Theorem moddi 13856

Description: Distribute multiplication over a modulo operation. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
moddi	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝐵 mod 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) mod (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem moddi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 12911	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		recn 11106	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4	3	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		rpre 12909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ ℝ)
6	5	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
7		refldivcl 13737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℝ)
8	6, 7	remulcld 11152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11150	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℂ)
10	9	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℂ)
11	2, 4, 10	subdid 11583	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))))
12		rpcnne0 12919	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
13	12	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
14		rpcnne0 12919	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
15	14	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
16		divcan5 11833	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶)) = (𝐵 / 𝐶))
17	4, 13, 15, 16	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶)) = (𝐵 / 𝐶))
18	17	fveq2d 6835	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶))) = (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))
19	18	oveq2d 7371	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶)))) = ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))
20		rpcn 12911	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ ℂ)
21	20	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
22		rerpdivcl 12932	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ)
23		reflcl 13710	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℝ)
24	23	recnd 11150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℂ)
25	22, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℂ)
26	25	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℂ)
27	2, 21, 26	mulassd 11145	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) = (𝐴 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))))
28	19, 27	eqtr2d 2769	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))) = ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶)))))
29	28	oveq2d 7371	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) = ((𝐴 · 𝐵) − ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶))))))
30	11, 29	eqtrd 2768	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) = ((𝐴 · 𝐵) − ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶))))))
31		modval 13785	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐶) = (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))))
32	31	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐶) = (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))))
33	32	oveq2d 7371	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝐵 mod 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))))
34		rpre 12909	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
35		remulcl 11101	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
36	34, 35	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
37	36	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
38		rpmulcl 12925	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ+)
39		modval 13785	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝐵) mod (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶))))))
40	37, 38, 39	3imp3i2an 1346	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝐵) mod (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − ((𝐴 · 𝐶) · (⌊‘((𝐴 · 𝐵) / (𝐴 · 𝐶))))))
41	30, 33, 40	3eqtr4d 2778	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝐵 mod 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) mod (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℂcc 11014  ℝcr 11015  0cc0 11016   · cmul 11021   − cmin 11354   / cdiv 11784  ℝ⁺crp 12900  ⌊cfl 13704   mod cmo 13783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-rp 12901  df-fl 13706  df-mod 13784

This theorem is referenced by:  dirkertrigeq  46213