MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  moddiffl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem moddiffl 13851
Description: Value of the modulo operation rewritten to give two ways of expressing the quotient when "๐ด is divided by ๐ต using Euclidean division." Multiplying both sides by ๐ต, this implies that ๐ด mod ๐ต differs from ๐ด by an integer multiple of ๐ต. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
moddiffl ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐ต)) / ๐ต) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))

Proof of Theorem moddiffl
StepHypRef Expression
1 modval 13840 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
21oveq2d 7427 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐ต)) = (๐ด โˆ’ (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))))))
3 simpl 483 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
43recnd 11246 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5 rpcn 12988 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
65adantl 482 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
7 rerpdivcl 13008 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
87flcld 13767 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
98zcnd 12671 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
106, 9mulcld 11238 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
114, 10nncand 11580 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))))) = (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))))
122, 11eqtrd 2772 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐ต)) = (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))))
1312oveq1d 7426 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐ต)) / ๐ต) = ((๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) / ๐ต))
14 rpne0 12994 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ต โ‰  0)
1514adantl 482 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โ‰  0)
169, 6, 15divcan3d 11999 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) / ๐ต) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))
1713, 16eqtrd 2772 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐ต)) / ๐ต) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„+crp 12978  โŒŠcfl 13759   mod cmo 13838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fl 13761  df-mod 13839
This theorem is referenced by:  moddifz  13852  modmuladdnn0  13884  bitsinv1lem  16386  bitsres  16418  lefldiveq  44301
  Copyright terms: Public domain W3C validator