Theorem moddi 13874

Description: Distribute multiplication over a modulo operation. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
moddi	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝐵 mod 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) mod (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem moddi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 12928	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		recn 11128	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4	3	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		rpre 12926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ ℝ)
6	5	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
7		refldivcl 13755	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℝ)
8	6, 7	remulcld 11174	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11172	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℂ)
10	9	3adant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℂ)
11	2, 4, 10	subdid 11605	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))))
12		rpcnne0 12936	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
13	12	3ad2ant3 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
14		rpcnne0 12936	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
15	14	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
16		divcan5 11855	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶)) = (𝐵 / 𝐶))
17	4, 13, 15, 16	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶)) = (𝐵 / 𝐶))
18	17	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶))) = (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))
19	18	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶)))) = ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))
20		rpcn 12928	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ ℂ)
21	20	3ad2ant3 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
22		rerpdivcl 12949	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ)
23		reflcl 13728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℝ)
24	23	recnd 11172	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℂ)
25	22, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℂ)
26	25	3adant1 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℂ)
27	2, 21, 26	mulassd 11167	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) = (𝐴 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))))
28	19, 27	eqtr2d 2773	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))) = ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶)))))
29	28	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) = ((𝐴 · 𝐵) − ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶))))))
30	11, 29	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) = ((𝐴 · 𝐵) − ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶))))))
31		modval 13803	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐶) = (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))))
32	31	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐶) = (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))))
33	32	oveq2d 7384	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝐵 mod 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))))
34		rpre 12926	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
35		remulcl 11123	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
36	34, 35	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
37	36	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
38		rpmulcl 12942	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ+)
39		modval 13803	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝐵) mod (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶))))))
40	37, 38, 39	3imp3i2an 1347	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝐵) mod (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶))))))
41	30, 33, 40	3eqtr4d 2782	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝐵 mod 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) mod (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038   · cmul 11043   − cmin 11376   / cdiv 11806  ℝ⁺crp 12917  ⌊cfl 13722   mod cmo 13801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fl 13724  df-mod 13802

This theorem is referenced by:  dirkertrigeq  46448