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Theorem prmdiv 16869

Description: Show an explicit expression for the modular inverse of 𝐴 mod 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
prmdiv.1	⊢ 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)

**Assertion**
Ref	Expression
prmdiv	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))

**Proof of Theorem prmdiv**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		nprmdvds1 16790	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
2	1	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ¬ 𝑃 ∥ 1)
3		prmz 16758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
4	3	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∈ ℤ)
5		simp2 1155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
6		phiprm 16861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
7	6	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
8		prmnn 16757	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
9	8	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∈ ℕ)
10		nnm1nn0 12563	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ₀)
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ₀)
12	7, 11	eqeltrd 2866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ₀)
13		zexpcl 14132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ)
14	5, 12, 13	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ)
15		1z 12642	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
16		zsubcl 12654	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) ∈ ℤ)
17	14, 15, 16	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) ∈ ℤ)
18		prmuz2 16779	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2))
19	18	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2))
20		uznn0sub 12915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ₀)
21	19, 20	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ₀)
22		zexpcl 14132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
23	5, 21, 22	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
24	23	zred 12718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ)
25	24, 9	nndivred 12308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃) ∈ ℝ)
26	25	flcld 13851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)) ∈ ℤ)
27	5, 26	zmulcld 12724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))) ∈ ℤ)
28	4, 27	zmulcld 12724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))) ∈ ℤ)
29	5, 4	gcdcomd 16597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴 gcd 𝑃) = (𝑃 gcd 𝐴))
30		coprm 16795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
31	30	biimp3a 1498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 gcd 𝐴) = 1)
32	29, 31	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴 gcd 𝑃) = 1)
33		eulerth 16867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
34	9, 5, 32, 33	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
35		1zzd 12643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 1 ∈ ℤ)
36		moddvds 16346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1)))
37	9, 14, 35, 36	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1)))
38	34, 37	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1))
39		dvdsmul1 16360	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))))
40	4, 27, 39	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∥ (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))))
41	4, 17, 28, 38, 40	dvds2subd 16376	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∥ (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
42	5	zcnd 12719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
43	23	zcnd 12719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℂ)
44	4, 26	zmulcld 12724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))) ∈ ℤ)
45	44	zcnd 12719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))) ∈ ℂ)
46	42, 43, 45	subdid 11688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) − (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))) = ((𝐴 · (𝐴↑(𝑃 − 2))) − (𝐴 · (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
47		prmdiv.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
48	9	nnrpd 13076	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∈ ℝ⁺)
49		modval 13924	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ⁺) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) − (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))))
50	24, 48, 49	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) − (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))))
51	47, 50	eqtrid 2813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) − (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))))
52	51	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴 · 𝑅) = (𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) − (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
53		2m1e1 12383	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 − 1) = 1
54	53	oveq2i 7434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 − (2 − 1)) = (𝑃 − 1)
55	7, 54	eqtr4di 2819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − (2 − 1)))
56	9	nncnd 12267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∈ ℂ)
57		2cnd 12337	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 2 ∈ ℂ)
58		1cnd 11220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
59	56, 57, 58	subsubd 11615	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 − (2 − 1)) = ((𝑃 − 2) + 1))
60	55, 59	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (ϕ‘𝑃) = ((𝑃 − 2) + 1))
61	60	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) = (𝐴↑((𝑃 − 2) + 1)))
62	42, 21	expp1d 14203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑((𝑃 − 2) + 1)) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) · 𝐴))
63	43, 42	mulcomd 11248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐴↑(𝑃 − 2))))
64	61, 62, 63	3eqtrd 2805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) = (𝐴 · (𝐴↑(𝑃 − 2))))
65	26	zcnd 12719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)) ∈ ℂ)
66	56, 42, 65	mul12d 11437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))) = (𝐴 · (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))))
67	64, 66	oveq12d 7441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))) = ((𝐴 · (𝐴↑(𝑃 − 2))) − (𝐴 · (𝑃 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
68	46, 52, 67	3eqtr4d 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴 · 𝑅) = ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
69	68	oveq1d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴 · 𝑅) − 1) = (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))) − 1))
70	14	zcnd 12719	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℂ)
71	28	zcnd 12719	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃)))) ∈ ℂ)
72	70, 71, 58	sub32d 11619	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))) − 1) = (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
73	69, 72	eqtrd 2801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴 · 𝑅) − 1) = (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) − (𝑃 · (𝐴 · (⌊‘((𝐴↑(𝑃 − 2)) / 𝑃))))))
74	41, 73	breqtrrd 5144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1))
75		oveq2 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 0 → (𝐴 · 𝑅) = (𝐴 · 0))
76	75	oveq1d 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 = 0 → ((𝐴 · 𝑅) − 1) = ((𝐴 · 0) − 1))
77	76	breq2d 5126	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 = 0 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 0) − 1)))
78	74, 77	syl5ibcom 248	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑅 = 0 → 𝑃 ∥ ((𝐴 · 0) − 1)))
79	42	mul01d 11427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴 · 0) = 0)
80	79	oveq1d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴 · 0) − 1) = (0 − 1))
81		df-neg 11462	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 = (0 − 1)
82	80, 81	eqtr4di 2819	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴 · 0) − 1) = -1)
83	82	breq2d 5126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 0) − 1) ↔ 𝑃 ∥ -1))
84		dvdsnegb 16356	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ -1))
85	4, 15, 84	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ -1))
86	83, 85	bitr4d 285	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 0) − 1) ↔ 𝑃 ∥ 1))
87	78, 86	sylibd 242	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑅 = 0 → 𝑃 ∥ 1))
88	2, 87	mtod 201	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ¬ 𝑅 = 0)
89		zmodfz 13946	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
90	23, 9, 89	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
91	47, 90	eqeltrid 2870	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)))
92		nn0uz 12918	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
93	11, 92	eleqtrdi 2876	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
94		elfzp12 13650	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0) → (𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1)))))
95	93, 94	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1)))))
96	91, 95	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1))))
97	96	ord 878	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (¬ 𝑅 = 0 → 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1))))
98	88, 97	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1)))
99		1e0p1 12776	. . . 4 ⊢ 1 = (0 + 1)
100	99	oveq1i 7433	. . 3 ⊢ (1...(𝑃 − 1)) = ((0 + 1)...(𝑃 − 1))
101	98, 100	eleqtrrdi 2877	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
102	101, 74	jca 521	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∨ wo 861 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2146 class class class wbr 5114 ‘cfv 6543 (class class class)co 7423 ℝcr 11117 0cc0 11118 1c1 11119 + caddc 11121 · cmul 11123 − cmin 11459 -cneg 11460 / cdiv 11889 ℕcn 12251 2c2 12313 ℕ₀cn0 12522 ℤcz 12609 ℤ_≥cuz 12880 ℝ⁺crp 13034 ...cfz 13553 ⌊cfl 13843 mod cmo 13922 ↑cexp 14117 ∥ cdvds 16335 gcd cgcd 16577 ℙcprime 16754 ϕcphi 16848

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2148 ax-9 2156 ax-10 2179 ax-11 2195 ax-12 2216 ax-ext 2738 ax-rep 5243 ax-sep 5262 ax-nul 5274 ax-pow 5341 ax-pr 5409 ax-un 7745 ax-cnex 11174 ax-resscn 11175 ax-1cn 11176 ax-icn 11177 ax-addcl 11178 ax-addrcl 11179 ax-mulcl 11180 ax-mulrcl 11181 ax-mulcom 11182 ax-addass 11183 ax-mulass 11184 ax-distr 11185 ax-i2m1 11186 ax-1ne0 11187 ax-1rid 11188 ax-rnegex 11189 ax-rrecex 11190 ax-cnre 11191 ax-pre-lttri 11192 ax-pre-lttrn 11193 ax-pre-ltadd 11194 ax-pre-mulgt0 11195 ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2570 df-eu 2600 df-clab 2745 df-cleq 2758 df-clel 2841 df-nfc 2915 df-ne 2962 df-nel 3068 df-ral 3083 df-rex 3093 df-rmo 3372 df-reu 3373 df-rab 3420 df-v 3460 df-sbc 3748 df-csb 3857 df-dif 3911 df-un 3913 df-in 3915 df-ss 3925 df-pss 3928 df-nul 4290 df-if 4493 df-pw 4569 df-sn 4595 df-pr 4597 df-op 4601 df-uni 4878 df-int 4918 df-iun 4963 df-br 5115 df-opab 5179 df-mpt 5198 df-tr 5224 df-id 5561 df-eprel 5566 df-po 5574 df-so 5575 df-fr 5619 df-we 5621 df-xp 5672 df-rel 5673 df-cnv 5674 df-co 5675 df-dm 5676 df-rn 5677 df-res 5678 df-ima 5679 df-pred 6309 df-ord 6370 df-on 6371 df-lim 6372 df-suc 6373 df-iota 6499 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7380 df-ov 7426 df-oprab 7427 df-mpo 7428 df-om 7872 df-1st 7995 df-2nd 7996 df-frecs 8287 df-wrecs 8318 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-2o 8463 df-oadd 8466 df-er 8703 df-en 8953 df-dom 8954 df-sdom 8955 df-fin 8956 df-sup 9412 df-inf 9413 df-dju 9906 df-card 9944 df-pnf 11263 df-mnf 11264 df-xr 11265 df-ltxr 11266 df-le 11267 df-sub 11461 df-neg 11462 df-div 11890 df-nn 12252 df-2 12321 df-3 12322 df-n0 12523 df-xnn0 12596 df-z 12610 df-uz 12881 df-rp 13035 df-fz 13554 df-fzo 13702 df-fl 13845 df-mod 13923 df-seq 14058 df-exp 14118 df-hash 14387 df-cj 15176 df-re 15177 df-im 15178 df-sqrt 15312 df-abs 15313 df-dvds 16336 df-gcd 16578 df-prm 16755 df-phi 16850

This theorem is used by: prmdiveq 16870 prmdivdiv 16871 modprminv 16884 wilthlem2 27270 wilthlem3 27271

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