MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdiv 16725
Description: Show an explicit expression for the modular inverse of ๐ด mod ๐‘ƒ. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
prmdiv.1 ๐‘… = ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
prmdiv ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘… โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1)))

Proof of Theorem prmdiv
StepHypRef Expression
1 nprmdvds1 16648 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 1)
213ad2ant1 1130 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 1)
3 prmz 16617 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
433ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
5 simp2 1134 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
6 phiprm 16717 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
763ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
8 prmnn 16616 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
983ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
10 nnm1nn0 12514 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
127, 11eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„•0)
13 zexpcl 14045 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ค)
145, 12, 13syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ค)
15 1z 12593 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„ค
16 zsubcl 12605 . . . . . . . . . 10 (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
1714, 15, 16sylancl 585 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
18 prmuz2 16638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
19183ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
20 uznn0sub 12862 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 2) โˆˆ โ„•0)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 2) โˆˆ โ„•0)
22 zexpcl 14045 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒ โˆ’ 2) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) โˆˆ โ„ค)
235, 21, 22syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) โˆˆ โ„ค)
2423zred 12667 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) โˆˆ โ„)
2524, 9nndivred 12267 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„)
2625flcld 13766 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ค)
275, 26zmulcld 12673 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ด ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ))) โˆˆ โ„ค)
284, 27zmulcld 12673 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ ยท (๐ด ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ)))) โˆˆ โ„ค)
295, 4gcdcomd 16460 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ด gcd ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ gcd ๐ด))
30 coprm 16653 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†” (๐‘ƒ gcd ๐ด) = 1))
3130biimp3a 1465 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ gcd ๐ด) = 1)
3229, 31eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1)
33 eulerth 16723 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ))
349, 5, 32, 33syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ))
35 1zzd 12594 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
36 moddvds 16213 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ 1)))
379, 14, 35, 36syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ 1)))
3834, 37mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ 1))
39 dvdsmul1 16226 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ))) โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ ยท (๐ด ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ)))))
404, 27, 39syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ ยท (๐ด ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ)))))
414, 17, 28, 38, 40dvds2subd 16241 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ 1) โˆ’ (๐‘ƒ ยท (๐ด ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ))))))
425zcnd 12668 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4323zcnd 12668 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) โˆˆ โ„‚)
444, 26zmulcld 12673 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ))) โˆˆ โ„ค)
4544zcnd 12668 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ))) โˆˆ โ„‚)
4642, 43, 45subdid 11671 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ด ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) โˆ’ (๐‘ƒ ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ))))) = ((๐ด ยท (๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2))) โˆ’ (๐ด ยท (๐‘ƒ ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ))))))
47 prmdiv.1 . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘… = ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)
489nnrpd 13017 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
49 modval 13839 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) โˆ’ (๐‘ƒ ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ)))))
5024, 48, 49syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) = ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) โˆ’ (๐‘ƒ ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ)))))
5147, 50eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘… = ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) โˆ’ (๐‘ƒ ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ)))))
5251oveq2d 7420 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ด ยท ๐‘…) = (๐ด ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) โˆ’ (๐‘ƒ ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ))))))
53 2m1e1 12339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 โˆ’ 1) = 1
5453oveq2i 7415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ƒ โˆ’ (2 โˆ’ 1)) = (๐‘ƒ โˆ’ 1)
557, 54eqtr4di 2784 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ (2 โˆ’ 1)))
569nncnd 12229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
57 2cnd 12291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
58 1cnd 11210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
5956, 57, 58subsubd 11600 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ (2 โˆ’ 1)) = ((๐‘ƒ โˆ’ 2) + 1))
6055, 59eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) = ((๐‘ƒ โˆ’ 2) + 1))
6160oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) = (๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 2) + 1)))
6242, 21expp1d 14115 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 2) + 1)) = ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) ยท ๐ด))
6343, 42mulcomd 11236 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) ยท ๐ด) = (๐ด ยท (๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2))))
6461, 62, 633eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) = (๐ด ยท (๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2))))
6526zcnd 12668 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ)) โˆˆ โ„‚)
6656, 42, 65mul12d 11424 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ ยท (๐ด ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ)))) = (๐ด ยท (๐‘ƒ ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ)))))
6764, 66oveq12d 7422 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ (๐‘ƒ ยท (๐ด ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ))))) = ((๐ด ยท (๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2))) โˆ’ (๐ด ยท (๐‘ƒ ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ))))))
6846, 52, 673eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ด ยท ๐‘…) = ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ (๐‘ƒ ยท (๐ด ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ))))))
6968oveq1d 7419 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1) = (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ (๐‘ƒ ยท (๐ด ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ))))) โˆ’ 1))
7014zcnd 12668 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„‚)
7128zcnd 12668 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ ยท (๐ด ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ)))) โˆˆ โ„‚)
7270, 71, 58sub32d 11604 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ (๐‘ƒ ยท (๐ด ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ))))) โˆ’ 1) = (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ 1) โˆ’ (๐‘ƒ ยท (๐ด ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ))))))
7369, 72eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1) = (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ 1) โˆ’ (๐‘ƒ ยท (๐ด ยท (โŒŠโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) / ๐‘ƒ))))))
7441, 73breqtrrd 5169 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1))
75 oveq2 7412 . . . . . . . . 9 (๐‘… = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐‘…) = (๐ด ยท 0))
7675oveq1d 7419 . . . . . . . 8 (๐‘… = 0 โ†’ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1) = ((๐ด ยท 0) โˆ’ 1))
7776breq2d 5153 . . . . . . 7 (๐‘… = 0 โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท 0) โˆ’ 1)))
7874, 77syl5ibcom 244 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘… = 0 โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท 0) โˆ’ 1)))
7942mul01d 11414 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
8079oveq1d 7419 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ด ยท 0) โˆ’ 1) = (0 โˆ’ 1))
81 df-neg 11448 . . . . . . . . 9 -1 = (0 โˆ’ 1)
8280, 81eqtr4di 2784 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ด ยท 0) โˆ’ 1) = -1)
8382breq2d 5153 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท 0) โˆ’ 1) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ -1))
84 dvdsnegb 16222 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ 1 โ†” ๐‘ƒ โˆฅ -1))
854, 15, 84sylancl 585 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ 1 โ†” ๐‘ƒ โˆฅ -1))
8683, 85bitr4d 282 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท 0) โˆ’ 1) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ 1))
8778, 86sylibd 238 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘… = 0 โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ 1))
882, 87mtod 197 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ยฌ ๐‘… = 0)
89 zmodfz 13861 . . . . . . . 8 (((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
9023, 9, 89syl2anc 583 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
9147, 90eqeltrid 2831 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘… โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
92 nn0uz 12865 . . . . . . . 8 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
9311, 92eleqtrdi 2837 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
94 elfzp12 13583 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ (๐‘… โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†” (๐‘… = 0 โˆจ ๐‘… โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))))
9593, 94syl 17 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘… โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†” (๐‘… = 0 โˆจ ๐‘… โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))))
9691, 95mpbid 231 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘… = 0 โˆจ ๐‘… โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ƒ โˆ’ 1))))
9796ord 861 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (ยฌ ๐‘… = 0 โ†’ ๐‘… โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ƒ โˆ’ 1))))
9888, 97mpd 15 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘… โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
99 1e0p1 12720 . . . 4 1 = (0 + 1)
10099oveq1i 7414 . . 3 (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) = ((0 + 1)...(๐‘ƒ โˆ’ 1))
10198, 100eleqtrrdi 2838 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘… โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
102101, 74jca 511 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘… โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โˆ’ cmin 11445  -cneg 11446   / cdiv 11872  โ„•cn 12213  2c2 12268  โ„•0cn0 12473  โ„คcz 12559  โ„คโ‰ฅcuz 12823  โ„+crp 12977  ...cfz 13487  โŒŠcfl 13758   mod cmo 13837  โ†‘cexp 14030   โˆฅ cdvds 16202   gcd cgcd 16440  โ„™cprime 16613  ฯ•cphi 16704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-phi 16706
This theorem is referenced by:  prmdiveq  16726  prmdivdiv  16727  modprminv  16739  wilthlem2  26952  wilthlem3  26953
  Copyright terms: Public domain W3C validator