modulo operation. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
moddi	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝐵 mod 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) mod (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem moddi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 12596	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant1 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		recn 10819	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4	3	3ad2ant2 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		rpre 12594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ ℝ)
6	5	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
7		refldivcl 13398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℝ)
8	6, 7	remulcld 10863	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℝ)
9	8	recnd 10861	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℂ)
10	9	3adant1 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℂ)
11	2, 4, 10	subdid 11288	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))))
12		rpcnne0 12604	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
13	12	3ad2ant3 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
14		rpcnne0 12604	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
15	14	3ad2ant1 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
16		divcan5 11534	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶)) = (𝐵 / 𝐶))
17	4, 13, 15, 16	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶)) = (𝐵 / 𝐶))
18	17	fveq2d 6721	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶))) = (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))
19	18	oveq2d 7229	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶)))) = ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))
20		rpcn 12596	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ ℂ)
21	20	3ad2ant3 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
22		rerpdivcl 12616	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ)
23		reflcl 13371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℝ)
24	23	recnd 10861	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℂ)
25	22, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℂ)
26	25	3adant1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℂ)
27	2, 21, 26	mulassd 10856	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) = (𝐴 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))))
28	19, 27	eqtr2d 2778	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))) = ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶)))))
29	28	oveq2d 7229	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) = ((𝐴 · 𝐵) − ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶))))))
30	11, 29	eqtrd 2777	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) = ((𝐴 · 𝐵) − ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶))))))
31		modval 13444	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐶) = (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))))
32	31	3adant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐶) = (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))))
33	32	oveq2d 7229	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝐵 mod 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))))
34		rpre 12594	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
35		remulcl 10814	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
36	34, 35	sylan 583	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
37	36	3adant3 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
38		rpmulcl 12609	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ+)
39		modval 13444	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝐵) mod (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶))))))
40	37, 38, 39	3imp3i2an 1347	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝐵) mod (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶))))))
41	30, 33, 40	3eqtr4d 2787	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝐵 mod 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) mod (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  ℝcr 10728  0cc0 10729   · cmul 10734   − cmin 11062   / cdiv 11489  ℝ⁺crp 12586  ⌊cfl 13365   mod cmo 13442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fl 13367  df-mod 13443

This theorem is referenced by:  dirkertrigeq  43317