MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdiv 16759
Description: Show an explicit expression for the modular inverse of ๐ด mod ๐‘ƒ. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
prmdiv.1 ๐‘… = ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
prmdiv ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘… โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1)))

Proof of Theorem prmdiv
StepHypRef Expression
1 nprmdvds1 16682 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 1)
213ad2ant1 1130 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 1)
3 prmz 16651 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
433ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
5 simp2 1134 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
6 phiprm 16751 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
763ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
8 prmnn 16650 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
983ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
10 nnm1nn0 12549 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
127, 11eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„•0)
13 zexpcl 14079 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ค)
145, 12, 13syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ค)
15 1z 12628 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„ค
16 zsubcl 12640 . . . . . . . . . 10 (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
1714, 15, 16sylancl 584 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
18 prmuz2 16672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
19183ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
20 uznn0sub 12897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 2) โˆˆ โ„•0)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 2) โˆˆ โ„•0)
22 zexpcl 14079 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒ โˆ’ 2) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) โˆˆ โ„ค)
235, 21, 22syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) โˆˆ โ„ค)
2423zred 12702 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) โˆˆ โ„)
2524, 9nndivred 12302 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„)
2625flcld 13801 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ค)
275, 26zmulcld 12708 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ด ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ))) โˆˆ โ„ค)
284, 27zmulcld 12708 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ ยท (๐ด ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ)))) โˆˆ โ„ค)
295, 4gcdcomd 16494 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ด gcd ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ gcd ๐ด))
30 coprm 16687 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†” (๐‘ƒ gcd ๐ด) = 1))
3130biimp3a 1465 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ gcd ๐ด) = 1)
3229, 31eqtrd 2767 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1)
33 eulerth 16757 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ))
349, 5, 32, 33syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ))
35 1zzd 12629 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
36 moddvds 16247 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ 1)))
379, 14, 35, 36syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ 1)))
3834, 37mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ 1))
39 dvdsmul1 16260 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ))) โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ ยท (๐ด ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ)))))
404, 27, 39syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ ยท (๐ด ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ)))))
414, 17, 28, 38, 40dvds2subd 16275 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ 1) โˆ’ (๐‘ƒ ยท (๐ด ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ))))))
425zcnd 12703 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4323zcnd 12703 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) โˆˆ โ„‚)
444, 26zmulcld 12708 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ))) โˆˆ โ„ค)
4544zcnd 12703 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ))) โˆˆ โ„‚)
4642, 43, 45subdid 11706 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ด ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) โˆ’ (๐‘ƒ ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ))))) = ((๐ด ยท (๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2))) โˆ’ (๐ด ยท (๐‘ƒ ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ))))))
47 prmdiv.1 . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘… = ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)
489nnrpd 13052 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
49 modval 13874 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) โˆ’ (๐‘ƒ ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ)))))
5024, 48, 49syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) โˆ’ (๐‘ƒ ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ)))))
5147, 50eqtrid 2779 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘… = ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) โˆ’ (๐‘ƒ ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ)))))
5251oveq2d 7440 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ด ยท ๐‘…) = (๐ด ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) โˆ’ (๐‘ƒ ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ))))))
53 2m1e1 12374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 โˆ’ 1) = 1
5453oveq2i 7435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ƒ โˆ’ (2 โˆ’ 1)) = (๐‘ƒ โˆ’ 1)
557, 54eqtr4di 2785 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ (2 โˆ’ 1)))
569nncnd 12264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
57 2cnd 12326 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
58 1cnd 11245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
5956, 57, 58subsubd 11635 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ (2 โˆ’ 1)) = ((๐‘ƒ โˆ’ 2) + 1))
6055, 59eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) = ((๐‘ƒ โˆ’ 2) + 1))
6160oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) = (๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 2) + 1)))
6242, 21expp1d 14149 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 2) + 1)) = ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) ยท ๐ด))
6343, 42mulcomd 11271 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) ยท ๐ด) = (๐ด ยท (๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2))))
6461, 62, 633eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) = (๐ด ยท (๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2))))
6526zcnd 12703 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ)) โˆˆ โ„‚)
6656, 42, 65mul12d 11459 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ ยท (๐ด ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ)))) = (๐ด ยท (๐‘ƒ ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ)))))
6764, 66oveq12d 7442 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ (๐‘ƒ ยท (๐ด ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ))))) = ((๐ด ยท (๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2))) โˆ’ (๐ด ยท (๐‘ƒ ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ))))))
6846, 52, 673eqtr4d 2777 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ด ยท ๐‘…) = ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ (๐‘ƒ ยท (๐ด ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ))))))
6968oveq1d 7439 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1) = (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ (๐‘ƒ ยท (๐ด ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ))))) โˆ’ 1))
7014zcnd 12703 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„‚)
7128zcnd 12703 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ ยท (๐ด ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ)))) โˆˆ โ„‚)
7270, 71, 58sub32d 11639 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ (๐‘ƒ ยท (๐ด ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ))))) โˆ’ 1) = (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ 1) โˆ’ (๐‘ƒ ยท (๐ด ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ))))))
7369, 72eqtrd 2767 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1) = (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ 1) โˆ’ (๐‘ƒ ยท (๐ด ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ))))))
7441, 73breqtrrd 5178 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1))
75 oveq2 7432 . . . . . . . . 9 (๐‘… = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐‘…) = (๐ด ยท 0))
7675oveq1d 7439 . . . . . . . 8 (๐‘… = 0 โ†’ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1) = ((๐ด ยท 0) โˆ’ 1))
7776breq2d 5162 . . . . . . 7 (๐‘… = 0 โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท 0) โˆ’ 1)))
7874, 77syl5ibcom 244 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘… = 0 โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท 0) โˆ’ 1)))
7942mul01d 11449 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
8079oveq1d 7439 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ด ยท 0) โˆ’ 1) = (0 โˆ’ 1))
81 df-neg 11483 . . . . . . . . 9 -1 = (0 โˆ’ 1)
8280, 81eqtr4di 2785 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ด ยท 0) โˆ’ 1) = -1)
8382breq2d 5162 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท 0) โˆ’ 1) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ -1))
84 dvdsnegb 16256 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ 1 โ†” ๐‘ƒ โˆฅ -1))
854, 15, 84sylancl 584 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ 1 โ†” ๐‘ƒ โˆฅ -1))
8683, 85bitr4d 281 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท 0) โˆ’ 1) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ 1))
8778, 86sylibd 238 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘… = 0 โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ 1))
882, 87mtod 197 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ยฌ ๐‘… = 0)
89 zmodfz 13896 . . . . . . . 8 (((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
9023, 9, 89syl2anc 582 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
9147, 90eqeltrid 2832 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘… โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
92 nn0uz 12900 . . . . . . . 8 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
9311, 92eleqtrdi 2838 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
94 elfzp12 13618 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ (๐‘… โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†” (๐‘… = 0 โˆจ ๐‘… โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))))
9593, 94syl 17 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘… โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†” (๐‘… = 0 โˆจ ๐‘… โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))))
9691, 95mpbid 231 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘… = 0 โˆจ ๐‘… โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ƒ โˆ’ 1))))
9796ord 862 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (ยฌ ๐‘… = 0 โ†’ ๐‘… โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ƒ โˆ’ 1))))
9888, 97mpd 15 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘… โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
99 1e0p1 12755 . . . 4 1 = (0 + 1)
10099oveq1i 7434 . . 3 (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) = ((0 + 1)...(๐‘ƒ โˆ’ 1))
10198, 100eleqtrrdi 2839 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘… โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
102101, 74jca 510 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘… โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5150  โ€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  โ„cr 11143  0cc0 11144  1c1 11145   + caddc 11147   ยท cmul 11149   โˆ’ cmin 11480  -cneg 11481   / cdiv 11907  โ„•cn 12248  2c2 12303  โ„•0cn0 12508  โ„คcz 12594  โ„คโ‰ฅcuz 12858  โ„+crp 13012  ...cfz 13522  โŒŠcfl 13793   mod cmo 13872  โ†‘cexp 14064   โˆฅ cdvds 16236   gcd cgcd 16474  โ„™cprime 16647  ฯ•cphi 16738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-oadd 8495  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-inf 9472  df-dju 9930  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12509  df-xnn0 12581  df-z 12595  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14328  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-dvds 16237  df-gcd 16475  df-prm 16648  df-phi 16740
This theorem is referenced by:  prmdiveq  16760  prmdivdiv  16761  modprminv  16773  wilthlem2  27019  wilthlem3  27020
  Copyright terms: Public domain W3C validator