MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgseisenlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgseisenlem4 25340
Description: Lemma for lgseisen 25341. The function 𝑀 is an injection (and hence a bijection by the pigeonhole principle). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.2 (𝜑𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.3 (𝜑𝑃𝑄)
lgseisen.4 𝑅 = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃)
lgseisen.5 𝑀 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
lgseisen.6 𝑆 = ((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃)
lgseisen.7 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgseisen.8 𝐺 = (mulGrp‘𝑌)
lgseisen.9 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
lgseisenlem4 (𝜑 → ((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) mod 𝑃))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐿   𝑥,𝑦,𝑃   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑀   𝑥,𝑄,𝑦   𝑥,𝑌   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐿(𝑦)   𝑀(𝑥)   𝑌(𝑦)

Proof of Theorem lgseisenlem4
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zringbas 20052 . . . . 5 ℤ = (Base‘ℤring)
2 zring0 20056 . . . . 5 0 = (0g‘ℤring)
3 zringabl 20050 . . . . . 6 ring ∈ Abel
4 ablcmn 18420 . . . . . 6 (ℤring ∈ Abel → ℤring ∈ CMnd)
53, 4mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ℤring ∈ CMnd)
6 lgseisen.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
76eldifad 3792 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
8 lgseisen.7 . . . . . . . . . 10 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
98znfld 20136 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
107, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ Field)
11 isfld 18980 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ Field ↔ (𝑌 ∈ DivRing ∧ 𝑌 ∈ CRing))
1211simprbi 486 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ CRing)
1310, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ CRing)
14 lgseisen.8 . . . . . . . 8 𝐺 = (mulGrp‘𝑌)
1514crngmgp 18777 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
1613, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
17 cmnmnd 18429 . . . . . 6 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
1816, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
19 fzfid 13016 . . . . 5 (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin)
20 m1expcl 13126 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ → (-1↑𝑘) ∈ ℤ)
2120adantl 469 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (-1↑𝑘) ∈ ℤ)
22 eqidd 2818 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) = (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)))
23 crngring 18780 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
2413, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
25 lgseisen.9 . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
2625zrhrhm 20088 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
2724, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
28 eqid 2817 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
291, 28rhmf 18950 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
3027, 29syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
3130feqmptd 6480 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐿𝑥)))
32 fveq2 6418 . . . . . . 7 (𝑥 = (-1↑𝑘) → (𝐿𝑥) = (𝐿‘(-1↑𝑘)))
3321, 22, 31, 32fmptco 6629 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 ∘ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝐿‘(-1↑𝑘))))
34 zringmpg 20068 . . . . . . . . 9 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
3534, 14rhmmhm 18946 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom 𝐺))
3627, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom 𝐺))
37 neg1cn 11434 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℂ
38 neg1ne0 11436 . . . . . . . . . . 11 -1 ≠ 0
39 eqid 2817 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
40 eqid 2817 . . . . . . . . . . . 12 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
4139, 40expghm 20072 . . . . . . . . . . 11 ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) → (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))))
4237, 38, 41mp2an 675 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
43 ghmmhm 17892 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))))
4442, 43ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
45 cnring 19996 . . . . . . . . . 10 fld ∈ Ring
46 cnfldbas 19978 . . . . . . . . . . . 12 ℂ = (Base‘ℂfld)
47 cnfld0 19998 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g‘ℂfld)
48 cndrng 20003 . . . . . . . . . . . 12 fld ∈ DivRing
4946, 47, 48drngui 18977 . . . . . . . . . . 11 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
5049, 39unitsubm 18892 . . . . . . . . . 10 (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
5145, 50ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
5240resmhm2 17585 . . . . . . . . 9 (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ∧ (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))) → (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
5344, 51, 52mp2an 675 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring MndHom (mulGrp‘ℂfld))
54 zsubrg 20027 . . . . . . . . . 10 ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
5539subrgsubm 19017 . . . . . . . . . 10 (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
5721fmpttd 6617 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)):ℤ⟶ℤ)
5857frnd 6273 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ⊆ ℤ)
59 eqid 2817 . . . . . . . . . 10 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
6059resmhm2b 17586 . . . . . . . . 9 ((ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ⊆ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))))
6156, 58, 60sylancr 577 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))))
6253, 61mpbii 224 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)))
63 mhmco 17587 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom 𝐺) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))) → (𝐿 ∘ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘))) ∈ (ℤring MndHom 𝐺))
6436, 62, 63syl2anc 575 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 ∘ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘))) ∈ (ℤring MndHom 𝐺))
6533, 64eqeltrrd 2897 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝐿‘(-1↑𝑘))) ∈ (ℤring MndHom 𝐺))
66 lgseisen.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
6766eldifad 3792 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ ℙ)
68 prmnn 15626 . . . . . . . . . . 11 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℕ)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ ℕ)
7069nnred 11332 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
71 prmnn 15626 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
727, 71syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
7370, 72nndivred 11367 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℝ)
7473adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℝ)
75 2nn 11386 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
76 elfznn 12613 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℕ)
7776adantl 469 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℕ)
78 nnmulcl 11340 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ)
7975, 77, 78sylancr 577 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ)
8079nnred 11332 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ ℝ)
8174, 80remulcld 10365 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ)
8281flcld 12843 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) ∈ ℤ)
83 eqid 2817 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))
84 fvexd 6433 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) ∈ V)
85 c0ex 10329 . . . . . . 7 0 ∈ V
8685a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ V)
8783, 19, 84, 86fsuppmptdm 8535 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) finSupp 0)
88 oveq2 6892 . . . . . 6 (𝑘 = (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) → (-1↑𝑘) = (-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
8988fveq2d 6422 . . . . 5 (𝑘 = (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) → (𝐿‘(-1↑𝑘)) = (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))
90 oveq2 6892 . . . . . 6 (𝑘 = (ℤring Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) → (-1↑𝑘) = (-1↑(ℤring Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))
9190fveq2d 6422 . . . . 5 (𝑘 = (ℤring Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) → (𝐿‘(-1↑𝑘)) = (𝐿‘(-1↑(ℤring Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))))
921, 2, 5, 18, 19, 65, 82, 87, 89, 91gsummhm2 18560 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))) = (𝐿‘(-1↑(ℤring Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))))
9314, 28mgpbas 18717 . . . . . . 7 (Base‘𝑌) = (Base‘𝐺)
94 eqid 2817 . . . . . . . 8 (.r𝑌) = (.r𝑌)
9514, 94mgpplusg 18715 . . . . . . 7 (.r𝑌) = (+g𝐺)
9630adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
97 m1expcl 13126 . . . . . . . . 9 ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) ∈ ℤ → (-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℤ)
9882, 97syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℤ)
9996, 98ffvelrnd 6592 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) ∈ (Base‘𝑌))
100 neg1z 11699 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℤ
101 lgseisen.4 . . . . . . . . . . 11 𝑅 = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃)
10267adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ ℙ)
103 prmz 15627 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℤ)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ ℤ)
10579nnzd 11767 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ ℤ)
106104, 105zmulcld 11774 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ)
1077adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℙ)
108107, 71syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℕ)
109106, 108zmodcld 12935 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
110101, 109syl5eqel 2900 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℕ0)
111 zexpcl 13118 . . . . . . . . . 10 ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑅) ∈ ℤ)
112100, 110, 111sylancr 577 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) ∈ ℤ)
113112, 104zmulcld 11774 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · 𝑄) ∈ ℤ)
11496, 113ffvelrnd 6592 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)) ∈ (Base‘𝑌))
115 eqid 2817 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))
116 eqid 2817 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))
11793, 95, 16, 19, 99, 114, 115, 116gsummptfidmadd2 18547 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))) ∘𝑓 (.r𝑌)(𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))(.r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))))
118 eqidd 2818 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))
119 eqidd 2818 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))
12019, 99, 114, 118, 119offval2 7154 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))) ∘𝑓 (.r𝑌)(𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))(.r𝑌)(𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))))
12127adantr 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
122 zringmulr 20055 . . . . . . . . . . . 12 · = (.r‘ℤring)
1231, 122, 94rhmmul 18951 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ (-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℤ ∧ ((-1↑𝑅) · 𝑄) ∈ ℤ) → (𝐿‘((-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) · ((-1↑𝑅) · 𝑄))) = ((𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))(.r𝑌)(𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))
124121, 98, 113, 123syl3anc 1483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘((-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) · ((-1↑𝑅) · 𝑄))) = ((𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))(.r𝑌)(𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))
125106zred 11768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ)
126108nnrpd 12104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℝ+)
127 modval 12914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) − (𝑃 · (⌊‘((𝑄 · (2 · 𝑥)) / 𝑃)))))
128125, 126, 127syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) − (𝑃 · (⌊‘((𝑄 · (2 · 𝑥)) / 𝑃)))))
129101, 128syl5eq 2863 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) − (𝑃 · (⌊‘((𝑄 · (2 · 𝑥)) / 𝑃)))))
130104zcnd 11769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ ℂ)
13179nncnd 11333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
132108nncnd 11333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℂ)
133108nnne0d 11363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ≠ 0)
134130, 131, 132, 133div23d 11133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) / 𝑃) = ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))
135134fveq2d 6422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (⌊‘((𝑄 · (2 · 𝑥)) / 𝑃)) = (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))
136135oveq2d 6900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 · (⌊‘((𝑄 · (2 · 𝑥)) / 𝑃))) = (𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
137136oveq2d 6900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) − (𝑃 · (⌊‘((𝑄 · (2 · 𝑥)) / 𝑃)))) = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) − (𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))
138129, 137eqtrd 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) − (𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))
139138oveq2d 6900 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 𝑅) = ((𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + ((𝑄 · (2 · 𝑥)) − (𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))
140 prmz 15627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
141107, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℤ)
142141, 82zmulcld 11774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℤ)
143142zcnd 11769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℂ)
144106zcnd 11769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℂ)
145143, 144pncan3d 10690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + ((𝑄 · (2 · 𝑥)) − (𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))) = (𝑄 · (2 · 𝑥)))
146 2cnd 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 2 ∈ ℂ)
14777nncnd 11333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℂ)
148130, 146, 147mul12d 10540 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) = (2 · (𝑄 · 𝑥)))
149139, 145, 1483eqtrd 2855 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 𝑅) = (2 · (𝑄 · 𝑥)))
150149oveq2d 6900 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑((𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 𝑅)) = (-1↑(2 · (𝑄 · 𝑥))))
15137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → -1 ∈ ℂ)
15238a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → -1 ≠ 0)
153110nn0zd 11766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℤ)
154 expaddz 13147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ ((𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ)) → (-1↑((𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 𝑅)) = ((-1↑(𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) · (-1↑𝑅)))
155151, 152, 142, 153, 154syl22anc 858 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑((𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 𝑅)) = ((-1↑(𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) · (-1↑𝑅)))
156 expmulz 13149 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) ∈ ℤ)) → (-1↑(𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) = ((-1↑𝑃)↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
157151, 152, 141, 82, 156syl22anc 858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑(𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) = ((-1↑𝑃)↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
158 1cnd 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 1 ∈ ℂ)
159 eldifsni 4523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ≠ 2)
1606, 159syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑃 ≠ 2)
161160necomd 3044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 2 ≠ 𝑃)
162161neneqd 2994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ¬ 2 = 𝑃)
163162adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 2 = 𝑃)
164 2z 11695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℤ
165 uzid 11939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
166164, 165ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ (ℤ‘2)
167 dvdsprm 15652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 = 𝑃))
168166, 107, 167sylancr 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 = 𝑃))
169163, 168mtbird 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 2 ∥ 𝑃)
170 oexpneg 15309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (-1↑𝑃) = -(1↑𝑃))
171158, 108, 169, 170syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑃) = -(1↑𝑃))
172 1exp 13132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℤ → (1↑𝑃) = 1)
173141, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (1↑𝑃) = 1)
174173negeqd 10570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → -(1↑𝑃) = -1)
175171, 174eqtrd 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑃) = -1)
176175oveq1d 6899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑃)↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) = (-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
177157, 176eqtrd 2851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑(𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) = (-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
178177oveq1d 6899 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑(𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) · (-1↑𝑅)) = ((-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) · (-1↑𝑅)))
179155, 178eqtrd 2851 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑((𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 𝑅)) = ((-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) · (-1↑𝑅)))
180 nnmulcl 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑄 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑄 · 𝑥) ∈ ℕ)
18169, 76, 180syl2an 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · 𝑥) ∈ ℕ)
182181nnnn0d 11637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · 𝑥) ∈ ℕ0)
183 2nn0 11596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℕ0
184183a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 2 ∈ ℕ0)
185151, 182, 184expmuld 13254 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑(2 · (𝑄 · 𝑥))) = ((-1↑2)↑(𝑄 · 𝑥)))
186 neg1sqe1 13202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-1↑2) = 1
187186oveq1i 6894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1↑2)↑(𝑄 · 𝑥)) = (1↑(𝑄 · 𝑥))
188181nnzd 11767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · 𝑥) ∈ ℤ)
189 1exp 13132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑄 · 𝑥) ∈ ℤ → (1↑(𝑄 · 𝑥)) = 1)
190188, 189syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (1↑(𝑄 · 𝑥)) = 1)
191187, 190syl5eq 2863 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑2)↑(𝑄 · 𝑥)) = 1)
192185, 191eqtrd 2851 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑(2 · (𝑄 · 𝑥))) = 1)
193150, 179, 1923eqtr3d 2859 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) · (-1↑𝑅)) = 1)
194193oveq1d 6899 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) · (-1↑𝑅)) · 𝑄) = (1 · 𝑄))
19598zcnd 11769 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℂ)
196112zcnd 11769 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) ∈ ℂ)
197195, 196, 130mulassd 10358 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) · (-1↑𝑅)) · 𝑄) = ((-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) · ((-1↑𝑅) · 𝑄)))
198130mulid2d 10353 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (1 · 𝑄) = 𝑄)
199194, 197, 1983eqtr3d 2859 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) · ((-1↑𝑅) · 𝑄)) = 𝑄)
200199fveq2d 6422 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘((-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) · ((-1↑𝑅) · 𝑄))) = (𝐿𝑄))
201124, 200eqtr3d 2853 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))(.r𝑌)(𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) = (𝐿𝑄))
202201mpteq2dva 4949 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))(.r𝑌)(𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿𝑄)))
203120, 202eqtrd 2851 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))) ∘𝑓 (.r𝑌)(𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿𝑄)))
204203oveq2d 6900 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))) ∘𝑓 (.r𝑌)(𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿𝑄))))
205 lgseisen.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃𝑄)
206 lgseisen.5 . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
207 lgseisen.6 . . . . . . . 8 𝑆 = ((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃)
2086, 66, 205, 101, 206, 207, 8, 14, 25lgseisenlem3 25339 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))) = (1r𝑌))
209208oveq2d 6900 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))(.r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))(.r𝑌)(1r𝑌)))
210117, 204, 2093eqtr3rd 2860 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))(.r𝑌)(1r𝑌)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿𝑄))))
211 eqid 2817 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
21299fmpttd 6617 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))):(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(Base‘𝑌))
213 fvexd 6433 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) ∈ V)
214 fvexd 6433 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ V)
215115, 19, 213, 214fsuppmptdm 8535 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))) finSupp (0g𝐺))
21693, 211, 16, 19, 212, 215gsumcl 18537 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))) ∈ (Base‘𝑌))
217 eqid 2817 . . . . . . 7 (1r𝑌) = (1r𝑌)
21828, 94, 217ringridm 18794 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ Ring ∧ (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))) ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))(.r𝑌)(1r𝑌)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))))
21924, 216, 218syl2anc 575 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))(.r𝑌)(1r𝑌)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))))
22067, 103syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
22130, 220ffvelrnd 6592 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿𝑄) ∈ (Base‘𝑌))
222 eqid 2817 . . . . . . . 8 (.g𝐺) = (.g𝐺)
22393, 222gsumconst 18555 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin ∧ (𝐿𝑄) ∈ (Base‘𝑌)) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿𝑄))) = ((♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2)))(.g𝐺)(𝐿𝑄)))
22418, 19, 221, 223syl3anc 1483 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿𝑄))) = ((♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2)))(.g𝐺)(𝐿𝑄)))
225 oddprm 15752 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
2266, 225syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
227226nnnn0d 11637 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
228 hashfz1 13374 . . . . . . . 8 (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝑃 − 1) / 2))
229227, 228syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝑃 − 1) / 2))
230229oveq1d 6899 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2)))(.g𝐺)(𝐿𝑄)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g𝐺)(𝐿𝑄)))
23134, 1mgpbas 18717 . . . . . . . . 9 ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
232 eqid 2817 . . . . . . . . 9 (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
233231, 232, 222mhmmulg 17805 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom 𝐺) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑄 ∈ ℤ) → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑄)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g𝐺)(𝐿𝑄)))
23436, 227, 220, 233syl3anc 1483 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑄)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g𝐺)(𝐿𝑄)))
23556a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
236 eqid 2817 . . . . . . . . . . 11 (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
237236, 59, 232submmulg 17808 . . . . . . . . . 10 ((ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑄 ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑄) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑄))
238235, 227, 220, 237syl3anc 1483 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑄) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑄))
239220zcnd 11769 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
240 cnfldexp 20007 . . . . . . . . . 10 ((𝑄 ∈ ℂ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑄) = (𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)))
241239, 227, 240syl2anc 575 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑄) = (𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)))
242238, 241eqtr3d 2853 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑄) = (𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)))
243242fveq2d 6422 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑄)) = (𝐿‘(𝑄↑((𝑃 − 1) / 2))))
244234, 243eqtr3d 2853 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g𝐺)(𝐿𝑄)) = (𝐿‘(𝑄↑((𝑃 − 1) / 2))))
245224, 230, 2443eqtrd 2855 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿𝑄))) = (𝐿‘(𝑄↑((𝑃 − 1) / 2))))
246210, 219, 2453eqtr3d 2859 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))) = (𝐿‘(𝑄↑((𝑃 − 1) / 2))))
247 subrgsubg 19010 . . . . . . . . . 10 (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
24854, 247ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
249 subgsubm 17838 . . . . . . . . 9 (ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
250248, 249mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℤ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
25182fmpttd 6617 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))):(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶ℤ)
252 df-zring 20047 . . . . . . . 8 ring = (ℂflds ℤ)
25319, 250, 251, 252gsumsubm 17598 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) = (ℤring Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))
25482zcnd 11769 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) ∈ ℂ)
25519, 254gsumfsum 20041 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) = Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))
256253, 255eqtr3d 2853 . . . . . 6 (𝜑 → (ℤring Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) = Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))
257256oveq2d 6900 . . . . 5 (𝜑 → (-1↑(ℤring Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))) = (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
258257fveq2d 6422 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘(-1↑(ℤring Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))) = (𝐿‘(-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))
25992, 246, 2583eqtr3d 2859 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘(𝑄↑((𝑃 − 1) / 2))) = (𝐿‘(-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))
26072nnnn0d 11637 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
261 zexpcl 13118 . . . . 5 ((𝑄 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
262220, 227, 261syl2anc 575 . . . 4 (𝜑 → (𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
26319, 82fsumzcl 14709 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) ∈ ℤ)
264 m1expcl 13126 . . . . 5 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) ∈ ℤ → (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℤ)
265263, 264syl 17 . . . 4 (𝜑 → (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℤ)
2668, 25zndvds 20125 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ (𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑄↑((𝑃 − 1) / 2))) = (𝐿‘(-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) − (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))
267260, 262, 265, 266syl3anc 1483 . . 3 (𝜑 → ((𝐿‘(𝑄↑((𝑃 − 1) / 2))) = (𝐿‘(-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) − (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))
268259, 267mpbid 223 . 2 (𝜑𝑃 ∥ ((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) − (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))
269 moddvds 15234 . . 3 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℤ) → (((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) − (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))
27072, 262, 265, 269syl3anc 1483 . 2 (𝜑 → (((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) − (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))
271268, 270mpbird 248 1 (𝜑 → ((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) mod 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2989  Vcvv 3402  cdif 3777  wss 3780  {csn 4381   class class class wbr 4855  cmpt 4934  ran crn 5325  ccom 5328  wf 6107  cfv 6111  (class class class)co 6884  𝑓 cof 7135  Fincfn 8202  cc 10229  cr 10230  0cc0 10231  1c1 10232   + caddc 10234   · cmul 10236  cmin 10561  -cneg 10562   / cdiv 10979  cn 11315  2c2 11368  0cn0 11579  cz 11663  cuz 11924  +crp 12066  ...cfz 12569  cfl 12835   mod cmo 12912  cexp 13103  chash 13357  Σcsu 14659  cdvds 15223  cprime 15623  Basecbs 16088  s cress 16089  .rcmulr 16174  0gc0g 16325   Σg cgsu 16326  Mndcmnd 17519   MndHom cmhm 17558  SubMndcsubmnd 17559  .gcmg 17765  SubGrpcsubg 17810   GrpHom cghm 17879  CMndccmn 18414  Abelcabl 18415  mulGrpcmgp 18711  1rcur 18723  Ringcrg 18769  CRingccrg 18770   RingHom crh 18936  DivRingcdr 18971  Fieldcfield 18972  SubRingcsubrg 19000  fldccnfld 19974  ringzring 20046  ℤRHomczrh 20076  ℤ/nczn 20079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-inf2 8795  ax-cnex 10287  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308  ax-pre-sup 10309  ax-addf 10310  ax-mulf 10311
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-se 5284  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-isom 6120  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-of 7137  df-om 7306  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-supp 7540  df-tpos 7597  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-1o 7806  df-2o 7807  df-oadd 7810  df-er 7989  df-ec 7991  df-qs 7995  df-map 8104  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-fin 8206  df-fsupp 8525  df-sup 8597  df-inf 8598  df-oi 8664  df-card 9058  df-cda 9285  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-div 10980  df-nn 11316  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11580  df-xnn0 11650  df-z 11664  df-dec 11780  df-uz 11925  df-rp 12067  df-fz 12570  df-fzo 12710  df-fl 12837  df-mod 12913  df-seq 13045  df-exp 13104  df-hash 13358  df-cj 14082  df-re 14083  df-im 14084  df-sqrt 14218  df-abs 14219  df-clim 14462  df-sum 14660  df-dvds 15224  df-gcd 15456  df-prm 15624  df-struct 16090  df-ndx 16091  df-slot 16092  df-base 16094  df-sets 16095  df-ress 16096  df-plusg 16186  df-mulr 16187  df-starv 16188  df-sca 16189  df-vsca 16190  df-ip 16191  df-tset 16192  df-ple 16193  df-ds 16195  df-unif 16196  df-0g 16327  df-gsum 16328  df-imas 16393  df-qus 16394  df-mgm 17467  df-sgrp 17509  df-mnd 17520  df-mhm 17560  df-submnd 17561  df-grp 17650  df-minusg 17651  df-sbg 17652  df-mulg 17766  df-subg 17813  df-nsg 17814  df-eqg 17815  df-ghm 17880  df-cntz 17971  df-cmn 18416  df-abl 18417  df-mgp 18712  df-ur 18724  df-ring 18771  df-cring 18772  df-oppr 18845  df-dvdsr 18863  df-unit 18864  df-invr 18894  df-dvr 18905  df-rnghom 18939  df-drng 18973  df-field 18974  df-subrg 19002  df-lmod 19089  df-lss 19157  df-lsp 19199  df-sra 19401  df-rgmod 19402  df-lidl 19403  df-rsp 19404  df-2idl 19461  df-nzr 19487  df-rlreg 19512  df-domn 19513  df-idom 19514  df-cnfld 19975  df-zring 20047  df-zrh 20080  df-zn 20083
This theorem is referenced by:  lgseisen  25341
  Copyright terms: Public domain W3C validator