Theorem moddiffl 13251

Description: Value of the modulo operation rewritten to give two ways of expressing the quotient when "𝐴 is divided by 𝐵 using Euclidean division." Multiplying both sides by 𝐵, this implies that 𝐴 mod 𝐵 differs from 𝐴 by an integer multiple of 𝐵. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
moddiffl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))

Proof of Theorem moddiffl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modval 13240	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
2	1	oveq2d 7172	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) = (𝐴 − (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))))))
3		simpl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	recnd 10669	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		rpcn 12400	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
7		rerpdivcl 12420	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
8	7	flcld 13169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
9	8	zcnd 12089	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
10	6, 9	mulcld 10661	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ∈ ℂ)
11	4, 10	nncand 11002	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 − (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))))) = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))))
12	2, 11	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))))
13	12	oveq1d 7171	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) / 𝐵))
14		rpne0 12406	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ≠ 0)
15	14	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ 0)
16	9, 6, 15	divcan3d 11421	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
17	13, 16	eqtrd 2856	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  ℝcr 10536  0cc0 10537   · cmul 10542   − cmin 10870   / cdiv 11297  ℝ⁺crp 12390  ⌊cfl 13161   mod cmo 13238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fl 13163  df-mod 13239

This theorem is referenced by:  moddifz  13252  modmuladdnn0  13284  bitsinv1lem  15790  bitsres  15822  lefldiveq  41579