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Theorem prmdiv 15696
Description: Show an explicit expression for the modular inverse of 𝐴 mod 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
prmdiv.1 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
Assertion
Ref Expression
prmdiv ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))

Proof of Theorem prmdiv
StepHypRef Expression
1 nprmdvds1 15624 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
213ad2ant1 1126 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ¬ 𝑃 ∥ 1)
3 prmnn 15594 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
433ad2ant1 1126 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℕ)
5 simp2 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
6 prmz 15595 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
763ad2ant1 1126 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℤ)
8 gcdcom 15442 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝑃) = (𝑃 gcd 𝐴))
95, 7, 8syl2anc 565 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴 gcd 𝑃) = (𝑃 gcd 𝐴))
10 coprm 15629 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
1110biimp3a 1579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 gcd 𝐴) = 1)
129, 11eqtrd 2804 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴 gcd 𝑃) = 1)
13 eulerth 15694 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
144, 5, 12, 13syl3anc 1475 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
15 phiprm 15688 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
16153ad2ant1 1126 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
17 nnm1nn0 11535 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
184, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
1916, 18eqeltrd 2849 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ0)
20 zexpcl 13081 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ)
215, 19, 20syl2anc 565 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ)
22 1zzd 11609 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 1 ∈ ℤ)
23 moddvds 15199 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1)))
244, 21, 22, 23syl3anc 1475 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1)))
2514, 24mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1))
26 prmuz2 15614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
27263ad2ant1 1126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
28 uznn0sub 11920 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)
30 zexpcl 13081 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
315, 29, 30syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
3231zred 11683 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ)
3332, 4nndivred 11270 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃) ∈ ℝ)
3433flcld 12806 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)) ∈ ℤ)
355, 34zmulcld 11689 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))) ∈ ℤ)
36 dvdsmul1 15211 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))))
377, 35, 36syl2anc 565 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∥ (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))))
38 1z 11608 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
39 zsubcl 11620 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) ∈ ℤ)
4021, 38, 39sylancl 566 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) ∈ ℤ)
417, 35zmulcld 11689 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))) ∈ ℤ)
42 dvds2sub 15224 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))) ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) ∧ 𝑃 ∥ (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))) → 𝑃 ∥ (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))))))
437, 40, 41, 42syl3anc 1475 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝑃 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) ∧ 𝑃 ∥ (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))) → 𝑃 ∥ (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))))))
4425, 37, 43mp2and 671 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∥ (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
455zcnd 11684 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
4631zcnd 11684 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℂ)
477, 34zmulcld 11689 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))) ∈ ℤ)
4847zcnd 11684 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))) ∈ ℂ)
4945, 46, 48subdid 10687 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) − (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))) = ((𝐴 · (𝐴↑(𝑃 − 2))) − (𝐴 · (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
50 prmdiv.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
514nnrpd 12072 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℝ+)
52 modval 12877 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) − (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))))
5332, 51, 52syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) − (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))))
5450, 53syl5eq 2816 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) − (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))))
5554oveq2d 6808 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴 · 𝑅) = (𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) − (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
56 2m1e1 11336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 − 1) = 1
5756oveq2i 6803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 − (2 − 1)) = (𝑃 − 1)
5816, 57syl6eqr 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − (2 − 1)))
594nncnd 11237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℂ)
60 2cnd 11294 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 2 ∈ ℂ)
61 1cnd 10257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 1 ∈ ℂ)
6259, 60, 61subsubd 10621 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 − (2 − 1)) = ((𝑃 − 2) + 1))
6358, 62eqtrd 2804 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (ϕ‘𝑃) = ((𝑃 − 2) + 1))
6463oveq2d 6808 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) = (𝐴↑((𝑃 − 2) + 1)))
6545, 29expp1d 13215 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑((𝑃 − 2) + 1)) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) · 𝐴))
6646, 45mulcomd 10262 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐴↑(𝑃 − 2))))
6764, 65, 663eqtrd 2808 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) = (𝐴 · (𝐴↑(𝑃 − 2))))
6834zcnd 11684 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)) ∈ ℂ)
6959, 45, 68mul12d 10446 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))) = (𝐴 · (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))))
7067, 69oveq12d 6810 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))) = ((𝐴 · (𝐴↑(𝑃 − 2))) − (𝐴 · (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
7149, 55, 703eqtr4d 2814 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴 · 𝑅) = ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
7271oveq1d 6807 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴 · 𝑅) − 1) = (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))) − 1))
7321zcnd 11684 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℂ)
7441zcnd 11684 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))) ∈ ℂ)
7573, 74, 61sub32d 10625 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))) − 1) = (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
7672, 75eqtrd 2804 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴 · 𝑅) − 1) = (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
7744, 76breqtrrd 4812 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1))
78 oveq2 6800 . . . . . . . . 9 (𝑅 = 0 → (𝐴 · 𝑅) = (𝐴 · 0))
7978oveq1d 6807 . . . . . . . 8 (𝑅 = 0 → ((𝐴 · 𝑅) − 1) = ((𝐴 · 0) − 1))
8079breq2d 4796 . . . . . . 7 (𝑅 = 0 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 0) − 1)))
8177, 80syl5ibcom 235 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑅 = 0 → 𝑃 ∥ ((𝐴 · 0) − 1)))
8245mul01d 10436 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴 · 0) = 0)
8382oveq1d 6807 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴 · 0) − 1) = (0 − 1))
84 df-neg 10470 . . . . . . . . 9 -1 = (0 − 1)
8583, 84syl6eqr 2822 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴 · 0) − 1) = -1)
8685breq2d 4796 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 0) − 1) ↔ 𝑃 ∥ -1))
87 dvdsnegb 15207 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ -1))
887, 38, 87sylancl 566 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ -1))
8986, 88bitr4d 271 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 0) − 1) ↔ 𝑃 ∥ 1))
9081, 89sylibd 229 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑅 = 0 → 𝑃 ∥ 1))
912, 90mtod 189 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ¬ 𝑅 = 0)
92 zmodfz 12899 . . . . . . . 8 (((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
9331, 4, 92syl2anc 565 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
9450, 93syl5eqel 2853 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)))
95 nn0uz 11923 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
9618, 95syl6eleq 2859 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘0))
97 elfzp12 12625 . . . . . . 7 ((𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘0) → (𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1)))))
9896, 97syl 17 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1)))))
9994, 98mpbid 222 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1))))
10099ord 844 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (¬ 𝑅 = 0 → 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1))))
10191, 100mpd 15 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1)))
102 1e0p1 11753 . . . 4 1 = (0 + 1)
103102oveq1i 6802 . . 3 (1...(𝑃 − 1)) = ((0 + 1)...(𝑃 − 1))
104101, 103syl6eleqr 2860 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
105104, 77jca 495 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 826  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144   class class class wbr 4784  cfv 6031  (class class class)co 6792  cr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142  cmin 10467  -cneg 10468   / cdiv 10885  cn 11221  2c2 11271  0cn0 11493  cz 11578  cuz 11887  +crp 12034  ...cfz 12532  cfl 12798   mod cmo 12875  cexp 13066  cdvds 15188   gcd cgcd 15423  cprime 15591  ϕcphi 15675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-dvds 15189  df-gcd 15424  df-prm 15592  df-phi 15677
This theorem is referenced by:  prmdiveq  15697  prmdivdiv  15698  modprminv  15710  wilthlem2  25015  wilthlem3  25016
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