MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgseisenlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgseisenlem4 26881
Description: Lemma for lgseisen 26882. The function 𝑀 is an injection (and hence a bijection by the pigeonhole principle). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}))
lgseisen.2 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (β„™ βˆ– {2}))
lgseisen.3 (πœ‘ β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
lgseisen.4 𝑅 = ((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) mod 𝑃)
lgseisen.5 𝑀 = (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2))
lgseisen.6 𝑆 = ((𝑄 Β· (2 Β· 𝑦)) mod 𝑃)
lgseisen.7 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘ƒ)
lgseisen.8 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘Œ)
lgseisen.9 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
lgseisenlem4 (πœ‘ β†’ ((𝑄↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑Σπ‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) mod 𝑃))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐿   π‘₯,𝑦,𝑃   πœ‘,π‘₯,𝑦   𝑦,𝑀   π‘₯,𝑄,𝑦   π‘₯,π‘Œ   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯,𝑦)   𝑆(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐿(𝑦)   𝑀(π‘₯)   π‘Œ(𝑦)

Proof of Theorem lgseisenlem4
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zringbas 21023 . . . . 5 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
2 zring0 21028 . . . . 5 0 = (0gβ€˜β„€ring)
3 zringabl 21021 . . . . . 6 β„€ring ∈ Abel
4 ablcmn 19655 . . . . . 6 (β„€ring ∈ Abel β†’ β„€ring ∈ CMnd)
53, 4mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ CMnd)
6 lgseisen.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}))
76eldifad 3961 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
8 lgseisen.7 . . . . . . . . . 10 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘ƒ)
98znfld 21116 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ β„™ β†’ π‘Œ ∈ Field)
107, 9syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Field)
11 isfld 20368 . . . . . . . . 9 (π‘Œ ∈ Field ↔ (π‘Œ ∈ DivRing ∧ π‘Œ ∈ CRing))
1211simprbi 498 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ Field β†’ π‘Œ ∈ CRing)
1310, 12syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ CRing)
14 lgseisen.8 . . . . . . . 8 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘Œ)
1514crngmgp 20064 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ CRing β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
1613, 15syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
17 cmnmnd 19665 . . . . . 6 (𝐺 ∈ CMnd β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
1816, 17syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
19 fzfid 13938 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ∈ Fin)
20 crngring 20068 . . . . . . . . . 10 (π‘Œ ∈ CRing β†’ π‘Œ ∈ Ring)
2113, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Ring)
22 lgseisen.9 . . . . . . . . . 10 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘Œ)
2322zrhrhm 21061 . . . . . . . . 9 (π‘Œ ∈ Ring β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ))
2421, 23syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ))
25 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
261, 25rhmf 20263 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ) β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘Œ))
2724, 26syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘Œ))
28 m1expcl 14052 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ (-1β†‘π‘˜) ∈ β„€)
2928adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (-1β†‘π‘˜) ∈ β„€)
3027, 29cofmpt 7130 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐿 ∘ (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (-1β†‘π‘˜))) = (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (πΏβ€˜(-1β†‘π‘˜))))
31 zringmpg 21041 . . . . . . . . 9 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€) = (mulGrpβ€˜β„€ring)
3231, 14rhmmhm 20258 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ) β†’ 𝐿 ∈ (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€) MndHom 𝐺))
3324, 32syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€) MndHom 𝐺))
34 neg1cn 12326 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ β„‚
35 neg1ne0 12328 . . . . . . . . . . 11 -1 β‰  0
36 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
37 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
3836, 37expghm 21045 . . . . . . . . . . 11 ((-1 ∈ β„‚ ∧ -1 β‰  0) β†’ (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (-1β†‘π‘˜)) ∈ (β„€ring GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))))
3934, 35, 38mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (-1β†‘π‘˜)) ∈ (β„€ring GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})))
40 ghmmhm 19102 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„€ ↦ (-1β†‘π‘˜)) ∈ (β„€ring GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (-1β†‘π‘˜)) ∈ (β„€ring MndHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))))
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (-1β†‘π‘˜)) ∈ (β„€ring MndHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})))
42 cnring 20967 . . . . . . . . . 10 β„‚fld ∈ Ring
43 cnfldbas 20948 . . . . . . . . . . . 12 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
44 cnfld0 20969 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
45 cndrng 20974 . . . . . . . . . . . 12 β„‚fld ∈ DivRing
4643, 44, 45drngui 20363 . . . . . . . . . . 11 (β„‚ βˆ– {0}) = (Unitβ€˜β„‚fld)
4746, 36unitsubm 20200 . . . . . . . . . 10 (β„‚fld ∈ Ring β†’ (β„‚ βˆ– {0}) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)))
4842, 47ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (β„‚ βˆ– {0}) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
4937resmhm2 18702 . . . . . . . . 9 (((π‘˜ ∈ β„€ ↦ (-1β†‘π‘˜)) ∈ (β„€ring MndHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))) ∧ (β„‚ βˆ– {0}) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))) β†’ (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (-1β†‘π‘˜)) ∈ (β„€ring MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
5041, 48, 49mp2an 691 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (-1β†‘π‘˜)) ∈ (β„€ring MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld))
51 zsubrg 20998 . . . . . . . . . 10 β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)
5236subrgsubm 20332 . . . . . . . . . 10 (β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ β„€ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)))
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . 9 β„€ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
5429fmpttd 7115 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (-1β†‘π‘˜)):β„€βŸΆβ„€)
5554frnd 6726 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (-1β†‘π‘˜)) βŠ† β„€)
56 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€)
5756resmhm2b 18703 . . . . . . . . 9 ((β„€ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ ran (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (-1β†‘π‘˜)) βŠ† β„€) β†’ ((π‘˜ ∈ β„€ ↦ (-1β†‘π‘˜)) ∈ (β„€ring MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ↔ (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (-1β†‘π‘˜)) ∈ (β„€ring MndHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))))
5853, 55, 57sylancr 588 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ β„€ ↦ (-1β†‘π‘˜)) ∈ (β„€ring MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ↔ (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (-1β†‘π‘˜)) ∈ (β„€ring MndHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))))
5950, 58mpbii 232 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (-1β†‘π‘˜)) ∈ (β„€ring MndHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€)))
60 mhmco 18704 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€) MndHom 𝐺) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (-1β†‘π‘˜)) ∈ (β„€ring MndHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))) β†’ (𝐿 ∘ (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (-1β†‘π‘˜))) ∈ (β„€ring MndHom 𝐺))
6133, 59, 60syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐿 ∘ (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (-1β†‘π‘˜))) ∈ (β„€ring MndHom 𝐺))
6230, 61eqeltrrd 2835 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (πΏβ€˜(-1β†‘π‘˜))) ∈ (β„€ring MndHom 𝐺))
63 lgseisen.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (β„™ βˆ– {2}))
6463gausslemma2dlem0a 26859 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ β„•)
6564nnred 12227 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ ℝ)
666gausslemma2dlem0a 26859 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
6765, 66nndivred 12266 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑄 / 𝑃) ∈ ℝ)
6867adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (𝑄 / 𝑃) ∈ ℝ)
69 2nn 12285 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„•
70 elfznn 13530 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
7170adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
72 nnmulcl 12236 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ β„•)
7369, 71, 72sylancr 588 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ β„•)
7473nnred 12227 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ ℝ)
7568, 74remulcld 11244 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)) ∈ ℝ)
7675flcld 13763 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))) ∈ β„€)
77 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))
78 fvexd 6907 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))) ∈ V)
79 c0ex 11208 . . . . . . 7 0 ∈ V
8079a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
8177, 19, 78, 80fsuppmptdm 9374 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) finSupp 0)
82 oveq2 7417 . . . . . 6 (π‘˜ = (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))) β†’ (-1β†‘π‘˜) = (-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))
8382fveq2d 6896 . . . . 5 (π‘˜ = (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))) β†’ (πΏβ€˜(-1β†‘π‘˜)) = (πΏβ€˜(-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))))
84 oveq2 7417 . . . . . 6 (π‘˜ = (β„€ring Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))) β†’ (-1β†‘π‘˜) = (-1↑(β„€ring Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))))
8584fveq2d 6896 . . . . 5 (π‘˜ = (β„€ring Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))) β†’ (πΏβ€˜(-1β†‘π‘˜)) = (πΏβ€˜(-1↑(β„€ring Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))))))
861, 2, 5, 18, 19, 62, 76, 81, 83, 85gsummhm2 19807 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))))) = (πΏβ€˜(-1↑(β„€ring Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))))))
8714, 25mgpbas 19993 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜πΊ)
88 eqid 2733 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘Œ) = (.rβ€˜π‘Œ)
8914, 88mgpplusg 19991 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘Œ) = (+gβ€˜πΊ)
9027adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘Œ))
91 m1expcl 14052 . . . . . . . . 9 ((βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))) ∈ β„€ β†’ (-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) ∈ β„€)
9276, 91syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) ∈ β„€)
9390, 92ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (πΏβ€˜(-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
94 neg1z 12598 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ β„€
95 lgseisen.4 . . . . . . . . . . 11 𝑅 = ((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) mod 𝑃)
9663eldifad 3961 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ β„™)
9796adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑄 ∈ β„™)
98 prmz 16612 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑄 ∈ β„™ β†’ 𝑄 ∈ β„€)
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑄 ∈ β„€)
10073nnzd 12585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ β„€)
10199, 100zmulcld 12672 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) ∈ β„€)
1027adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑃 ∈ β„™)
103 prmnn 16611 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
105101, 104zmodcld 13857 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) mod 𝑃) ∈ β„•0)
10695, 105eqeltrid 2838 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑅 ∈ β„•0)
107 zexpcl 14042 . . . . . . . . . 10 ((-1 ∈ β„€ ∧ 𝑅 ∈ β„•0) β†’ (-1↑𝑅) ∈ β„€)
10894, 106, 107sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (-1↑𝑅) ∈ β„€)
109108, 99zmulcld 12672 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((-1↑𝑅) Β· 𝑄) ∈ β„€)
11090, 109ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄)) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
111 eqid 2733 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))) = (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))))
112 eqid 2733 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))) = (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄)))
11387, 89, 16, 19, 93, 110, 111, 112gsummptfidmadd2 19794 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))) ∘f (.rβ€˜π‘Œ)(π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))))) = ((𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))))(.rβ€˜π‘Œ)(𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))))))
114 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))) = (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))))
115 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))) = (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))))
11619, 93, 110, 114, 115offval2 7690 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))) ∘f (.rβ€˜π‘Œ)(π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄)))) = (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ ((πΏβ€˜(-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄)))))
11724adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ))
118 zringmulr 21027 . . . . . . . . . . . 12 Β· = (.rβ€˜β„€ring)
1191, 118, 88rhmmul 20264 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ) ∧ (-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) ∈ β„€ ∧ ((-1↑𝑅) Β· 𝑄) ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜((-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) Β· ((-1↑𝑅) Β· 𝑄))) = ((πΏβ€˜(-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))))
120117, 92, 109, 119syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (πΏβ€˜((-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) Β· ((-1↑𝑅) Β· 𝑄))) = ((πΏβ€˜(-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))))
121101zred 12666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) ∈ ℝ)
122104nnrpd 13014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑃 ∈ ℝ+)
123 modval 13836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) mod 𝑃) = ((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) βˆ’ (𝑃 Β· (βŒŠβ€˜((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) / 𝑃)))))
124121, 122, 123syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) mod 𝑃) = ((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) βˆ’ (𝑃 Β· (βŒŠβ€˜((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) / 𝑃)))))
12595, 124eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑅 = ((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) βˆ’ (𝑃 Β· (βŒŠβ€˜((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) / 𝑃)))))
12699zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑄 ∈ β„‚)
12773nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ β„‚)
128104nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
129104nnne0d 12262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑃 β‰  0)
130126, 127, 128, 129div23d 12027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) / 𝑃) = ((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))
131130fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (βŒŠβ€˜((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) / 𝑃)) = (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))
132131oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (𝑃 Β· (βŒŠβ€˜((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) / 𝑃))) = (𝑃 Β· (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))
133132oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) βˆ’ (𝑃 Β· (βŒŠβ€˜((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) / 𝑃)))) = ((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) βˆ’ (𝑃 Β· (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))))
134125, 133eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑅 = ((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) βˆ’ (𝑃 Β· (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))))
135134oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((𝑃 Β· (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) + 𝑅) = ((𝑃 Β· (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) + ((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) βˆ’ (𝑃 Β· (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))))
136 prmz 16612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
137102, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑃 ∈ β„€)
138137, 76zmulcld 12672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (𝑃 Β· (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) ∈ β„€)
139138zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (𝑃 Β· (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) ∈ β„‚)
140101zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
141139, 140pncan3d 11574 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((𝑃 Β· (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) + ((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) βˆ’ (𝑃 Β· (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))) = (𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)))
142 2cnd 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 2 ∈ β„‚)
14371nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
144126, 142, 143mul12d 11423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) = (2 Β· (𝑄 Β· π‘₯)))
145135, 141, 1443eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((𝑃 Β· (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) + 𝑅) = (2 Β· (𝑄 Β· π‘₯)))
146145oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (-1↑((𝑃 Β· (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) + 𝑅)) = (-1↑(2 Β· (𝑄 Β· π‘₯))))
14734a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ -1 ∈ β„‚)
14835a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ -1 β‰  0)
149106nn0zd 12584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑅 ∈ β„€)
150 expaddz 14072 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((-1 ∈ β„‚ ∧ -1 β‰  0) ∧ ((𝑃 Β· (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) ∈ β„€ ∧ 𝑅 ∈ β„€)) β†’ (-1↑((𝑃 Β· (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) + 𝑅)) = ((-1↑(𝑃 Β· (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))) Β· (-1↑𝑅)))
151147, 148, 138, 149, 150syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (-1↑((𝑃 Β· (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) + 𝑅)) = ((-1↑(𝑃 Β· (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))) Β· (-1↑𝑅)))
152 expmulz 14074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((-1 ∈ β„‚ ∧ -1 β‰  0) ∧ (𝑃 ∈ β„€ ∧ (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))) ∈ β„€)) β†’ (-1↑(𝑃 Β· (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))) = ((-1↑𝑃)↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))
153147, 148, 137, 76, 152syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (-1↑(𝑃 Β· (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))) = ((-1↑𝑃)↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))
154 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 1 ∈ β„‚)
155 eldifsni 4794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ 𝑃 β‰  2)
1566, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝑃 β‰  2)
157156necomd 2997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 2 β‰  𝑃)
158157neneqd 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ Β¬ 2 = 𝑃)
159158adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ Β¬ 2 = 𝑃)
160 2z 12594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ β„€
161 uzid 12837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 ∈ β„€ β†’ 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
162160, 161ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)
163 dvdsprm 16640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ (2 βˆ₯ 𝑃 ↔ 2 = 𝑃))
164162, 102, 163sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (2 βˆ₯ 𝑃 ↔ 2 = 𝑃))
165159, 164mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑃)
166 oexpneg 16288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ β„‚ ∧ 𝑃 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑃) β†’ (-1↑𝑃) = -(1↑𝑃))
167154, 104, 165, 166syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (-1↑𝑃) = -(1↑𝑃))
168 1exp 14057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ β„€ β†’ (1↑𝑃) = 1)
169137, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (1↑𝑃) = 1)
170169negeqd 11454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ -(1↑𝑃) = -1)
171167, 170eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (-1↑𝑃) = -1)
172171oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((-1↑𝑃)↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) = (-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))
173153, 172eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (-1↑(𝑃 Β· (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))) = (-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))
174173oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((-1↑(𝑃 Β· (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))) Β· (-1↑𝑅)) = ((-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) Β· (-1↑𝑅)))
175151, 174eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (-1↑((𝑃 Β· (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) + 𝑅)) = ((-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) Β· (-1↑𝑅)))
176 nnmulcl 12236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑄 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (𝑄 Β· π‘₯) ∈ β„•)
17764, 70, 176syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (𝑄 Β· π‘₯) ∈ β„•)
178177nnnn0d 12532 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (𝑄 Β· π‘₯) ∈ β„•0)
179 2nn0 12489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ β„•0
180179a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 2 ∈ β„•0)
181147, 178, 180expmuld 14114 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (-1↑(2 Β· (𝑄 Β· π‘₯))) = ((-1↑2)↑(𝑄 Β· π‘₯)))
182 neg1sqe1 14160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-1↑2) = 1
183182oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1↑2)↑(𝑄 Β· π‘₯)) = (1↑(𝑄 Β· π‘₯))
184177nnzd 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (𝑄 Β· π‘₯) ∈ β„€)
185 1exp 14057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑄 Β· π‘₯) ∈ β„€ β†’ (1↑(𝑄 Β· π‘₯)) = 1)
186184, 185syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (1↑(𝑄 Β· π‘₯)) = 1)
187183, 186eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((-1↑2)↑(𝑄 Β· π‘₯)) = 1)
188181, 187eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (-1↑(2 Β· (𝑄 Β· π‘₯))) = 1)
189146, 175, 1883eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) Β· (-1↑𝑅)) = 1)
190189oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (((-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) Β· (-1↑𝑅)) Β· 𝑄) = (1 Β· 𝑄))
19192zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) ∈ β„‚)
192108zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (-1↑𝑅) ∈ β„‚)
193191, 192, 126mulassd 11237 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (((-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) Β· (-1↑𝑅)) Β· 𝑄) = ((-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) Β· ((-1↑𝑅) Β· 𝑄)))
194126mullidd 11232 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (1 Β· 𝑄) = 𝑄)
195190, 193, 1943eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) Β· ((-1↑𝑅) Β· 𝑄)) = 𝑄)
196195fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (πΏβ€˜((-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) Β· ((-1↑𝑅) Β· 𝑄))) = (πΏβ€˜π‘„))
197120, 196eqtr3d 2775 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((πΏβ€˜(-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))) = (πΏβ€˜π‘„))
198197mpteq2dva 5249 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ ((πΏβ€˜(-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄)))) = (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜π‘„)))
199116, 198eqtrd 2773 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))) ∘f (.rβ€˜π‘Œ)(π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄)))) = (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜π‘„)))
200199oveq2d 7425 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))) ∘f (.rβ€˜π‘Œ)(π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))))) = (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜π‘„))))
201 lgseisen.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
202 lgseisen.5 . . . . . . . 8 𝑀 = (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2))
203 lgseisen.6 . . . . . . . 8 𝑆 = ((𝑄 Β· (2 Β· 𝑦)) mod 𝑃)
2046, 63, 201, 95, 202, 203, 8, 14, 22lgseisenlem3 26880 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄)))) = (1rβ€˜π‘Œ))
205204oveq2d 7425 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))))(.rβ€˜π‘Œ)(𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))))) = ((𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))))(.rβ€˜π‘Œ)(1rβ€˜π‘Œ)))
206113, 200, 2053eqtr3rd 2782 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))))(.rβ€˜π‘Œ)(1rβ€˜π‘Œ)) = (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜π‘„))))
207 eqid 2733 . . . . . . 7 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
20893fmpttd 7115 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))):(1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
209 fvexd 6907 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (πΏβ€˜(-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))) ∈ V)
210 fvexd 6907 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ V)
211111, 19, 209, 210fsuppmptdm 9374 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))) finSupp (0gβ€˜πΊ))
21287, 207, 16, 19, 208, 211gsumcl 19783 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))))) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
213 eqid 2733 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘Œ) = (1rβ€˜π‘Œ)
21425, 88, 213ringridm 20087 . . . . . 6 ((π‘Œ ∈ Ring ∧ (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))))) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))))(.rβ€˜π‘Œ)(1rβ€˜π‘Œ)) = (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))))))
21521, 212, 214syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))))(.rβ€˜π‘Œ)(1rβ€˜π‘Œ)) = (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))))))
21696, 98syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ β„€)
21727, 216ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜π‘„) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
218 eqid 2733 . . . . . . . 8 (.gβ€˜πΊ) = (.gβ€˜πΊ)
21987, 218gsumconst 19802 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ∈ Fin ∧ (πΏβ€˜π‘„) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜π‘„))) = ((β™―β€˜(1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))(.gβ€˜πΊ)(πΏβ€˜π‘„)))
22018, 19, 217, 219syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜π‘„))) = ((β™―β€˜(1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))(.gβ€˜πΊ)(πΏβ€˜π‘„)))
221 oddprm 16743 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•)
2226, 221syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•)
223222nnnn0d 12532 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0)
224 hashfz1 14306 . . . . . . . 8 (((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) = ((𝑃 βˆ’ 1) / 2))
225223, 224syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) = ((𝑃 βˆ’ 1) / 2))
226225oveq1d 7424 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))(.gβ€˜πΊ)(πΏβ€˜π‘„)) = (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜πΊ)(πΏβ€˜π‘„)))
22731, 1mgpbas 19993 . . . . . . . . 9 β„€ = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))
228 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€)) = (.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))
229227, 228, 218mhmmulg 18995 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€) MndHom 𝐺) ∧ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝑄 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜(((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))𝑄)) = (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜πΊ)(πΏβ€˜π‘„)))
23033, 223, 216, 229syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))𝑄)) = (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜πΊ)(πΏβ€˜π‘„)))
23153a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ β„€ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)))
232 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
233232, 56, 228submmulg 18998 . . . . . . . . . 10 ((β„€ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝑄 ∈ β„€) β†’ (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝑄) = (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))𝑄))
234231, 223, 216, 233syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝑄) = (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))𝑄))
235216zcnd 12667 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ β„‚)
236 cnfldexp 20978 . . . . . . . . . 10 ((𝑄 ∈ β„‚ ∧ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝑄) = (𝑄↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
237235, 223, 236syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝑄) = (𝑄↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
238234, 237eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))𝑄) = (𝑄↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
239238fveq2d 6896 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))𝑄)) = (πΏβ€˜(𝑄↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2))))
240230, 239eqtr3d 2775 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜πΊ)(πΏβ€˜π‘„)) = (πΏβ€˜(𝑄↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2))))
241220, 226, 2403eqtrd 2777 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜π‘„))) = (πΏβ€˜(𝑄↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2))))
242206, 215, 2413eqtr3d 2781 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(-1↑(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))))) = (πΏβ€˜(𝑄↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2))))
243 subrgsubg 20325 . . . . . . . . . 10 (β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ β„€ ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
24451, 243ax-mp 5 . . . . . . . . 9 β„€ ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld)
245 subgsubm 19028 . . . . . . . . 9 (β„€ ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) β†’ β„€ ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld))
246244, 245mp1i 13 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ β„€ ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld))
24776fmpttd 7115 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))):(1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))βŸΆβ„€)
248 df-zring 21018 . . . . . . . 8 β„€ring = (β„‚fld β†Ύs β„€)
24919, 246, 247, 248gsumsubm 18716 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))) = (β„€ring Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))))
25076zcnd 12667 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))) ∈ β„‚)
25119, 250gsumfsum 21012 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))) = Ξ£π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))
252249, 251eqtr3d 2775 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β„€ring Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))) = Ξ£π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))
253252oveq2d 7425 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (-1↑(β„€ring Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))) = (-1↑Σπ‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))
254253fveq2d 6896 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(-1↑(β„€ring Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))))) = (πΏβ€˜(-1↑Σπ‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))))
25586, 242, 2543eqtr3d 2781 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(𝑄↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) = (πΏβ€˜(-1↑Σπ‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))))
25666nnnn0d 12532 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
257 zexpcl 14042 . . . . 5 ((𝑄 ∈ β„€ ∧ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝑄↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€)
258216, 223, 257syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑄↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€)
25919, 76fsumzcl 15681 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))) ∈ β„€)
260 m1expcl 14052 . . . . 5 (Ξ£π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))) ∈ β„€ β†’ (-1↑Σπ‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) ∈ β„€)
261259, 260syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (-1↑Σπ‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) ∈ β„€)
2628, 22zndvds 21105 . . . 4 ((𝑃 ∈ β„•0 ∧ (𝑄↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€ ∧ (-1↑Σπ‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜(𝑄↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) = (πΏβ€˜(-1↑Σπ‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((𝑄↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) βˆ’ (-1↑Σπ‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))))
263256, 258, 261, 262syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜(𝑄↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) = (πΏβ€˜(-1↑Σπ‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((𝑄↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) βˆ’ (-1↑Σπ‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))))
264255, 263mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 βˆ₯ ((𝑄↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) βˆ’ (-1↑Σπ‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯))))))
265 moddvds 16208 . . 3 ((𝑃 ∈ β„• ∧ (𝑄↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€ ∧ (-1↑Σπ‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) ∈ β„€) β†’ (((𝑄↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑Σπ‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) mod 𝑃) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((𝑄↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) βˆ’ (-1↑Σπ‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))))
26666, 258, 261, 265syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝑄↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑Σπ‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) mod 𝑃) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((𝑄↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) βˆ’ (-1↑Σπ‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))))))
267264, 266mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ ((𝑄↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑Σπ‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))(βŒŠβ€˜((𝑄 / 𝑃) Β· (2 Β· π‘₯)))) mod 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668  Fincfn 8939  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  ...cfz 13484  βŒŠcfl 13755   mod cmo 13834  β†‘cexp 14027  β™―chash 14290  Ξ£csu 15632   βˆ₯ cdvds 16197  β„™cprime 16608  Basecbs 17144   β†Ύs cress 17173  .rcmulr 17198  0gc0g 17385   Ξ£g cgsu 17386  Mndcmnd 18625   MndHom cmhm 18669  SubMndcsubmnd 18670  .gcmg 18950  SubGrpcsubg 19000   GrpHom cghm 19089  CMndccmn 19648  Abelcabl 19649  mulGrpcmgp 19987  1rcur 20004  Ringcrg 20056  CRingccrg 20057   RingHom crh 20248  SubRingcsubrg 20315  DivRingcdr 20357  Fieldcfield 20358  β„‚fldccnfld 20944  β„€ringczring 21017  β„€RHomczrh 21049  β„€/nβ„€czn 21052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-imas 17454  df-qus 17455  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-nsg 19004  df-eqg 19005  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-rnghom 20251  df-nzr 20292  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-field 20360  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-lidl 20787  df-rsp 20788  df-2idl 20857  df-rlreg 20899  df-domn 20900  df-idom 20901  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zrh 21053  df-zn 21056
This theorem is referenced by:  lgseisen  26882
  Copyright terms: Public domain W3C validator