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Theorem prmdiv 16761
Description: Show an explicit expression for the modular inverse of 𝐴 mod 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
prmdiv.1 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
Assertion
Ref Expression
prmdiv ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))

Proof of Theorem prmdiv
StepHypRef Expression
1 nprmdvds1 16684 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
213ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ¬ 𝑃 ∥ 1)
3 prmz 16653 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
433ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℤ)
5 simp2 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
6 phiprm 16753 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
763ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
8 prmnn 16652 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
983ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℕ)
10 nnm1nn0 12551 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
127, 11eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ0)
13 zexpcl 14081 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ)
145, 12, 13syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ)
15 1z 12630 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
16 zsubcl 12642 . . . . . . . . . 10 (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) ∈ ℤ)
1714, 15, 16sylancl 584 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) ∈ ℤ)
18 prmuz2 16674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
19183ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
20 uznn0sub 12899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)
22 zexpcl 14081 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
235, 21, 22syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
2423zred 12704 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ)
2524, 9nndivred 12304 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃) ∈ ℝ)
2625flcld 13803 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)) ∈ ℤ)
275, 26zmulcld 12710 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))) ∈ ℤ)
284, 27zmulcld 12710 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))) ∈ ℤ)
295, 4gcdcomd 16496 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴 gcd 𝑃) = (𝑃 gcd 𝐴))
30 coprm 16689 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
3130biimp3a 1465 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 gcd 𝐴) = 1)
3229, 31eqtrd 2768 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴 gcd 𝑃) = 1)
33 eulerth 16759 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
349, 5, 32, 33syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
35 1zzd 12631 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 1 ∈ ℤ)
36 moddvds 16249 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1)))
379, 14, 35, 36syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1)))
3834, 37mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1))
39 dvdsmul1 16262 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))))
404, 27, 39syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∥ (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))))
414, 17, 28, 38, 40dvds2subd 16277 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∥ (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
425zcnd 12705 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
4323zcnd 12705 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℂ)
444, 26zmulcld 12710 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))) ∈ ℤ)
4544zcnd 12705 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))) ∈ ℂ)
4642, 43, 45subdid 11708 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) − (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))) = ((𝐴 · (𝐴↑(𝑃 − 2))) − (𝐴 · (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
47 prmdiv.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
489nnrpd 13054 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℝ+)
49 modval 13876 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) − (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))))
5024, 48, 49syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) − (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))))
5147, 50eqtrid 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) − (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))))
5251oveq2d 7442 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴 · 𝑅) = (𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) − (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
53 2m1e1 12376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 − 1) = 1
5453oveq2i 7437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 − (2 − 1)) = (𝑃 − 1)
557, 54eqtr4di 2786 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − (2 − 1)))
569nncnd 12266 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℂ)
57 2cnd 12328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 2 ∈ ℂ)
58 1cnd 11247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 1 ∈ ℂ)
5956, 57, 58subsubd 11637 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 − (2 − 1)) = ((𝑃 − 2) + 1))
6055, 59eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (ϕ‘𝑃) = ((𝑃 − 2) + 1))
6160oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) = (𝐴↑((𝑃 − 2) + 1)))
6242, 21expp1d 14151 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑((𝑃 − 2) + 1)) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) · 𝐴))
6343, 42mulcomd 11273 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐴↑(𝑃 − 2))))
6461, 62, 633eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) = (𝐴 · (𝐴↑(𝑃 − 2))))
6526zcnd 12705 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)) ∈ ℂ)
6656, 42, 65mul12d 11461 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))) = (𝐴 · (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))))
6764, 66oveq12d 7444 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))) = ((𝐴 · (𝐴↑(𝑃 − 2))) − (𝐴 · (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
6846, 52, 673eqtr4d 2778 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴 · 𝑅) = ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
6968oveq1d 7441 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴 · 𝑅) − 1) = (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))) − 1))
7014zcnd 12705 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℂ)
7128zcnd 12705 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))) ∈ ℂ)
7270, 71, 58sub32d 11641 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))) − 1) = (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
7369, 72eqtrd 2768 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴 · 𝑅) − 1) = (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
7441, 73breqtrrd 5180 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1))
75 oveq2 7434 . . . . . . . . 9 (𝑅 = 0 → (𝐴 · 𝑅) = (𝐴 · 0))
7675oveq1d 7441 . . . . . . . 8 (𝑅 = 0 → ((𝐴 · 𝑅) − 1) = ((𝐴 · 0) − 1))
7776breq2d 5164 . . . . . . 7 (𝑅 = 0 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 0) − 1)))
7874, 77syl5ibcom 244 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑅 = 0 → 𝑃 ∥ ((𝐴 · 0) − 1)))
7942mul01d 11451 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴 · 0) = 0)
8079oveq1d 7441 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴 · 0) − 1) = (0 − 1))
81 df-neg 11485 . . . . . . . . 9 -1 = (0 − 1)
8280, 81eqtr4di 2786 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴 · 0) − 1) = -1)
8382breq2d 5164 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 0) − 1) ↔ 𝑃 ∥ -1))
84 dvdsnegb 16258 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ -1))
854, 15, 84sylancl 584 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ -1))
8683, 85bitr4d 281 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 0) − 1) ↔ 𝑃 ∥ 1))
8778, 86sylibd 238 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑅 = 0 → 𝑃 ∥ 1))
882, 87mtod 197 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ¬ 𝑅 = 0)
89 zmodfz 13898 . . . . . . . 8 (((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
9023, 9, 89syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
9147, 90eqeltrid 2833 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)))
92 nn0uz 12902 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
9311, 92eleqtrdi 2839 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘0))
94 elfzp12 13620 . . . . . . 7 ((𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘0) → (𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1)))))
9593, 94syl 17 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1)))))
9691, 95mpbid 231 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1))))
9796ord 862 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (¬ 𝑅 = 0 → 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1))))
9888, 97mpd 15 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1)))
99 1e0p1 12757 . . . 4 1 = (0 + 1)
10099oveq1i 7436 . . 3 (1...(𝑃 − 1)) = ((0 + 1)...(𝑃 − 1))
10198, 100eleqtrrdi 2840 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
102101, 74jca 510 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5152  cfv 6553  (class class class)co 7426  cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   · cmul 11151  cmin 11482  -cneg 11483   / cdiv 11909  cn 12250  2c2 12305  0cn0 12510  cz 12596  cuz 12860  +crp 13014  ...cfz 13524  cfl 13795   mod cmo 13874  cexp 14066  cdvds 16238   gcd cgcd 16476  cprime 16649  ϕcphi 16740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-dvds 16239  df-gcd 16477  df-prm 16650  df-phi 16742
This theorem is referenced by:  prmdiveq  16762  prmdivdiv  16763  modprminv  16775  wilthlem2  27021  wilthlem3  27022
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